1

BUKTI DI DALAM BELAJAR MENGAJAR MATEMATIKA

Sabri1

Abstrak: Bukti adalah perangkat matematika yang paling penting yang kadang, bagi beberapa kalangan, dianggap tidak perlu dikaji dan dipahami secara konseptual. Padahal, seseorang dianggap belum belajar matematika jika belum sampai mempelajari apa dan bagaimana bukti matematika itu. Bukti matematika memiliki keunikan tersendiri yang membedakannya dengan bukti dalam disiplin ilmu yang lain. Bukti matematika memiliki klasifikasi ditinjau dari beberapa perspektif dan peran yang dapat dimainkan oleh bukti di dalam matematika sangat beragam. Di dalam kelas, pengkajian tentang bukti dan penggunaannya di dalam pembelajaran matematika dapat disandingkan dengan beberapa pendekatan pelengkap. Pendekatan tersebut digunakan bersama guna memfasilitasi pengkonstruksian pemahaman konseptual mahasiswa tentang bukti dan ide matematika yang lain. Kata kunci: Bukti matematika, pendekatan pelengkap.

Berbicara tentang bukti matematika, terkadang kita temui berbagai kalangan, umumnya siswa

dan mahasiswa, yang cenderung berpikir bahwa bukti tidak begitu penting di dalam

mempelajari matematika. Pendirian seperti ini kelihatannya, secara tidak sadar, memisahkan

matematika dengan bukti yang sebenarnya adalah perangkatnya yang paling penting (Hanna,

2000a). Bahkan, Hanna (2000a) menegaskan bahwa bukti tidak bisa dipandang sebagai cabang

dari matematika, karena bukti adalah inti dari matematika dan ini berarti bahwa seseorang tidak

bisa dikatakan belajar matematika kecuali jika dia telah mempelajari apa dan bagaimana bukti

matematika itu.

Masalah yang lain adalah bahwa mahasiswa cenderung memiliki pemahaman yang

kurang memadai tentang peran bukti di dalam pembelajaran matematika (Sabri, 2003).

Pemahaman mereka umumnya terbatas hanya pada bahwa bukti adalah alat yang hanya

1 Dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Makassar, Makassar Indonesia

2

digunakan, umumnya oleh matematikawan, untuk menjelaskan pernyataan matematika yang

telah diketahui kebenarannya.

Menyikapi hal tersebut di atas, ulasan tentang bukti matematika menjadi sangat penting.

Di dalam tulisan ini, lebih awal akan dibahas sekilas tentang bukti dan pembuktian secara

umum. Uraian akan dilanjutkan tentang bukti matematika, kedudukan dan klasifikasinya

ditinjau dari beberapa perspesktif. Pembahasan kemudian diperluas mencakup beberapa peran

yang dapat dimainkan oleh bukti matematika dan ditutup dengan kedudukan bukti matematika

di antara pendekatan pelengkap yang lain.

BUKTI DAN PEMBUKTIAN

Bukti di dalam matematika berbeda dengan bukti yang dikenal di dalam disiplin ilmu

yang lain. Bukti, secara etimologis, mengandung beragam makna yang bersifat kontekstual

bergantung pada bidang ilmu di mana bukti tersebut dibicarakan. Menurut Tall (1989), bukti

bagi hakim dapat berimplikasi pada sesuatu yang tidak diragukan lagi; bukti bagi statistikawan

berarti terjadi dengan probabilitas tertentu; dan bagi ilmuwan, bukti adalah hasil dari suatu

eksperimen empiris. Namun, di kalangan matematikawan, bukti memiliki peran penting yakni

sebagai suatu metode meyakinkan yang digunakan untuk menguji pengetahuan dan sangat

berbeda dengan cara induksi di dalam kegiatan-kegiatan empiris (Hoyles, 1997). Karakteristik

bukti yang demikian menjadi salah satu alasan mengapa matematika secara tradisional

dipandang sangat berbeda dengan ilmu pengetahuan alam (sains) yang berlandaskan metode

induktif.

Mahasiswa matematika diposisikan dalam suatu wilayah di mana istilah bukti memiliki

maksud yang beragam sehingga tafsiran makna yang dipahami mahasiswa mungkin saja

3

berbeda dengan tafsiran yang dimiliki oleh dosen; sama halnya bahwa tafsiran dosen tersebut

bisa saja berbeda dengan tafsiran dosen yang lain (Tall, 1989). Mahasiswa sering diperhadapkan

pada nuansa kata yang bervariasi, misalnya: tunjukkan, peragakan, perikan, buktikan, buktikan

berdasarkan prinsip utama dan lain-lain. Tetapi pada dasarnya, menurut Tall (1989), bukti atau

membuktikan berarti mereproduksi suatu urutan deduksi untuk mengembangkan suatu hasil

yang penting.

