Bab 14

Pengenalan kepada Statistik Ekonomi dan Perniagaan

Ujian Khi-Kuasadua

Ujian Khi-Kuasadua

Taburan khi-kuasadua telah dibincangkan di dalam Bab ___ sebagai satu cara untuk ujian hipotesis yang berkaitan dengan varian populasi, (2. Objektifnya ialah untuk menerangkan populasi tunggal untuk data skala adalah interval. Bab ini akan menggunakan taburan khi-kuasadua untuk menjalankan dua ujian statistik yang melibatkan data berskala nominal. Ujian statistik yang pertama ialah ketepatan padanan digunakan untuk data yang dijanakan oleh ujikaji multinominal yang merupakan rumusan dari ujikaji binomial. Ujian statistik kedua menggunakan data yang disusun di dalam jadual (dipanggil sebagai jadual kontingensi) untuk menentukan sama ada dua klasifikasi populasi data nominal bebas secara statistik atau tidak: ujian ini juga boleh ditafsirkan sebagai perbandingan dua atau lebih data nominal populasi. Akhir sekali, ketepatan padanan adalah digunakan kepada sampel data untuk menentukan kesesuaian untuk mengandaikan sampel tersebut diambil daripada populasi normal.

Taburan khi-kuasadua merupakan salah satu daripada taburan statistik yang meluas digunakan untuk menjalankan ujian hipotesis di dalam situasi yang praktikal. Berikut adalah dua contoh situasi dimana unian statistik di atas boleh digunakan.

Pertama, firma secara berkala menganggarkan bahagian (atau syer pasaran) pelanggan yang mengemari keluarannya, sebagaimana syer pasaran pesaingnya. Syer pasaran ini mungkin berubah mengikut masa akibat dari kempen pengiklanan atau pengenalan kepada keluaran baru. Untuk menentukan jika syer pasaran semasa yang sebenar adalah selaras dengan kepercayaan syarikat, firma mungkin mengambil beberapa sampel pelanggan dan mengira, untuk setiap syarikat yang bersaing, bahagian pelanggan yang disampel mengemari keluaran syarikat tersebut. Ujikaji seperti ini, dimana pelanggan adalah dikelaskan sebagai mengemari satu daripada k syarikat, adalah dipanggil sebagai ujikaji multinominal. Jika hanya dua syarikat yang dipertimbangkan (k = 2), kita boleh menggunakan ujikaji binomial yang biasa. Selepas mengira perkadaran kegemaran pelanggan bagi setiap k syarikat, ujian ketepatan padanan sepatutnya dijalankan untuk menentukan sama ada perkadaran sampel (atau bahagian pasaran) berbeza atau tidak secara statistik dari apa yang dihipotesiskan oleh firma. Objektif masalah ialah untuk menerangkan populasi pelanggan, dan data adalah berskala nominal.

Kedua, untuk pengiklanan dan lain-lain kegunaan, adalah penting bagi syarikat untuk memahami manakah segmen pasaran yang mengemari sesuatu keluaran. Sebagai contoh, adalah amat membantu bagi pengeluar kenderaan untuk mengetahui perhubungan di antara citarasa pembeli berbagai-bagai model dan jantina pelanggan. Selepas menjalankan survei untuk mengetahui citarasa pelanggan, firma boleh mengkelaskan setiap responden menurut dua angkubah nominal: model yang digemari, dan jantina. Ujian boleh dijalankan untuk menentukan sama ada citarasa pelanggan mempunyai hubungan dengan jantina atau tidak. Disamping mentafsir ujian ini sebagai ujian hubungan dua angkubah nominal yang dikenalpsti sebagai satu populasi, kita boleh melihat pelanggan lelaki dan perempuan mewakili dua populasi yang berbeza. Kemudian kita boleh mentafsirkan ujian sebagai ujian untuk membezakan citarasa di antara dua populasi ini.

12.1 Ujian Khi-kuasadua Ujian Multinominal

Bahagian ini akan membincangkan satu ujian lain berkaitan dengan populasi tunggal yang menggunakan data nominal. Ujian lain yang sedemikian telah dibincangkan di dalam bab ___, dimana kita membincangkan pentaabiran berkaitan perkadaran populasi, p. Di dalam kes tersebut, data untuk ujian statistik adalah diberikan oleh ujian binomial. Ingat kembali, keputusan bagi setiap percubaan ujikaji binomial adalah diukur menggunakan skala nominal, menggunakan kategori dikotomous sepertu berjaya dan gagal, atau rosak dan baik. Di dalam beberapa ujikaji yang penting (dipanggil ujikaji multinominal), walau bagaimanapun, hasil setiap percubaan adalah diukur menggunakan skala nominal yang melibatkan lebih dari dua kategori. Sebagai contoh, pakaian yang dihasilkan oleh mesin boleh dikelaskan sebagai senget, jahitan tidak sempurna atau baik. Atau, pelanggan lebih mengemari keluaran A, B, C, atau D. Ujikaji multinominal adalah bentuk am ujikaji binomial dimana membenarkan untuk lebih dari dua kemungkinan hasil bagi setiap percubaan ujikaji sebagaimana penerangan di bawah, yang selari dengan ujikaji binomial.

Ujikaji Multinominal

Ujikaji multinominal mempunyai kandungan berikut:

i. Ujikaji mengandungi bilangan tetap n percubaan.

ii. Hasil bagi setiap ujikaji boleh dikelaskan kepada satu dari k kategori, dipanggil sebagai sel.

iii. Kebarangkalian pi bagi hasil percubaan akan jatuh di dalam sel i masih kekal bagi setiap percubaan, untuk i = 1,2,,k. Seterusnya p1 + p2 + + pk = 1.

iv. Setiap percubaan ujikaji adalah bebas dengan percubaan yang lain.

