daftat - universitas udayana...s€tiap modul merupakan submodut da suatu modul bersih rartika sdil,...

DAFTAT ISIi,MI Volume 11 No 1 AFdl 2015

PENGAIITAIT REDA{ST

UCAPAN TER]MA KASIIi UNTUII MITTTA AES?AiI

P.njublai,n ds ri Su6&0^ri,s Fzgoroh : semM ,$dunslna,

f,la!ilila.i.r(G-Fp,t3n Masa Srudi Mlha:i!Ea FMlp{ LhpadanAI.6n root 2006 d€nean Mengsxbaka n Meiode.tdattttation and R.Eressiot arrces tCARatoreh :t,raAp .K Nun,lcu*i@xe;ntuh*_dPmbokaln^P€rDrlrrlnm [rsr.d. pcD]ukLiD M,kn,ri ka dlh:lDel1m sl.:teq 1biuLhl:Deduf,tiru bf ur rraresnl&uLulmp@ Mdbulliikm xonpp A{abe A5rsk odD 'Mdodswair'msrn Mrrroiik FrflPA Itutobn I EIis $lsbita, iah3ntlssih, ftnu Hadi

Ecrcentnsi Mutxsi I(ode c€ndit Stindd B€rd.skD Basoleh: rssn Ais,n, Edi Kuniadl E@ c€n a, NurDt flla

[email protected] denEan Tcorcm, Lnes,rcn-xjk4aMengglnaksn M€bdc Btrirsbq dan Meiode MnItuUFh : EG Idfu WUIAI \tiA TFfri NAU

Pon€r,p!n M€tode H u ossriaD ilalu peheniutr nfi '#tT",l:"r,.:.1,'J':i,".iiiT,,f !,.1f;It:,:iiff T.".oleh : Marisa Yulttiala, Diar Chaenni, EnAn le.mma

:e.tu| Modu I ir{nFru Submodut d,Ii suru Modut Ba:i hukh: lifu sui. Jnd6n En rawunyinb

:,'"Hfr'J;i,",i};i*Liili,ii"*:T'i#!t#i,:i,:**-Obh: A6rikuntui, SiM ockrina, Endr Setyo Cahyono

S€tiap Modul merupakan Submodut da Suatu Modul Bersih

rartika Sdil, Indah Emilia Wijay.nti,\I!tusan M!6d*a.Fah'lias Nflpa univEsib3 udamm

Xmpur Bukii Jimb,m. Baduns, Bstixnan: sd lqrrk"r(atrmft idr})le 0m sn J r,usrjm F ku. s MrpA UN*.b , mr"n Mdoa

Se[]p UilE l6htr PoE: xLS 2r yos€klm -281rujt ild wiirvrhriail5rrdllm

A&STRAI{dsufu'iqRdla'bb!lutihi!

di,rubledturr ullnrnhmsnhere.*d&n;Etuereh".,&q!r,;r".r;"gn i"a*sr"-*me

ABS'I:RACI

q*t,'t,vl,.'"."-',.^-"

Iada keseruuhaD nrtisan ini, ring ya.s diguhnka. meruDaL!. ti.s densan elonen 6atum, danyang dinaksud hodul adal,h modul knmn, sedanglan nobsi U(,t)dimk dken grup ymgelem.n-elemmyo meNpskan eleEen nnii dnri suatu .ins S.SelmjLrtnya, jika diheilmrimpuan ,{ dan 14 suaiu lLnesi g : ,4 + Mdan suatu himpunan tak tGong ,,E ,, , mlllambsi gli dimrLsDdrai pembatssan runssi, pad. hiDlu.an ,,t,yajlu runssi ymg DemotaLs.hinDumn ,4 ke hinpuD,h s(,,1)€,{.1. ribih tanjut llgi himouDan sehua bilmgan bulai,bilansn rasion.l ilan bilangln butat nodnto , .e.ara bertururlurut dinotasitian dengan Z, e

Ni.holsn 0077) dstam Nicholson da. Alou t6l moDberikan detnisi bahsa suliu ring Rdi\, a\s ., v or. I smb' o "cLiup atdtrdl oa,i n 1d F m, pai,1 dpm"r @,dh.,cda 1c.d.,irrl ,q d,ld. "r,,..rgndk.r,l,1 oc\bdo,bia d,6,.q .s ,bn s"bsg,i;s.,to"ajumlrh{ sur', "l"m r d,mpo,.n ds' sD'. ;aen r tsri ,irg R. (omr w_n.dl_pdbi,i\,n r fir. oah+L "usr., mooL ,,s .uc n di\sB'ian;-",1 spoh .,;_rlndomofism, dirimodul ERbut meruoikanLncbs6 hDiLeikm rins E, n.hodul ,tr dan aksiom aksiohar (c1) setiap subhodul di jr casnsi,t dslsnutu sku juDrah lans ns di,Y, (C2) Seiirp eubmodut darirlf yang isoDoris dengansuriusurrL ju mhn hnssuns d*i n jus, he.upakm suku jL,mhb langsune dali M, (co rik;A dan BkcdDan$ nenpstrrD suku juhhh langsuns d,i rd din ,4^r={o} ML! ,4@rjugamaupaldn sutn jumlah langNng dari M. suaru moduL M dikaiakan kontinu apahnam " \i aksumsa(id r '. I ds, Cr,. mmi v r,.B -"D:r.r.. , b' ,.3.orn m, Ls' "ooJ r?"os,.^,..i,u ryonam,d is1 \4ut.c, ,s..c,. illo " d/.1' menuhnkks, b3.^" -, ao -odJ. k".,1u."'p,t,". moout b-r,l _m t4

t,r q.,r. t,r+ ir Nrq,rkin D ,t k,n u ti trr6 D$xfi;.

