01. teoria de colas lineas de espera (2)

1 Araujo Cajamarca, Raul

ASIGNATURA

Lneas de espera (Teora de Colas)

Semanas : 1 y 2

INVESTIGACIN

OPERATIVA II


Contenido 1. Teora de colas ...................................................................................................................... 3

Modelo de lneas de espera de un solo canal ............................................................................. 22

Sistema simple o M/M/1/FIFO/ / ........................................................................................ 22

Modelos de Lneas de espera de canales mltiples .................................................................... 30

Sistema de colas M/M/C/FIFO/ / ........................................................................................ 30

Anlisis econmico de lneas de espera ...................................................................................... 33


1. Teora de colas


Agradecimientos a:


Modelo de lneas de espera de un solo canal

Sistema simple o M/M/1/FIFO//

Lnea de espera

Llegada de clientes

Clientes Atendidos

Ejemplo 01

Los pacientes del consultorio llegan en forma aleatoria, de acuerdo con un proceso de Poisson.

El consultorio puede atender a los pacientes con una tasa promedio de 5 personas por hora; el

proceso de servicio tambin es Poisson. El promedio de llegadas de los pacientes es de 4 por

hora, el consultorio opera las 24 horas del dia.

a) Cul es el tiempo (%) de que el servidor est ocupado?

b) Cul es el tiempo (%) de que el consultorio est vaco?

c) Cul es el nmero promedio de clientes en espera?

d) Cul es el nmero promedio de clientes en espera?

e) Cul es el tiempo promedio permanencia de un cliente en la cola?

f) Cul es el tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema?

Solucin

Tasa de arribo:

=4/Hora

Tasa de Servicio:

=5/Hora

41

5

El problema tiene solucin


1. Cul es el tiempo (%) de que el servidor est ocupado?

40.80 80%

5

2. Cul es el tiempo (%) de que el consultorio est vaco?

0 1 1 0.80 0.20 20%P

3. Cul es el nmero promedio de clientes en espera?

44

5 4sL

, es decir 3 en cola y 1 en servicio!!!!!

4. Cul es el nmero promedio de clientes en espera?

2 24 163.2

( ) 5(5 1) 5qL

Clientes

5. Cul es el tiempo promedio permanencia de un cliente en la cola?

4 40.80

( ) 5(5 4) 5qW

Horas

0.80*60 48qW Minutos

6. Cul es el tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema?

1 11

5 4sW

Hora

Ejemplo 02

El banco AB piensa abrir una ventanilla de servicio en un automvil para servicio a los clientes.

La gerencia estima que los clientes llegarn a una tasa de 15/Hora. El cajero que estar en la

ventanilla puede atender a clientes a una tasa de uno cada 3 minutos.

Suponiendo que las llegadas son Poisson y el servicio es Exponencial, encuentre:

a) La utilizacin del cajero

b) Numero promedio en la cola

c) El numero promedio en el sistema

d) El tiempo promedio de espera en la cola

e) El tiempo promedio de espera en el sistema

Solucin:

Tasa de arribo:

=15/Hora


Tasa de Servicio:

1 cliente cada 3 minutos

20 clientes cada 60 minutos

20 clientes cada Hora

=20/Hora

150.75 1

20


a) La utilizacin del cajero

150.75 75%

20

b) Numero promedio en la cola

2 215 2252.25

( ) 20(20 15) 100qL

Entre 2 3 personas

c) El numero promedio en el sistema

153

20 15sL

, es decir 2 en cola y 1 en servicio!!!!!

Tambin:

2.25 0.75 3s qL L

* 15(0.20) 3s sL W

d) El tiempo promedio de espera en la cola

15 150.15

( ) 20(20 15) 100qW

Horas

0.15*60 9qW Minutos

e) El tiempo promedio de espera en el sistema

1 1 10.20

20 15 5sW

Horas

0.20*60 12sW Minutos

Tambin:

1 10.15 0.15 0.05 0.20

20s qW W

Horas

Ejemplo 03


A un cajero automtico slo llegan un promedio de 10 vehculos por hora. Suponga que el

tiempo promedio de servicios para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas

y los de servicio son exponenciales, conteste las siguientes preguntas:

a) Cul es la probabilidad de que el cajero automtico se encuentre vaco?

b) Cul es el nmero promedio de automviles que esperan en la cola su turno?

c) Cul es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del Banco, incluyendo

el tiempo en el servicio?

d) En promedio, Cuntos clientes por hora sern atendidos por el cajero automtico?

