teori bilangan (kajian tentang aritmatika, sistem dan ... · pdf fileoutline teori bilangan...
Post on 03-Feb-2018
244 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Outline
TEORI BILANGAN(Kajian tentang aritmatika, sistem dan
representasi bilangan)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan Matematika FKIPPS. Sistem Informasi
University of JemberIndonesia
Jember, 2009
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Outline
Outline
1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima
2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi
4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Outline
Outline
1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima
2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi
4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Outline
Outline
1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima
2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi
4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Outline
Outline
1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima
2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi
4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Jika 13 dibagi 5 maka hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis:135 = 2 + 3
5 atau 13 = 2× 5 + 3
Algoritma Pembagian Bilangan Bulat
Jika a bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka adatepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga
b = qa + r
dengan 0 ≤ r < a. Dalam hal ini q disebut hasil bagi dan radalah sisa pembagian bila b dibagi a.
Jika r = 0 maka dikatakan b habis dibagi a, atau b adalahkelipatan a, dan dinotasikan a|b
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Jika 13 dibagi 5 maka hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis:135 = 2 + 3
5 atau 13 = 2× 5 + 3
Algoritma Pembagian Bilangan Bulat
Jika a bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka adatepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga
b = qa + r
dengan 0 ≤ r < a. Dalam hal ini q disebut hasil bagi dan radalah sisa pembagian bila b dibagi a.
Jika r = 0 maka dikatakan b habis dibagi a, atau b adalahkelipatan a, dan dinotasikan a|b
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Jika 13 dibagi 5 maka hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis:135 = 2 + 3
5 atau 13 = 2× 5 + 3
Algoritma Pembagian Bilangan Bulat
Jika a bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka adatepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga
b = qa + r
dengan 0 ≤ r < a. Dalam hal ini q disebut hasil bagi dan radalah sisa pembagian bila b dibagi a.
Jika r = 0 maka dikatakan b habis dibagi a, atau b adalahkelipatan a, dan dinotasikan a|b
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Keterbagian
Sifat Dasar
Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan
bulat x dan y
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Definisi
Sebuah bilangan asli p kecuali 1 disebut prima jika pembagipositifnya adalah 1 dan p. Sebuah bilangan prima kecuali 1adalah komposit jika tidak prima
Berdasarkan definisi tersebut maka 1 bukan prima dan bukankomposit
Erastothenes
Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima psehingga p|n dan p ≤
√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada
bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤√
n, makan adalah bilangan prima”
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Definisi
Sebuah bilangan asli p kecuali 1 disebut prima jika pembagipositifnya adalah 1 dan p. Sebuah bilangan prima kecuali 1adalah komposit jika tidak prima
Berdasarkan definisi tersebut maka 1 bukan prima dan bukankomposit
Erastothenes
Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima psehingga p|n dan p ≤
√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada
bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤√
n, makan adalah bilangan prima”
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Definisi
Sebuah bilangan asli p kecuali 1 disebut prima jika pembagipositifnya adalah 1 dan p. Sebuah bilangan prima kecuali 1adalah komposit jika tidak prima
Berdasarkan definisi tersebut maka 1 bukan prima dan bukankomposit
Erastothenes
Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima psehingga p|n dan p ≤
√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada
bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤√
n, makan adalah bilangan prima”
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima atau komposit?
Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√
157 adalah2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangantersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakanbilangan prima
Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√
221 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221, maka 221 merupakanbilangan komposit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima atau komposit?
Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√
157 adalah2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangantersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakanbilangan prima
Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√
221 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221, maka 221 merupakanbilangan komposit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima atau komposit?
Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√
157 adalah2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangantersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakanbilangan prima
Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√
221 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221, maka 221 merupakanbilangan komposit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Setiap bilangan komposit dapat diekspresikan sebagai hasilproduk bilangan asli yang lebih kecil. Jika bilangan yang lebihkecil ini juga komposit maka dapat difaktorisasikanmenggunakan bilangan asli yang lebih kecil juga. Proses iniberakhir dengan sebuah ekspresi produk bilangan-bilanganprima. Ekspresi ini disebut faktorisasi prima
Teorema Dasar Aritmatika
Faktorisasi prima dari sebuah bilangan asli yang lebih besardari 1 adalah tunggal, terlepas dari urutan faktor-faktor.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KeterbagianBilangan Prima
Bilangan Prima
Setiap bilangan komposit dapat diekspresikan sebagai hasilproduk bilangan asli yang lebih kecil. Jika bilangan yang lebihkecil ini juga komposit maka dapat difaktorisasikanmenggunakan bilangan asli yang lebih kecil juga. Proses iniberakhir dengan sebuah ekspresi produk bilangan-bilanganprima. Ekspresi ini disebut faktorisasi prima
Teorema Dasar Aritmatika
Faktorisasi prima dari sebuah bilangan asli yang lebih besardari 1 adalah tunggal, terlepas dari urutan faktor-faktor.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Definisi
Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.
Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).
Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).
Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Definisi
Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.
Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).
Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).
Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Definisi
Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.
Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).
Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).
Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Definisi
Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.
Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).
Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).
Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
gcd(27, 45) = 9
gcd(15, 32) = 1
gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 36
lcm(11, 18) = 198
Bilangan 15 dan 32 relative prima.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
gcd(27, 45) = 9
gcd(15, 32) = 1
gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 36
lcm(11, 18) = 198
Bilangan 15 dan 32 relative prima.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
gcd(27, 45) = 9
gcd(15, 32) = 1
gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 36
lcm(11, 18) = 198
Bilangan 15 dan 32 relative prima.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
gcd(27, 45) = 9
gcd(15, 32) = 1
gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 36
lcm(11, 18) = 198
Bilangan 15 dan 32 relative prima.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
gcd(27, 45) = 9
gcd(15, 32) = 1
gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 36
lcm(11, 18) = 198
Bilangan 15 dan 32 relative prima.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
gcd(27, 45) = 9
gcd(15, 32) = 1
gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 36
lcm(11, 18) = 198
Bilangan 15 dan 32 relative prima.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
gcd(27, 45) = 9
gcd(15, 32) = 1
gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 36
lcm(11, 18) = 198
Bilangan 15 dan 32 relative prima.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b
1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan
ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b
1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan
ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b
1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan
ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b
1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan
ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18
12 = 22.3
18 = 2.32
fpb(12, 18) = 2.3 = 6
kpk(12, 18) = 22.32 = 36
Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18
12 = 22.3
18 = 2.32
fpb(12, 18) = 2.3 = 6
kpk(12, 18) = 22.32 = 36
Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18
12 = 22.3
18 = 2.32
fpb(12, 18) = 2.3 = 6
kpk(12, 18) = 22.32 = 36
Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18
12 = 22.3
18 = 2.32
fpb(12, 18) = 2.3 = 6
kpk(12, 18) = 22.32 = 36
Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18
12 = 22.3
18 = 2.32
fpb(12, 18) = 2.3 = 6
kpk(12, 18) = 22.32 = 36
Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Contoh
Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18
12 = 22.3
18 = 2.32
fpb(12, 18) = 2.3 = 6
kpk(12, 18) = 22.32 = 36
Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,
maka fpb(x , y) = ap.bn
Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0
maka d |c1
Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn
kpk(x , y) = am.bq.c
Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,
maka fpb(x , y) = ap.bn
Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0
maka d |c1
Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn
kpk(x , y) = am.bq.c
Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,
maka fpb(x , y) = ap.bn
Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0
maka d |c1
Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn
kpk(x , y) = am.bq.c
Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,
maka fpb(x , y) = ap.bn
Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0
maka d |c1
Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn
kpk(x , y) = am.bq.c
Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,
maka fpb(x , y) = ap.bn
Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0
maka d |c1
Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn
kpk(x , y) = am.bq.c
Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Greatest Common Divisor
Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,
maka fpb(x , y) = ap.bn
Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0
maka d |c1
Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn
kpk(x , y) = am.bq.c
Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > b > 0, makaGCD(a, b) bisa dicari dengan mengulang algoritma pembagianberikut:
a = q1b + r1; 0 < r1 < b
b = q2r1 + r2; 0 < r2 < r1
r1 = q3r2 + r3; 0 < r3 < r2
...
rn−2 = qnrn−1 + rn; 0 < rn < rn−1
rn−1 = qn+1rn + 0
Maka rn, pembagi terakhir dari pembagian di atas yangmemberikan sisa 0 merupakan GCD(a, b).
