definisi: bernoulli perilaku distribusi...
TRANSCRIPT
1
Definisi: Bernoulli
Percobaan Bernoulli: Hanya terdapat satu kali percobaan dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1-p
Peluang Sukse:
Peluang Gagal:
pppXP =−
== −1111
1)1()1(
pppXP −=−
== − 1)1()0( 0101
0
Perilaku Distribusi Bernoulli
E(X) = p
Var (X) = p(1-p)
)1(
)]1(01[)]1(01[
)()()(
2
222
22
pp
pp
pppp
YEYEYVar
−=−=
−+−−+=
−=
Contoh Binomial
Melempar koin sebanyak 5 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 3 kepala?
Catatan:- Percobaan Diskrit- Mempunyai keluaran biner (ya dan tidak atau 1 dan 0)- mempunyai peluang yang sama tiap kali lemparan
Penyelesaian:
Satu cara mendapat tepat 3 kepala: HHHTTPeluangnya adalah:P(heads)xP(heads) xP(heads)xP(tails)xP(tails)
=(1/2)3 x (1/2)2
Cara lain mendapatkan tepat 3 kepala: THHHTPeluangnya = (1/2)1 x (1/2)3 x (1/2)1 = (1/2)3 x
(1/2)2
Contoh Binomial
2
Jadi, (1/2)3 x (1/2)2 merupakan peluang untuk mendapatkan tepat 3 kepala dan 2 ekor
Sehingga, peluang untuk mendapat 3 kepala dan 2 ekor (sejauh yang kita dapat sekarang) adalah:1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + …..
Namun, terdapat lebih dari satu pengaturan 3 kepala dan 2 ekor. Ada berapa cara untuk mengaturnya?
Contoh Binomial
Keluaran PeluangTHHHT (1/2)3 x (1/2)2
HHHTT (1/2)3 x (1/2)2
TTHHH (1/2)3 x (1/2)2
HTTHH (1/2)3 x (1/2)2
HHTTH (1/2)3 x (1/2)2
HTHHT (1/2)3 x (1/2)2
THTHH (1/2)3 x (1/2)2
HTHTH (1/2)3 x (1/2)2
HHTHT (1/2)3 x (1/2)2
THHTH (1/2)3 x (1/2)2
HTHHT (1/2)3 x (1/2)2
10 pengaturanx (1/2)3 x (1/2)2
Peluang dari tiap pengaturan yang unikCat: peluangnya sama
cara untuk mengatur 3 kepala dalam 5 percobaan
5
3
5C3 = 5!/3!2! = 10
Contoh Binomial
∴∴∴∴P(3 kepala dan 2 ekor) = x P(heads)3 x P(tails)2 =
10 x (½)5=31.25%
5
3
Atau lihat tabel Binomialx
p(x)p(x)p(x)p(x)
0000 3333 4444 55551111 2222
Binomial distribution function:
p(x)p(x)p(x)p(x)
banyaknya kepala
X= banyaknya keluar kepala dari 5 kali percobaan
3
Distribusi Peluang Binomial• Banyak yang tepat dari sejumlah observasi (percobaan),
n– Contoh: koin dilempar 15 kali, 20 pasien, 1000 orang
yang ikut survei
• Peubah Acak Biner– Contoh: kepala atau ekor, rusak atau baik, laki atau
perempuan– Secara umum disebut “sukses” atau “gagal”– Peluang sukses adalah p, peluang gagal adalah 1 – p
• Untuk setiap observasi percobaan adalah konstan– Contoh: pe;uang mendapatkan kepala adalah sama
untuk tiap percobaan
Distribusi Binomial, secara umum
XnXn
Xpp −−
)1(
1-p = peluang gagal
p = peluang sukses
X = # banyak sukses dari n percobaan
n = banyak percobaan
Bentuk umum dari distribusi Binomial adalah:
Definisi: Binomial
• Binomial: Misal terdapat n percobaan yang saling bebas, dan tiap percobaan menghasilkan sebuah sukses dengan peluang pdan gagal dengan peluang 1-p. Jika total banyaknya sukses, X, merupakan peubah acak Binomial dengan parameter n dan p.