APAKAH BUKTI MATEMATIKA ITU?

Konsep tentang bukti sesungguhnya sangat mendasar di dalam matematika (Hoyles,

1997; Markel, 1994). Bukti dianggap sebagai bagian fundamental kegiatan matematika bahkan

sejak zaman matematika kuno (Lee, 2002) dan menjadi pembeda matematika dari semua

bidang kegiatan lain umat manusia (Reid, 2001). Keunikan sifat bukti matematika melekatkan

status yang unik pula kepada matematika itu sendiri (Hanna, 2000b). Untuk itu, diperlukan

suatu perhatian yang memadai terhadap cara mengkondisikan mahasiswa di dalam budaya

membuktikan dan pada saat yang sama, gagasan dan pandangan mereka tentang bukti

sebaiknya diperhatikan (Hoyles, 1997).

Reid (2001) mengklasifikasikan beberapa istilah teknis yang berkenaan dengan gagasan

bukti yang banyak digunakan dalam penelitian pendidikan matematika. Ada empat istilah yang

diajukannya yaitu: konsep bukti, bukti, membuktikan dan pemeriksaan. Konsep bukti mengacu

pada keyakinan bahwa bukti mengarahkan kita kepada ketentuan yang pasti. Sebuah bukti

memberi atribut kesahihan universal yang bersifat a priori kepada pernyataan matematis yang

dibuktikan. Bukti pada dasarnya adalah rangkaian tulisan yang dipublikasikan sesuai dengan

harapan para matematikawan. Sementara itu, membuktikan berarti bernalar secara deduktif dan

4

pemeriksaan mengacu pada kegiatan penyelidikan di dalam matematika yang bersifat empiris

semu.

Knuth (2002a) menggunakan istilah bukti yang mengacu pada suatu argumen deduktif

yang menunjukkan mengapa suatu pernyataan benar dengan menerapkan hasil matematis yang

lainnya dan/atau pemahaman yang lain ke dalam struktur matematis yang terbentuk di dalam

pernyataan itu. Lebih lanjut, Knuth (2002a) memperkenalkan tiga jenis bukti berdasarkan

tingkat formalitasnya, yaitu: bukti informal, bukti kurang formal dan bukti formal. Ketiga jenis

ini diajukan untuk dapat membedakan bukti sebagai suatu konsep yang digunakan dalam ranah

matematika dengan bukti yang dikenal di dalam kehidupan sehari-hari. Bukti formal adalah

suatu bukti yang mengikuti bentuk tertentu dan/atau menggunakan bahasa yang khusus

dengan gaya yang bersifat ritual. Meskipun belum ada pembakuan dari bentuk yang dianggap

memenuhi syarat sebagai bukti formal, tetapi suatu bukti formal memenuhi kaidah keketatan,

ketelitian dan ketepatan yang sangat kuat. Bukti yang kurang formal adalah bukti yang tidak

terstruktur secara ketat, juga cenderung kurang ketat ditinjau dari sudut pandang matematika.

Jenis bukti ini digunakan lebih untuk menunjukkan kebenaran premis-premis yang

dikembangkan untuk kasus-kasus yang relevan, sedangkan bukti informal adalah istilah yang

digunakan untuk argumen yang sama sekali tidak memenuhi kriteria sebuah bukti.

Berdasarkan perspektif perkembangan kognitif, Tall (1995) menjelaskan representasi

bukti yang berkembang dari bukti tindakan, bukti visual, bukti simbolis dan bukti formal. Bukti

tindakan adalah istilah yang dikenakan pada bukti yang berada pada level paling bawah

(primitif) yang melibatkan penampilan sebuah kegiatan fisik untuk menunjukkan suatu

kebenaran. Bukti visual adalah bukti yang melibatkan grafik atau gambar, sedangkan bukti

simbolis adalah bukti yang menggunakan manipulasi simbol-simbol aljabar. Sejalan dengan

5

definisi bukti formal menurut klasifikasi yang dikemukakan oleh Knuth (2002a), Tall (1995)

mendefinisikan bukti formal sebagai bukti yang melibatkan logika deduktif aksiomatis.

