Download - 01. Teoria de Colas Lineas de Espera (2)
-
1 Araujo Cajamarca, Raul
ASIGNATURA
Lneas de espera (Teora de Colas)
Semanas : 1 y 2
INVESTIGACIN
OPERATIVA II
-
2 Araujo Cajamarca, Raul
Contenido 1. Teora de colas ...................................................................................................................... 3
Modelo de lneas de espera de un solo canal ............................................................................. 22
Sistema simple o M/M/1/FIFO/ / ........................................................................................ 22
Modelos de Lneas de espera de canales mltiples .................................................................... 30
Sistema de colas M/M/C/FIFO/ / ........................................................................................ 30
Anlisis econmico de lneas de espera ...................................................................................... 33
-
3 Araujo Cajamarca, Raul
1. Teora de colas
-
4 Araujo Cajamarca, Raul
-
5 Araujo Cajamarca, Raul
-
6 Araujo Cajamarca, Raul
-
7 Araujo Cajamarca, Raul
-
8 Araujo Cajamarca, Raul
-
9 Araujo Cajamarca, Raul
-
10 Araujo Cajamarca, Raul
-
11 Araujo Cajamarca, Raul
-
12 Araujo Cajamarca, Raul
-
13 Araujo Cajamarca, Raul
-
14 Araujo Cajamarca, Raul
-
15 Araujo Cajamarca, Raul
-
16 Araujo Cajamarca, Raul
-
17 Araujo Cajamarca, Raul
-
18 Araujo Cajamarca, Raul
-
19 Araujo Cajamarca, Raul
-
20 Araujo Cajamarca, Raul
-
21 Araujo Cajamarca, Raul
Agradecimientos a:
-
22 Araujo Cajamarca, Raul
Modelo de lneas de espera de un solo canal
Sistema simple o M/M/1/FIFO//
Lnea de espera
Llegada de clientes
Clientes Atendidos
Ejemplo 01
Los pacientes del consultorio llegan en forma aleatoria, de acuerdo con un proceso de Poisson.
El consultorio puede atender a los pacientes con una tasa promedio de 5 personas por hora; el
proceso de servicio tambin es Poisson. El promedio de llegadas de los pacientes es de 4 por
hora, el consultorio opera las 24 horas del dia.
a) Cul es el tiempo (%) de que el servidor est ocupado?
b) Cul es el tiempo (%) de que el consultorio est vaco?
c) Cul es el nmero promedio de clientes en espera?
d) Cul es el nmero promedio de clientes en espera?
e) Cul es el tiempo promedio permanencia de un cliente en la cola?
f) Cul es el tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema?
Solucin
Tasa de arribo:
=4/Hora
Tasa de Servicio:
=5/Hora
41
5
El problema tiene solucin
-
23 Araujo Cajamarca, Raul
1. Cul es el tiempo (%) de que el servidor est ocupado?
40.80 80%
5
2. Cul es el tiempo (%) de que el consultorio est vaco?
0 1 1 0.80 0.20 20%P
3. Cul es el nmero promedio de clientes en espera?
44
5 4sL
, es decir 3 en cola y 1 en servicio!!!!!
4. Cul es el nmero promedio de clientes en espera?
2 24 163.2
( ) 5(5 1) 5qL
Clientes
5. Cul es el tiempo promedio permanencia de un cliente en la cola?
4 40.80
( ) 5(5 4) 5qW
Horas
0.80*60 48qW Minutos
6. Cul es el tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema?
1 11
5 4sW
Hora
Ejemplo 02
El banco AB piensa abrir una ventanilla de servicio en un automvil para servicio a los clientes.
La gerencia estima que los clientes llegarn a una tasa de 15/Hora. El cajero que estar en la
ventanilla puede atender a clientes a una tasa de uno cada 3 minutos.
Suponiendo que las llegadas son Poisson y el servicio es Exponencial, encuentre:
a) La utilizacin del cajero
b) Numero promedio en la cola
c) El numero promedio en el sistema
d) El tiempo promedio de espera en la cola
e) El tiempo promedio de espera en el sistema
Solucin:
Tasa de arribo:
=15/Hora
-
24 Araujo Cajamarca, Raul
Tasa de Servicio:
1 cliente cada 3 minutos
20 clientes cada 60 minutos
20 clientes cada Hora
=20/Hora
150.75 1
20
El problema tiene solucin
a) La utilizacin del cajero
150.75 75%
20
b) Numero promedio en la cola
2 215 2252.25
( ) 20(20 15) 100qL
Entre 2 3 personas
c) El numero promedio en el sistema
153
20 15sL
, es decir 2 en cola y 1 en servicio!!!!!
