BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Peramalan

2.1.1. Faktor-Faktor Pertimbangan Dalam Peramalan Kuantitatif

Menurut Sofjan Assauri, ” Peramalan adalah kegiatan untuk memperkirakan apa

yang akan terjadi pada masa yang akan datang ” (Sofjan Assauri, 1984:1). Sedangkan

menurut Hendra Kusuma, ”Peramalan adalah perkiraan tingkat permintaan satu atau

lebih produk selama bebrapa periode mendatang” (Henra Kusuma, 1999:13).

Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif ini dapat dibedakan atas:

1) Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan

antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan

deret waktu, atau ”time series”.

2) Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan

antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel yang lain yang

mempengaruhinya, yang bukan waktu, yang disebut metode korelasi atau sebab

akibat ” causal methods” (Sofjan Assauri,1984:9).

Peramalan kuantitatif hanya dapat digunakan apabila terdapat tiga kondisi sebagai

berikut:

1. Adanya informasi tentang keadaan yang lain.

2. Informasi tersebut dapat dikuantifikasikan dalam bentuk data.

7

3. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang

akan datang (Sofjan Assauri,1984:5)

Ada empat jenis pola data, antara lain:

1. Pola horizontal atau stationary, bila nilai-nilai dari data observasi berfluktuasi

disekitar nilai konstan rata-rata. Dengan demikian dapat dikatakan pola ini

sebagai stationary pada rata-rata hitungnya (means ).

2. Pola seasonal atau musiman, bila suatu deret waktu dipengaruhi oleh faktor

musim (seperti kuartalan, bulanan , mingguan dan harian).

3. Pola cyclical atau siklus bila data observasi dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi

jangka panjang yang berkaitan atau bergabung dengan siklus usaha (business

cycle).

4. Pola trend bila ada pertambahan atau kenaikan atau penurunan dari data

obserfasi untuk jangka panjang. Pola ini terliahat pada penjualan produk dari

banyak perusahaan. Pendapatan Domestik Nasional Bruto (GDP/GNP) dan

indikator ekonomi (Sofjan Assauri,1984:5)

2.1.2. Model Peramalan Moving Averages

Metode moving averages diperoleh melalui penjumlahan dan pencarian nilai rata-

rata dari sejumlah periode tertentu, setiap kali menghilangkan nilai terlama dan

menambah nilai baru.

8

Keterangan:

1ˆ

+tY = Nilai peramalan pada periode berikutnya

tY = Nilai aktual perintaan periode sebelumnya

n = Periode dalam rata-rata bergerak

Dengan tambahan bahwa satu nilai Y diganti setiap periode. Perhitungan rata-rata

dilakukan dengan bergerak ke depan untuk memperkirakan periode yang akan datang

dan dicatat dalam posisi terpusat pada rata-ratanya. Moving Averages secara efektif

meratakan dan menghaluskan fluktuasi pola data yang ada. Tentu saja semakin

panjang periodenya, semakin rata kurvanya. Kebaikan lainnya adalah bahwa metode

Moving Averages dapat diterapkan pada data apapun juga, apakah data sesuai dengan

kurva matematik atau pun tidak.

Kelemahan metode ini adalah tidak mempunya persamaan untuk peramalan.

Sebagai gantinya digunakan rata-rata bergerak terahir sebagai ramalan periode

berikutnya. (T. Hani Handoko, 1984:276).

2.1.3. Model Peramalan Double Eksponential Smooting

Eksponential Smooting adalah suatu tipe teknik peramalan rata-rata bergerak yang

melakukan penimbangan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial sehingga

n

YYYYY ntttt

t121

1ˆ +−−−

+

+++=

9

data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam rata-rata

bergerak. Dengan Eksponential Smooting sederhana, peramalan dilakukan dengan

cara ramalan periode terahir ditambah dengan porsi perbedaan (disebut α) antara

permintaan nyata periode terahir dan ramalan periode terahir. Persamaan

Eksponential Smooting adalah :

)1(

21

+−=

Nα

Keterangan :

Ŷt = Peramalan Pada Periode t

Ŷt-1 = Peramalan Pada Periode t-1

α = Konstanta Pemulusan

Yt-1 = Data Permintaan Aktual pada Periode t-1

N = Banyaknya Periode Data Permintaan Aktual

Eksponential Smooting sederhana tidak memperhitungkan trend , sehingga tidak

ada nilai α yang sepenuhnya menggantikan trend dalam data. Nilai-nilai α rendah

akan menyebabkan jarak yang lebih lebar dengan trend karena hal itu akan

memberikan bobot yang lebih kecil pada permintaan yang sekarang.