Solucin:

Tasa de arribo:

=10/Hora

Tasa de Servicio:

1 cliente cada 4 minutos

15 clientes cada 60 minutos

15 clientes cada Hora

=15/Hora

10 21

15 3


a) Cul es la probabilidad de que el cajero automtico se encuentre vaco?

0

10 2 11 1 1 0.33

15 3 3P

b) Cul es el nmero promedio de automviles que esperan en la cola su turno?

2 210 1001.3

( ) 15(15 10) 75qL

Vehculos

c) Cul es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del Banco,

incluyendo el tiempo en el servicio?

1 1 10.20

15 10 5sW

Horas 12 Minutos

d) En promedio, Cuntos clientes por hora sern atendidos por el cajero automtico?


Si el cajero trabaja al 100% Atender 15 vehculos por hora.

Pero dependiendo tambin de la tasa de arribo, solo trabaja a una razn de:

10 2

15 3

Luego como su tasa de servicio es de 15 clientes por hora y trabaja a una razn de 2/3,

entonces lo que atender en una hora ser=2

*15 103

Clientes.

Debe ser as, porque en el estado estable llegan 10 clientes cada hora y si la capacidad de

atencin es ms, necesariamente deben ser atendidos todos.

Ejemplo 04

Supongamos que todos los propietarios de automviles llenan sus tanques de gasolina cuando

estn exactamente a la mitad. En la actualidad, llegan un promedio de 7.5 automviles por hora

a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se necesita un promedio de 4 minutos para atender

un automvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio son

exponenciales.

1. Para el caso actual, calcule L y W

2. Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pnico. Para modelar

este fenmeno, suponga que todos los propietarios de automviles compran gasolina

cuando sus tanques les queda exactamente 3

4partes. Como cada conductor pone menos

gasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempo promedio de

servicio se ha reducido a 1

33

minutos. Cmo afect la compra de pnico a L y a W ?

Solucin

1.


=7.5 Automvil/Hora

=?

04 Minutos 01 Automvil

60 Minutos 15 Automviles

01 hora 15 Automviles

=15 Automviles/Hora

7.51

15 7.5sL L

El nmero promedio de automviles por hora en el sistema es de 01.

1 1 1 608 Minutos

15 7.5 7.5 7.5sW

EL tiempo promedio de permanencia de un automvil en el sistema es de 08 minutos.

Se puede decir que en este caso, todo est bajo control y son improbables las largas colas.

2.

Falta

Queda

1/2

1/2

1/4

3/4

ANTES DESPUES

Como se puede ver, ahora los vehculos arribarn con mayor frecuencia, es decir llenarn

sus tanques con el doble de frecuencia.

=2(7.5) Automviles/Hora

=15 Automviles/Hora

X 15 X 15


=?

Tasa de servicio= 1 10

33 3 Minutos/Automvil

10

3 Minutos 01 Automvil

10 Minutos 03 Automviles

01 hora 18 Automviles

=18 Automviles /Hora

150.83

18

Entonces calculamos lo que nos piden analizar:

155

18 15sL L

El nmero promedio de automviles por hora en el sistema es de 5.

1 1 1 Horas

18 15 3sW

1 *60=20 Minutos

3sW

EL tiempo promedio de permanencia de un automvil en el sistema es de 20 minutos.

15 5 Horas

( ) 18(3) 18qW

15 5 *60=16.6 Horas

( ) 18(3) 18qW

2 215 225=4.16 Automviles

( ) 18(18 15) 54qL

Ejemplo 05

En una aerolnea se debe revisar cada pasajero, as como su equipaje, para ver si trae armas.