Di kalangan matematikawan profesional, klasifikasi lain yang dikemukakan oleh Reid

(2001) membedakan tiga jenis bukti, yaitu: bukti pra-formal, bukti formal dan bukti post-

formal. Bukti pra-formal adalah bukti yang biasanya ditampilkan di dalam catatan harian dan

percakapan sehari-hari yang melibatkan asumsi-asumsi tersembunyi, analogi dan bahasa dan

notasi informal. Bukti formal adalah bukti yang biasanya dipresentasikan dalam publikasi ilmiah

(misalnya: jurnal), meskipun terkadang bukti-bukti dalam artikel yang dipublikasikan pada

dasarnya belumlah betul-betul formal karena keterbatasan ruang yang tersedia. Bagaimanapun,

kita harus sadari bahwa formalisasi penuh atau bukti formal yang lengkap jarang dipraktekkan

(Hersh, 1993). Sementara itu, bukti post-formal adalah bukti yang merepresentasikan analisis

meta-matematika tentang sifat-sifat bukti formal.

PERANAN BUKTI MATEMATIKA

Di dalam proses belajar mengajar matematika, kita sebaiknya memperhatikan peran

yang dimainkan oleh bukti (Hanna, 2000a) dan tiap peran tersebut seharusnya mendapatkan

penekanan yang proporsional (Hersh, 1993). Ada sepuluh peran bukti dan/atau pembuktian

yang telah diidentifikasi, yaitu: verifikasi, penjelasan, sistematisasi, penemuan, komunikasi,

explorasi, konstruksi, inkorporasi, estetis, dan aktualisasi diri (de Villiers, 1990; Hanna &

Jahnke, 1996, Hanna, 2000b; Knuth 2002b). Hanna (1995) mengatakan bahwa peran utama

bukti di dalam praktek matematika adalah verifikasi dan pembenaran, tetapi di dalam

pendidikan bidang pendidikan matematika, bukti lebih banyak digunakan untuk penjelasan.

Penjelasan tentang setiap peran bukti tersebut dibahas pada bagian berikut ini. Namun, lebih

6

awal, perlu diketahui bahwa di antara kesepuluh peran tersebut, terdapat peran yang terkait

sangat erat dengan peran lainnya sehingga uraiannya ditampilkan secara menyatu.

Hanna (2000a) menegaskan bahwa sepertinya, kebanyakan mahasiswa memasuki dunia

matematika dengan pemahaman yang terbatas hanya pada peran bukti yang fundamental, yakni

verifikasi dan penjelasan. Verifikasi dipandang sebagai peran tradisional dan paling utama dari

bukti (Hanna, 1983; de Villiers, 1990) yang kadangkala disandingkan dengan aspek keyakinan

dan kesahihan yang masing-masing merupakan aspek personal dan aspek sosial dari bukti

(Segal, 2000). Namun, de Villiers (1990) kembali menegaskan bahwa masalah keyakinan tidak

memerlukan keberadaan bukti; keyakinan tersebut hanyalah prasyarat untuk menkonstruksi

sebuah bukti.

Di dalam kelas, pertanyaan mendasar yang harus dijawab oleh bukti adalah ‘mengapa’

(Hanna, 2000a; Hanna, 2000b). Sejalan dengan hal tersebut, fungsi bukti sebagai penjelasan dan

sebagai penunjukan dibedakan di kalangan matematikawan (Steiner, 1978). Bukti yang

berfungsi sebagai penjelas membantu kita memahami mengapa suatu pernyataan benar (Hanna,

1995; Hersh, 1993). Bukti yang demikian memiliki daya penjelas dan makna personal yang

terkadang tidak muncul dalam suasana pembelajaran di kelas (Schoenfeld, 1994).

Peran bukti dalam sistematisasi hasil-hasil kegiatan matematis ke dalam suatu sistem

deduktif (definisi, aksioma, postulat, teorema dan lain-lain) dapat dianggap sebagai fungsi

paling matematis dari bukti (Knuth, 2002a). Knuth (2002a) menduga bahwa banyak mahasiswa

memandang suatu teorema yang dibuktikan tidaklah terkait dengan teorema yang lain dan tidak

terstruktur dalam suatu sistem deduktif aksiomatis. Sebagaimana yang biasa ditemukan di

dalam proses pembelajaran, mahasiswa cenderung harus diingatkan tentang teorema terdahulu

guna membantu mereka untuk memahami teorema yang sedang dihadapi. Guna menjamin

7

kekonsistenan struktur aksiomatis matematika, bukti merupakan alat yang ampuh karena sistem

semi-empiris dan intuisi murni tidak akan cukup untuk menampilkan sistematisasi deduktif

tersebut (de Villiers, 1990).

Terdapat banyak contoh dalam sejarah matematika yang menunjukkan hasil karya

matematika yang ditemukan melalui cara-cara deduksi murni (de Villiers, 1990). Bukti sebagai

alat penemuan pada dasarnya sangat terkait dengan perannya dalam kegiatan eksplorasi. Knuth

(2002a) mengatakan bahwa penemuan bisa bermula dari pembuatan sebuah dugaan

berdasarkan eksplorasi; dugaan tersebut kemudian diverifikasi dengan membuktikannya. Dalam

hal ini, bukti digunakan untuk (membantu) menciptakan suatu karya matematika yang baru.