Ujian ketepatan padanan khi-kuasadua membandingkan kekerapan terjangka, atau kekerapan teoritikal sesuatu kategori dari taburan populasi terhadap kekerapan diperhatikan, atau kekerapan sebenar untuk menentukan sama ada terdapat perbezaan di antara apa yang dijangkakan dan apa yang diperhatikan. Sebagai contoh, pegawai industri penerbangan mempunyai teori bahawa umur penumpang kapalterbang adalah bertaburan di dalam corak yang tertentu. Untuk mengesahkan atau menolak taburan yang dijangkakan ini, sampel sebenar usia penumpang kapalterbang diambil secara rawak, dan keputusan pemerhatian kemudiannya dibandingkan dengan keputusan ujian ketepatan padanan khi-kuasadua. Ujian juga boleh digunakan untuk menentukan sama ada ketibaan sebenar pada mesin teller bank adalah bertaburan Poisson, sebagaimana yang dijangkakan. Di dalam industri kertas, pengilang boleh menggunakan ujiab ketepatan padanan khi-kuasadua untuk menentukan sama ada permintaan kertas adalah menurut taburan seragam disepanjang tahun.

Formula 12.1 boleh digunakan untuk mengira ujian khi-kuasadua. Formula ini membandingkan kekerapan nilai yang diperhatikan dengan nilai kekerapan yang dijangkakan disepanjang taburan. Ujian ini kehilangan satu darjah kebebasan disebabkan jumlah bilangan kekerapan terjangka mesti sama dengan bilangan kekerapan yang diperhatikan. Iaitu, jumlah pemerhatian yang diambil dari sampel adalah digunakan sebagai jumlah kekerapan terjangka. Disamping itu di dalam sesetengah keadaan parameter populasi, seperti (, ( atau (, adalah dianggarkan daripada data sampel untuk menentukan nilai terjangka taburan kekerapan. Setiap masa penganggaran ini dilakukan, kehilangan darjah kebebasan akan ditambah. Sebagai peraturan am, jika taburan seragam digunakan sebagai taburan yang dijangkakan atau jika nilai taburan dijangkakan diberikan, k 1 darjah kebebasan adalah digunakan di dalam ujian. Jika ujian adalah untuk menentukan sama ada taburan yang diperhatikan adalah taburan Poisson, darjah kebebasan adalah k 2 disebabkan tambahan darjah kebebasan adalah hilang di dalam menganggarkan (. Di dalam ujian untuk menentukan sama ada taburan yang diperhatikan adalah normal, darjah kebebasan adalah k 2 disebabkan dua tambahan darjah kebebasan adalah hilang di dalam menganggarkan ( dan ( daripada data sampel.

Ujian Ketepatan padanan Khi-Kuasadua

(12.1)

df = k 1 c

dimana

oi = kekerapan nilai diperhatikan (i = 1, 2, , k)

ei = kekerapan nilai terjangka (i = 1, 2, , k)

k = bilangan kategori

c = bilangan parameter yang hendak dianggarkan daripada sampel

Karl Pearson memperkenalkan ujian khi-kuasadua di dalam tahun 1900. Taburan khi-kuasadua ialah jumlah kuasadua angkubah rawak bebas dan oleh itu nilainya tidak akan kurang daripada sifar; ia mempunyai arah yang positif. Sebenarnya taburan khi-kuasadua merupakan ahli keluarga dengan setiap taburan ditentukan oleh darjah kebebasan yang berkaitan dengannya. Untuk nilai darjah kebebasan yang kecil taburan khi-kuasadua adalah pencong ke arah kanan (nilai positif). Apabila darjah kebebasan meningkat, taburan khi-kuasadua mula menghampiri taburan normal. Jadual nilai khi-kuasadua adalah diberikan di dalam Jadual A.__. Disebabkan ruangan yang tidak mencukupi, nilai khi-kuasadua adalah disenaraikan untuk nilai kebarangkalian yang tertentu sahaja.

Bagaimanakah ujian ketepatan padanan digunakan di dalam situasi perniagaan? Satu kajian keatas pelanggan-pelanggan bank di Malaysia telah dijalankan dan soalan berikut telah ditanya kepada pelanggan: Secara am, bagaimanakah paras perkhidmatan yang diberikan oleh bank di Malaysia? Taburan maklumbalas terhadap soalan ini ialah seperti berikut:

Amat memuaskan10%

Memuaskan45%

Sederhana33%

Tidak memuaskan12%

Katakan pengurus bank mahu menentukan sama ada keputusan kajian pelanggan tersebut boleh digunakan untuk Kuala Lumpur. Untuk melakukannya, pengurus bank tersebut menemuduga 210 pelanggan diberbagai-bagai bank secara rawak di Kuala Lumpur. Ia menyoal pelanggan bagaimanakah paras perkhidmatan yang diberikan oleh bank di Malaysia? Kategori maklumbalas adalah amat memuaskan, memuaskan, sederhana, tidak memuaskan. Maklumbalas diperhatikan bagi kajian ini diberikan di dalam Jadual 12.1. Sekarang pengurus boleh menggunakan ujian ketepatan padanan khi-kuasadua untuk menentukan sama ada kekerapan diperhatikan maklumbalas dari kajian ini adalah sama sebagaimana kekerapan yang dijangkakan berdasarkan kepada kajian di Malaysia.