.itrrrn,k;tr. bahtrr ntu ,q rrL,,t rt4{r llinjDkiD 1,. dxlrD n,{h or\t r,o.ii :errxllriuq, Li,o hrritdxriD.!,lni (iL;

H.rrlDr rugi rr1r,,rlrort.h sx rl,,t .iji \,o{.(drln blrr)dr s,, ;tris!,,,,1 ,i rLtr rrlhir s.tixl

rl i mi,lrl lilli,J 1ll.!$nrltt 11.r. if irli ;riir n! rLtrl rFkinr'nu" uqqri!tri DrDdntr,(\irr ratrDiil. d d/. r)

H{Lknr irn dirn,,1 i r r).ho.rDr [o.e) !tr r! !L - ] f l r,il jir nLiDcliDjsr r. rrrrft,, r[x ]? ddr Drttrl titxitqlttttirt;

t\r rttt :t!1dn )!rq nii,nql: )+\l n rnu! hanorqrrn!:B+\1t!tq,t,)t\l

rr,.rrx^ ilrh4\,tfk.Li {r. r I

conioh r. hr Nl,tr( r, fc,r,ir,ii i,lrLrr!1t I'x.re.n,r, ,lrl DFkrnludrtt f!,1,I N.nf,+,u nL3n] D(h,t mrp.Lrtr oqtlLt julnir.l(,,ur DH,q{u,.'1,.tr, Drt rrn irir r(rlurj u trrodnL

'r..,qni ,. ((rii.rir ltler) lHlArrrr.. rr, i.rlr st.tt t!-r ir \t r!tht.r11,.h rtr\4jtl,! an\r: ntitr nn,t rt)rtrtr;i1,t4trtttir\)at , titr\t ti,..tt.; \ \rntl

oq,q , Df,{jtrr Lk.L l

l)LD.nlrLkirhnnrLrll,ilnLll(lxfrri.irLxnglrrrlLlNrzh4rdJnli,zr:Toletrk.r.iilr/r i. ", )hdrl(xD i,l*ja,g hDDomo rlnr /r11r _i mlr

h.Nnorl.Da rn.nrrr.n rnlL.ltrLirn,:.,2 llniLlnr

t". !r.-!.r:

-I lrl r!i, ,rr hnr I rqt,,lQ i,,jekursrli Ii1n1 Lr r,.,li, L, DL r' z sqrL.r LDi ndrk iij, kr I

s,j.,h lfn nLe.l dtuL lloDrnr,rlral -zLl lni.}l;xri/ll:)=: r trl*,{]..7 i< 2:z!!,! dnrH.ltrN./.

/ir Lr= 7l])=1€.r(r)

LLH'r'o /l lqud,ir r i,,r,ru!idxf:z lre zInrfrdik:i drrsrn j l,ur)morisriI.ILLL {ipar dirr.rlri:. Lrdr*.].,,.r i,,i,,7 n lrL,r7l)L'txn modrlr!.t t

Perhaliltan bahu Zmodul Zvang bukah hodul inrekrirndupr]! D uhmodurd jZ.Dodur ayllg odupxl$ Eodur inlckril Dd'gxn k.i, lain znrdul z drpdr drsisipkrn ke d{lrii zmoJrl Q seldsai srbhodul. Sehubudsrn dengan hrl teBebut. benkut ni diberikm snanrEdens ]€ns renFmin bih{! seb3Ens modul da}ai dGisipLrn Lc dolan aru nodnl

Tco..D! 6. sdio, Ddd n..apnLdn eLbtna/tu t dati smLu tna.tu t iaj.^tit.lllrk\inkl]!d.at,l3))SeLaii trrdul iojekhr, jusx tlik"ml ldrnr nodll qrosi injcklil rang msuprkrn scncralGasi..r" , Lb., \s i, " " r -1!,,, fl ., i.:

.ttui-injthtif awbita tntuh {tidp:,4 + Mk,doplt hornrLot lem

sori4 Dodul injek.r,n!rupakan DoduL qksi mj.khl oorioh LaD daritrndulqrqir,ii.krilrdrhhnodulz,ri$ rg z.

R.nad M. itladrt ]t dinannaond uttrh sttiop htnlornatc o fr,.r.,rg,-/(Lnn.{11)

Selanj,tnlr, dibahatr nrcnBenai Dodul kdntinu dan qx,ri koo6Durctnh diberixm detinisi modut konrinu daD q,asi koniinn. tseikut ini

nr i.u &n q La3i.r onri.r.

T€oremr 3, Dir.rilon F ,,odll tl Jika M tp,n(nthi tkiana lc2Jdfrliono lci). (NohaDnad dxD \ILLll.!, 1-l)

odrt kon.inu nerupakan modut qadsi koniinu

Beriku ini dillikrn con.oh ing. lans aDabila dipmdrng !.Llga

conior s. Jik n rnrs resuler (von NeNnrnD) d,n IsuaN ideatd!L!m nns fi, Daka IidealeleDcn idenporon dai merupakan snle jLnnlah lsngsuns deri

n. oaD. tll) oler traEm irn. r rans diDmdRng sehasai modut kausn aias di nra sendii

T€orem 10. rJniLA s.tdp n,r, r*rrLo R ptn)ordu p!.n)ataan di botrahtrl)

3 Rtr,n,n?nr,,ioArioDr(C1).lerdasarkln'1'eoFma 10. bsikui nri diherir{an derinisi rihs rg!re.kootiDu kanrD

Definisi rr. sldr/ rri{ rus,tur (hn N(rnnth) ditstohon hontiru hanat apoiila rlen. hisatoh frt tLoti ?huitahEi @do 't'emid r o.(LRm. Ir)lebih luni,t lacl. hsikut inl diboril{rD .Da.u qirai laD dari modrl k.ntinu.

jbntnh kultnE duti ltdtu nad hantn Nla rL? lpahar arill

!eikr.!a. untik Tcoremtr 13 laDpxi t6. dit,s kan ins n

TeoremarS.Ji,,o/anod!/nr,ntinu,rnatat\ta.LnutJdotirondotitnL!Sdartni!bkt-S/ m-r,oloa fu! /LluAr tlluhimed tlJ llr lcr llr

Teoreaa b.-liho Rr\\tuL tthsi-hanttr1, ntona eLotLn.attalh i.lthparn .tdri t q fahtot'. oao d,.-,

reoreba 16. ri^a n nodut M ti,tttu. Mte lins t'ohtn s/^'",""*^,,,* *.^,eono..(Nuh!med d{n IIrllo, t;l)

SehuhlbsD dcDeDr nbal ratu riDg rhs aerupakrn himpulm hasiin d i rdikil JmbsoD riirstexebnr drlam h,itnnn\a densan elemd llcncn nbn,pouh

'ihP rrki)rn\r drn sihi beEih ing

Teorema 16,,ri6.rton lidedl dati suatu rins R.tar 1eddri in{ A riha nM tahtar /r--,,.r." ',,e .ma,

% a.,, ai",et*, .",j"a;,t"ncr ntarpakr .ton inst.xin.(Hrn d$ \irhol$n. lzl)

J I R) d.Lla I Jt Rt ru] ilut ta!,hsondan .krntt el.\tn i,1. Nt.n ttuti

R. aka t lc R nolqdhon tins

" Iei.dc Pcnelitia.