Tambin:
2.25 0.75 3s qL L
* 15(0.20) 3s sL W
d) El tiempo promedio de espera en la cola
15 150.15
( ) 20(20 15) 100qW
Horas
0.15*60 9qW Minutos
e) El tiempo promedio de espera en el sistema
1 1 10.20
20 15 5sW
Horas
0.20*60 12sW Minutos
Tambin:
1 10.15 0.15 0.05 0.20
20s qW W
Horas
Ejemplo 03
-
25 Araujo Cajamarca, Raul
A un cajero automtico slo llegan un promedio de 10 vehculos por hora. Suponga que el
tiempo promedio de servicios para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas
y los de servicio son exponenciales, conteste las siguientes preguntas:
a) Cul es la probabilidad de que el cajero automtico se encuentre vaco?
b) Cul es el nmero promedio de automviles que esperan en la cola su turno?
c) Cul es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del Banco, incluyendo
el tiempo en el servicio?
d) En promedio, Cuntos clientes por hora sern atendidos por el cajero automtico?
Solucin:
Tasa de arribo:
=10/Hora
Tasa de Servicio:
1 cliente cada 4 minutos
15 clientes cada 60 minutos
15 clientes cada Hora
=15/Hora
10 21
15 3
El problema tiene solucin
a) Cul es la probabilidad de que el cajero automtico se encuentre vaco?
0
10 2 11 1 1 0.33
15 3 3P
b) Cul es el nmero promedio de automviles que esperan en la cola su turno?
2 210 1001.3
( ) 15(15 10) 75qL
Vehculos
c) Cul es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del Banco,
incluyendo el tiempo en el servicio?
1 1 10.20
15 10 5sW
Horas 12 Minutos
d) En promedio, Cuntos clientes por hora sern atendidos por el cajero automtico?
-
26 Araujo Cajamarca, Raul
Si el cajero trabaja al 100% Atender 15 vehculos por hora.
Pero dependiendo tambin de la tasa de arribo, solo trabaja a una razn de:
10 2
15 3
Luego como su tasa de servicio es de 15 clientes por hora y trabaja a una razn de 2/3,
entonces lo que atender en una hora ser=2
*15 103
Clientes.
Debe ser as, porque en el estado estable llegan 10 clientes cada hora y si la capacidad de
atencin es ms, necesariamente deben ser atendidos todos.
Ejemplo 04
Supongamos que todos los propietarios de automviles llenan sus tanques de gasolina cuando
estn exactamente a la mitad. En la actualidad, llegan un promedio de 7.5 automviles por hora
a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se necesita un promedio de 4 minutos para atender
un automvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio son
exponenciales.
1. Para el caso actual, calcule L y W
2. Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pnico. Para modelar
este fenmeno, suponga que todos los propietarios de automviles compran gasolina
cuando sus tanques les queda exactamente 3
4partes. Como cada conductor pone menos
gasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempo promedio de
servicio se ha reducido a 1
33
minutos. Cmo afect la compra de pnico a L y a W ?
Solucin
1.
-
27 Araujo Cajamarca, Raul
=7.5 Automvil/Hora
=?
04 Minutos 01 Automvil
60 Minutos 15 Automviles
01 hora 15 Automviles
=15 Automviles/Hora
7.51
15 7.5sL L
El nmero promedio de automviles por hora en el sistema es de 01.
1 1 1 608 Minutos
15 7.5 7.5 7.5sW
EL tiempo promedio de permanencia de un automvil en el sistema es de 08 minutos.
Se puede decir que en este caso, todo est bajo control y son improbables las largas colas.
2.
Falta
Queda
1/2
1/2
1/4
3/4
ANTES DESPUES
Como se puede ver, ahora los vehculos arribarn con mayor frecuencia, es decir llenarn
sus tanques con el doble de frecuencia.
=2(7.5) Automviles/Hora
=15 Automviles/Hora
X 15 X 15
-
28 Araujo Cajamarca, Raul
=?