Jadual 12.1

Keputusan Kajian Kepuasan Pelanggan Bank di Kuala Lumpur

MaklumbalasKekerapan (oi)

Amat memuaskan22

Memuaskan110

Sederhana62

Tidak memuaskan16

Langkah 1:Hipotesis bagi masalah ini ialah

H0: Taburan yang diperhatikan adalah sama sebagaimana taburan yang dijangkakan

Ha: Taburan yang diperhatikan adalah tidak sama sebagaimana taburan yang dijangkakan

Langkah 2:Ujian statistik yang digunakan ialah

Langkah 3:Biarkan ( = 0.05

Langkah 4:Ujian ketepatan padanan khi-kuasadua satu hujung digunakan disebabkan khi-kuasadua sifar menunjukkan persetujuan sempurna di antara taburan. Sebarang sisihan daripada sifar berlaku hanya di dalam arah yang positif sahaja disebabkan khi-kuasadua ditentukan dengan menjumlah nilai kuasadua dan tidak mungkin memperolehi nilai negatif. Denga empat kategori di dalam contoh ini (amat memuaskan, memuaskan, sederhana dan tidak memuaskan), k = 4. Darjah kebebasan adalah k 1 disebabkan taburan terjangka adalah diberi: k 1 = 4 1 = 3. Untuk ( = 0.05 dan df = 3, nilai kritikal khi-kuasadua ialah

Selepas data dianalisis, jika nilai khi-kuasadua yang diperhatikan lebih besar daripada 7.815 maka hipotesis nul ditolak.

Langkah 5:Niali diperhatikan adalah di dalam Jadual 12.1 dengan jumlah kekerapan 210. Oleh itu n = 210. Perkadaran diperhatikan adalah diberi, tetapi kekerapan terjangka mesti dikira dengan mendharabkan perkadaran terjangka dengan jumlah sampel kekerapan terjangka, sebagaimana ditunjukkan di dalam Jadual 12.2

Jadual 12.2

Pembentukkan Nilai Terjangka Kajian Perkhidmatan Pelanggan Bank

MaklumbalasPerkadaran TerjangkaKekerapan Terjangka (ei)

(Perkadaran X Jumlah Sampel)

Amat memuaskan0.10(0.10(210) = 21.00

Memuaskan0.45(0.45)(210) = 94.50

Sederhana0.33(0.33)(210) = 69.30

Tidak memuaskan0.12(0.12)(210) = 25.20

210.00

Langkah 6:Nilai ketepatan padanan khi-kuasadua kemudiannya dikira, sebagaimana ditunjukkan di dalam Jadual 12.3

Langkah 7:Niali khi-kuasadua yang diperhatikan ialah 6.72 dan nilai jadual kritikal ialah 7.815. Disebabkan nilai khi-kuasadua diperhatikan lebih kecil daripada nilai khi-kuasadua kritikal, pengurus bank tidak boleh menolak hipotesis nul.

Jadual 12.3

Pengiraan Khi-kuasadua Kajian perkhidmatan pelanggan bank

Maklumbalasoiei

Amat memuaskan2221.000.05

Memuaskan11094.502.54

Sederhana6269.300.77

Tidak memuaskan1625.203.36

210210.006.72

= 6.72

Rajah 12.1

Taburan Khi-kuasadua untuk Contoh Pelanggan Perkhidmatan bank

Langkah 8:Oleh itu data yang diambil dari 210 pelanggan bank di Kuala Lumpur menunjukkan bahawa taburan responden pelanggan bank di Kuala Lumpur adalah tidak mempunyai perbezaan yang signifikan berbanding maklumbalan pelanggan bank di Malaysia.

Pengurus bank mungkin boleh membuat kesimpulan bahawa pelanggan bank di Kuala Lumpur tidak kelihatan mempunyai sikap yang berbeza dengan pelanggan di malaysia. Rajah 12.1 menunjukkan tahuran khi-kuasadua bagi contoh ini, bersama-sama nilai diperhatikan dan nilai kritikal.

Contoh 12.1

Pengurus setesyen minyak PETRONAS di Serdang mahu mengetahui sama ada jualan petrol adalah bertaburan seragam disepanjang tahun oleh itu ia boleh membuat perancangan pembelian petrol. Min taburan seragam dimana kekerapan adalah sama di dalam semua kategori. Di dalam situasi ini, pengurus mahu mengetahui sama ada jumlah petrol yang dijual adalah sama setiap bulan sepanjang tahun. Ia meneliti rekod jualan petrol setiap bulan sepanjang tahun, dan mendapati sebagaimana berikut. Gunakan ( = 0.01 untuk menguji sama ada data sesuai untuk taburan seragam.

Bulan000 liter

Januari 1,832.00

Februari 1,785.00

Mac 1,949.00

April 1,690.00

mei 1,350.00

Jun 1,493.00

Julai 1,675.00

Ogos 1,574.00

September 1,695.00

Oktober 1,564.00

November 1,402.00

Desimber 1,755.00

Jumlah 19,764.00

Penyelesaian:

Langkah 1:Hipotesis adalah sebagaimana berikut

H0: Jualan petrol bulanan adalah bertaburan seragam

Ha: Jualan petrol bulanan tidak bertaburan seragam

Langkah 2:Ujian statistik yang digunakan ialah

Langkah 3:Alpha ialah 0.01

Langkah 4:Terdapat 12 kategori dan taburan seragam adalah taburan jangkaan, oleh itu darjah kebebasan adalah k 1 = 12 1 = 11. Untuk ( = 0.01, nilai kritikal ialah . Nilai khi-kuasadua yang diperhatikan lebih daripada 24.725 mesti diperolehi untuk menolak hipotesis nul.