P.nelitirD ,ni meruprkrn $udi herantr. Scb,g,i iinja{.n pustaka dai oenll'ri inidiLeulin scbr$L rre kui Dsrni,idrli $,g drD eleDer b.r.irl dipcblch d \i.holson (1977)d{l n Nichokon dan Zhou 61. ledxnshD dehnisi dan sirri modrl injekiil, dibcikan otsh

s.lrnjLtrra. .lenDNi d{r behcripn silat modul kdii;u dan quosi ko.tinu iemra k hehe$lxsirrt ins ordomo isnanla dirxrdlch da rlohs'n,{ldrD}Inlr.r t5l

sehubunran dens,! kdn*p rins hosih. Han dan Nicholsf 12 trrDhsjkrn su u slarat cuknprtu ri.B hersih dilxh kriiimrR denstroiog r*tol dan slene. elemor idpm.dn:h dxli rirg

l?bih l rjur hgi. Lnm tal Demltr]! n ortolr rEN j! s rDg rrns n.hcnnhi aksiom (c2)dan defiDirl !glonri.u kmin. Sehin in', LaD taljuga nembe,.ikrn sitt clcncn idempoiendalair rins ehdomo isnr dli riu mod 4udsiltootiDuendonofisn{ d{imodul konrnru dan qmii toninN lrihnya diberikrD oleh can'llo pr.or l1l

3. Hasil da. PembdEan

\ieDgingxl dcfidsi inodul herslh li:l'rxii,n dengxn riht l,usjh d,i rins endorolfism!Dodnl tcNebui.

'nrkr bc knt nr r .uhrp su , elemen beEih

dari nuru riDsrnddhorlirra d3r suxtu Dodul.

Teor€Du 17. r;trrird inc tt. &rultt M, s= EtlL]?(M)don e, / eS.l Ean t latu. un.ttk tu idhparo. ,.r = (c,1!) dan ts=lm(/) EtetEn lrznpokor.t nrn 6t1ihjikndar han\a iito R-na.1!1M dapdt didlha,n?aNiNihon {6atailt= l@ B=C@Dda hotaku

\ l)\E)aD-,tot.r-C,t,t-t B- Dhllnt, t.,? 4 "?r! (an ' fr, tll

=, Frdrfl.ltrn \aig d,klnnnLi. bcrlakrM=!OAbpFil, Dakr re rr,r r.l(tdiDbcrldul=e

.Kar.a diasuDsikan l suru cLeme.+ r . Oleh klrcm nn daDai djbentuk

c=/1=

,A dnn D=tB, sehincgr nensakibatkdn hcrlahuM=C@r.(e(e) = Im(l e) hak3 hslat{u

Bs asarkan k!s,h,xn dua tunssi drn kren, (unn. (aka dari pcsamrm (1)d,. (2)dipemleh I ddi (r f ) kcdnanye merupakan isomorlismd ddil(,1)sC,(.t-J)(B)eD.

(e) Diketrhu, te rpai dckorposisi R.moduLM=C@D, latuC=LA ttn D= Bdengan x e.19 $hmega be atu/(.4)cC l\ hlB)e Ddaof :.1+c,I / r a + D k.dnanF mernplkan comorlishi ol(n karena itu jusa l,crlitu

111 e) = L(t e)a! k=t "Qj le- +(1 f)e..:, f ft=,+e /ie / ="+a

t /(l e)=(,+")(l-c)=,(l ")

dan nrcm B = lm(.) , dir eroleh

M dan S = Eltl,lM) riho M quasi-hantinu, tnakart tt' ntrt doti M, btlop1t (.')r =e'€Sd.ns-'

Densan krtx lxin f mcNpakan slener bersih dalaD S.rsilar padi l,emnr lT r kan digun akan dalam menunjukhn situi rn,g cndoDorlismr darisuan,nodul koniin merupahan rinsLorsih

Ilbih hnjut lae. apabila diketahui P.Dodrlntq,6i.hon.in, daner = e €.lir./i(r,/) dcns.n n,,Rtu submodul dai M, rhrn dibrls kebend3rn endomor6sna idempoteni dalam ling

l,e,rm. 13. ,iroirdn ri,g,t. F nodtrl@tuh ltap ; =e.E\.1N(W) danEon

Diambir s.hr,&s e' =c.Endt(ut). DipdoiLchry = (., (.) @ lm(e) \Iisdk,l (.r(c) =,.1dan lm(?)=B xNor .ubmodul ,eM. mak, teldapai submodul /'qM dcnga.,1q,4'q Usohi,.ssr /'sDbnodrl konplen,en dxlxb M Karsna suhmodul ,4qM, hlkx

3'e M'tensan B.B'eM sehi.sgr 8'3ulmodnlM.xarem Mqrori honiir!. o*,b.dxsfkxn(Cr)diDeroleh rl dan A nenpalcnsu[u sukujunla[ la.ssung dari M xarm arEodua. B yns konp]cncn pada ,,1' mah ,{.4'= l0lOllI k,rch, iru, iedrp3i slb$odul X di M seb,nssa Ladaku M=/@A'@-r srh"j"t"rx.diheituk ploy.ks z E S dengan lm. = a dan (,r(e) =,4'@,Y Eehnrs$.' ,, - 1

B.doso.keDkmma 13 dan mcngilsal:dirp nodul qrosi.f,oniintr meNpakan modulkonti!tr.diDeroleh silat $DelLi di.fri,km dlLam lemma berikli ibi.

rtui. 'r"r r,ir,i,r,{d. I

s_r 'Lumu d".Yn n*j ai pteh"1ialdm,. d,ri \ihou s. .r. bqLurihid,b.iIM eLa u$,r uruktE''rB.-oou.,l, rmr.nu noidisTldro,sL sph."ad.rhona.

T6re a 21. Di\etihan R.kortut M sahised*ha ddtuu hanti)lv,).e I xpexipddal})

nu kat siw,tdr' le'",itt)duo (Wd noksnot iha dan hon\o nko w = Mh. U,tuk *b"-^E gtaa).q,{= ? + u d?nda *.,,

8,.";;;,E;;,iM'.:R;;";;";,";";;;x:":ffi ,i,::"i;.,&y""1|iT;.*^'*'"(a) (:) Dikeiatrui r/= rrz I.riliar.(-)Dibe.ilm

l ril,) DokgiDal dotm EffrM

brr io. eerbllrisodi.,LLt,n &lsE r bast,ah.s.bs$i bcM i.at€1dito4u(!n ,1 $ku iurl,i t,,Esuns dor:1, Un,uL qJsu! lr6t,n .Ldqha..n. ririel016 s bhod'n rdu.ub. m,(s ,.rddoa, p_r.,arn "*;siat nsL,,; ,: "..;n;f r,iaPkli rt shlncga ,,'e! E. BerdasarkD (cr), iord,pat rEM sehinesa berldu]l1=roL. Selanjuhya, diembn *barsg ,6r, kenudian dibeniuk1= {,-€ nl/ €,t1.Diebit ebdmnc t)/: € /,/!6 rt, ns}a .},.,)% < r/, dan diperoteh

a.,j ..4 e/, [dem)! )\=!(\ r)ew.h.\r'el.kntda ytt'eW

oengm dehikiu,l ideal kFnon dori ling n.