Nilai α yang rendah terutama cocok bila permintaan produk relativ stabil (yang

berat, tampa trend atau variasi siklikal) tetapi variasi acak adalah tinggi. Nilai-nilai α

lebih tinggi adalah lebih berguna dimana perubahan perubahan yang sesungguhnya

cenderung terjadi karena lebih responsif terhadap fluktuasi permintaan. Sebagai

)ˆ(ˆˆ111 −−− −+= tttt YYYY α

10

contoh niali α tidak mungkin cocok bagi industri barang-barang mode tanggapan

yang cepat dan dramatik. Pengenalan-pengenalan produk baru, kampanye

promosional, dan bahkan antisipasi terhadap resesi juga memerlukan penggunaan

nilai-nilai α yang lebih tinggi. Nilai α yang tepat pada umumnya dapat ditentukan

dengan pengujian ”trial – and – eror” (coba-coba) terhadap α yang berbeda-beda

untuk menemukan satu nilai α yang menghasilkan kesalahan terkecil bila digunakan

pada data masa lalu (T. Hani Handoko, 1984:279).

Dengan cara analogi yang dipakai waktu berangkat dari rata-rata bergerak tunggal

ke pemulusan (smoothing) eksponensial tunggal, kita juga dapat berangkat dari rat-

rata bergereak ganda ke pemulusan eksponensial ganda. Perpindahan seperti itu

mungkin menarik karena salah satu keterbtasan dari rata-rata bergerak tunggal yaitu

perlunya menyimpan N nilai terakhir masih terdapat pada rata-rata bergerak linear,

kecuali bahwa jumlah nilai data yang diperlukan sekarang adalah 2N-1. pemulusan

eksponensial linear dapat dihitung hanya dengan tiga nilai data dan satu nilai untuk α.

Pendekatan ini juga memberikan bobot yang semakin menurun pada observasi masa

lalu. Perbedaan nilai pemulusan tunggal dan ganda dapat ditambahkan kepada nilai

pemulusan tunggal dan disesuaikan untuk trend (S. Makridakis 1988,279).. Adapun

persamaannya sebagai berikut:

tt YYY ˆ)1(ˆ11 αα −+=+

)ˆˆ(ˆ1−−+= tttt YYYα

11

)ˆˆ(1

ttt YYb −−

=α

α

mbaY ttmt +=+

2.1.4. Model Peramalan Linear Regretion

Model analisis garis kecenderungan dipergunakan sebagai peramalan apabila pola

hitoris data actual permintaan menunjukan adanya suatu kecenderungan naik dari

waktu ke waktu. Model analisis garis kecenderungan yang paling sederhana adalah

menggunakan persamaan garis lurus (straight line equation), sebagai berikut:

1. Perhitungan slope

∑

∑−−

−−−=

22 )(

))(()(

bartnt

barYbartnYtb

tt

2. Perhitungan intersep

)()( bartbbarYa t −−−=

3. Nilai ramalan ramalan permintaan periode t

btaYt +=ˆ

Keterangan:

tY = Nilai ramalan pada periode t

a = intersep

b = Slope dari garis kecenderunga (trend line), merupakan tingkat

perubahan dalam permintaan

12

t = Indeks waktu

n = Banyaknya periode

t-bar = nilai rata-rata dari t

tY = Variable permintaan (data aktual)

barYt − = Nilai rata-rata permintaan per periode waktu

2.1.5. Model peramalan Holt-Winters Additive Algorithm

Metode ini digunakan untuk pola data musiman (seasonal). Metode ini merupakan

lanjutan dari metode Holt dua parameter. Perbedaannya hanya pada penambahan satu

parameter untuk nilai musiman (seasonality). Nilai musiman ini diperoleh dari

perkalian antara seasonal indeks (Yt/At) dengan konstanta musiman γ kemudian

ditambahkan dengan perkalian nilai musiman sebelumnya (St-L) dengan (1-γ).

Persamaan yang digunakan adalah sebagai berikut:

1. Pemulusan eksponential

))(1( 11 −−

−

+−+= tt

Lt

t

t TAS

YA αα

2. Perkiraan kecenderungan

11 )1()( −− −+−= tttt TAAT ββ

3. Perkiraan nilai musiman

Lt

t

t SA

YS −−+= )1(4 γγ

4. Peramalan pada perioda 5 adalah sebagai berikut:

13

pLtttpt SpTAY +−+ += )(ˆ

Keterangan :

At = Nilai Pemulusan baru

α = Konstanta pemulusan (0<α<1)

Yt = Nilai Peramalan Aktual pada periode t

β = Konstanta pemulusan trend (0<β<1)

T1 = Nilai perkiraan trend

γ = Konstanta pemulusan seasonal

St = Nilai seasonal perkiraan

p = periode peramalan

L = Panjang Musiman

ptY +ˆ = Nilai peramalan pada periode berikutnya

Satu masalah dalam metode Winters adalah menentukan nilai-nilai untuk α ,β , dan

γ tersebut yang akan meminimumkan MSE atau MAPE. Pendekatan untuk

menentukan nilai ini biasanya secara coba dan salah (trial & eror), walaupun mungkin

juga digunakan alogaritma optimasi non-Linear unutk mendapatkan nilai parameter

optimal. Karena ke dua pendekatan tersebut memakan banyak waktu dan mahal,

maka metode ini jarang digunakan. Metode ini dipakai jika banyak himpunan data

yang harus ditangani.