Langkah 5:Data adalah diberikan di atas.

Langkah 6:Langkah pertama di dalam mengira ujian statistik ialah menentukan kekerapan terjangka. Jumlah kekerapan terjangka mestilah sama dengan jumlah bagi kekerapan diperhati (20.00 juta liter). Jika kekerapan adalah bertaburan seragam, bilangan jualan yang sama adalah dijangkakan setiap bulan. Jualan terjangka sebula ialah

Jadual berikut menunjukkan kekerapan diperhatikan, kekerapan terjangka, dan pengiraan khi-kuasadua bagi masalah ini.

Bulanoiei

Januari 1,832.00 1,647.00 20.78

Februari 1,785.00 1,647.00 11.56

Mac 1,949.00 1,647.00 55.38

April 1,690.00 1,647.00 1.12

mei 1,350.00 1,647.00 53.56

Jun 1,493.00 1,647.00 14.40

Julai 1,675.00 1,647.00 0.48

Ogos 1,574.00 1,647.00 3.24

September 1,695.00 1,647.00 1.40

Oktober 1,564.00 1,647.00 4.18

November 1,402.00 1,647.00 36.45

Desimber 1,755.00 1,647.00 7.08

Jumlah 19,764.00 19,764.00 (2=209.62

Langkah 7:Nilai (2 yang diperhatikan lebih besar daripada nilai jadual kritikal , oleh itu keputusan adalah menolak hipotesis nul. Maka kita mempunyai bukti yang mencukupi di dalam masalah ini untuk menunjukkan taburan jualan petrol adalah tidak seragam.

Langkah 8:Jualan petrol di setesyen minyak adalah tidak bertaburan seragam, oleh itu pengurus mesti membuat perancangan untuk memenuhi permintaan setiap bulan. Diwaktu permintaan meningkat, lebih petrol perlu dipesan dari pembekal, dan diwaktu kurang permintaan, pesanan boleh dikurangkan.

Berikut adalah graf yang menunjukkan taburan khi-kuasadua, nilia khi-kuasadua kritikal dan nilai khi-kuasadua yang diperhatikan.

Contoh 12.2

Di dalam Bab 5, kerapkali di dalam dunia perniagaan, angkubah rawak adalah bertaburan Poisson. Taburan tersebut mempunyai ciri-ciri purata kadar ketibaan, (, di dalam sesuatu selang. Katakan pengurus tol di Serdang mempercayai taburan ketibaan rawak kenderaan di pintu masuk tol Serdang adalah bertaburan Poisson dan mahu menguji hipotesis ini dengan mamungut maklumat. Data berikut menunjukkan taburan kekerapan ketibaan kenderaan dalam masa satu minit di pintu tol Serdang. Gunakan ( = 0.05 untuk menguji data ini di dalam usaha untuk menentukan sama ada ia bertaburan Poisson.

Bilangan KetibaanKekerapan Diperhati

08

119

227

317

413

(56

Penyelesaian

Langkah 1:Hipotesis adalah sebagaimana berikut:

H0: taburan kekerapan adalah Poisson

Ha: Taburan kekerapan bukan Poisson

Langkah 2:Ujian statistik yang sesuai ialah

Langkah 3:Alpha ialah 0.05

Langkah 4:Darjah kebebasan ialah k 2 = 6 1 1 = 4 disebabkan taburan terjangka ialah Poisson. Tambahan satu darjah kebebasan adalah kehilangan yang disebabkan nilai lambda mesti dikira dengan menggunakan data sampel yang diperhatikan. Untuk ( = 0.05, nilai jadual kritikal ialah . Peraturan keputusan ialah tolak hipotesis nul jika nilai khi-kuasadua yang diperhatikan lebih besar daripada .

Langkah 6:Untuk menentukan kekerapan terjangka, pengurus mesti memperolehi kebarangkalian setiap kategori ketibaan dan kemudian mendharabkannya dengan jumlah kekerapan diperhatikan. Kebarangkalian ini diperolehi dengan menentukan nilai lambda dan kemudian menggunakan jadual Poisson. Oleh kerana min taburan Poisson, lambda boleh ditentukan daripada data diperhatikan dengan mengira min data. Di dalam kes ini, pengurus mengira purata wajaran dengan menjumlahkan hasil dharab bilangan ketibaan dengan kekerapan ketibaan dan dibahagikan dengan jumlah bilangan kekerapan diperhatikan.

Bilangan KetibaanKekerapan DiperhatiKetibaan x Diperhatikan

080

11919

22754

31751

41352

(5630

90206

Dengan nilai lambda ini dan taburan Poisson di dalam Jadual A.__, pengurus boleh menentukan kebarangkalian ketibaan setiap kategori. Nilai kebarangkalian terjangka adalah ditentukan dari Jadual A.3 dengan melihat nilai X = 0, 1, 2, 3, 4 di dalam lajur di bawah ( = 2.3, ditunjukkan di dalam jadual di bawah sebagai kebarangkalian terjangka. Kebarangkalian untuk X ( 5 adalah ditentukan dengan menjumlahkan kebarangkalian untuk nilai X = 5,6,7,8 dan seterusnya. Menggunakan kebarangkalian ini dan jumlah 90 dari data pemerhatian, pengurus boleh mengira kekerapan terjangka dengan mendharabkan setiap keberangkalian terjangka dengan jumlah (90).