Bs,kub$ o€rDit ebume 0 / a < ! ^€Lra ril C. E Do ia,sodpe, / e,{hrt)kt t).q.ctt betu iu,1ya. drhbit sobea,s O+/.4f. Luena_.,r,?, nalD 0.r,,/1j, Olph tm&.ru,OneDgan dem'kbn aip€Loleh / c. tr_Iebh lan r tsr "-".rv.r.j,,1,,.,to rsFn, /.andr(O de L_Mtot= r-flcWEE oM /"e/. eh occs ft_t/r -!

/(r ) /1I1)= /6 -x.)=0€rlaL !=0er,=r.Dengatr dcmilhn/lj. du monomdrlisma. oleh k,4na itutlipemhb lr: /(10. D,Li sini juga dipcmleh i,/.]I = lo|. oleh krrem irn berlxt u,r @ l,I = M . L.hh r.njLr llgi his,rkaD /1 = K} (e) dm B = rh(a) r{aDna e.donDrtishn/sn3ru erehcn llEih di ,t.di(lti), Lefrtdsdrlian reonma 1?. .crdrprt R.tr1odut tr/ yingdapii didelohFsisilan menjdi ,r=,4@r=C@D seri, hcooN,ht /,1Ea,(l ./Xa)e D dar /:-4+C,l ./':8JD ke.lunya nerup,Ixn nofrodth.. Donglndemikian, diDcroleh I :,.1@-Y ra'O lY sua isotrlorr$u. sehings,

M=fi @ X =(C@ /X)@ D

Selanjtrinlr.d elilri3il,hhoDomo sm.

Berdxsx'*rn leorena 17. qxl,)molkrrJ.miki,n d Aol.h rl/i+r./r. di,sehaNsnv.X:0. drn rkibr !, lI=v

.. p ^rt! dsr, v!.,dJ/rdPrg

/ mcrprMr elcnrn beEih di Eidti, Densrn(,t..)

.,D'bd an qoarsDg fl.hoo,n i, bs-da6afAa i t.ocma a. p.ooduM&oI dir-pkan Lcdaran s,l mdul hje[brsBhssu suomodu Krra *b,p noout.nl, irb"rupala; modu]mbrnr yrg dsrur ar mdut be^'I. mala p.moo r ,1, srbbodu "._ ,,"r, *""J ;;.J;-

_ rqliha' 24 luga m"wd l,bahus , nruk s,.ap moolt, bei! roou bm,\ atdrpr hularl::".^.::11; :lilt 11*t d.imsruLsls o-aru _au u."; y*g ...*,,ri, ,"""",inomenab,rrq fdd.lz.. Z)snE o, U,"

".-puU"n, "g h"J

':;'i'.'"T-'*-.-'it3iI'lcr'rupoLa.r'osd'."iro"u,"u-"."."."",rz"t""g,iz.4muar &l,m z. bod!. QF4 mdrD,krnmodutdc,"ih

( Simpdtu

. Bdd,suLs eL ban$! r i,p modltrqupaL,n subbvdJ dali5uarusaap -odu knblu mmpakan modLt bssl- djo"iteL brnxa 6_dapsubnodur d,ri suru nddut hPliF

U.apan tclim rlsih

_. . {rilcl m mmb,ff b,se dr b&it dxr GsL F- ,LIs@u*an de.€tu i -s yais *di,ar b€.b.dr de DM ot"c k E hh. pcrdh mpkan hrim, Lr! t- trcprda Ibr lrl@ fmnE w!,roo

D,ftepur.IaC€Dilo. V. P,,IGr ru{. D, tjm. T.y. \ahot$n w K.. d,1znou. y 2006 Conr,nousModur€ e cl@ ns. Jll!.dro 30, halam 9r. i 1 rHrn J @n \ahorn.. w. K. 2OOt. t:,er6oDs of Ctu Rrg". Coh_,1,r/rb4,,nIk€6r. 29(6). hala@sn 26aq - ,sciHrvink-r M. CdbrEn.. t\. donqx..hmLo.\ v..ua4 4gtbtu R.'vlr.aad ModulgKu*er, Ac5d6mi. PubtLsIeB NewyorLIrDrT.Y 1933, aqr 6 on Modul"s and R:hgs. crsduaFTerG.n M h"_a, (sNo.,so,\4anaDpd. Sldd Hdan M.Uo. B,a"o" tsso. rnd,n,o* o,d D.".4L Moduhs. Cambriac,un,B'ty Prcss, New Ytult.Nictul.on..Rei'h W olh Zhod. yiqi,js 2004 Ct?s Riiss A SuryeJ,4dfft-d i4 RrB7xPa4 halsoan 131.193Se lGn.ks 2nr2 P"a#,oon Ss,annc n,ae at d..oq SLotu rus &,sd. TssisYocyrkana: T.IOPA unireNt,s c,itrh M,ar

petu4 ,,ns pcDb8n&ryih! sEE terelesDr,nnF inl,

Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184

Volume 11 No 1, April 2015, pp x-y

Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih

Kartika Sari1, Indah Emilia Wijayanti2 1)Jurusan Matematika,Fakultas MIPA, Universitas Udayana

Kampus Bukit Jimbaran, Badung, Bali Email: [email protected]

2) Program Studi Pascasarjana Fakultas MIPA, Universitas Gadjah Mada Sekip Utara Kotak Pos: BLS 21, Yogyakarta 55281

Email: [email protected]

ABSTRAK

Diberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu R-modul M dikatakan bersih apabila ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu merupakan modul bersih, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih..

Kata kunci: ring bersih, submodul, modul bersih

ABSTRACT

Given any ring R with unity. A ring R is called clean if each element of R is the sum of a unit and an idempotent, while an R-module M is called clean if its endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is clean, in this study, it is shown that every module is a submodule of a clean module. Keywords:clean ring, submodule, clean module.

1. Pendahuluan

Pada keseluruhan tulisan ini, ring yang digunakan merupakan ring dengan elemen satuan, dan

yang dimaksud modul adalah modul kanan, sedangkan notasi )(SU dimaksudkan grup yang

elemen-elemennya merupakan elemen unit dari suatu ring S.Selanjutnya, jika diberikan himpunan

A dan M, suatu fungsi MAg : dan suatu himpunan tak kosong AA ' , maka notasi 'Ag

dimaksudkan pembatasan fungsi g pada himpunan 'A yaitu fungsi yang memetakan himpunan 'A ke himpunan MAg )'( . Lebih lanjut lagi, himpunan semua bilangan bulat, bilangan rasional

dan bilangan bulat modulo n secara berturut-turut dinotasikan dengan Z, Q dan Zn.

Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou [6] memberikan definisi bahwa suatu ring R dikatakan

ring bersih apabila setiap elemen dari ring R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen

dalam suatu ring R dikatakan bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu

elemen idempoten dan suatu elemen unit dari ring R. Camillo et.al.[1] memberikan definisi bahwa

suatu modul atas ring R dikatakan bersih apabila ring endomorfisma dari modul tersebut

merupakan ring bersih.

Diberikan ring R, R-modul M dan aksioma-aksioma: (C1) Setiap submodul di M esensial dalam

suatu suku jumlah langsung di M, (C2) Setiap submodul dari M yang isomorfis dengansuatu suku

jumlah langsung dari M juga merupakan suku jumlah langsung dari M, (C3) Jika A dan B

keduanya merupakan suku jumlah langsung dari M dan }0{BA maka BA juga merupakan

suku jumlah langsung dari M. Suatu modul M dikatakan kontinu apabila memenuhi aksioma-

aksioma (C1) dan (C2), sedangkan suatu modul M yang memenuhi aksioma-aksioma (C1) dan (C3)

dinamakan modul quasi-kontinu (Mohamed dan Muller, [5]). Camillo et.al.[1] menunjukkan bahwa

mailto:[email protected]:[email protected]

Sari et al, JMI Vol 11 No 1, April 2015

setiap modul kontinu merupakan modul bersih. Lam [4] menunjukkan bahwa setiap modul quasi

injektif merupakan modul kontinu. Di lain pihak, terdapat kenyataan bahwa setiap modul injektif

merupakan modul quasi-injektif dan sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul

injektif. Berdasarkan sifat ini, dapat ditunjukkan bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam

suatu modul bersih sebagai submodul. Dengan kata lain, setiap modul merupakan submodul dari

suatu modul bersih, yang merupakan hasil dari penelitian ini.

Hasil ini juga telah diperoleh Sari,[7], akan tetapi melalui cara yang sedikit berbeda. Sari, [7]

memperoleh hasil ini dengan menggunakan sifat bahwa setiap modul merupakan submodul dari

modul injektif (Hazewinkel et.al., [3], dan setiap modul injektif-murni merupakan modul bersih

(Camillo et. al., [1]).

Berikut ini diberikan beberapa konsep yang mendasari penelitian ini.

Definisi 1 Diberikan ring R dan R-modul M. Modul M dikatakan modul injektif apabila untuk

setiap R-modul A dan B dengan A submodul dari B dan untuk setiap homomorfisma MAf :

terdapat homomorfisma MBg : dengansifat fg A . Dengankata lain terdapat homomorfisma

g yang memperluas f.(Hazewinkelet.al,[3])

Contoh 2 (a) Modul nol merupakan modul injektif. (b) Setiap ruang vektor atas lapangan F

merupakan modul injektif.

Pada kenyataannya, tidak mudah menunjukkan suatu modul merupakan modul injektif dengan

menggunakan Definisi 1. Berikut diberikan syarat perlu dan syarat cukup suatu modul merupakan

modul injektif, yang sering dikenal sebagai Kriteria Baer.

Teorema 3 (Kriteria Baer) (Hazewinkelet.al., [3]) Suatu R-modul M injektif jika dan hanya jika

untuk setiap ideal kanan Idi R, setiap homomorfisma : I M dapat diperluas menjadi

homomorfisme : RM.

Dengan menggunakan Kriteria Baer, berikut diberikan contoh modul injektif lainnya.

Contoh 4

Diperhatikan bahwa ideal-ideal dari ring bilangan bulat Z berbentuk nZ, n Z. Oleh karena itu,

terdapat pemetaan inklusi ZZnh : . Diberikan sebarang homomorfisma QZ nf : , maka

terdapat Qq yang memenuhi qnf )( . Lebih lanjut lagi, didefinisikan suatu pengaitan QZ :g

dengan n

qzzg )( , maka g terdefinisi dengan baik dan merupakan suatu homomorfisma.

Kemudian, untuk setiap Znnz , berlaku

))(()(

)1(

)1()()(

nzhgnzg

nzgnzn

qz

n

nq

zqznfnzf

Dari sini diperoleh, g memperluas f .Dengan kata lain Z-modul Q injektif.

Selanjutnya, diberikan contoh Z-modul yang tidak injektif.

Contoh 5

Salah satu ideal dari ring Z adalah 2Z. Homomorfisma f : 2Z Z didefinisikan sebagai zzf )2(

untuk setiap z Z. Andaikan terdapat homomorfisma g : Z Z yang memperluas f, maka

2)1()2(

)2)(()2()1.2(1

gg

hgff

dengan h pemetaan inklusi dari 2Z ke Z.

Kontradiksi dengan g : Z Z. Jadi seharusnya, homomorfisma f tidak dapat diperluas. Dengan

kata lain, Z-modul Z bukan modul injektif.



Diperhatikan bahwa Z-modul Z yang bukan modul injektif merupakan submodul dari Z-modul Q

yang merupakan modul injektif. Dengan kata lain, Z-modul Z dapat disisipkan ke dalam Z-modul Q

sebagai submodul. Sehubungan dengan hal tersebut, berikut ini diberikan suatu teorema yang

menjamin bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul injektif.

Teorema 6 Setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injektif.(Hazewinkelet.al,[3])

Selain modul injektif, juga dikenal adanya modul quasi-injektif, yang merupakan generalisasi dari

modul injektif, seperti diberikan dalam definisi berikut ini.

Definisi 7 Diberikan R-modul M. Modul M dinamakan quasi-injektif apabila untuk setiap

submodul A dari M dan untuk setiap homomorfisma MAf : terdapat homomor-fisma

MMg : sehingga berlaku fg A .(Lam, [4])

Berdasarkan Definisi 7, setiap modul injektif merupakan modul quasi-injektif. Contoh lain dari

modul quasi-injektif adalah modul Zn atas ring Z.

Selanjutnya, dibahas mengenai modul kontinu dan quasi- kontinu. Pada bagian terdahulu, telah

diberikan definisi modul kontinu dan quasi-kontinu. Berikut ini diberikan beberapa sifat yang

berkaitan dengan modul kontinu dan quasi-kontinu.

Teorema 8 Diberikan R-modul M . Jika M memenuhi aksioma (C2) maka M juga memenuhi

aksioma (C3). (Mohammed dan Muller, [5])

Berdasarkan Teorema 7, setiap modul kontinu merupakan modul quasi-kontinu.