14

2.1.6. Analisis Kesalahan Peramalan

Beberapa alternatif analisis kesalahan peramalan yang digunakan adalah:

1) Mean Squared Eror (MSE) :

2) Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Keterangan:

Nilai Tengah Kesalahan Kuadrat (Mean Squared Error)

n

YY

MSE

n

t

tt∑=

−

= 1

)ˆ(

(2-2)

Nilai Tengah Kesalahan Persentase Absolut (Mean Absolute Percentage

Error)

n

Y

YY

MAPE

n

t t

tt∑=

−

= 1

|ˆ|

Dua ukuran tersebut, merupakan alat evaluasi teknik-teknik peramalan untuk

berbagai macam parameter. Semakin rendah nilai MAPE dan MSE, peramalan

semakin baik (mendekati data masa lalu). Tetapi nilai terrendah (kecuali nol) tidak

memberikan indikasi seberapa baik metode peramalan yang digunakan dibandingkan

dengan metode lainnya (Hendra Kusuma, 199:38).

15

2.1.7. Verifikasi dan Pengendalian Peramalan

Langkah penting setelah peramalan adalah verivikasi peramalan sedemikian rupa

sehingga dapat mencerminkan data masa lalu dan sistem sebab-akibat yang

mendasari permintaan itu. Jika proses verivikasi ditemukan keraguan atas validitas

peramalan maka harus dicari metode yang lebih cocok. Validitas harus ditentukan

dengan uji statistika yang sesuai. Peramalan harus selalu dibandingkan dengan

permintaan aktual secara teratur. Pada suatu saat harus diambil tindakan revisi

terhadap peramalan tersebut apabila ditemukan bukti yang meyakinkan adanya

perubahan pola permintaan. Selain itu penyebab perubahan pola permintaan pun

harus diketahui. Penyesuaian metode peramalan dilakukan segera perubahan pola

permintaan diketahui (Hendra Kusuma, 1999:40).

Terdapat banyak perkakas yang digunakan untuk memverivikasi peramalan dan

mendeteksi perubahan sistem sebab akibat yang melatar belakangi perubahan pola

permintaan. Tetapi bentuk yang paling sederhana diusulkan oleh Bigel adalah peta

kendali peramalan, mirip peta kendali kualitas.

Tracking signal adalah suatu ukuran bagaimana baiknya suatu ramalan

memperkirakan nilai-nilai aktual. Tracking signal dihitung sebagai running sum of

the forcast errors (RSFE) dibagi dengan mean absolut deviation (MAD), sebagai

berikut:

MAD

RSFESignalTracking =⋅

⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅∑

=MAD

iperiodindemandforecastiperiodindemandactual )(

16

Tracking signal yang positif yang menunjukkan bahwa nilai aktual permintaan

lebih besar dari peramalan, sedangkan tracking signal yang negatif berarti nilai aktual

permintaan lebih kecil dari pada ramalan. Suatu tracking signal disebut baik apabila

memiliki RSFE yang rendah, dan mempunyai positife eror yang sama banyak atau

seimbang dengan negatife eror, sehingga pusat dari tracking signal mendekati nol.

Apabila tracking signal telah dihitung kita dapat membangun peta kontrol signal

sebagaimana halnya dengan peta-peta kontrol dalam pengendalin proses statistical

(statistical proses control = SPC) yang memiliki bats kontrol atas (upper control

limit) dan batas control bawah (lower control limit).

Beberapa ahli dalam sistem peramalan seperti George Plossl dan Oliver Wight,

dua pakar Production Planning and Inventory Control, menyarankan untuk

menngunakan tracking signal maksimum ±4, sebagai batas-batas pengendalian untuk

tracking signal. Dengan demikian apabila tracking signal telah berada diluar batas-

batas pengendalian, model peramalan perlu ditinjau kembali, karena akurasi

peramalan tidak adapat diterima (Vincent Gaspersz, 2002:81).

⋅⋅⋅⋅∑

=MAD

erorforecastdariabsolutMAD

)(

17

2.2. Optimasi Model Pengambilan Keputusan

2.3.1. Pengaruh Ketersediaan Data Terhadap Permodelan

Apapun jenis model akan memiliki sedikit nilai praktis jika tidak didukung oleh

data yang handal. Walaupun sebuah model didefinisikan dengan baik, mutu

pemecahan model tersebut sangat tergantung pada pengestimasian data yang

diperlukan. Jika estimasi tersebut terdistorsi, pemecahan yang diperoleh, walaupun

optimal dalam arti matematis, pada kenyataannya dapat bermutu rendah dari sudut

pandang system nyata.