Bilangan KetibaanKebarangkalian terjangkaKekerapan

Terjangka

00.1003 9.03

10.2306 20.75

20.2652 23.87

30.2033 18.30

40.1169 10.52

(50.0837 7.53

90.00

Langkah 6:Pengurus menggunakan kekerapan terjangka ini dan kekerapan diperhatikan untuk mengira nilai khi-kuasadua terjangka

Bilangan KetibaanKekerapan DiperhatikanKekerapan Terjangka

089.03 0.117

11920.75 0.148

22723.87 0.411

31718.30 0.092

41310.52 0.584

567.53 0.312

9090.00(2= 1.664

Langkah 7:Nilai diperhatikan adalah lebih kecil daripada nilai jadual kritikal 9.488, oleh itu pengurus tidak dapat menolah hipotesis nul. Oleh itu, ia gagal untuk menolak hipotesis bahawa taburan ketibaan kereta adalah Poisson.

Langkah 8:Pengurus boleh menggunakan taburan Poisson sebagai asas untuk jenis analisis lain, seperti model penggiliran.

Berikut adalah taburan khi-kuasadua, nilai kritikal, dan nilai dikira.

Perhatian: Apabila nilai terjangka kategori adalah kecil, nilai khi-kuasadua adalah besar boleh menyebabkan ralat, menyebabkan berlakunya ralat Jenis I. Untuk mengawal potensi ralat ini, ujian ketepatan padanan khi-kuasadua sepatutnya tidak digunakan apabila sebarang kekerapan terjangka adalah kurang daripada 5. Jika data yang diperhatikan menghasilkan nilai terjangka kurang daripada 5, mengabungkan kategori yang bersebelahan untuk menghasilkan kekerapan yang besar adalah diperlukan.

12.2 Analisis Kontingensi

Ujian ketepatan padanan khi-kuasadua adalah digunakan untuk menganalisis taburan kekerapan bagi kategori satu angkubah, seperti usia atau bilangan ketibaan kereta diplaza tol, untuk menentukan sama ada taburan ini sama sebagaimana yang dihipotesiskan atau taburan yang dijangkakan. Walau bagaimanapun, ujian ketepatan padanan tidak boleh digunakan untuk menganalisis dua angkubah secara serentak. Ujian khi-kuasadua yang berbeza, ujian khi-kuasadua bebas, boleh digunakan untuk menganalisis kekerapan dua angkubah dengan kategori yang berbilang untuk menentukan sama ada dua angkubah adalah bebas. Kerapkali ujian seperti ini adalah diperlukan. Sebagai contoh, penyelidik pemasaran mahu menentukan sama ada jenis minuman ringan yang digemari oleh pelanggan bebas dari pengaruh usia pengguna atau tidak. Ahli gelagat organisasi mungkin mahu mengetahui sam ada gelagat ponteng kerja adalah bebas daripada pengaruh jenis pekerjaan. Pelabor kewangan mungkin mahu mengetahui sama ada jenis pelaburan saham yang digemari adalah bebas daripada kawasan dimana pelabor tinggal.

Ujian khi-kuasadua bebas boleh digunakan untuk menganalisis sebarang paras pengukuran data tetapi ia khusus berguna di dalam menganalisis data nominal. Sebagai contoh, pengurus syarikat pengeluar minuman ringan mahu mengetahui jenis minuman ringan yang digemari oleh semua bangsa di Malaysia. Ia pertamanya mengkelaskan jenis minuman ringan yang dikeluarkan: berperisa mangga (A), berberisa belimbing (B), berperisa jambu batu (C) dan berperisa nanas (D). Ia kemudiannya mengkelaskan kepada tiga bangsa di Malaysia: Melayu (R1), Cina (R2) dan India (R3). Penganalisis pasaran kemudiannya menemuduga sampel rawak 250 orang pengemar minuman jus buah-buahan dan mengkelaskan mereka menurut dua kriteria tersebut, dan direkodkan kekerapan diperhatikan pengemar jus buah-buahan kedalam setiap 12 sel yang mungkin sebagaimana ditunjukkan di dalam Jadual 12.4. Jadual seperti ini, dimana item daripada populasi dikelaskan menurut dua kriteria adalah dipanggil sebagai jadual kontingensi.

Jadual 12.4

Jadual Kontengensi Pengkelasan Minuman Jus Buah-buahan

Jenis Jus Buah-buahan

BangsaABCDJumlah

R17281223115

R22610163385

R3710141950

Jumlah105204275250

Oleh kerana penganalisis pemasaran mahu menentukan sama ada terdapat hubungan di antara kegemaran terhadap jenis jus buah-buahan dengan bangsa, hipotesis yang diuji ialah

H0: Dua kelasifikasi ini adalah bebas.

Ha: Dua kelasifikasi ini adalah berhubungan

Ujian statistik yang bersesuaian adalah ujian khi-kuasadua yang sama sebagaimana yang digunakan untuk ujikaji multinominal. Walau bagaimanapun, di dalam masalah ini, hipotesis nul tidak menyatakan secara khusus nilai kebarangkalian setiap sel, yang diperlukan untuk mengira kekerapan sel dijangkakan. Oleh itu, kita mesti menganggarkan kebarangkalian sel kekerapan terjangka daripada data sampel.