Berikut ini diberikan contoh ring, yang apabila dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri

memenuhi aksioma (C2).

Contoh 9 Jika R ring reguler (Von Newmann) dan I suatu ideal dalam ring R, maka I ideal utama yang dibangun oleh suatu elemen idempoten dan merupakan suku jumlah langsung dari R.

(Lam, [4]) Oleh karena itu, R yang dipandang sebagai modul kanan atas dirinya sendiri memenuhi

aksioma (C2).

Berdasarkan Contoh 9, berlaku sifat berikut ini.

Teorema10 Untuk setiap ring reguler R, penyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen.(Lam, [4])

1. RR kontinu.

2. RR quasi-kontinu.

3. RR memenuhi aksioma(C1).

Berdasarkan Teorema 10, berikut ini diberikan definisi ring reguler kontinu kanan.

Definisi 11 Suatu ring reguler (von Newmann) dikatakan kontinu kanan apabila memenuhi salah

satu dari ekuivalensi pada Teorema10.(Lam, [4])

Lebih lanjut lagi, berikut ini diberikan suatu sifat lain dari modul kontinu.

Lemma 12 Suku jumlah langsung dari suatu modul kontinu juga merupakan modul kontinu.(Sari,

[7])

Berikutnya, untuk Teorema 13 sampai 15, diberikan ring R, R-modul M, S = EndR(M) dan

})({ MfKerSf e .

Teorema 13 Jika R-modul M kontinu, maka radikal Jacobson dari ring S dan ring faktor

S

merupakan ring reguler.(Muhamed dan Muller, [5])


Teorema 14 Jika R-modul M quasi-kontinu, maka elemen-elemen idempoten dari ring faktor

S

dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari ring S.(Muhamed dan Muller, [5])

Teorema 15 Jika R-modul M kontinu, maka ring faktor

S merupakan ring kontinu

kanan.(Muhamed dan Muller, [5])

Sehubungan dengan ideal suatu ring yang merupakan himpunan bagian dari radikal Jacobson ring

tersebut dalam kaitannya dengan elemen-elemen idempoten ring faktornya dan sifat bersih ring

faktornya, diberikan sifat berikut ini.

Teorema 16 Diberikan I ideal dari suatu ring R dan )(RJI dengan J(R) radikal Jacobson dari ring

R. Jika ring faktor IR merupakan ring bersih dan elemen-elemen idempoten dari I

R dapat diangkat

menjadi elemen idempoten dari ring R, maka ring R merupakan ring bersih.(Han dan Nicholson, [2])

2. Metode Penelitian

Penelitian ini merupakan studi literatur. Sebagai tinjauan pustaka dari penelitian ini diberikan

sebagai berikut. Definisi dari ring dan elemen bersih diperoleh dari Nicholson (1977) dalam

Nicholson dan Zhou[6], sedangkan definisi dan sifat modul injektif, diberikan oleh Hazewinkel

et.al.[3].

Selanjutnya, definisi dan beberapa sifat modul kontinu dan quasi-kontinu, termasuk beberapa sifat

ring endomorfismanya diperoleh dari Mohamed dan Muller [5].

Sehubungan dengan konsep ring bersih, Han dan Nicholson [2]memberikan suatu syarat cukup

suatu ring bersih dalam kaitannya denganring faktor dan elemen-elemen idempoten dari ring

faktornya.

Lebih lanjut lagi, Lam [4] memberikan contoh suatu jenis ring yang memenuhi aksioma (C2) dan

definisi ring kontinu kanan. Selain itu, Lam [4] juga memberikan sifat elemen idempoten dalam

ring endomorfisma dari suatu modul quasi-kontinu, sedangkan beberapa sifat ring endomorfisma

dari modul kontinu dan quasi-kontinu lainnya diberikan oleh Camillo et.al.[1]

3. Hasil dan Pembahasan

Mengingat definisi modul bersihberkaitan dengan sifat bersih dari ring endomorfisma modul

tersebut, maka berikut ini dibahas syarat perlu dan syarat cukup suatu elemen bersih dari suatu

ring endomorfisma dari suatu modul.

Teorema17 Diberikan ring R, R-modul M, )(MEndS R dan Sfe , dengan e suatu

endomorfisma idempoten, )(eKerA dan )Im(eB . Elemen f merupakan elemen bersih jika dan

hanya jika R-modul M dapat didekomposisikan sebagai DCBAM dan berlaku

CAf )( , DBf ))(1( serta CAf : dan DBf :1 keduanya merupakan isomorfisma.

(Camilloet.al.,[1])

Bukti:

() Berdasarkan yang diketahui, berlaku BAM .Karena diasumsikan f suatu elemen bersih, maka terdapat u U(S) dan berlaku f = e + u . Oleh karena itu dapat dibentuk

uAC dan uBD , sehingga mengakibatkan berlaku DCM . Karena

)1Im()( eeKerA maka berlaku



)1()1)(()1( eueeuef (1)

dan karena )Im(eB , diperoleh

uefeeef )()1( (2)

Berdasarkan kesamaan dua fungsi dan karena u unit, maka dari persamaan (1) dan (2)

diperoleh f dan (1 - f ) keduanya merupakan isomorfisma dan CAf )( , DBf ))(1( . □

() Diketahui terdapat dekomposisi R-modul DCM , yaitu uAC dan uBD dengan u U(S) sehingga berlaku CAf )( , DBf ))(1( dan CAf : , DBf :1

keduanya merupakan isomorfisma. Oleh karena itu juga berlaku

)1()1( euef

ueufef

efufef )1(

feeufef

euf

Dengan kata lain f merupakan elemen bersih dalam S.□

Sifat pada Lemma 17 akan digunakan dalam menunjukkan sifat ring endomorfisma dari suatu

modul kontinu merupakan ring bersih.

Lebih lanjut lagi, apabila diketahui R-modul M quasi-kontinu dan )(2 WEndee R dengan W

suatu submodul dari M, akan dibahas keberadaan endomorfisma idempotent dalam ring EndR(M)

Lemma 18 Diberikan ring R, R-modul M dan )(MEndS R . Jika M quasi-kontinu, maka untuk

setiap )(2 WEndee R dengan W submodul dari M, terdapat See ')'(2

dengan ee W '

.(Lam,[4])

Bukti:

Diambil sebarang )(2 WEndee R . Diperoleh )Im()( eeKerW . Misalkan AeKer )( dan

Be )Im( . Karena submodul MB , maka terdapat submodul MA' dengan MAA '

sehingga 'A submodul komplemen dalam M. Karena submodul MA' , maka terdapat submodul

MB ' dengan MBB ' sehingga 'B submodul komplemen dalam M.Karena M quasi-kontinu,

maka berdasarkan (C1) diperoleh 'A dan 'B merupakan suku-suku jumlah langsung dari M .