Dalam beberapa permasalahan, data tidak dapat diketahui dengan pasti sehingga

data tersebut dapat diestimasi berdasarkan distribusi probabilitas. Pada permasalahan

tersebut, struktur model kemungkinan perlu diubah untuk mengakomodasi sifat

probabilistic dari permintaan. Jadi berdasarkan ketersediaan data, permodelan dapat

dibagi menjadi 2 jenis model, yaitu model probabilistic atau stochastic dan model

deterministic (Hamdy A Taha, 1993:7). Pada kenyataannya, pengumpulan data

merupakan bagian paling sulit dari sebuah model.

2.3.2. Penyelesaian Terhadap Model Pengambilan Keputusan

Dalam operasional riset terdapat 2 jenis perhitungan yang berbeda, yaitu:

1. Model-model simulasi

Memecahkan system yang dimodelkan kedalam modul-modul dasar atau

elementer yang kemudian dikaitkan satu sama lain dengan hubungan-hubungan

logis yang didefinisikan dengan baik.

18

2. Model-model matematis

Pemecahan yang optimal dari sebuah model matematis biasanya tidak tesedia

dalam bentuk tertutup, melainkan solusi optimal dicapai dalam langkah-langkah

atau iterasi. Jadi dapat dikatakan bahwa pemecahan menyatu secara iteratif ke

pemecahan optimal.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai model matematis yang merupakan model

dari operasional riset. Terdapat dua alasan mengapa tidak semua model matematis

memiliki alogaritma pemecahan optimal, yaitu:

1) Alogaritma pemecahan dapat terbukti menyatu ke pemecahan optimal, tetapi

dalam arti teoritis.

2) Kompleksitas model matematis dapat membuat perancangan alogaritma

pemecahan tidak mungkin dilakukan (Hamdy A Taha, 1993:8).

Selanjutnya akan diterangkan mengenai salah satu model matematis yang

mengasumsikan bahwa tujuan dan batasan sebuah model dapat diekspresikan secara

kuantitatif data sebagai fungsi matematis dari variable keputusan, yaitu Linear

Programming

2.3. Linear Programming

2.3.1. Pengantar Linear Programming

Keberhasilan suatu teknik riset operasi pada akhirnya diukur berdasarkan

penyebaran penggunaannya sebagai suatu alat pengambil keputusan sejak

diperkenalkan diakhir tahun 1940 -an, Linear Programming telah terbukti merupakan

19

salah satu riset operasi yang paling efektif. Keberhasilannya berakar dari

keluwesannya dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata dibidang –

bidang berikut ini, yaitu militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan,

dan bahkan ilmu sosial dan perilaku. Disamping itu, tersedianya program komputer

yang sangat efisien untuk memecahkan masalah – masalah linear programming yang

sangat luas merupakan faktor penting dalam tersebarnya penggunaan teknik ini.

Kegunaan linear programming adalah lebih luas daripada aplikasinya semata –

mata. Pada kenyataannya, linear programming harus dipandang sebagai dasar

penting pengembangan teknik – teknik riset operasi lainnya, termasuk program

integer, stokastik, arus jaringan dan kuadratik. Dalam hal ini, pemahaman akan linear

programming adalah penting untuk implementasi teknik – teknik tambahan ini.

Linear programming adalah sebuah alat deterministik, yang berarti bahwa semua

parameter model yang diasumsikan diketahui dengan pasti. Tetapi dalam kehidupan

nyata, jarang seseorang mengahadapi masalah dimana terdapat kepastian yang

sesungguhnya. Teknik linear programming mengkompensasikan ”kekurangan” ini

dengan memberikan analisis paska optimal dan analisis parametrik yang sistematis

untuk memungkinkan pengambil keputusan yang bersangkutan untuk menguji

sensivitas pemecahan yang optimal yang statis terhadap perubahan diskrit atau

kontinue dalam berbagai parameter dari model tersebut. Pada intinya teknik tambahan

ini memberikan dimensi dinamis pada sifat pemecahan linear programming yang

optimal.

20

Tujuan dari linear programming adalah suatu hasil yang mencapai tujuan yang

ditentukan (optimal) dengan cara yang paling baik diantara semua alternatif yang

mungkin dengan batasan sumber daya yang tersedia. Meskipun mengalokasi sumber

– sumber daya kepada kegiatan – kegiatan merupakan jenis aplikasi yang paling

umum, linear programming mempunyai banyak aplikasi penting lainnya.

Sebenarnya, setiap masalah yang metode matematisnya sesuai dengan format umum

bagi linear programming merupakan masalah bagi linear programming. Selanjutnya

suatu prosedur penyelesaian yang sangat efisien, yang dinamakan metode simpleks,

tersedia untuk menyelesaikan masalah – masalah linear programming bahkan untuk

masalah yang besar sekalipun.