Suponga que al aeropuerto de Gotham.City llega un promedio de 10 pasajeros/minuto. Los

tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener

una estacin que consiste en un detector de metales y una mquina de rayos x para el equipaje.

Cuando no est trabajando la estacin se necesitan dos empleados. Una estacin puede revisar

X 6 X 6


un promedio de 12 pasajeros/minuto. El tiempo para revisar un pasajero es exponencial, con la

hiptesis que el aeropuerto solo tiene una estacin de verificacin, conteste las siguientes

preguntas:

a) Cul es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado?

b) En promedio, Cuntos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estacin?

c) En promedio, Cunto tiempo pasar el pasajero en la estacin de verificacin?

Solucin

=10 Pasajeros/Minuto

=12 Pasajeros/Minuto

10

112

Tiene solucin

a) 10

0.83 83%12

b) * 10*0.42 4.2 Pasajerosq qL W

22

2 222

1010101212 = =4.2 Pasajeros

10 21 2(12)1

12 12

qL

c)

1 5 1 60.50 Minutos

12 12 12s qW W

10 10 50.42 Minutos

( ) 12(12 10) 24 12qW


Modelos de Lneas de espera de canales mltiples

Sistema de colas M/M/C/FIFO//

Caractersticas:

o Los clientes llegan de acuerdo a una distribucin Poisson con una Esperanza de

o El tiempo de atencin se distribuye exponencialmente

o Existe C servidores, cada uno atiende a una tasas de

clientes por unidad de tiempo

o Existe una poblacin infinita y la posibilidad de infinitas filas.

Lnea de espera

Servidores

Canales

Llegada de clientes

Clientes Atendidos

Medidas de desempeo:

Los investigadores han diseado frmulas para calcular las diferentes medidas de

rendimiento de un sistema de colas M/M/C, en trminos de los parmetros y . Estas

frmulas de nueva cuenta, se expresan en trminos de , que es el cociente de sobre

.

EJEMPLO 01

Sea el modelo M/M/2

Tasa de arribo 70 Camiones/Hora

Tasa de servicio 40 Camiones/Hora

Calcular las siguientes medidas de desempeo o rendimiento

a) Probabilidad de que ningn cliente est en el sistema ( 0P ) b) Numero promedio de clientes en la cola c) Tiempo Promedio de espera en la cola d) Tiempo promedio de espera en el sistema e) Numero promedio de clientes en el sistema


f) Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar

Solucin:

El valor de: * 2*40 80C y 70

Vemos que:

701

* 80C

O *C

De modo que se puede llevar a cabo un anlisis de estado estable para este sistema.

Tenemos que: 70

1.7540

a) Probabilidad de que ningn cliente est en el sistema ( 0P )

0 1

0

1

*! !

n cc

n

Pc

n c c

1

0

1 1.752.75

! 0! 1!

nc

n n

0 2

1 1 1

3.0625(1.75) 2 2.75 12.252.752.75 *

0.252! (2 1.75)

P

0

10.06 7%

15P

Nos indica que aproximadamente 7% del tiempo la estacin est vaca.

b) Nmero promedio de clientes en la cola

1

02

1* *

( 1)! ( )

c

qL Pc c

2 2

2 2

(1.75) 1 (1.75) 1 1* *0.06 * *

1! (2 1.75) 1! (2 1.75) 15qL

5.717 6qL c) Tiempo Promedio de espera en la cola

q

q

LW

5.7170.0817 Horas 0.0817*60 4.902 5 Minutos

70

q

q

LW

El cliente debe esperar aproximadamente 5 minutos en la cola para ser atendido

d) Tiempo promedio de espera en el sistema


1qW W

1

0.0817 0.1067 horas=0.1067*60=6.402 7 Minutos40

W

Para que el cliente abandone el sistema deben transcurrir aproximadamente 7 minutos

e) Nmero promedio de clientes en el sistema

*L W 70*0.10667 7.4669L

El valor indica que, en promedio, se tienen entre 7 y 8 clientes en el sistema, ya sea

atendindose o en espera.

f) Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar

0

1* * *

!

c

w

cP P

c c

21 2*(1.75) * *0.0667 0.5*3.0625*8*0.0667 0.8170752! (2 1.75)

wP

Este valor nos indica que aproximadamente

82%

de las veces un cliente que llega tiene

que esperar o, de manera equivalente, aproximadamente

18%

de las veces un cliente que

llega es atendido de forma inmediata.