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh
Tentukan GCD(4840, 1512).
Solusi
4840 = 3× 1512 + 304
1512 = 4× 304 + 296
304 = 1× 296 + 8
296 = 37× 8 + 0
Jadi GCD(4840, 1512) = 8.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh
Tentukan GCD(4840, 1512).
Solusi
4840 = 3× 1512 + 304
1512 = 4× 304 + 296
304 = 1× 296 + 8
296 = 37× 8 + 0
Jadi GCD(4840, 1512) = 8.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh
Tentukan GCD(4840, 1512).
Solusi
4840 = 3× 1512 + 304
1512 = 4× 304 + 296
304 = 1× 296 + 8
296 = 37× 8 + 0
Jadi GCD(4840, 1512) = 8.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh 2
Tentukan fpb(2093, 836)
Contoh 3
Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh 2
Tentukan fpb(2093, 836)
Contoh 3
Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh 2
Tentukan fpb(2093, 836)
Contoh 3
Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh 2
Tentukan fpb(2093, 836)
Contoh 3
Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Contoh 2
Tentukan fpb(2093, 836)
Contoh 3
Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c
1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis
2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali
3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c
1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis
2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali
3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c
1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis
2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali
3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c
1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis
2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali
3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?
Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b
lcm(a, b) =ab
gcd(a, b)
Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima
Contoh
kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080
8 = 914760
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?
Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b
lcm(a, b) =ab
gcd(a, b)
Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima
Contoh
kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080
8 = 914760
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?
Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b
lcm(a, b) =ab
gcd(a, b)
Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima
Contoh
kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080
8 = 914760
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis
Algoritma Euclidis
Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?
Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b
lcm(a, b) =ab
gcd(a, b)
Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima
Contoh
kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080
8 = 914760
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Definisi
Misalkan m bilangan asli. Dua bilangan bulat a dan b dikatakankongruen modulo m dan dinotasikan
a ≡ b mod m
jika m|a− b.
Atau secara ekivalen
a ≡ b mod m jika a dan b memberikan sisa yang sama setelahpembagian oleh m.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Definisi
Misalkan m bilangan asli. Dua bilangan bulat a dan b dikatakankongruen modulo m dan dinotasikan
a ≡ b mod m
jika m|a− b.
Atau secara ekivalen
a ≡ b mod m jika a dan b memberikan sisa yang sama setelahpembagian oleh m.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi
Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:
aRb jika a ≡ b mod m
Relasi tersebut memenuhi sifat:
a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a
Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m
Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi
Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:
aRb jika a ≡ b mod m
Relasi tersebut memenuhi sifat:
a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a
Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m
Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi
Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:
aRb jika a ≡ b mod m
Relasi tersebut memenuhi sifat:
a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a
Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m
Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi
Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:
aRb jika a ≡ b mod m
Relasi tersebut memenuhi sifat:
a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a
Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m
Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi
Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:
aRb jika a ≡ b mod m
Relasi tersebut memenuhi sifat:
a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a
Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m
Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi
Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:
aRb jika a ≡ b mod m
Relasi tersebut memenuhi sifat:
a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a
Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m
Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Akibatnya
Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m
Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:
E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}
E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Akibatnya
Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m
Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:
E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}
E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Akibatnya
Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m
Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:
E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}
E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Akibatnya
Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m
Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:
E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}
E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Akibatnya
Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m
Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:
E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}
E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Akibatnya
Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m
Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:
E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}
E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Akibatnya
Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m
Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:
E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}
E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m
Bukti sifat 3
Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd
Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m
Bukti sifat 3
Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd
Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m
Bukti sifat 3
Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd
Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m
Bukti sifat 3
Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd
Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m
Bukti sifat 3
Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd
Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Kekongruenan
Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka
a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m
Bukti sifat 3
Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd
Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Masalah Kongruensi
Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.
Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Masalah Kongruensi
Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.
Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Masalah Kongruensi
Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.
Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Masalah Kongruensi
Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.
Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:
kedatangan pelanggan di suatu konter
seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini
pembuatan input tes untuk sebuah program komputer
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:
kedatangan pelanggan di suatu konter
seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini
pembuatan input tes untuk sebuah program komputer
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:
kedatangan pelanggan di suatu konter
seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini
pembuatan input tes untuk sebuah program komputer
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:
kedatangan pelanggan di suatu konter
seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini
pembuatan input tes untuk sebuah program komputer
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Bagaimana membangun bilangan acak jika kita hanyamembutuhkan sedikit bilangan saja?
Dengan melempar dadu kubus berulang-ulang, dapat dibangunsebuah barisan acak dari bilangan-bilangan dari himpunan{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Barisan yang dihasilkan dengan cara ini tidakakan punya pola, tetapi dengan percobaan berulang-ulangdalam waktu relatif lama diharapkan keenam bilangan tersebutdapat tampil dengan frekuensi yang sama
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Bagaimana membangun bilangan acak jika kita hanyamembutuhkan sedikit bilangan saja?
Dengan melempar dadu kubus berulang-ulang, dapat dibangunsebuah barisan acak dari bilangan-bilangan dari himpunan{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Barisan yang dihasilkan dengan cara ini tidakakan punya pola, tetapi dengan percobaan berulang-ulangdalam waktu relatif lama diharapkan keenam bilangan tersebutdapat tampil dengan frekuensi yang sama
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Jika beberapa bilangan random diperlukan, maka wajar untukmenanyakan apakah sebuah komputer dapat diprogram untukmenjalankan tugas tersebut.
Sebuah komputer merupakan sebuah deterministic device.Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yangsecara prinsip selalu dapat diprediksikan.
Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkankomputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksisecara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini padasebuah komputer disebut bilangan pseudo-random
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Jika beberapa bilangan random diperlukan, maka wajar untukmenanyakan apakah sebuah komputer dapat diprogram untukmenjalankan tugas tersebut.
Sebuah komputer merupakan sebuah deterministic device.Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yangsecara prinsip selalu dapat diprediksikan.
Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkankomputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksisecara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini padasebuah komputer disebut bilangan pseudo-random
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Jika beberapa bilangan random diperlukan, maka wajar untukmenanyakan apakah sebuah komputer dapat diprogram untukmenjalankan tugas tersebut.
Sebuah komputer merupakan sebuah deterministic device.Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yangsecara prinsip selalu dapat diprediksikan.
Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkankomputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksisecara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini padasebuah komputer disebut bilangan pseudo-random
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Ide Dasar Konstruksi
Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...
x0 disebut seed atau benih
Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.
Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.
Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Ide Dasar Konstruksi
Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...
x0 disebut seed atau benih
Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.
Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.
Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Ide Dasar Konstruksi
Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...
x0 disebut seed atau benih
Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.
Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.
Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Ide Dasar Konstruksi
Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...
x0 disebut seed atau benih
Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.
Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.
Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Ide Dasar Konstruksi
Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...
x0 disebut seed atau benih
Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.
Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.
Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Ide Dasar Konstruksi
Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...
x0 disebut seed atau benih
Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.
Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.
Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Linear Congruential Method
membangun sebuah barisan bilangan pseudo-random darihimpunan {0, 1, 2, 3, ..., m − 1}. Aturan konstruksimenggunakan formula:
xi = axi−1 + c mod m
a dan c konstan. Jika c = 0 maka metode tersebut dinamakanmultiplicative congruential method.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Analisa Metoda
xi = axi−1 + c mod m
Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.
Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.
Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.
Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Analisa Metoda
xi = axi−1 + c mod m
Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.
Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.
Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.
Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Analisa Metoda
xi = axi−1 + c mod m
Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.
Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.
Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.
Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Analisa Metoda
xi = axi−1 + c mod m
Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.
Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.
Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.
Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Analisa Metoda
xi = axi−1 + c mod m
Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.
Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.
Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.
Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 1
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1
Solusi 1
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...
Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.
pemilihan a dan c disini kurang representatif
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 1
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1
Solusi 1
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...
Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.
pemilihan a dan c disini kurang representatif
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 1
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1
Solusi 1
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...
Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.
pemilihan a dan c disini kurang representatif
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 1
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1
Solusi 1
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...
Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.
pemilihan a dan c disini kurang representatif
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 1
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1
Solusi 1
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...
Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.
pemilihan a dan c disini kurang representatif
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 1
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1
Solusi 1
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...
Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.
pemilihan a dan c disini kurang representatif
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 2
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1
Solusi 2
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...
Setelah suku ke-8, siklus akan berulang
pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 2
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1
Solusi 2
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...
Setelah suku ke-8, siklus akan berulang
pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 2
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1
Solusi 2
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...
Setelah suku ke-8, siklus akan berulang
pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 2
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1
Solusi 2
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...
Setelah suku ke-8, siklus akan berulang
pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 2
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1
Solusi 2
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...
Setelah suku ke-8, siklus akan berulang
pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 2
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1
Solusi 2
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16
Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...
Setelah suku ke-8, siklus akan berulang
pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 3
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1
Solusi 3
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16
Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...
Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15
pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 3
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1
Solusi 3
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16
Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...
Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15
pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 3
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1
Solusi 3
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16
Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...
Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15
pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 3
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1
Solusi 3
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16
Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...
Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15
pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 3
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1
Solusi 3
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16
Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...
Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15
pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Contoh 3
Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1
Solusi 3
Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16
Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...
Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15
pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Dari ketiga simulasi terdahulu
1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.
2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).
3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m
4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Dari ketiga simulasi terdahulu
1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.
2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).
3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m
4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Dari ketiga simulasi terdahulu
1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.
2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).
3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m
4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Dari ketiga simulasi terdahulu
1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.
2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).
3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m
4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Dari ketiga simulasi terdahulu
1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.
2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).
3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m
4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:
x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536
Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571
Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:
x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536
Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571
Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:
x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536
Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571
Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:
x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536
Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571
Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Pada kebanyakan aplikasi praktis, setiap bilangan yangdihasilkan dibagi dengan modulus m untuk menghasilkanbarisan bilangan pseudo-random yang didistribusikansecara merata antara 0 dan 1
Konversi barisan yang dihasilkan pada contoh 4, yaknidengan membagi masing-masing bilangan dengan 65536,menghasilkan barisan:0.982315, 0.323044, 0.496841, 0.592209, 0.160782,0.629929, 0.653824, 0.912766, 0.218155, 0.104782,0.158463, 0.557541, 0.341934, 0.810104, 0.698257,0.089035, 0.719620, 0.808395, 0.960709, 0.069748
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Pada kebanyakan aplikasi praktis, setiap bilangan yangdihasilkan dibagi dengan modulus m untuk menghasilkanbarisan bilangan pseudo-random yang didistribusikansecara merata antara 0 dan 1
Konversi barisan yang dihasilkan pada contoh 4, yaknidengan membagi masing-masing bilangan dengan 65536,menghasilkan barisan:0.982315, 0.323044, 0.496841, 0.592209, 0.160782,0.629929, 0.653824, 0.912766, 0.218155, 0.104782,0.158463, 0.557541, 0.341934, 0.810104, 0.698257,0.089035, 0.719620, 0.808395, 0.960709, 0.069748
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Konstruksi Bilangan Pseudo-random
Pada kebanyakan aplikasi praktis, setiap bilangan yangdihasilkan dibagi dengan modulus m untuk menghasilkanbarisan bilangan pseudo-random yang didistribusikansecara merata antara 0 dan 1
Konversi barisan yang dihasilkan pada contoh 4, yaknidengan membagi masing-masing bilangan dengan 65536,menghasilkan barisan:0.982315, 0.323044, 0.496841, 0.592209, 0.160782,0.629929, 0.653824, 0.912766, 0.218155, 0.104782,0.158463, 0.557541, 0.341934, 0.810104, 0.698257,0.089035, 0.719620, 0.808395, 0.960709, 0.069748
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).
Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.
Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).
Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.
Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).
Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.
Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).
Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.
Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Jika X adalah himpunan pesan dan Y adalah himpunan pesanterenkripsi, maka enkripsi dapat dinyatakan sebagai fungsi fdari X ke Y , sedangkan dekripsi merupakan fungsi invers f−1
dari Y ke X
Secara logis, baik f maupun f−1 harus dirahasiakan, sebab jikaf dipublikasikan maka setiap orang akan dapat menentukanf−1 sehingga dapat mendekripsi tiap pesan yang dikirim
Ternyata dimungkinkan untuk mendesain sistem public keyencryption, dimana hanya f−1 saja yang perlu dirahasiakan.Hal ini dapat dilakukan dengan membuat proses penurunanf−1 dari f sangat sulit, bahkan oleh komputer yang palingpowerful sekalipun dalam batas waktu yang dimungkinkan.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Jika X adalah himpunan pesan dan Y adalah himpunan pesanterenkripsi, maka enkripsi dapat dinyatakan sebagai fungsi fdari X ke Y , sedangkan dekripsi merupakan fungsi invers f−1
dari Y ke X
Secara logis, baik f maupun f−1 harus dirahasiakan, sebab jikaf dipublikasikan maka setiap orang akan dapat menentukanf−1 sehingga dapat mendekripsi tiap pesan yang dikirim
Ternyata dimungkinkan untuk mendesain sistem public keyencryption, dimana hanya f−1 saja yang perlu dirahasiakan.Hal ini dapat dilakukan dengan membuat proses penurunanf−1 dari f sangat sulit, bahkan oleh komputer yang palingpowerful sekalipun dalam batas waktu yang dimungkinkan.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Jika X adalah himpunan pesan dan Y adalah himpunan pesanterenkripsi, maka enkripsi dapat dinyatakan sebagai fungsi fdari X ke Y , sedangkan dekripsi merupakan fungsi invers f−1
dari Y ke X
Secara logis, baik f maupun f−1 harus dirahasiakan, sebab jikaf dipublikasikan maka setiap orang akan dapat menentukanf−1 sehingga dapat mendekripsi tiap pesan yang dikirim
Ternyata dimungkinkan untuk mendesain sistem public keyencryption, dimana hanya f−1 saja yang perlu dirahasiakan.Hal ini dapat dilakukan dengan membuat proses penurunanf−1 dari f sangat sulit, bahkan oleh komputer yang palingpowerful sekalipun dalam batas waktu yang dimungkinkan.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
RSA Cryptosystem
Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977
RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.
Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.
Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.
Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
RSA Cryptosystem
Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977
RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.
Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.
Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.
Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
RSA Cryptosystem
Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977
RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.
Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.
Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.
Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
RSA Cryptosystem
Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977
RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.
Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.
Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.
Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
RSA Cryptosystem
Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977
RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.
Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.
Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.
Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
RSA Cryptosystem
Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977
RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.
Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.
Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.
Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System
1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23
2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan
xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan
kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya
diberikan kepada authorised person
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System
1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23
2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan
xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan
kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya
diberikan kepada authorised person
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System
1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23
2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan
xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan
kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya
diberikan kepada authorised person
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System
1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23
2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan
xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan
kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya
diberikan kepada authorised person
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System
1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23
2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan
xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan
kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya
diberikan kepada authorised person
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System
1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23
2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan
xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan
kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya
diberikan kepada authorised person
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System Lanjutan
1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka
f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan
mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System Lanjutan
1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka
f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan
mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System Lanjutan
1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka
f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan
mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System Lanjutan
1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka
f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan
mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
KekongruenanAplikasi Kongruensi
Public Key Cryptography
Simulasi RSA System Lanjutan
1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka
f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan
mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Himpunan bilangan
Sebutkan anggota himpunan bilangan:
asli
bulat
rasional
irrasional
riil
Bilangan riil
ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Himpunan bilangan
Sebutkan anggota himpunan bilangan:
asli
bulat
rasional
irrasional
riil
Bilangan riil
ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Himpunan bilangan
Sebutkan anggota himpunan bilangan:
asli
bulat
rasional
irrasional
riil
Bilangan riil
ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Himpunan bilangan
Sebutkan anggota himpunan bilangan:
asli
bulat
rasional
irrasional
riil
Bilangan riil
ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Himpunan bilangan
Sebutkan anggota himpunan bilangan:
asli
bulat
rasional
irrasional
riil
Bilangan riil
ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Himpunan bilangan
Sebutkan anggota himpunan bilangan:
asli
bulat
rasional
irrasional
riil
Bilangan riil
ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Himpunan bilangan
Sebutkan anggota himpunan bilangan:
asli
bulat
rasional
irrasional
riil
Bilangan riil
ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Sistem Desimal
merupakan contoh dari sebuah sistem bilangan posisionalsebab setiap digit memiliki nilai tempat yang tergantung padaposisinya. Misalnya
2345.67 = 2×103+3×102+4×101+5×100+6×10−1+7×10−2
Sistem Desimal
menggunakan basis 10 sebab masing-masing nilai tempatmerupakan perpangkatan dari 10
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Desimal
Sistem Desimal
merupakan contoh dari sebuah sistem bilangan posisionalsebab setiap digit memiliki nilai tempat yang tergantung padaposisinya. Misalnya
2345.67 = 2×103+3×102+4×101+5×100+6×10−1+7×10−2
Sistem Desimal
menggunakan basis 10 sebab masing-masing nilai tempatmerupakan perpangkatan dari 10
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.
Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.
Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.
1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1
+1× 2−2
= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.
Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.
Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.
1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1
+1× 2−2
= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.
Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.
Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.
1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1
+1× 2−2
= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.
Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.
Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.
1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1
+1× 2−2
= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.
Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.
Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.
1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1
+1× 2−2
= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi
Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);
Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;
Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi
Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);
Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;
Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi
Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);
Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;
Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi
Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);
Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;
Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi
Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);
Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;
Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Bilangan Biner
Representasi 0 - 20 dalam sistem biner dan desimal
Biner Desimal Biner Desimal0 01 1 1011 11
10 2 1100 1211 3 1101 13
100 4 1110 14101 5 1111 15110 6 10000 16111 7 10001 17
1000 8 10010 181001 9 10011 191010 10 10100 20
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?
Pola representasi biner
Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1
Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0
Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?
Pola representasi biner
Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1
Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0
Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?
Pola representasi biner
Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1
Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0
Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?
Pola representasi biner
Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1
Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0
Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?
Pola representasi biner
Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1
Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0
Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Langkah pertama dalam melakukan konversi desimal ke bineradalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 untukmendapatkan hasil bagi dan sisa.
Notasi
n div 2 adalah hasil bagi jika n dibagi 2n mod 2 adalah sisa jika n dibagi 2
Bilangan biner yang didapat dengan menghapus bit palingkanan dari representasi biner dari n merupakan representasibiner dari n div 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Langkah pertama dalam melakukan konversi desimal ke bineradalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 untukmendapatkan hasil bagi dan sisa.
Notasi
n div 2 adalah hasil bagi jika n dibagi 2n mod 2 adalah sisa jika n dibagi 2
Bilangan biner yang didapat dengan menghapus bit palingkanan dari representasi biner dari n merupakan representasibiner dari n div 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Langkah pertama dalam melakukan konversi desimal ke bineradalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 untukmendapatkan hasil bagi dan sisa.
Notasi
n div 2 adalah hasil bagi jika n dibagi 2n mod 2 adalah sisa jika n dibagi 2
Bilangan biner yang didapat dengan menghapus bit palingkanan dari representasi biner dari n merupakan representasibiner dari n div 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Algoritma konversi desimal ke biner
1 input n2 Repeat
1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Algoritma konversi desimal ke biner
1 input n2 Repeat
1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Algoritma konversi desimal ke biner
1 input n2 Repeat
1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Algoritma konversi desimal ke biner
1 input n2 Repeat
1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Algoritma konversi desimal ke biner
1 input n2 Repeat
1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Algoritma konversi desimal ke biner
1 input n2 Repeat
1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Misalnya n = 6
Step n Output1 6 -
2.1 6 02.2 3 -2.1 3 12.2 1 -2.1 1 12.2 0 -
Sehingga representasi biner dari 6 adalah 1102
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Misalnya n = 6
Step n Output1 6 -
2.1 6 02.2 3 -2.1 3 12.2 1 -2.1 1 12.2 0 -
Sehingga representasi biner dari 6 adalah 1102
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Konversikan bilangan desimal 27 ke representasi binernya.