Linear programming merupakan proses optimasi dengan menggunakan model

keputusan yang dapat diformulasikan secara sistematis dan timbul karena adanya

keterbatasan dalam mengalokasikan sumber – sumber daya. Don T. Philips dalam

bukunya ”operasion research principles and practice” menyatakan bahwa linear

programming merupakan masalah pemrograman yang harus memenuhi tiga kondisi

berikut ini:

1. Variabel – variabel keputusan yang terlibat harus tidak negatif

2. Kriteria – kriteria untuk memilih nilai terbaik dari variabel keputusan

dapat diekspresikan sebagai fungsi linear variabel tersebut. Fungsi

kriteria itu bisa disebut sebagai ”fungsi objektif”.

21

3. Aturan – aturan operasi yang mengarahkan proses – proses dapat

diekspresikan sebagai suatu set persamaan atau pertidaksamaan linear.

Set tersebut dinamakan ”fungsi pembatas”.

2.3.2. Pembuatan Model

Untuk menyelesaikan suatu masalah dapat digunakan model linear programming.

Adapun langkah – langkah pemodelannya adalah sebagai berikut:

a. Menentukan variabel – variabel dari persoalan.

b. Menentukan batasan – batasan yang harus dikenakan atas variabel untuk

memenuhi batasan sistem yang di modelkan.

c. Menentukan tujuan yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan Optimal

(terbaik) dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut (Hamdi A.

Taha,1993:17).

Langkah – langkah pemodelan dapat diformulasikan sebagai berikut:

a. Identifikasi variabel, misalnya X1, X2, dan seterusnya.

b. Fungsi pembatas diformulasikan sebagai berikut:

a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn (≤; = ;≥) b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn (≤; = ;≥) b2

! ! ! !

! ! ! !

am1X1 + am2X2 + ... + amnXn (≤; = ;≥) bm

X1, Xn, …, Xn ≥ 0

22

Keterangan:

Xj = Variabel Keputusan

Cj = Konstanta variabel keputusan

ajj = Konstanta variabel keputusan pada persamaan / pertidak

samaan pembatas

bi = Konstanta ruas kanan dari setiap persamaan / pertidaksamaan

pembatas

i = 1,2, ...., m

j = 1,2, ...., m

c. Fungsi tujuan (baik maksimasi ataupun minimasi) dapat diformulasikan sebagai

berikut:

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn

Bentuk umum model diatas, bila ditulis dalam notasi vektor matriks, dapat

diekspresikan sebagai berikut:

Maksimasi atau Minimasi: Z = C.X

Dengan memperhatikan: a . X = b

X (≤; = ; ≥) 0

X ≥ 0

23

2.3.3. Bentuk Baku Formulasi Model Linear Programing

Terdapat 4 buah karakter yang menjadi ciri dari bentuk standar, yaitu sebagai

berikut:

a. Semua pembatas berupa persamaan

b. Elemen ruas kanan tiap pembatas adalah non – negatif

c. Semua variabel adalah non – negatif

d. Fungsi tujuan berjenis maksimasi atau minimasi

Pembatas yang pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan dengan

menambah atau mengurangi ruas kiri dengan suatu variabel non – negatif. Variabel

baru ini disebut ”varibel slack”, yang harus ditambahkan ke ruas kiri bila dibentuk

pertidaksamaan ≤ dan dikurangi bila bentuk pertidaksamaan ≥ variabel slack (Sj) ≥ 0

mempunyai sifat menggunakan satu satuan sumber terbatas untuk setiap satuan Sj

yang terjadi, dan juga mempunyai sifat tidak mempengaruhi besaran fungsi tujuan.

a1X1 + a2X2 ≥ b1 → a1X1 + a2X2 – S1 = b1

b1 ≥ 0 S1 ≥ 0

a1X1 + a2X2 ≥ b2 → a1X1 + a2X2 – S2 = b1

b2 ≥ 0 S2 ≥ 0

Didalam menyelesaikan persoalan linear programming dengan menggunakan

metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan adalah bentuk standar. Karena itu

setiap masalah linear programming harus diubah menjadi bentuk standar sebelum

dapat dipecahkan dengan metode simpleks.

24

Hal lain yang perlu diperhatikan dalam memecahkan masalah persoalan dengan

menggunakan metode simpleks adalah harus adanya variabel – variabel basis dalam

fungsi pembatas untuk memperoleh solusi awal yang feasible. Untuk fungsi – fungsi

pembatas dengan tanda ≤, maka variable basis dapat diperoleh dengan menambahkan

varible slack atau sebaliknya. Tetapi apabila fungsi pembatas mempunyai bentuk

persamaan, maka tidak selalu diperoleh varible basis.