Dalam kenyataannya, sebagaimana yang diidetinfikasi oleh Knuth (2002a), fungsi bukti dalam

kegiatan penemuan dan sistematisasi hasil matematika kadangkala dipadukan oleh mahasiswa.

Berbicara tentang kesahihan, sebagaimana yang telah disinggung sebelumnya, bukti

mengalami proses pensahihan yang sangat ketat di kalangan matematikawan. Bukti seharusnya

tidak hanya diperiksa di dalam kelompok matematikawan tertentu yang memang kegiatannya

hanya memeriksa kesahihan bukti. Menurut Wheeler (1990), sebagai sebuah bentuk wacana,

bukti dapat digunakan sebagai alat mengkomunikasikan matematika kepada pihak lain,

misalnya: mahasiswa. Teorema atau dugaan yang baru memerlukan suatu proses sosial untuk

kemudian diterima oleh kalangan matematikawan (Hanna, 1990) dan proses demikian bisa

berlangsung dalam bentuk debat kritis dan komunikatif (de Villiers, 1990).

Eksplorasi sebagai suatu fungsi bukti mengandung makna yang lebih mengarah kepada

kajian yang lebih lanjut dari suatu definisi untuk menggali makna yang dikandungnya secara

lebih menyeluruh. Menurut Lakatos (1976), kajian yang cermat dari suatu definisi dibutuhkan

manakala kita ingin memeriksa teorema yang diturunkan dari definisi yang dimaksud. Lakatos

8

kemudian menunjukkan bahwa makna dan akibat dari suatu asumsi yang terdapat dalam suatu

definisi sangat penting untuk memberikan landasan yang kuat untuk penurunan sebuah

teorema, pembuatan suatu dugaan atau pembuktian suatu teorema. Peran bukti sebagai suatu

alat eksplorasi juga akan tampak jelas pada saat suatu teorema yang telah dibuktikan kemudian

mengarahkan kita kepada penemuan gagasan matematis yang baru. Dalam hal ini, proses

ekplorasi mencakup serangkaian proses pengkajian ulang, perenungan, perbaikan dan

penyempurnaan guna menciptakan suatu karya matematika yang lebih baik.

Bukti juga memainkan peran penting di dalam rekonstruksi entitas (ide, gagasan)

matematika. Fungsi tersebut akan optimal di dalam konteks epistemology dan ontology dimana

matematika dipandang sebagai suatu hasil konstruksi sosial (Ernest, 1991). Proses saling

mempengaruhi antara bukti dan penolakan di dalam Lakatos (1976) adalah sebuah manifestasi

proses konstruksi matematika, meskipun proses tersebut cenderung berlangsung dalam bentuk

semi-empiris (bukan empiris murni). Berdasarkan hal tersebut, sebuah karya matematika

bukanlah sebuah hasil akhir karena konstruksi dan rekonstruksi masih akan berlangsung.

Berbicara tentang suatu sistem matematika, setiap entitas matematika yang tidak konsisten

dengan entitas yang lain dalam sistem itu dapat mengarahkan kepada konstruksi suatu sistem

baru (Bell, 1978).

Hanna dan Jahnke (1996) menyatakan bahwa inkorporasi adalah pengaturan suatu

fakta ke dalam kerangka baru yang akan menciptakan ruang bagi perspektif yang segar dalam

memandang sistem tersebut. Proses inkorporasi juga mengandung makna menempatkan suatu

fakta ke dalam kerangka alternatif. Sebagai contoh, sebagai alternatif pengkonstruksian bukti

suatu teorema dalam kerangka topologis, bukti yang lain dapat dikembangkan di dalam

kerangka geometris. Proses inkorporasi erat kaitannya dengan proses sistematisasi yang

9

biasanya diimplementasikan pada objek matematika yang baru guna menempatkannya di dalam

sistem pengetahuan matematis yang diterima dan diakui. Lakatos (1976) memberikan suatu

contoh yang sangat bagus tentang bagaimana suatu sistem matematika mengalami proses

pengaturan kembali dan sistematisasi sebagai hasil debat yang berkelanjutan.

Dari tinjauan estetika, pengamatan sepintas menunjukkan bahwa karakteristik

keanggunan matematika berbeda dengan karakteristik keanggunan artistik (Rota, 1996).