Katakan A mewakili peristiwa pengemar jus mangga. Peristiwa B, C, dan D adalah didefinasikan sama. Katakan Ri menandakan peristiwa dimana pengemar minuman jus buah-buahan menurut bangsa, Ri, untuk i = 1, 2, dan 3.

Sebagaimana sebelumnya, nilai sel terjangka adalah diperolehi dengan mendharabkan saiz sampel, n, dengan kebarangkalian sel. Tetapi seblum kita melakukannya, kita mesti menganggar kebarangkalian sel. Ini boleh dilakukan dengan menganggarkan kebarngkalian lajur marginal (perkadaran penggemar jus yang menegemari setiap jenus jus buah-buahan) dan kebarangkalian baris marginal (perkadaran pengemar jus setiap bangsa).

Kebarangkalian marginal lajur adalah dianggarkan dengan membahagikan jumlah lajur dengan jumlah saiz sampel.

Tanda menunjukkan bahawa kebarangkalian ini adalah hanya penghampiran (disebabkan ia ditentukan berdasarkan kepada data sampel).

Di dalam cara yang sama, kebarangkalian baris marginal adalah dianggarkan dengan membahagikan jumlah baris dengan jumlah saiz sampel.

Mempunyai anggaran kebarangkalian lajur dan baris marginal, kita boleh menganggar kebarangkalian sel. Ingat kembali di dalam Bab 3, jika peristiwa E1 dan E2 adalah bebas, P(E1 ( E2) = P(E1).P(E2). Oleh itu, mengandaikan hipotesis nul adalah benar, kita boleh menggunakan peraturan pendharaban ini untuk peristiwa bebas untuk memperolehi kebarangkalian bersama dimana pengemar jus terletak di dalam sel pertama:

P(A(R1) = P(A).P(R1)

Dengan mendharabkan kebarangkalian bersama ini dengan saiz sampel, kita memperolehi bilangan terjangka yang terletak di dalam sel pertama:

e11 = n.P(A(R1) =

Perhatikan bahawa e11 adalah dikira dengan mendharabkan jumlah baris pertama dengan jumlah lajur pertama dan dibahagikan dengan n. Kekerapan terjangka yang lain adalah dianggarkan di dalam cara yang sama, menggunakan peraturan am berikut untuk kekerapan terjangka sel di dalam baris i dan lajur j:

Kekerapan sel terjangka bagi pengemar jus buah-buahan di dalam contoh ini ditunjukkan di dalam kurungan di dalam Jadual 13.5. Oleh kerana jumlah baris dan lajur kekerapan terjangka mesti sama sebagaimana jumlah kekerapan diperhatikan yang berpadanan, merupakan semakan ketepatan pengiraan kekerapan terjangka. Sebagaimana di dalam kes ujikaji multinominal, kekerapan terjangka disini sepatutnya memenuhi peraturan lima.

Jadual 12.5

Jadual Kontingensi Pengelasan Minuman Jus Buah-buahan

Jenis Jus Buah-buahan yagng Digemari

BangsaABCDJumlah

R172 (48.30)8 (12.88)12 (19.32)23 (34.50)115

R226 (35.70)10( 9.52)16 (14.28)33 (25.50)85

R37 (21.00)10( 5.60)14( 8.40)19 (15.00)50

Jumlah105284275250

Mempunyai sel kekerapan diperhatikan dan terjangka, kita boleh menggunakan statistik ujian khi-kuasadua sebagaimana yang kita gunakan di dalam ujian multinominal untuk menentukan sama ada perbezaan di antaranya adalah cukup besar untuk membolehkan kita menolak hipotesis nul. Untuk keselesaan tatatanda, kita akan meneruskan untuk menggunakan sub-skrip kembar untuk menandakan kekerapan diperhati dan dijangka di dalam ujian statistik sebagaimana di dalam Formula 12.2.

Ujian Khi-kuasadua Bebas

(14.2)

dimana

df = (r 1)(c 1)

r = bilangan baris

c = bilangan lajur

Dari pengiraan Jadual 12.6, kita memperolehi

=

Jadual 12.6

Pengiraan (2 untuk Minuman Jus Buah-buahan

SelKekerapan Diperhatikan (oij)Kekerapan Terjangka

(eii)(oij - eij)2

e117248.3 561.69 11.63

e212635.7 94.09 2.64

e31721 196.00 9.33

e12812.88 23.81 1.85

e22109.52 0.23 0.02

e32105.6 19.36 3.46

e131219.32 53.58 2.77

e231614.28 2.96 0.21

e33148.4 31.36 3.73

e142334.5 132.25 3.83

e243325.5 56.25 2.21

e341915 16.00 1.07

Jumlah 250 250 (2=42.75

Sekarang kita kita mesti mementukan nilai kritikal, dan kawasan penolakan. Untuk menentukan nilai kritikal, kita mesti mengetahui bilangan darjah kebebasan yang sesuai untuk ujian statistik taburan khi-kuasadua. Bilangan darjah kebebasan bagi jadual kontingensi dengan r baris dan c lajur ialah

df = (r 1)(c 1)

Secara amnya, bilangan darjah kebebasan untuk taburan khi-kuasadua ialah (k 1 m), dimana k ialah bilangan sel dan m ialah bilangan parameter populasi bebas yang mesti dianggarkan daripada data sampel sebelum kekerapan terjangka ditentukan. Tiada parameter yang dianggarkan di dalam ujian yang melibatkan ujikaji multinominal, oleh itu m adalah sifar dan bilangan darjah kebebasan adalah k 1. Nagi jadual kontingensi dengan r baris dan c lajur, terdapat rc sel, dan data sampel adalah digunakan untuk menganggarkan kebarangkalian r 1 baris dan kebarangkalian c 1 lajur. Oleh itu, bilangan darjah kebebasan bagi jadual kontingensi dengan r baris dan c lajur ialah

df = (r 1)(c 1)