Untuk mendapatkan variable basis tersebut, dapat ditambahkan dengan suatu

variable semu, yang disebut ”variabel artificial”. variabel artificial adalah variable

yang di tambahkan pada fungsi pembatas mempunyai hubungan persamaan untuk

memperoleh basis, atau juga dapat dinyatakan sebagai satuan variable semu (palsu)

yang mempunyai sifat menggunakan satu satuan sumber artificial ini mempunyai

koefisien fungsi tujuan yang sangat besar, dimana harga ini dapat bernilai negatif atau

positif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimasi atau minimasi:

Cn = -M ; untuk maksimasi fungsi tujuan

Cn = +M ; untuk minimasi fungsi tujuan

Keterangan:

M = bilangan bulat positif yang sangat besar

Cn = koefisien fungsi tujuan untuk variabel artificial X

2.3.4. Metode Simplex

Pada tahun 1947, seorang ahli matematika, george b. Dantzig menemukan dan

mengembangkan suatu metode pemecahan model linear programming. Metode

25

tersebut adalah metode simpleks. Metode ini merupakan teknik yang dapat

memecahkan model yang mempunyai variabel keputusan dan pembatas yang lebih

besar dari dua. Bahkan pada akhirnya, secara teoritis, metode ini dapat menangani

variabel keputusan dan pembatas dengan jumlah yang tak terbatas atau terhingga.

Algoritma simpleks diterangkan dengan menggunakan logika aljabar matriks,

sehingga operasi perhitungan dapat lebih efisien.

Metode simpleks mempunyai prosedur yang bersifat iterasi dan bergerak

selangkah demi selangkah. Dimulai dari suatu titik ekstrim (solusi feasible dasar)

didaerah feasible menuju ke titik ekstrim yang optimal. Pada setiap perpindahan dari

satu solusi feasible dasar ke solusi feasible dasar lainnya, dilakukan sedemikian rupa

sehingga terjadi perbaikan pada nilai fungsi tujuan.

Pada dasarnya, metode simpleks menggunakan dua kondisi untuk mendapatkan

solusi yang optimal,yaitu:

• Kondisi optimalitas

Yang menyatakan bahwa solusi yang dioptimalkan adalah solusi terbaik.

• Kondisi feasibilitias

yang menyatakan bahwa yang dioptimalkan adalah solusi feasible dasar

(basic feasible solution).

Karena perhitungan metode simpleks dilakukan dengan secara bertahap dan model

perhitungan dapat digunakan tabel simpleks, dengan pola umum seperti pada tabel

dibawah ini:

26

Tabel 2.1

Format Tabel Simplek

Cj C1 C2 ,,,,,,,,, Cn Ci

Basis X1 X2 ,,,,,,,,, Xn Konstanta

C1 B1 a11 a21 ,,,,,,,,, am1 b1

C2 B2 a12 a22 ,,,,,,,,, am2 b2

: : : : : : :

: : : : : : :

Cn Bn a1n a2n ,,,,,,,,, amn bn

Crow = Cj - Ji C1 – Z1 C2 – Z2 Cm –Zm Z = ∑aij - Ci

Keterangan :

Ci = koefisien fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel basis ke – i

Cj = koefisien fungsi tujuan dari semua variabel ke – j (variabel basis

maupun variabel non basis)

bi = nilai dari variabel ke – i, sedangkan nilai variabel non – basis adalah nol

aij = substitution ratio pada perpotongan baris ke – i dan kolom ke – j di

bawah variabel non basis; sedangkan yang berada di bawah variabel

basis adalah matriks satuan dengan harga 1 atau 0.

Langkah – langkah pemecahan model linear programming dengan metode

simpleks adalah sebagai berikut:

1. Formulasikan masalah

a. Membuat fungsi tujuan dan fungsi pembatas

b. Mengubah bentuk suatu pertidaksamaan menjadi persamaan dengan

menambah variabel slack atau variabel surplus serta varible

artificial.

27

c. Modifikasi fungsi tujuan dengan memasukkan variable slack,

variable surplus, atau variable artificial, bersama – sama dengan

koefisien yang sesuai.

2. Program awal

Membuat program awal sehingga hanya variable slack atau variable

artificial yang termasuk di dalam jawaban. Gambarkan program ini di

dalam tabel simpleks.

3. Tes untuk optimalisasi

a. Hitung harga – harga (Cj – Zj) pada setiap kolom.

b. Tes untuk optimalitas. Jika semua harga tersebut sudah nol atau

negatif, maka untuk persoalan maksimasi jawabannya sudah

mencapai optimal. Sebaliknya jika harga – harga tersebut nol atau

positif untuk persoalan minimasi, maka hasil jawaban tersebut

sudah mencapai optimal.

c. Program perbaikan:

1. Menentukan sebuah kolom kunci (incoming variable). Untuk

kolom yang mempunyai harga (Cj – Zj) positif terbesar di

jadikan kolom kunci, dalam masalah maksimasi dan kolom

yang mempunyai harga (Cj – Zj) negatif terbesar dijadikan

kolom kunci untuk persoalan minimasi.