Karena 'B memuat B yang komplemen pada 'A maka }0{'' BA . Oleh karena itu, terdapat

submodul X di M sehingga berlaku XBAM '' . Selanjutnya, dibentuk proyeksi Se' dengan

''Im Be dan XAeKer ')( sehingga ee W ' . □

Berdasarkan Lemma 18 dan mengingat setiap modul quasi-kontinu merupakan modul kontinu,

diperoleh sifat seperti dinyatakan dalam lemma berikut ini.

Lemma19 Diberikan ring R, R-modul M kontinu dengan MWe , )(MEndf R dengan

WWf )( .Jika ef W monomorfisma esensial dalam )(WEnd R untuk suatu endomorfisma

idempoten )(WEnde R , maka terdapat elemen idempotent )(' MEnde R dengan ee W ' dan

'ef suatu unit dalam )(MEnd R . Dengan kata lain f suatu elemen bersih dalam )(MEnd R .

(Camilloet.al.,[1])


Selanjutnya, diberikan R-modul M dan )(MEndf R . Kemudian dibentuk himpunan

,)(,),{( WWfMWeWf )(2 WEndee R , ))}(( WEndUef RW (3)

Himpunan f , karena f)0,0( . Selanjutnya pada himpunan f didefinisikan relasi urutan

“”, yaitu untuk setiapfeWeW ),(),,( 2211 , ),(),( 2211 eWeW jika dan hanya jika

1221 1dan eeWW W . Berdasarkan Lemma Zorn, himpunan f mempunyai elemen maksimal.

Sehubungan dengan elemen maksimal dari himpunanf , berikut ini dibahas suatu sifat elemen

maksimal dari himpunanf .

Lemma 20 Diberikan ring R, R-modul M, )(MEndf R dan dibentuk himpunan f seperti pada

(3) dengan ),( eW suatu elemen maksima ldalam f . Untuk setiap submodul MX dengan sifat

0WX , berlaku untuk setiap Xx , jika Wxf )( , maka 0x . (Camilloet.al.,[1])

Bukti:

Diambil sebarang Xx dengan Wwxf )( . Oleh karena itu, XxRX ' . Dari sini diperoleh

Wxrfrxfwr )()( . Dengan demikian berlaku

')'( XWXWf .

Selanjutnya e diperluas ke X’ dengan mendefinisikan xex , sehingga

exexexe )(2 ,

yang berarti )'(2 XWEndee R . Karena WWef )( , maka untuk Ww terdapat

Ww 1 sehingga wwef 1)( . Oleh karena itu diperoleh

xwxwwef ))(( 11 .

Hal ini berarti )'( XWEndef R surjektif. Lebih lanjut lagi, diambil sebarang

')( XWefKerm . Diperoleh xrwm ' untuk suatu Ww' dan 'Xxr serta berlaku

0'')(

0')(

0)')((

XWxrwrwef

exrfxrwef

xrwef

Karena 0xr , maka 0 wrfxr , sehingga 0')( wef , yang mengakibatkan 0'w . Dengan

demikian )'( XWEndef R injektif. Jadi )'( XWEndef R suatu unit. Dari sini

diperoleh feXW ),'( . Kontradiksi dengan ),( eW maksimal dalam f . Oleh karena itu

),(),'( eWeXW . Hal ini berarti 0'X , yang mengakibatkan 0x .□

Sehubungan dengan masalah elemen maksimal dari himpunan f , berikut ini diberikan suatu

sifat untuk kasusR-modul M kontinu nonsingular atau semisederhana.

Teorema 21 Diberikan R-modul M semisederhana atau kontinu non singular, )(MEndf R dan

(W,e) f seperti pada (3)

a. (W,e) maksimal jika dan hanya jika W = M.

b. Untuk sebarang (W0,e0) f ,f = e + u dengan e2= e di EndR(M) perluasan dari e0dan u unit di

EndR(M) . Khususnya, M merupakan modul bersih.(Camilloet.al.,[1])

Bukti:



(a) () Diketahui W = M. Trivial.

()Diberikan (W, e) maksimal dalam f.

Dalam hal ini, pembuktian dilakukan dalam 3 langkah, sebagai berikut.

Langkah 1

Akan ditunjukkan W suku jumlah langsung dari M. Untuk kasus M semisederhana, trivial.

Oleh karena itu berikut akan dibahas untuk M kontinu dan nonsingular. Andaikan W bukan

submodul tertutup, maka terdapat perluasan esensial maksimal (closure) dari W, namakan E,

sehingga EW e . Berdasarkan (C1), terdapat MX sehingga berlaku XEM .

Selanjutnya, diambil sebarang Ey , kemudian dibentuk }{ WyrRrI .Diambil

sebarang RrIrr ',, 21 , maka Wyryr 21, , dan diperoleh

a. Irr 21 , karena Wrryyryr )( 2121 .

b. Irr '1 , karena Wryr '1

Dengan demikian,I ideal kanan dari ring R.

Berikutnya, diambil sebarang Em0 . Karena EW e , maka terdapat Rr sehingga

berlaku Wmr0 . Selanjutnya, diambil sebarang Rr "0 . Karena MW ,M

nonsingular, Wmr0 dan Rr "0 , maka Wmrr "0 . Oleh karena itu, Irr "0 .

Dengan demikian diperoleh R

e RI . (4)

Lebih lanjut lagi, karenayE, makaf(y)f(E). Karena fEndR(M) dan XEME , maka

terdapat zE dan xX sehingga xzyf )( . Untuk setiap rI, berlaku

EWxrzrryf )( dan Ezr , sehingga Ezrfyrxr . Karena Xxr , maka

}0{ XExr . Hal ini berarti )(xannr R . Dengan demikian berlaku

)(xannI R . (5)

Berdasarkan (4) dan (5), diperoleh R

e

R Rxann )( . Lebih lanjut lagi, karena R-modul M

nonsingular, maka x = 0, sehingga Ezyf )( . Jadi EEf )( .

Berikutnya, berdasarkan Lemma 12, karena E suku jumlah langsung dari M dan M kontinu,

maka E kontinu. Karena E kontinu, maka berdasarkan Lemma 18, terdapat (e’)2 = e di EndR(E)

dengan sifat ee W ' dan 'ef E unit di EndR(E). Dengan demikian feE )',( dan

)',(),( eEeW . Kontradiksi dengan ),( eW elemen maksimal. Jadi seharusnya W tertutup,

yang berarti W = E. Dari sini, diperoleh W suatu suku jumlah langsung dari M. Sekarang

dilanjutkan ke langkah 2.