Tambin razonando:

Clientes ( )p x

( )P x

0 0.0667 0.0667

1 0.1167 0.1834

2

0*!

n

nP Pn

n C

Para que haga cola un cliente debe haber por lo menos 2 clientes: osea los 2 servidores

ocupados como mnimo.

( 2) 1 ( 2) 1 ( 1)P x P x P x

1 0.183

0.8166 82%


EJEMPLO 02

Los trabajadores de una fbrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de

calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de produccin.

Hay un gran nmero de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora,

siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribucin

exponencial de media 4 minutos, calcula el nmero medio de trabajadores en el control de

calidad si hay:

d) 2 Inspectores

e) 3 Inspectores

Anlisis econmico de lneas de espera

Caractersticas clave:

Para evaluar un sistema de colas en el que usted controla el nmero de servidores o su tasa de

servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costo y medidas de rendimiento:

a) El costo por servidor por unidad de tiempo ( sC )

b) L costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema( wC )

c) El numero promedio de clientes en el sistema ( sL ) o ( L )

Por cada alternativa que indique C servidores, calcule el siguiente costo total por unidad de

tiempo:

Costo total por

unidad de tiempo

con C servidores

=Costo total de

los servioders+

Costo total de la

espera

Costo total por

unidad de tiempo

con C servidores

=

Costo por servidor

por unidad de

tiempo

xCosto por cliente por

unidad de tiempo

Nmero de

servidores+

Nmero esperado de

clientes en el

sistema

x

* *s wCT C C C L

EJEMPLO 01


Textil SAC. Tiene una planta de manufactura de tela en Ate. La planta tiene un gran nmero de

mquinas tejedoras que con frecuencia se atascan. Estas mquinas son reparadas basndose en

el procedimiento de la primera en entrar, la primera en ser revisadas por uno de los siete

miembros del personal de reparacin.

Durante varios recorridos, la gerente de produccin ha observado que, en promedio,

aproximadamente de 19 a 12 mquinas estn fuera de operacin en cualquier momento debido

a que estn atascadas. Ella sabe que contratar personal de reparaciones adicional bajar el

nmero de mquinas sin funcionar, lo cual traera como consecuencia un aumento en la

produccin, pero no sabe a cuantas personas ms debera contratar.

Como asesor administrativo, se le ha mandado a Usted para que ayude a determinar dicho

nmero.

Para modelar esta operacin se tuvo que reunir y analizar los datos correspondientes a los

procesos de llegadas y de servicio, estos son:

a) La aparicin de mquinas atascadas puede ser aproximada por un proceso de llegada de

Poisson con una tasa promedio de 25 por hora

b) Cada mquina atascada requiere una cantidad aleatoria de tiempo para su reparacin, que

puede ser aproximada por una distribucin exponencial con un tiempo promedio de servicio

de 15 minutos, lo cual, para cada servidor, significa una tasa promedio de 4 mquinas por

hora.

Adems el departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la

compaa $50/hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de

produccin perdida deber incluir costos explcitos, como la cantidad de ganancias no

obtenidas, y costos implcitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se

cumple con la fecha lmite de entrega.

Estos costos implcitos son difciles de estimar.

El departamento de contabilidad estima que la compaa pierde $100 por cada hora que

una maquina est fuera de operacin.