• Penulisannya adalah: X ~ Bin (n, p) {dibaca: “X iberdistribusi binomial dengan parameter n dan p}
• Dan peluang bahwa X=r (i.e., terdapat tepat r sukses) adalah:
rnrn
rpprXP −−
== )1()(
Jika X mengikuti distribusi binomial denganparameter n dan p: X ~ Bin (n, p)
Maka:
µx= E(X) = npσx
2 =Var (X) = np(1-p)σx =SD (X)= )1( pnp −
catatan: varians akan
berada antara
0*N - 0.25 *N
p(1-p) mencapai maks
saat p=.5
P(1-p)=.25
Definisi: Binomial
4
For X~Bin (N,p)
∑∑
∑
==
=
−====
−==
n
i
n
i
n
iBernouilli
pnpYVarYVarXVar
ppYVarYX
11
1
)1()()()(
)1()(;
Definisi: Binomial
14
Distribusi Geometric
• Distribusi geometric biasanya diterjemahkan sebagai banyaknya percobaan sampai kejadian gagal terjadi.
• Banyaknya koin dilempar sampai keluar ekor untuk pertama kalinya.
• Peubah acak X adalah banyaknya lemparan samapi ekor muncul pertama kalinya
• Peluang muncul kepala (sukses) adalah p.
Fungsi peluang dari distribusi Geometric
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )pppppP
ppP
pP
X
X
X
−=−=
−=−=
113
12
11
2
( ) ( )ppxP xX −= − 11
seterusnya.
Jadi, ( ) ?XP x = (x bil. Bulat positif)
Distribusi Geometric
16
• Perhatikanbahwa tidak terdapat batas atas untuk X
• Ingat penjumlahan semua peluang adalah 1:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 11
111
11
0
1
1
1
1
1
=−
−=−=
−=−=
∑
∑∑∑∞
=
∞
=
−∞
=
−∞
=
pppp
ppppxP
x
x
x
x
x
x
xX
Deret Geometric
Distribusi Geometric
5
17
0
1
1x
x
pp
∞
=
=−∑ (| | 1)p <
Turunkan kedua sisi terhadap p:
12 2
0
1 11 1
(1 ) (1 )x
x
xpp p
∞−
=
= − × × − =− −∑
Distribusi Geometric
• lanjutan
Expectation:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ppp
xpppxpxxPx
x
x
x
xX
−=
−−=
−=−= ∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
1
1
1
11
11
2
1
1
1
1
1
Distribusi Geometric
• Lanjutan
Variance:
( ) ( )21 p
pXV
−=
Distribusi Geometric Contoh: Geometric
Sebuah dadu dilempar sampai mata 6 didapatkan. Jika X adalah banyaknya percobaan sampai sukses didapatkan, maka tabel peluangnya adalah
X 1 2 3 4 5 n
P(X=x)
1
6
5
6
1
6
5
6
2
1
6
5
6
3
1
6
5
6
4
1
6
5
6
n−11
6
Gunakan tabel diatas untuk mendapatkan mean dan varians.Apa hasilnya?
6
Distribusi Negative Binomial (Pascal’s)
Definisi (versi pertama):
Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r sukses dalam x percobaan, dimana sukses terakhir merupakan akhir percobaan. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.
Distribusi Negative Binomial (Pascal’s)
Definisi (versi kedua):
Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r gagal dalam x percobaan sebelum sukses yang ke-r. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.
Apa yang dimaksud Negatif?
Nama Negatif dimaksudkan sebagai aplikasi bentuk umum Teorema Binomial dengan Pangkat Negatif
Negatif Binomial
Mean
Varians
7
Negatif Binomial (Contoh)
Sebuah dadu yang adil dilempar sampai mata 6 (enam) keluar 2 kali. Tentukan peluang bahwa 5 kali lemparan dibutuhkan untuk mendapatkan 2 kali angka 6.
Hypergeometric
Distribusi Hypergeometric terjadi ketika n sampel diambil tanpa pengembalian dari sebuah populasi (N). Banyaknya sukses pada populasi diberikan oleh r. Banyaknya sukses pada sampel diberikan oleh y.
Dimana max (0, n+r-N) ≤ k ≤min (r,n)
Hypergeometric
Mean
E(Y) = np = nr/N
Varians
Hypergeometric
Contoh: 10 kartu diambil dari satu paket kartu. Tentukan peluang terdapat tepat 1 ace dari 10 kartu.
N = 10, r = 4, k = 1, N = 52, p = 1/13