Tasa de servicio= 1 10
33 3 Minutos/Automvil
10
3 Minutos 01 Automvil
10 Minutos 03 Automviles
01 hora 18 Automviles
=18 Automviles /Hora
150.83
18
Entonces calculamos lo que nos piden analizar:
155
18 15sL L
El nmero promedio de automviles por hora en el sistema es de 5.
1 1 1 Horas
18 15 3sW
1 *60=20 Minutos
3sW
EL tiempo promedio de permanencia de un automvil en el sistema es de 20 minutos.
15 5 Horas
( ) 18(3) 18qW
15 5 *60=16.6 Horas
( ) 18(3) 18qW
2 215 225=4.16 Automviles
( ) 18(18 15) 54qL
Ejemplo 05
En una aerolnea se debe revisar cada pasajero, as como su equipaje, para ver si trae armas.
Suponga que al aeropuerto de Gotham.City llega un promedio de 10 pasajeros/minuto. Los
tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener
una estacin que consiste en un detector de metales y una mquina de rayos x para el equipaje.
Cuando no est trabajando la estacin se necesitan dos empleados. Una estacin puede revisar
X 6 X 6
-
29 Araujo Cajamarca, Raul
un promedio de 12 pasajeros/minuto. El tiempo para revisar un pasajero es exponencial, con la
hiptesis que el aeropuerto solo tiene una estacin de verificacin, conteste las siguientes
preguntas:
a) Cul es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado?
b) En promedio, Cuntos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estacin?
c) En promedio, Cunto tiempo pasar el pasajero en la estacin de verificacin?
Solucin
=10 Pasajeros/Minuto
=12 Pasajeros/Minuto
10
112
Tiene solucin
a) 10
0.83 83%12
b) * 10*0.42 4.2 Pasajerosq qL W
22
2 222
1010101212 = =4.2 Pasajeros
10 21 2(12)1
12 12
qL
c)
1 5 1 60.50 Minutos
12 12 12s qW W
10 10 50.42 Minutos
( ) 12(12 10) 24 12qW
-
30 Araujo Cajamarca, Raul
Modelos de Lneas de espera de canales mltiples
Sistema de colas M/M/C/FIFO//
Caractersticas:
o Los clientes llegan de acuerdo a una distribucin Poisson con una Esperanza de
o El tiempo de atencin se distribuye exponencialmente
o Existe C servidores, cada uno atiende a una tasas de
clientes por unidad de tiempo
o Existe una poblacin infinita y la posibilidad de infinitas filas.
Lnea de espera
Servidores
Canales
Llegada de clientes
Clientes Atendidos
Medidas de desempeo:
Los investigadores han diseado frmulas para calcular las diferentes medidas de
rendimiento de un sistema de colas M/M/C, en trminos de los parmetros y . Estas
frmulas de nueva cuenta, se expresan en trminos de , que es el cociente de sobre
.
EJEMPLO 01
Sea el modelo M/M/2
Tasa de arribo 70 Camiones/Hora
Tasa de servicio 40 Camiones/Hora
Calcular las siguientes medidas de desempeo o rendimiento
a) Probabilidad de que ningn cliente est en el sistema ( 0P ) b) Numero promedio de clientes en la cola c) Tiempo Promedio de espera en la cola d) Tiempo promedio de espera en el sistema e) Numero promedio de clientes en el sistema
-
31 Araujo Cajamarca, Raul
f) Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar
Solucin:
El valor de: * 2*40 80C y 70
Vemos que:
701
* 80C
O *C
De modo que se puede llevar a cabo un anlisis de estado estable para este sistema.
Tenemos que: 70
1.7540
a) Probabilidad de que ningn cliente est en el sistema ( 0P )
0 1
0
1
*! !
n cc
n
Pc
n c c
1
0
1 1.752.75
! 0! 1!
nc
n n
0 2
1 1 1
3.0625(1.75) 2 2.75 12.252.752.75 *
0.252! (2 1.75)
P
0
10.06 7%
15P
Nos indica que aproximadamente 7% del tiempo la estacin est vaca.