Taburan kekerapan bagi ujian statistik di dalam contoh minuman jus buah-buahan, oleh itu, mempunyai (3 1)(4 1) = (2)(3) = 6 darjah kebebasan. Jika kita mengambil ( = 0.01, maka nilai kritikal . Oleh kerana nilai ujian statistik yang dikira ialah 42.75, kita menolak hipotesis nul dua klasifikasi adalah bebas. Berdasarkan kepada data sampel, kita membuat kesimpulan bahawa 1% paras keyakinan bahawa terdapat hubungan di antara citarasa pengemar jus buah-buahan dengan bangsa.

Rajah 12.3 adalah geraf yang menunjukkan nilai kritikal, kawasan penolakan, dan (2 yang diperhatikan.

Rajah 12.3

Taburan Khi-kuasadua cohntoh minuman jus buah-buahan.

Contoh 12.3

Adakah jenis minuman yang dipesan semasa makan tengahari disebuah restoran adalah bebas daripada pengaruh usia pelanggan? Sampel rawak 320 pelanggan adalah diambil dan menghasilkan jadual kontengensi berikut bagi nilai yang diperhatikan. Gunakan ( = 0.01 untuk menentukan sama ada dua angkubah ini bebas.

Kopi/TehMinuman ringanLain-lainJumlah

21 - 34 tahun3010020150

35 - 55 tahun414020101

> 55 tahun24133269

Jumlah9515372320

Penyelesaian:

Langkah 1: Hipotesis adalah

H0:Jenis minuman yang digemari tiada hubungan dengan usia pelanggan

Ha:Jenis minuman yang digemari mempunyai hubungan dengan usia pelanggan.

Langkah 2: Ujian statistik yang sesuai ialah

Langkah 3:Alpha ialah 0.01

Langkah 4:Darjah kebebasan ialah (3 1)(3 1) = 4, dan nilai kritikal ialah > Peraturan keputusan ialah menolak hipotesis nul jika nilai khi-kuasadua yang dikira lebih besar daripada 13.277.

Langkah 5:Data sampel adalah diberikan di atas.

Langkah 6:Kekerapan terjangka adalah hasil dharab jumlah baris dan jumlah lajur dibahagikan dengan jumlah sampel. Jadual kontingensi, dengan kekerapan terjangka adalah

Kopi/TehMinuman RinganLain-lainJumlah

21 - 34 tahun3010020150

(44.53)(71.72)(33.75)

35 - 55 tahun414020101

(29.98)(48.29)(22.73)

> 55 tahun24133269

(20.48)(32.99)(15.53)

Jumlah9515372320

Bagi nilai ini, (2 yang diperhatikan adalah:

Seloijeij(oij - eij)2

e113044.53 211.121 4.741

e1210071.72 799.758 11.151

e132033.75 189.063 5.602

e214129.98 121.440 4.051

e224048.29 68.724 1.423

e232022.73 7.453 0.328

e312420.48 12.390 0.605

e321332.99 399.600 12.113

e333215.53 271.261 17.467

Jumlah 320 320(2= 57.480

Langkah 7:Nilai khi-kuasadua yang diperhatikan, 57.48, oleh itu hipotesis nul ditolak.

Langkah 8:Dua angkubah kegemaran minuman dan usia pelanggan adalah tidak bebas. Jenis minuman yang dipesan oleh pelanggan semasa makan tengahari adalah mempunyai hubungan dengan usia pelanggan. Dengan menguji ketegori di atas didapati generasi muda lebih mengemari minuman ringan dan mereka yang berusia lebih mengemari minuman jenis lain.

12.2 Ujian Khi-Kuasadua untuk Kenormalan

Di dalam Bab 9 kita telah membincangkan teknik untuk menguji nilai perkadaran populasi. Apabila saiz sampel cukup besar ( n.P ( 5 dan n.Q ( 5), perkadaran sampel adalah bertaburan normal dan formula berikut boleh digunakan untuk menguji hipotesis berkaitan P.

Ujian ketepatan padanan khi-kuasadua juga boleh digunakan untuk menjalankan ujian berkaitan P; di dalam situasi ini ia boleh dilihat sebagai kes khas ujian ketepatan padanan khi-kuasadua dimana bilangan kelasifikasi sama dengan dua (situasi taburan binomial). Khi-kuasadua yang diperhatikan adalah dikira dengan cara yang sama di dalam mana-mana ujian ketepatan padanan khi-kuasadua tetapi, oleh kerana terdapat hanya dua kelasifikasi (berjaya/gagal) k = 2 dan darjah kebebasan adalah k 1 = 2 1 = 1.

Sebagai contoh, di dalam satu proses pengeluaran hanya 9% daripada keluaran mengalami kerosakan. Hipotesis berikut adalah diuji

H0: P = 0.09

Ha: P ( 0.09

Nilai alpha adalah diberi sebagai 0.10. Untuk menguji hipotesis ini, penyelidik memilih secara rawak sampel 200 keluaran dan mendapati 35 daripadanya adalah rosak.