Memang, matematikawan memiliki rasa seni (estetis) dan nilai keanggunan yang berbeda. Rota

(1996) menambahkan bahwa keanggunan suatu bukti muncul pada saat bukti tersebut

membuka tabir rahasia sebuah teorema; pada saat bukti tersebut mengarahkan kita kepada

pemahaman akan keniscayaan suatu pernyataan yang dibuktikan. Sebagai contoh adalah bukti

dari Teorema Akhir Fermat yang dibuat oleh Andrew Wiles dari Princeton University, Amerika

Serikat yang terdiri atas ratusan halaman. Matematikawan tidak hanya berusaha untuk membuat

bukti yang tak terbantahkan, tetapi juga menampilkannya dalam gaya yang jelas, menarik dan

dibalut dengan paduan rasa estetika dan ketajaman logika. Matematikawan juga berusaha

memperbaiki dan mengatur suatu suatu teorema sehingga memiliki struktur yang koheren dan

anggun (Peterson, 1990), misalnya menampilkan Hipotesis Riemann dalam sebuah film

berjudul A Beautiful Mind (Mackenzie, 2002).

Kesuksesan Andrew Wiles mengkonstruksi bukti yang demikian tentunya telah

memberikan kepuasan yang berasal dari pengakuan yang diberikan oleh kalangan

matematikawan. Alibert dan Thomas (1991) mengemukakan bahwa mengembangkan suatu

bukti adalah salah satu cara dimana matematikawan memperoleh kepuasan dan aktualisasi diri.

Lebih lanjut, de Villiers (1990) menambahkan bahwa kegiatan membuktikan merupakan

10

semacam kawah candradimuka bagi matematikawan sekaligus media menguji kreativitas dan

kemampuan penemuan.

Bagaimanapun juga, pemahaman sebagai salah satu aspek fundamental dari pendidikan

(Nickerson, 1985) dipandang sebagai salah satu tujuan akhir yang ingin dicapai sebagai hasil

proses belajar mengajar (Hiebert & Carpenter, 1992). Dengan demikian, proses pembelajaran

seharusnya menggunakan bukti matematika untuk mencapai tujuan tersebut (Hersh, 1993). Di

samping itu, dengan pemahaman konseptual tentang bukti matematika, mahasiswa diharapkan

memiliki dan meningkatkan apresiasinya terhadap matematika. Pemahaman konseptual tentang

bukti matematika yang memadai mencakup pemahaman tentang bagaimana setiap peran yang

dibahas di atas dimainkan (Knuth, 2002b). Ini berarti bahwa untuk mencapai tingkat

pemahaman yang memadai tentang bukti matematika, mahasiswa disyaratkan untuk memahami

setiap peran bukti tersebut dan bahkan seharusnya memiliki pengalaman belajar dimana peran

tersebut terfungsikan. Selain itu, pertanyaan tentang apa yang dimaksud dengan bukti

matematika, apa yang merupakan (yang bisa dijadikan) bukti matematika dan macam-macam

serta tingkatan bukti matematika seharusnya bisa dijawab dengan tepat oleh mahasiswa. Semua

aspek tersebut turut mempermantap pemahaman konseptual tentang bukti matematika.

MENGAPA BUKTI?

Bukti akan paling bermanfaat pada saat kita bisa menggunakannya untuk mencapai

pemahaman dan pada saat kita dapat menggunakannya untuk membantu berpikir matematis

dengan lebih jelas dan efektif (Thurston, 1994). Ada beberapa pendekatan lain yang diterapkan

oleh para pendidik di dalam kelas sebagai pelengkap bagi dan/atau alternatif dari bukti. Pada

dasarnya, pendekatan lain tersebut bukan untuk menggantikan posisi penting bukti melainkan

11

untuk digunakan secara bersama-sama dengan bukti demi pencapaian tujuan proses belajar

mengajar yang telah ditetapkan. Meskipun demikian, pada berbagai kesempatan, penggunaan

pendekatan lain tersebut cenderung difungsikan sebagai pesaing dari bukti dan pada gilirannya

menjadi lebih dominan. Keadaan seperti ini kadangkala mengarahkan para pendidik untuk

kemudian berpikir bahwa bukti tidak perlu lagi diajarkan atau digunakan (Hanna, 2000b).

Pelengkap yang pertama adalah pendekatan heuristik. Beberapa pendidik percaya

bahwa mereka perlu memilih antara mengembangkan kemampuan dan keterampilan investigasi

dan pemecahan masalah dan menanamkan pemahaman tentang dan keterampilan yang

dibutuhkan dalam mengkonstruksi suatu bukti (Simon & Blume, 1996). Terdapat

kecenderungan untuk menganggap bukti sebagai sesuatu yang sulit dan hanya bisa dikuasai

oleh segelintir mahasiswa, sedangkan pendekatan heuristik kelihatannya lebih mudah dipahami

oleh lebih banyak mahasiswa (Hanna, 2000b). Kecenderungan untuk menganggap pendekatan

heuristik lebih penting daripada bukti tersebut disebabkan oleh pemahaman yang tidak

menyeluruh tentang apa dan bagaimana sifat matematika.