b) Nmero promedio de clientes en la cola
1
02
1* *
( 1)! ( )
c
qL Pc c
2 2
2 2
(1.75) 1 (1.75) 1 1* *0.06 * *
1! (2 1.75) 1! (2 1.75) 15qL
5.717 6qL c) Tiempo Promedio de espera en la cola
q
q
LW
5.7170.0817 Horas 0.0817*60 4.902 5 Minutos
70
q
q
LW
El cliente debe esperar aproximadamente 5 minutos en la cola para ser atendido
d) Tiempo promedio de espera en el sistema
-
32 Araujo Cajamarca, Raul
1qW W
1
0.0817 0.1067 horas=0.1067*60=6.402 7 Minutos40
W
Para que el cliente abandone el sistema deben transcurrir aproximadamente 7 minutos
e) Nmero promedio de clientes en el sistema
*L W 70*0.10667 7.4669L
El valor indica que, en promedio, se tienen entre 7 y 8 clientes en el sistema, ya sea
atendindose o en espera.
f) Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar
0
1* * *
!
c
w
cP P
c c
21 2*(1.75) * *0.0667 0.5*3.0625*8*0.0667 0.8170752! (2 1.75)
wP
Este valor nos indica que aproximadamente
82%
de las veces un cliente que llega tiene
que esperar o, de manera equivalente, aproximadamente
18%
de las veces un cliente que
llega es atendido de forma inmediata.
Tambin razonando:
Clientes ( )p x
( )P x
0 0.0667 0.0667
1 0.1167 0.1834
2
0*!
n
nP Pn
n C
Para que haga cola un cliente debe haber por lo menos 2 clientes: osea los 2 servidores
ocupados como mnimo.
( 2) 1 ( 2) 1 ( 1)P x P x P x
1 0.183
0.8166 82%
-
33 Araujo Cajamarca, Raul
EJEMPLO 02
Los trabajadores de una fbrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de
calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de produccin.
Hay un gran nmero de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora,
siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribucin
exponencial de media 4 minutos, calcula el nmero medio de trabajadores en el control de
calidad si hay:
d) 2 Inspectores
e) 3 Inspectores
Anlisis econmico de lneas de espera
Caractersticas clave:
Para evaluar un sistema de colas en el que usted controla el nmero de servidores o su tasa de
servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costo y medidas de rendimiento:
a) El costo por servidor por unidad de tiempo ( sC )
b) L costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema( wC )
c) El numero promedio de clientes en el sistema ( sL ) o ( L )
Por cada alternativa que indique C servidores, calcule el siguiente costo total por unidad de
tiempo:
Costo total por
unidad de tiempo
con C servidores
=Costo total de
los servioders+
Costo total de la
espera
Costo total por
unidad de tiempo
con C servidores
=
Costo por servidor
por unidad de
tiempo
xCosto por cliente por
unidad de tiempo
Nmero de
servidores+
Nmero esperado de
clientes en el
sistema
x
* *s wCT C C C L
EJEMPLO 01
-
34 Araujo Cajamarca, Raul
Textil SAC. Tiene una planta de manufactura de tela en Ate. La planta tiene un gran nmero de
mquinas tejedoras que con frecuencia se atascan. Estas mquinas son reparadas basndose en
el procedimiento de la primera en entrar, la primera en ser revisadas por uno de los siete
miembros del personal de reparacin.
Durante varios recorridos, la gerente de produccin ha observado que, en promedio,
aproximadamente de 19 a 12 mquinas estn fuera de operacin en cualquier momento debido
a que estn atascadas. Ella sabe que contratar personal de reparaciones adicional bajar el
nmero de mquinas sin funcionar, lo cual traera como consecuencia un aumento en la
produccin, pero no sabe a cuantas personas ms debera contratar.
Como asesor administrativo, se le ha mandado a Usted para que ayude a determinar dicho
nmero.
Para modelar esta operacin se tuvo que reunir y analizar los datos correspondientes a los
procesos de llegadas y de servicio, estos son:
a) La aparicin de mquinas atascadas puede ser aproximada por un proceso de llegada de
Poisson con una tasa promedio de 25 por hora
b) Cada mquina atascada requiere una cantidad aleatoria de tiempo para su reparacin, que
puede ser aproximada por una distribucin exponencial con un tiempo promedio de servicio
de 15 minutos, lo cual, para cada servidor, significa una tasa promedio de 4 mquinas por
hora.
Adems el departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la
compaa $50/hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de
produccin perdida deber incluir costos explcitos, como la cantidad de ganancias no
obtenidas, y costos implcitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se
cumple con la fecha lmite de entrega.
Estos costos implcitos son difciles de estimar.