Solucin:

Tasa de arribo:

25 Maquinas/hora

Tasa de servicio

1( ) 15

MinutosE x

Mquina

1 4 4 Maquinas*

15 4 60 Minutos

4 Maquinas/hora

Medidas de rendimiento para el problema de Textil SAC. Con diferentes tamaos de

personal de reparacin

Medidas de desempeo

Personas

7 8 9 10 11

Utilizacin (%) 89.29 78.13 69.44 62.50 52.82

Numero esperado en la cola 5.85 1.49 0.54 0.21 0.08


Numero esperado en el sistema 12.10 7.74 6.79 6.46 6.33

Probabilidad de que un cliente tenga que esperar 0.70 0.42 0.24 0.13 0.06

Tiempo esperado en la cola 0.23 0.06 0.02 0.01 0.003

Tiempo esperado en el sistema 0.48 0.31 0.27 0.26 0.25

Costos:

Costo por hora por persona: 50$sC

Costo por hora por cada : 100$wC

Mquina fuera de operacin

M/M/C=7

Costo total (CT )= (50$)*(7) (100$)*(12.10)

1559.73$ Por hora

Realizando clculos parecidos para cada uno de los tamaos de personal restante se tiene

como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la tabla

siguiente:

Costo por hora para diferentes tamaos de personal de textil SAC.

Tamao de personal

Numero esperado en el sistema(maquinas)

Costo por hora

Personal Mquina Total

7 12.10 50(7) 100(12.10) 1560

8 7.74 50(8) 100(7.74) 1174

9 6.79 50(9) 100(6.79) 1129

10 6.46 50(10) 100(6.46) 1146

11 6.33 50(11) 100(6.33) 1183

De los resultados, Usted puede ver que la alternativa que tiene el menor costo por hora,

$1129 es tener un total de nueve operadores. En consecuencia, su recomendacin a la

gerencia de produccin de textil SAC. Es contratar a dos reparadores adicionales, estos dos

nuevos empleados tendrn un costo de $100 por hora, pero este costo adicional est ms

que justificado por los ahorros que se tendrn con menos maquinas fuera de operacin. La

recomendacin reducir el costo por hora de $1560 a $1129, un ahorro de

aproximadamente #431 por hora, mayor que la cantidad que se cubre sus honorarios ($100).

Kamlesh Mathur PP. 737

EJEMPLO 02

El gerente de un banco debe determinar cuntos cajeros deben trabajar los viernes. Por

cada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en un costo

de 5 centavos de dlar. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto.

En promedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transaccin de un cliente. Al banco

le cuesta 9 dlares por hora la contratacin de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los

tiempos de servicio son exponenciales. Para reducir al mnimo la suma de los costos de

servicio y los de demora, Cuntos cajeros deben trabajar en el banco los viernes?


Winston PP. 1145

Solucin:

Tasa de arribo:

2 Clientes/Minuto

Tasa de servicio:

1( ) 2E x

Minutos/cliente

1

2 Clientes/minuto

0.5 Clientes/Minuto

Adems:

21

( ) (0.5)( )C C

2

0.5C 4C

5C

As debe haber 5 cajeros como mnimo de lo contrario explotar el nmero de clientes.

A continuacin calcular para 5;6;....C Cajeros

EJEMPLO 03

Jim McDonald, Gerente del restaurante de hamburguesas McBurger, sabe que proporcionar

un servicio rpido es la clave de xito. Es posible que los clientes que esperan mucho vayan

a otro lugar la prxima vez. Estima que cada minuto que u cliente tiene que espera antes de

terminar su servicio le cuesta un promedio de 30 centavos en negocio futuro perdido. Por

lo tanto, desea estar seguro de siempre tener suficientes cajas abiertas para que la espera

sea mnima. Un empleado de tiempo parcial opera cada caja, obtiene la orden dl cliente y

cobra. El costo total de cada empleado es de $9 por hora.

Durante la hora del almuerzo, los clientes llegan segn un proceso de Poisson a una tasa

media de 66 por hora. Se estima que el tiempo necesario para servir a un cliente tiene

distribucin exponencial con media de 2 minutos.

Determine cuantas cajas debe abrir Jim durante este tiempo para minimizar su costo total

esperado por hora.