Di tengah dilema antara pendekatan heuristik dan bukti, Jaffe dan Quinn (1993)

mengemukakan perbedaan antara matematika yang berasal dari penalaran intuitif dan spekulatif

dan matematika yang dibangun melalui sistem deduktif aksiomatik dengan prinsip-prinsip yang

terbuktikan secara ketat. Beragam tanggapan bermunculan terhadap pendapat tersebut. Sebagai

contoh, James Glimm (Atiyah et al., 1994) menegaskan bahwa jika matematika dimaksudkan

untuk mencakupi hal-hal spekulatif, matematika harus memuat standar mutlak penalaran logis

yang benar sebagai sumbangan unik matematika terhadap budaya sains. Dalam pada itu,

meskipun ada kesepakatan tentang kemungkinan digunakannya pendekatan heuristik dan bukti

12

yang bergantung pada konteks, Hanna (2000b) menegaskan bahwa kesahihan suatu pernyataan

matematika pada akhirnya dilandaskan pada bukti.

Pendekatan kedua yaitu eksplorasi. Perlu diketahui bahwa eksplorasi ini memiliki

makna kurang lebih sama dengan eksplorasi yang dibahas lebih awal pada peran bukti, tetapi

pada bagian ini, eksplorasi diposisikan sebagai pelengkap bukti. Khususnya di dalam geometri,

eksplorasi didukung oleh ketersediaan perangkat lunak dengan kemampuan grafik dinamis yang

membantu mahasiswa memahami dalil-dalil dengan kemampuannya menampilkan konstruksi

geometris dengan akurasi dan ketelitian yang tinggi. Perangkat lunak dinamis tersebut

sebenarnya memiliki potensi untuk mendorong kegiatan eksplorasi dan pembuktian, karena

perangkat tersebut memudahkan kita dalam proses pembuatan dan pengujian suatu dugaan

(Hanna, 2000b).

Ada suatu masalah yang muncul karena beberapa pendidik cenderung mengabaikan

perlunya bukti dan menganggap eksplorasi sudah cukup di dalam matematika. Ketimbang

mengganti bukti dengan eksplorasi, Hanna (2000b) mengemukakan bahwa apa yang

sesungguhnya kita perlukan adalah menggunakan keduanya: eksplorasi mengarahkan kita pada

penemuan dan bukti digunakan untuk penegasan. Mahasiswa perlu mengetahui bahwa

eksplorasi berguna di dalam memformulasikan dan menguji dugaan, tetapi tidak

membuktikannya. Eksplorasi masih memerlukan pembenaran yang dapat ditunjukkan

(Giaquinto, 1994). Kegiatan untuk memecahkan suatu masalah mengimplementasikan

penalaran deduktif bersama-sama dengan bukti statistik, induktif dan bergantung pada keadaan

(situasional) (Polya, 1957).

Matematikawan dan logikawan masih meneliti penggunaan representasi visual,

khususnya, sumbangan potensialnya kepada bukti matematika. Mereka menyadari bahwa ada

13

beberapa diagram yang kurang tepat yang kadang digunakan sebagai representasi visual di

dalam pengajaan matematika (Hanna, 2000b). Pertanyaan pokok yang diangkat oleh berbagai

kajian tentang visualisasi adalah apakah visualisasi dapat digunakan untuk membenarkan

pernyataan matematika tertentu.

Diagram dan alat bantu visual yang lain telah lama digunakan untuk memfasilitasi

pemahaman, dan alat bantu tersebut dianggap sebagai pelengkap heuristik bagi bukti yang

dapat mengilhami pembuktian teorema (Hanna, 2000b). Francis (1996) mengakui kemampuan

komputer grafik dalam hal visualisasi, tetapi hal tersebut tidaklah menafikan pentingnya

keketatan dalam verifikasi. Lebih lanjut, dia juga menambahkan bahwa eksperimentasi

komputer seharusnya tidak menggantikan bukti yang ketat karena penalaran visual jelas tidak

setara dengan penalaran yang dituliskan dalam bentuk rangkaian kalimat. Sejalan dengan itu,

Palais (1999) berpendapat bahwa representasi visual dapat menunjukkan jalan menuju

pembuktian, tetapi bukan untuk menggantikannya.