El departamento de contabilidad estima que la compaa pierde $100 por cada hora que
una maquina est fuera de operacin.
Solucin:
Tasa de arribo:
25 Maquinas/hora
Tasa de servicio
1( ) 15
MinutosE x
Mquina
1 4 4 Maquinas*
15 4 60 Minutos
4 Maquinas/hora
Medidas de rendimiento para el problema de Textil SAC. Con diferentes tamaos de
personal de reparacin
Medidas de desempeo
Personas
7 8 9 10 11
Utilizacin (%) 89.29 78.13 69.44 62.50 52.82
Numero esperado en la cola 5.85 1.49 0.54 0.21 0.08
-
35 Araujo Cajamarca, Raul
Numero esperado en el sistema 12.10 7.74 6.79 6.46 6.33
Probabilidad de que un cliente tenga que esperar 0.70 0.42 0.24 0.13 0.06
Tiempo esperado en la cola 0.23 0.06 0.02 0.01 0.003
Tiempo esperado en el sistema 0.48 0.31 0.27 0.26 0.25
Costos:
Costo por hora por persona: 50$sC
Costo por hora por cada : 100$wC
Mquina fuera de operacin
M/M/C=7
Costo total (CT )= (50$)*(7) (100$)*(12.10)
1559.73$ Por hora
Realizando clculos parecidos para cada uno de los tamaos de personal restante se tiene
como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la tabla
siguiente:
Costo por hora para diferentes tamaos de personal de textil SAC.
Tamao de personal
Numero esperado en el sistema(maquinas)
Costo por hora
Personal Mquina Total
7 12.10 50(7) 100(12.10) 1560
8 7.74 50(8) 100(7.74) 1174
9 6.79 50(9) 100(6.79) 1129
10 6.46 50(10) 100(6.46) 1146
11 6.33 50(11) 100(6.33) 1183
De los resultados, Usted puede ver que la alternativa que tiene el menor costo por hora,
$1129 es tener un total de nueve operadores. En consecuencia, su recomendacin a la
gerencia de produccin de textil SAC. Es contratar a dos reparadores adicionales, estos dos
nuevos empleados tendrn un costo de $100 por hora, pero este costo adicional est ms
que justificado por los ahorros que se tendrn con menos maquinas fuera de operacin. La
recomendacin reducir el costo por hora de $1560 a $1129, un ahorro de
aproximadamente #431 por hora, mayor que la cantidad que se cubre sus honorarios ($100).
Kamlesh Mathur PP. 737
EJEMPLO 02
El gerente de un banco debe determinar cuntos cajeros deben trabajar los viernes. Por
cada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en un costo
de 5 centavos de dlar. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto.
En promedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transaccin de un cliente. Al banco
le cuesta 9 dlares por hora la contratacin de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los
tiempos de servicio son exponenciales. Para reducir al mnimo la suma de los costos de
servicio y los de demora, Cuntos cajeros deben trabajar en el banco los viernes?
-
36 Araujo Cajamarca, Raul
Winston PP. 1145
Solucin:
Tasa de arribo:
2 Clientes/Minuto
Tasa de servicio:
1( ) 2E x
Minutos/cliente
1
2 Clientes/minuto
0.5 Clientes/Minuto
Adems:
21
( ) (0.5)( )C C
2
0.5C 4C
5C
As debe haber 5 cajeros como mnimo de lo contrario explotar el nmero de clientes.
A continuacin calcular para 5;6;....C Cajeros
EJEMPLO 03
Jim McDonald, Gerente del restaurante de hamburguesas McBurger, sabe que proporcionar
un servicio rpido es la clave de xito. Es posible que los clientes que esperan mucho vayan
a otro lugar la prxima vez. Estima que cada minuto que u cliente tiene que espera antes de
terminar su servicio le cuesta un promedio de 30 centavos en negocio futuro perdido. Por
lo tanto, desea estar seguro de siempre tener suficientes cajas abiertas para que la espera
sea mnima. Un empleado de tiempo parcial opera cada caja, obtiene la orden dl cliente y
cobra. El costo total de cada empleado es de $9 por hora.
Durante la hora del almuerzo, los clientes llegan segn un proceso de Poisson a una tasa
media de 66 por hora. Se estima que el tiempo necesario para servir a un cliente tiene
distribucin exponencial con media de 2 minutos.