Frederick S. Hillier PP. 769

EJEMPLO 04


La compaa Garret-TompKins tiene tres copiadoras para uso de sus empleados. Sin

embargo, debido a quejas recientes de la cantidad de tiempo que se pierden en espera de

que se desocupe una copiadora, la gerencia planea agregar una o ms.

Durante las 2000 horas de trabajo al ao, los empleados llegan al rea de copiados segn un

proceso de Poisson con tasa media de 40 por hora. Se cree que el tiempo que cada empleado

necesita una copiadora tiene una distribucin exponencial con media de 4 minutos.

El costo promedio de la productividad perdida debido al tiempo que pasa un empleado en

el rea de copiado se estima en 40$ por hora. La renta de cada copiadora es de 400$ por

ao.

Determine cuantas copiadoras debe tener la compaa para minimizar su costo total

esperado por hora.

Frederick S. Hillier PP. 769

NOMENCLATURA

MODELO M/M/1/FIFO//

MODELO M/M/S/FIFO//

: tasa de uso de cada servidor

U

*

Us

;

0P Probabilidad de que no existan

clientes en el sistema

0 1P

0 1

0

1

*! !

n ss

n

Ps

n s s

;

0 1 11

0 ! 0! 1! ( 1)!

n ss

n n s


nP Probabilidad que n clientes estn

en el sistema

(1 ) nnP

0*!

n

nP Pn

;n s 0*

( !)*

n

n n sP P

s s

;

n s

L En promedio la cantidad de

clientes en el Sistema

1L

;L W *L W

qL Promedio de

clientes en la cola

2

1qL

; q qL W

1

02

1* *

( 1)! ( )

s

qL Ps s

W Tiempo promedio

transcurrido en el sistema

1W

;

LW

1qW W

;

LW

qW Tiempo

promedio de espera en la cola

qW

;

q

q

LW

q

q

LW

wP Probabilidad que un cliente que llega deba esperar para ser atendido

01wP P

0

1* * *

!

s

w

sP P

s s

Probabilidad que un cliente espere en el sistema ms de t

( )( ) tP W t e ( 1 )

01 1( ) ( )1

!(1 )

s t st P eP W t e

ss

s

Probabilidad que tiene una unidad de

que al llegar al sistema est ms de

t en la cola

(1 )( ) * tqP W t e

; 0t

(1 )

( ) (1 ( 0))s t

s

q qP w t P W e

; donde

1

0

( 0)s

q n

n

P W P

S: Servidores, C: Tamao de cola

NOMENCLATURA

MODELO M/M/1/FIFO/ /FINITA(m)

MODELO M/M/S/FIFO/C/FINITA

: tasa de uso de cada servidor

U

*

US

;


0P Probabilidad de que no existan

clientes en el sistema

0 1P

0 1

0

1

*! !

n ss

n

Ps

n s s

;

0 1 11

0 ! 0! 1! ( 1)!

n cc

n n c

nP Probabilidad que n clientes estn

en el sistema

(1 ) nnP

0*!

n

nP Pn

;n c 0*

( !)*

n

n n cP P

c c

;

n c

L En promedio la cantidad de

clientes en el Sistema

1L

;L W *L W

qL Promedio de

clientes en la cola

2

1qL

; q qL W

1

02

1* *

( 1)! ( )

c

qL Pc c

W Tiempo promedio

transcurrido en el sistema

1W

;

LW

1qW W

qW Tiempo

promedio de espera en la cola

qW

;

q

q

LW

q

q

LW

wP Probabilidad que un cliente que llega deba esperar para ser atendido

01wP P

0

1* * *

!

c

w

cP P

c c

Probabilidad que un cliente espere en el sistema ms de t

( )( ) tP W t e ( 1 )

01 1( ) ( )1

!(1 )

c t ct P eP W t e

cc

c

Probabilidad que tiene una unidad de

que al llegar al sistema est ms de

t en la cola

(1 )( ) * tqP W t e

; 0t

(1 )

( ) (1 ( 0))c t

c

q qP w t P W e

; donde

1

0

( 0)c

q n

n

P W P

S: Servidores, C: Tamao de cola

01. teoria de colas lineas de espera (2)

Documents