2. Tentukan baris kunci dan bilangan kunci (outgoing variable).

Bilangan – bilangan di bawah kolom di bagi dengan bilangan –

28

bilangan pada kolom kunci. Hasil dari pembagian ini disebut

replacement quantities (rasio). Bandingkan harga – harga rasio

ini. Baris yang mempunyai rasio terkecil dijadikan baris kunci

(outgoing variable). Bilangan yang terletak pada perpotongan

antara kolom kunci dengan baris kunci disebut bilangan kunci.

3. Mengubah bentuk baris kunci. Kurangkan bilangan pada baris

yang lama (pada setiap kolom) dengan hasil kali bilangan –

bilangan pada baris kunci yang lama dengan rasio tetap.

Dimana rasio tetap adalah hasil bagi bilangan pada baris yang

lama di dalam kolom kunci dengan bilangan kunci. Letakkan

hasil ini pada posisi yang sama pada tabel berikutnya. Gunakan

transformasi ini untuk semua baris – baris yang bukan kunci.

4. Mencari program optimal

Ulangi kembali langkah 3.b dan 3.c sampai suatu program optimal

dicapai.

2.3.5. Nilai Fungsi Tujuan

Nilai fungsi tujuan menunjukkan maksimasi keuntungan, dengan hasil

perhitungan reduced cost, slack atau surplus dan dual cost.

a. Reduced Cost

Jika variable keputusan mempunyai solusi optimal nol, maka reduced cost

akan menunjukkan besarnya biaya minimum per unit variable yang harus

29

ditingkatkan agar solusi optimal untuk variable keputusan tersebut bernilai

positif (menjadi variable basic). Jika nilai keputuasn positif (variable basic),

maka nilai reduced cost akan selau nol. Initinya, reduced cost ini

menunjukkan besarnya nilai minimum suatu variable non basic yang harus

ditingkatkan untuk menjadi variable basic.

b. Slack atau Surplus

Niali slack menunjukkan kelebihan kapasitas yang ada setelah nilai optimal

didapat serta menunjukkan status kendala terbatas atau berlebih. Kendala

terbatas adalah kendala yang mempunyai harga slack sama dengan nol, yang

berarti bahwa semua kapasitas yang ada pada kendala tersebut telah penuh.

Sedangkan kendala berlebih adalah kendala yang mempunyai harga slack

positif, yang berarti bahwa terdapat kelebihan kapasitas pada kendala tersebut.

c. Dual Cost

Menunjukkan besarnya kenaikan atau penurunan nilai tujuan yang disebabkan

oleh kenaikan 1 unit kapasitas kendala terbatas

2.3.6. Daerah Batasan Basis Tidak Berubah

Daerah batasan ini menunjukkan kenaikan atau penurunan besarnya nilai yang

diperoleh agar solusi tetap optimal dan fesible. Pada bagian ini dibahas mengenai

analisis sensifitas untuk:

1. Koefisien fungsi tujuan

30

Sasaran analisis sensifitas untuk koefisien fungsi tujuan adalah menentukan

kisaran fariasi dalam setiap koefisien fungsi tujuan yang akan membuat titik

sudut optimal saat ini tetap tidak berubah (L. Winston Wayne, 1993:196)

2. Daerah ruas kanan

Masalah ini berkaitan dengan studi sensifitas dari pemecahan optimal

terhadap perubahan dalam sisi kanan batasan. Sasaran spesifik dari masalah

ini adalah untuk menentukan perubahan dalam sisi kanan batas terhadap nilai

optimum dengan tetap mempertahankan feasibilitas (L. Winston Wayne,

1993:198)

2.3.7. Peraturan 100% Untuk Perubahan Nilai Secara Simultan

1. Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

Peraturan 100% ini mempertimbangkan 2 kondisi, yaitu:

a. Semua variabel yang nilai koefisien fungsi tujuannya diubah memiliki nilai

reduced cost ≠ 0.

b. Setidaknya satu variabel yang niali koefisien fungsi tujuannya diubah

memiliki nilai reduced cost = 0 (L. Winston Wayne, 1993:262)

Pada kondisi ke-1, optimalitas tetap dapat dipertahankan jika dan hanya jika

perubahan koefisien fungsi tujuan masih dalam range perubahan yang diizinkan.

Pada kondisi ke-2, peraturan 100% diberlakukan dengan perhitungan rasio sebagai

berikut:

31

∆cj ≥ 0, rj = ∆cj / Ij

∆cj ≥ 0, rj = -∆cj / Dj

Dimana:

∆cj = Koefisien fungsi tujuan dari X1

∆cj = Selisih dari nilai cj baru dengan niali cj awal

I j = Perubahan nilai cj maksimum yang diperbolehkan

Dj = Perubahan nilai cj minimum yang diperbolehkan

Kondisi optimalitas dari perubahan simultan yang dilakukan terhadap koefisien

fungsi tujuan masih dapat dipertahankan, jika nilai 1≤∑ jr

2. Perubahan Daerah Ruas Kanan

Peraturan 100% ini mempertimbangkan 2 kondisi, yaitu:

a. Semua kendala yang nilai daerah ruas kanannya dimodifikasi merupakan

kendala berlebih.

b. Setidaknya satu kendala yang nilai ruas kanannya dimodifikasi merupakan

kendala terbatas (L. Winston Wayne, 1993:265).