Menyelesaikan masalah ini menggunakan ujian ketepatan padanan khi-kuasadua, kita lihat ini merupakan taburan terjangka dua kategori dimana dijangkakan 0.09 rosak dan 0.91 adalah baik. Kategori yang diperhatikan ialah 35 rosak dan 200 35 = 165 baik. Menggunakan jumalah keluaran yang diperhatikan (200), kita boleh menentukan taburan terjangka sebagai 0.09(200) = 18 dan 0.91(200) = 182. Ditunjukkan disini kekerapan diperhatikan dan terjangka.

oiei

Rosak3518

baik165182

Alpha ialah 0.10 dan ini merupakan ujian dua hujung, oleh itu = 0.05. Darjah kebebasan ialah 1. Nilai jadual kritikal khi-kuasadua ialah

Nilai khi-kuasadua yang diperhatikan lebih besar daripada nilai ini mesti diperlukan untuk menolak hipotesis nul. Nilai khi-kuasadua bagi masalah ini dikira sebagaimana berikut:

= 16.06 + 1.24 = 17.3

Perhatikan nilai khi-kuasadua diperhatikan, 17.3, adalah lebih besar daripada nilai jadual kritikal 3.841. Keputusannya ialah menolak hipotesis nul. Pengilang tidak mengeluarkan 9% keriosakan keluaran yang rosak menurut analisis ini. Meneliti keputusan sampel sebenar, dimana 0.175 () daripada sampel adalah rosak, menunjukkan perkadaran populasi yang mengalami kerosakan mungkin lebih besar daripada 9%.

Keputusan yang diperolehii adalah hampir sama dengan skor Z, dimana nilai Z ialah

=

adalah lebih besar daripada nilai Z kritikal, 1.645 menyebabkan kita menolak hipotesis nul. Ini tidak mengejutkan penyelidik yang memahami bahawa apabila darjah kebebasan sama dengan 1, nilai (2 adalah sama dengan Z2.

Contoh 12.4

Satu kajian terhadap kegemaran minuman pagi telah menunjukkan 18% rakyat Malaysia meminum susu. Pengeluar susu percaya peratus ini adalah lebih tinggi bagi penduduk di Kuala Lumpur. Untuk menguji pandangan ini, sampel rawak 600 penduduk Kuala Lumpur telah diambil dan merekodkan minuman kegemaran sarapan pagi mereka. Katakan 200 responden menyatakan susu merupakan minuman utama mereka. Menggunakan paras keyakinan 0.05, uji menggunakan teknik ketepatan padanan-kuasadua pendapat menyatakan peratus tersebut lebih tinggi di Kuala Lumpur.

Penyelesaian:

Di dalam masalah ini, kita menguji untuk menentukan sama ada penduduk di Kuala Lumpur mengguna perkadaran yang lebih tinggi untuk susu sebagai sarapan pagi mereka berbanding 0.18 angka untuk Malaysia. Hipotesis adalah

H0: ( = 0.18

Ha: ( > 0.18

Nilai alpha ialah 0.05 dan ia merupakan ujian satu hujung. Darjah kebebasan adalah k 1 = 2 1 = 1, kerana k = 2 kategori (susu/bukan susu). Nilai jadual kritikal khi-kuasadua ialah

Untuk menguji kenyataan ini, 600 penduduk telah disoal. Daripada angka ini, 120 menyatakan mereka meminum susu sebagai minuman utama semasa sarapan pagi. Nilai yang diperhatikan ialah 200 dan 600 200 = 400. Kategori terjangka adalah ditentukan dengan mendharabkan 0.18 dan 0.82 dengan jumlah responden (600). Oleh itu, kategori terjangka ialah 0.18(600) = 108 dan 0.82(600) = 492. Kekerapan ini ialah

oiei

Susu200108

Bukan susu400492

Nilai khi-kuasadua yang diperhatikan ditentukan dengan

= 78.37 + 17.20

= 95.97

Nilai khi-kuasadua yang dipehatikan ialah 95.97, adalah lebih besar daripada nilai kritikal khi-kuasadua, 3.841. Keputusannya ialah menolak hipotesis nul. Perkadaran penduduk Kuala Lumpur yang meminum susu sebagai minuman utama semasa sarapan pagi adalah lebih tingg berbanding penduduk Malausia kesueluruhannya.

Bukan Kawasan

Penolakan (=0.05

(2

(2 diperhatikan=6.72

EMBED Equation.3

Kawasan Bukan (=0.01

Penolakan

(2

EMBED Equation.3

(2 kritikal= 209.62

Bukan Kawasan (=0.05

Penolakan

(2

(2 diperhatikan= 1.664 EMBED Equation.3

Kawasan Bukan (=0.01

Penolakan

(2

EMBED Equation.3

(2 kritikal= 42.75

12

65

_1057313319.unknown

_1057338824.unknown

_1057341744.unknown

_1057342543.unknown

_1057343481.unknown

_1076740770.unknown

_1076740820.unknown

_1076738676.unknown

_1057341097.unknown

_1057339355.unknown

_1057339499.unknown

_1057340965.unknown

_1057339220.unknown

_1057338629.unknown

_1057338758.unknown

_1057338804.unknown

_1057338665.unknown

_1057317267.unknown

_1057338598.unknown

_1057338614.unknown

_1057330485.unknown

_1057338550.unknown

_1057329471.unknown

_1057317066.unknown

_1057317190.unknown

_1057316155.unknown

_1057312672.unknown

_1057312722.unknown

_1057310656.unknown

_1057310224.unknown

_1057302775.unknown

_1057297428.unknown

_1057301698.unknown