Langkah 2

Akan ditunjukkan W = M.

Di sini, hanya diasumsikan bahwa R-modul M kontinu. Dari langkah 1, diperoleh XWM .

Andaikan 0X . Karena ),( eW elemen maksimal di f , MX dan }0{ XW , maka

berdasarkan Lemma 20, berlaku untuk setiap Xx , jika Wxf )( , maka 0x .

Selanjutnya, diambil sebarang Xxx 21, dengan )()( 21 xfxf . Dari sini diperoleh

Wxxfxfxf 0)()()( 2121 . Berdasarkan Lemma 20,berlaku 2121 0 xxxx

Dengan demikian Xf suatu monomorfisma. Oleh karena itu diperoleh )(XfX . Dari sini

juga diperoleh }0{ fXW . Oleh karena itu berlaku MfXW . Lebih lanjut lagi,

misalkan A = Ker (e) dan B = Im(e). Karena endomorfisma f suatu elemen bersih di EndR(W),

berdasarkan Teorema 17, terdapat R-modul W yang dapat didekomposisikan menjadi

DCBAW serta memenuhi CfA , DBf ))(1( dan DBfCAf :1,:

keduanya merupakan isomorfisma. Dengan demikian, diperoleh fXCXAf : suatu

isomorfisma, sehingga


DfXCXWM )(

Selanjutnya, didefinisikan homomorfisma e*, proyeksi dari M pada B dengan

Ker (e*) = XA . Berdasarkan Teorema 17, endomorfisma f merupakan elemen bersih di EndR(M). Dengan

demikian diperoleh feM *),( dan *),(),( eMeW . Kontradiksi. Oleh karena itu

seharusnya X = 0 , dan akibatnya W = M. □

b. Diambil sebarang feW ),( 00 , berdasarkan bagian a terdapat elemen maksimal dari f , yaitu

feM ),( dan uef dengan u elemen unit di EndR(M). Oleh karena itu modul M bersih. □

Berdasarkan Teorema 21, berikut ini diberikan suatu sifat dari modul kontinu lainnya.

Teorema 22 Setiap modul kontinu merupakan modul bersih. (Camilloet.al.,[1])

Bukti:

Diberikan R-modul M kontinu, )(MEndS R dan })({ MfKerSfe . Berdasarkan Teorema 13,

diperoleh ring faktor

ST merupakan ring reguler dan merupakan radikal Jacobson dari S

Oleh karena itu, modul T T non singular dan berdasarkan Teorema 15, T T kontinu. Berdasarkan Teorema 21 diperoleh )(TEndT T

merupakan ring bersih. Selanjutnya, karena modul M kontinu

mengimplikasikan modul M quasi-kontinu, maka berdasarkan Teorema 14 berlaku elemen-elemen

idempoten dari ring faktor T dapat diangkat menjadi elemen-elemen idempoten dari ring S. Oleh

karena itu, berdasarkan Teorema 16, ring S merupakan ring bersih. Jadi R- modul M merupakan

modul bersih. □

Lebih lanjut lagi, karena setiap modul quasi-injektif merupakan modul kontinu, maka setiap modul

quasi-injektif merupakan modul bersih. Karena setiap modul injektif merupakan modul quasi-

injektif, maka setiap modul injektif merupakan modul bersih. Oleh karena itu berdasarkan

Teorema 22, diperoleh akibat-akibat langsung berikut ini.

Akibat 23Ring Zn merupakan ring bersih.(Sari, [7])

Bukti:

Diperhatikan bahwa modul Zn atas dirinya sendiri merupakan modul injektif yang juga merupakan

modul kontinu. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 22, Zn-modul Zn merupakan modul bersih.

Akibatnya ring )( nnEnd ZZ merupakan ring bersih. Di lain pihak, berlaku )( nn nEnd ZZ Z .

Dari sini diperoleh ring Zn merupakan ring bersih. □

Akibat 24 Setiap modul dapat disisipkan sebagai submodul ke dalam suatu modul bersih.

Bukti:

Diberikan sebarang R-modul M, berdasarkan Teorema 3, R-modul M dapat disisipkan ke dalam

suatu modul injektif sebagai submodul. Karena setiap modul injektif merupakan modul kontinu

yang merupakan modul bersih, maka R-modul M submodul dari suatu modul bersih.□

Akibat 24 juga meyiratkan bahwa untuk setiap modul, baik modul bersih ataupun bukan modul

bersih, selalu dapat dikonstruksikan suatu modul bersih yang memuatnya sebagai submodul. Hal

ini bersesuaian fenomena bahwa Endz(Z) Z yang bukan merupakan ring bersih termuat dalam

Endz(Q) Q yang merupakan ring bersih. Dengan kata lain modul Z sebagai Z-modul yang bukan

modul bersih termuat dalam Z-modul Q yang merupakan modul bersih.



5. Simpulan

Berdasarkan sifat bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injektif dan

setiap modul kontinu merupakan modul bersih, diperoleh bahwa setiap modul merupakan

submodul dari suatu modul bersih.

Ucapan Terima Kasih

Artikel ini merupakan bagian dan hasil dari tesis penulis pertama, yang pembahasannya dilakukan dengan

cara yang sedikit berbeda dari tesis. Oleh karena itu, atas terselesaikannya artikel ini, penulis ucapkan

terima kasih kepada Ibu Indah Emilia Wijayanti , selaku pembimbing.

Daftar Pustaka

1. Camillo, V. P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W. K., dan Zhou, Y. 2006. Continous

Modules are Cleans. J Algebra 304, halaman 94-111.

2. Han, J. dan Nicholson,, W. K. 2001. Extensions of Clean Rings. Communicationsion Algebra,

29(6), halaman 2589 – 2595.

3. Hazewinkel, M., Gubareni, N., dan Kirichenko, V. V. 2004. Algebras, Rings, and Modules.

Kluwer, Academic Publishers, New York.

4. Lam, T. Y. 1998. Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189,

Berlin, New York: Springer-Verlag.

5. Mohamed, Saad H dan Muller, Bruno J. 1990. Continuous and Discrete Modules, Cambridge

University Press, New York.

6. Nicholson, Keith W dan Zhou, Yiqiang, 2004. Clean Rings: A Survey.Advanced in Ring Theory,

halaman 181-198.

7. Sari, Kartika. 2012. Penyisipan Sebarang Ring ke dalam Suatu Ring Bersih. Tesis. Yogyakarta:

FMIPA Universitas Gajah Mada.

artikel setiap modulJMI_April_2015_Vol_11_1_7_Final[1]

daftat - universitas udayana...s€tiap modul merupakan submodut da suatu modul bersih rartika sdil,...

Documents