∆bj ≥ 0, rj = ∆bj / Ij

∆bj ≥ 0, rj = -∆bj / Dj

Dimana:

∆bj = Nilai daerah ruas kanan dari persamaan ke-j

∆bj = Selisih dari nilai bj baru dengan niali bj awal

32

I j = Perubahan nilai cj maksimum yang diperbolehkan

Dj = Perubahan nilai cj minimum yang diperbolehkan

Kondisi optimalitas dari perubahan simultan yang dilakukan terhadap koefisien

fungsi tujuan masih dapat dipertahankan, jika nilai 1≤∑ jr

2.3.8. Kasus-kasus Khusus Dalam Aplikasi Metode Simpleks

Dalam metode simpleks terdapat beberapa kasus khusus, yaitu:

1. Degenerasi

Jika dalam metode simpleks terdapat minimal 2 rasio minimum yang sama,

sehingga dapat dipilih secara sembarang untuk mentukan variabel keluar, Tetapi

ketika hal tersebut terjadi, satu variabel dasar atau lebih pasti akan sama dengan

nol dalam iterasi berikut. Dalam kasus ini, pemecahan baru tersebut adalah

degenerasi.

Secara teoritis, degenerasi memiliki dua implikasi, yaitu:

a. Berkaitan dengan fenomena perputaran (Cycling) dimana prosedur simpleks

akan mengulang urutan iterasi yang sama tampa pernah memperbaiki tujuan

dan tidak pernah mengakhiri perhitungan.

b. Penerapan prosedur simpleks yang dapat memberi kemungkinan terdapat

perbedaan dalam mengklasifikasi variabel sebagai variabel dasar dan non

dasar akan memberikan nilai identik untuk semua variabel dan nilai fungsi

tujuan (Hamdy A. Taha, 1993:87).

33

2. Alternatif optimal

Ketika fungsi tujuan adalah sejajar dengan satu batasan yang mengikat, maka

fungsi tujuan akan memiliki nilai optimal yang sama di lebih dari satu titik sudut.

Kerena alasan tersebut, pemecahan ini disebut alternatif optimal (Hamdy A. Taha,

1993:90). Dalam penerapan metode simpleks kasus alternatif optimal ini dapat

diidentifikasikan permasalahannya dengan melihat tabel iterasi metode simpleks,

dengan ciri-ciri damana nilai koefisien variable non basic dalam persamaan x

adalah sebesar nol. Pengetahuan tentang alternatif optimal adalah berguna, karena

hal ini memberikan kesempatan bagi manajemen untuk memilih pemecahan yang

paling sesuai dengan situasi tampa mengalami penurunan nilai tujuan.

3. Pemecahan yang tidak dibatasi

Dalam beberapa model Linear Programmning, nilai variabael dapat menigkat

secara tidak terbatas tanpa melanggar salah satu batasan, yang berarti bahwa

ruang pemecahan tidak dibatasi (underbounded) dalam setidaknya satu arah.

Akibatnya, nilai fungsi tujuan dapat meningkat (kasus maksimasi) atau menurun

(kasus minimasi) secara tidak terbatas (Hamdy A. Taha, 1993:92). Pada kasus ini

dapat dikatakan bahwa baik ruang pemecahan maupun nilai fungsi tujuan optimal

tidak dibatasi. Pada kasus pemecahan yang tidak dibatasi dapat segera

diidentifikasi dari iterasi table simpleks, dimana semua koefisien pembatas pada

kandidat kolom kunci bernilai negatif atau nol.

4. Pemecahan tidak ada (tidak layak)

34

Jika batasan tidak dapat dipenuhi secara simultan, model tersebut dikatakan tidak

memiliki pemecahan yang layak ≤ (dengan asumsi konstanta sisi kanan yang

nonnegatif), karena variable slack selalu memberikan pemecahan yang layak.

Tetapi ketika menggunakan variable artificial yang berdasarkan pada

rancangannya sendiri tidak memberikan pemecahan yang layak untuk model

semula. Ketentuan pinalti untuk memaksa variable artificial bernilai nol di

pemecahan optimal menyebabkan model memiliki ruang layak (Hamdy A. Taha,

1993:93). Jika tidak memiliki pemecahan yang layak ditandai dengan ciri-ciri

dimana setidaknya satu variabel artificial bernilai positif di iterasi tabel simpleks

optimal.