Menyangkut bukti visual (Tall, 1995; Nelsen, 1993), terdapat kriteria yang diperlukan

untuk suatu visualisasi sedemikian sehingga dapat ditetapkan sebagai sebuah bukti, yakni, andal,

konsisten dan dapat diulangi (Hanna, 2000b). Bukti visual dapat dibuat karena kita dapat

memformalisasi penalaran yang menggunakan diagram dan dimungkinkan juga untuk

membangun argumen yan logis dan ketat berdasarkan representasi visual tersebut. Pengaruh

pendekatan heuristik atau eksploratif lebih mengemuka, contohnya, di dalam ilmu pengetahuan

alam, dan pada gilirannya, secara tidak sadar. keduanya mempengaruhi jalan pikiran mahasiswa

tentang apa dan bagaimana bukti matematika itu.

Kajian tentang pelengkap bukti tersebut penting karena dalam kenyataannya, saya

menemukan di dalam kelas beberapa mahasiswa yang cenderung percaya bahwa pendekatan

14

tersebut dapat menggantikan atau dapat dipandang sebagai bukti yang sahih. Menurut

Mappamadeng (1994), konsepsi mahasiswa dapat diteliti melalui kemampuan mereka

mengidentifikasi hubungan antara suatu konsep dengan konsep lainnya. Dalam hal konsepsi

tentang bukti, kemampuan mahasiswa untuk melihat hubungan antara bukti dan pendekatan

heuristik, eksplorasi dan visualisasi seharusnya dikaji lebih mendalam. Di samping itu,

kemampuan mahasiswa untuk mengidentifikasi dan menjelaskan keunikan bukti matematika

dibandingkan dengan bukti di dalam disiplin ilmu yang lain seharusnya diperhatikan jika kita

ingin memperoleh gambaran yang komprehensif tentang konsepsi mereka tentang bukti

matematika.

PENUTUP

Proses belajar mengajar bukanlah semata untuk menanamkan pemahaman di dalam

pikiran mahasiswa, tetapi lebih pada bagaimana memfasilitasi mereka sedemikian sehingga

mereka bisa mengkonstruksi pemahaman tersebut di bawah arahan dan bimbingan para

pendidik. Sebagaimana diungkapkan oleh Gibran (2001) yang dikutip di awal tulisan ini bahwa

guru tidak memberikan hikmahnya tetapi semata menanamkan keyakinan dan memberikan

cintanya. Mendidik bukan untuk mengajak seseorang mengikuti alam pemikiran pendidik,

tetapi membimbing seseorang di dalam alam pikirannya sendiri.

Demikian halnya dengan bukti matematika, proses pembelajaran tentang bukti

matematika seharusnya ditampilkan dalam bentuk kegiatan yang memfasilitasi proses

konstruksi dan rekonstruksi pemahaman konseptual mahasiswa. Diharapkan bahwa melalui

kegiatan belajar mengajar yang efektif, mahasiswa mampu memahami konsep bukti matematika

secara memadai yang mencakup aspek-aspek tentang apa dan bagaimana bukti matematika itu

15

serta apa dan bagaimana peran dan kedudukan bukti di dalam matematika. Dengan

pengalaman belajar yang demikian, apresiasi dan keterampilan pembuktian yang dimiliki oleh

mahasiswa diharapkan dapat terbangun atau menjadi lebih meningkat.

DAFTAR PUSTAKA

Alibert, D., & Thomas, M. 1991. Research on Mathematical Proof. Dalam D. O. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 215-230). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.Atiyah, M., et al. 1994. Responses to “theoretical mathematics”: Towards a Cultural Synthesis of Mathematics and Theoretical Physics", by A. Jaffe and F. Quinn. Bulletin of the American Mathematical Society, 30(2), 178–207.

Bell, F. H. (1978). Teaching and Learning Mathematics (In Secondary School). Iowa: Wm. C. Brown Company Publishers.

de Villiers, M. 1990. The Role and Function of Proof in Mathematics. Pythagoras, 24, 17-24.

Ernest, P. 1991. The Philosophy of Mathematics Education. London: The Falmer Press. Francis, G. (1996). Mathematical Visualization: Standing at the Crossroads. Diakses pada tanggal 15

Oktober 2003 dari http://www.cecm.sfu.ca/projects/PhilVisMath/vis96panel.html. Giaquinto, M. 1994. Epistemology of Visual Thinking in Elementary Real Analysis. British

Journal for the Philosophy of Science, 45, 789–813. Gibran, K. 2001. The Prophet Collection. Stepney, South Australia: Axiom Publishing. Hanna, G. 1983. Rigorous Proof in Mathematics. Toronto, Ontario: OISE Press. Hanna, G. 1995. Challenge to the Importance of Proof. For the Learning of Mathematics, 15(3),

42-49. Hanna, G. 2000a. A Critical Examination of Three Factors in the Decline of Proof. Interchange,

31(1), 21-33. Hanna, G. 2000b. Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in

Mathematics, 44, 5-23. Hanna, G., & Jahnke, H., N. 1996. Proof and Proving. Dalam A. J. Bishop, K. Clements, C.