Determine cuantas cajas debe abrir Jim durante este tiempo para minimizar su costo total
esperado por hora.
Frederick S. Hillier PP. 769
EJEMPLO 04
-
37 Araujo Cajamarca, Raul
La compaa Garret-TompKins tiene tres copiadoras para uso de sus empleados. Sin
embargo, debido a quejas recientes de la cantidad de tiempo que se pierden en espera de
que se desocupe una copiadora, la gerencia planea agregar una o ms.
Durante las 2000 horas de trabajo al ao, los empleados llegan al rea de copiados segn un
proceso de Poisson con tasa media de 40 por hora. Se cree que el tiempo que cada empleado
necesita una copiadora tiene una distribucin exponencial con media de 4 minutos.
El costo promedio de la productividad perdida debido al tiempo que pasa un empleado en
el rea de copiado se estima en 40$ por hora. La renta de cada copiadora es de 400$ por
ao.
Determine cuantas copiadoras debe tener la compaa para minimizar su costo total
esperado por hora.
Frederick S. Hillier PP. 769
NOMENCLATURA
MODELO M/M/1/FIFO//
MODELO M/M/S/FIFO//
: tasa de uso de cada servidor
U
*
Us
;
0P Probabilidad de que no existan
clientes en el sistema
0 1P
0 1
0
1
*! !
n ss
n
Ps
n s s
;
0 1 11
0 ! 0! 1! ( 1)!
n ss
n n s
-
38 Araujo Cajamarca, Raul
nP Probabilidad que n clientes estn
en el sistema
(1 ) nnP
0*!
n
nP Pn
;n s 0*
( !)*
n
n n sP P
s s
;
n s
L En promedio la cantidad de
clientes en el Sistema
1L
;L W *L W
qL Promedio de
clientes en la cola
2
1qL
; q qL W
1
02
1* *
( 1)! ( )
s
qL Ps s
W Tiempo promedio
transcurrido en el sistema
1W
;
LW
1qW W
;
LW
qW Tiempo
promedio de espera en la cola
qW
;
q
q
LW
q
q
LW
wP Probabilidad que un cliente que llega deba esperar para ser atendido
01wP P
0
1* * *
!
s
w
sP P
s s
Probabilidad que un cliente espere en el sistema ms de t
( )( ) tP W t e ( 1 )
01 1( ) ( )1
!(1 )
s t st P eP W t e
ss
s
Probabilidad que tiene una unidad de
que al llegar al sistema est ms de
t en la cola
(1 )( ) * tqP W t e
; 0t
(1 )
( ) (1 ( 0))s t
s
q qP w t P W e
; donde
1
0
( 0)s
q n
n
P W P
S: Servidores, C: Tamao de cola
NOMENCLATURA
MODELO M/M/1/FIFO/ /FINITA(m)
MODELO M/M/S/FIFO/C/FINITA
: tasa de uso de cada servidor
U
*
US
;
-
39 Araujo Cajamarca, Raul
0P Probabilidad de que no existan
clientes en el sistema
0 1P
0 1
0
1
*! !
n ss
n
Ps
n s s
;
0 1 11
0 ! 0! 1! ( 1)!
n cc
n n c
nP Probabilidad que n clientes estn
en el sistema
(1 ) nnP
0*!
n
nP Pn
;n c 0*
( !)*
n
n n cP P
c c
;
n c
L En promedio la cantidad de
clientes en el Sistema
1L
;L W *L W
qL Promedio de
clientes en la cola
2
1qL
; q qL W
1
02
1* *
( 1)! ( )
c
qL Pc c
W Tiempo promedio
transcurrido en el sistema
1W
;
LW
1qW W
qW Tiempo
promedio de espera en la cola
qW
;
q
q
LW
q
q
LW
wP Probabilidad que un cliente que llega deba esperar para ser atendido
01wP P
0
1* * *
!
c
w
cP P
c c
Probabilidad que un cliente espere en el sistema ms de t
( )( ) tP W t e ( 1 )
01 1( ) ( )1
!(1 )
c t ct P eP W t e
cc
c
Probabilidad que tiene una unidad de
que al llegar al sistema est ms de
t en la cola
(1 )( ) * tqP W t e
; 0t
(1 )
( ) (1 ( 0))c t
c
q qP w t P W e
; donde
1
0
( 0)c
q n
n
P W P
S: Servidores, C: Tamao de cola