Keitel, J. Kilpatrick, & C. Laborde, International Handbook of Mathematics Education (Part 2, 877-908). Dordrecht, The Netherland: Kluwer Academic Publishers.

Hersh, R. 1993. Proving is Convincing and Explaining. Educational Studies in Mathematics, 24, 389-399.

Hiebert, J., & Carpenter, T. P. 1992. Learning and Teaching with Understanding. Dalam D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A Project of the National Council of Teachers of Mathematics (65-97). New York: Macmillan.

Hoyles, C. 1997. The Curricular Shaping of Students' Approaches to Proof. For the Learning of Mathematics, 17(1), 7-16.

Jaffe, A., & Quinn, F. 1993 “Theoretical Mathematics”: Towards a Cultural Synthesis of Mathematics and Theoretical Physics. Bulletin of the American Mathematical Society, 29(1), 1–13.

16

Knuth, E. J. 2002a. Secondary School Mathematics Teachers’ Conceptions of Proof. Journal for Research in Mathematics Education, 33(5), 379-405.

Knuth, E. J. 2002b. Teachers’ Conceptions of Proof in the Context of Secondary School Mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education, 5, 61-88.

Lakatos, I. 1976. Proof and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press. Lee, J. K. 2002. Philosophical Perspective on Proof in Mathematics Education. Philosophy of

Mathematics Education Journal, 16. Diakses tangga; 14 Mei 2003, dari from http://www.ex.ac.uk./~PErnest/pome16/docs/lee.pdf.

Mackenzie, D. 2002. Beautiful Mind’s Mathematics Guru Makes Truth = Beauty: As Mathematics Consultant to the Hit Film about a Troubled Genius, Dave Bayer Learned to Balance a Whole New Set of Equations. Science, 295(5556), 789-790.

Mappamadeng, M. D. 1994. Hubungan antara Persepsi Mahasiswa terhadap Efektivitas Pengajaran Dosen, Sikap terhadap Kalkulus, dan Penguasaan Logika Elementer dengan Tingkat Pemahaman Konsep Kalkulus di FPMIPA IKIP Ujungpandang. Tesis. Malang, Indonesia: IKIP Malang.

Markel, W. D. 1994. The Role of Proof in Mathematics Education. School Science and Mathematics, 94(6), 291-295.

Nelsen, R. B. 1993. Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, D.C.: Mathematical Association of America.

Nickerson, R. S. 1985. Understanding Understanding. American Journal of Education, 43(2), 201-239.

Palais, R. S. 1999. The Visualization of Mathematics: Toward a Mathematical Exploratorium. Notices of the AMS, 46(6), 647–658.

Peterson, I. 1990. Equation in Stone: A Mathematician Turns to Sculpture to Convey the Beauty of Mathematics. Science News, 138(10), 152-154.

Polya, G. 1957. How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. New York: Doubleday. Reid, D. 2001. Proof, Proofs, Proving and Probing: Research Related to Proof. Makalah yang didasarkan

pada Short Oral Presentation pada the Twentieth-Fifth Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Utrecht, the Netherlands.

Rota, G. 1996. Indiscrete Thoughts. Boston: Birkhauser. Sabri, 2003. Prospective Secondary School Teachers’ Conceptions of Mathematical Proof in Indonesia. Tesis.

Perth: Curtin University of Technology. Schoenfeld, A. 1994. What do We Know about Mathematics Curricula?. Journal of Mathematics

Behavior, 78(6), 448-456. Segal, J. 2000. Learning about Mathematical Proof: Conviction and Validity. Journal of

mathematical Behavior, 18(2), 191-210. Simon, M., & Blume, G. 1996. Justification in the Mathematics Classroom: A Study of

Prospective Elementary Teachers. Journal of Mathematical Behavior, 15, 3-31. Steiner, M. 1978. Mathematical Explanation. Philosophical Studies, 34, 135-151. Tall, D. O. 1989. The Nature of Mathematical Proof. Mathematics Teaching, 127, 28-32. Tall, D. O. 1995. Cognitive Development, Representations, and Proof. Makalah ditampilkan dalam

konferensi Justifying and Proving in School Mathematics, Institute of Education, London, Desember 1995.

Thurston, W. P. 1994. On Proof and Progress in Mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society, 30(2), 161–177.

Wheleer, D. 1990. Aspects of Mathematical Proof. Interchange, 21(1), 1-5.