2 2713 16 13 01 10 1
Pada kolom kanan dibaca dari bawah ke atas, memberikanjawaban bahwa
2710 = 110112
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Konversikan bilangan desimal 27 ke representasi binernya.
2 2713 16 13 01 10 1
Pada kolom kanan dibaca dari bawah ke atas, memberikanjawaban bahwa
2710 = 110112
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Biner
Konversikan bilangan desimal 27 ke representasi binernya.
2 2713 16 13 01 10 1
Pada kolom kanan dibaca dari bawah ke atas, memberikanjawaban bahwa
2710 = 110112
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Notasi
bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n
Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner
1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat
1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Konversikan pecahan desimal 0.32 ke repersentasi binernyadengan 5 digit setelah titik.
32 20 641 280 561 120 24
Pada kolom kiri dibaca dari atas ke bawah, memberikan jawab:
0.3210 = 0.01010...2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Konversikan pecahan desimal 0.32 ke repersentasi binernyadengan 5 digit setelah titik.
32 20 641 280 561 120 24
Pada kolom kiri dibaca dari atas ke bawah, memberikan jawab:
0.3210 = 0.01010...2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Konversikan pecahan desimal 0.32 ke repersentasi binernyadengan 5 digit setelah titik.
32 20 641 280 561 120 24
Pada kolom kiri dibaca dari atas ke bawah, memberikan jawab:
0.3210 = 0.01010...2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Jika sebuah bilangan memiliki bagian bulat dan bagianpecahan, maka setiap bagian bisa dikonversikan secaraterpisah dan hasilnya dikombinasikan
Contoh kita sebelumnya menunjukkan
2710 = 110112
dan0.3210 = 0.01010...2
Dengan mengkombinasikan keduanya maka didapat bahwa
27.3210 = 11011.01010...2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Jika sebuah bilangan memiliki bagian bulat dan bagianpecahan, maka setiap bagian bisa dikonversikan secaraterpisah dan hasilnya dikombinasikan
Contoh kita sebelumnya menunjukkan
2710 = 110112
dan0.3210 = 0.01010...2
Dengan mengkombinasikan keduanya maka didapat bahwa
27.3210 = 11011.01010...2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Pecahan Desimal ke Biner
Jika sebuah bilangan memiliki bagian bulat dan bagianpecahan, maka setiap bagian bisa dikonversikan secaraterpisah dan hasilnya dikombinasikan
Contoh kita sebelumnya menunjukkan
2710 = 110112
dan0.3210 = 0.01010...2
Dengan mengkombinasikan keduanya maka didapat bahwa
27.3210 = 11011.01010...2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Oktal dan Heksadesimal
Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.
Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.
Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510
Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.
Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Oktal dan Heksadesimal
Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.
Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.
Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510
Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.
Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Oktal dan Heksadesimal
Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.
Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.
Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510
Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.
Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Oktal dan Heksadesimal
Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.
Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.
Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510
Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.
Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Oktal dan Heksadesimal
Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.
Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.
Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510
Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.
Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Sistem Oktal dan Heksadesimal
Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.
Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.
Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510
Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.
Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?
Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner
Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.
Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?
Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner
Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.
Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?
Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner
Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.
Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?
Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner
Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.
Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Antar Sistem Bilangan
Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?
Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner
Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.
Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversi bilangan desimal ke oktal atau heksadesimal analogdengan konversi desimal ke biner; perbedaannya hanyapenggunaan 8 atau 16 sebagai pembagi atau pengali.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversikan 275.437510 ke representasi oktal
Konversi bagian bulat
8 27534 34 20 4
Sehingga 27510 = 4238
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversikan 275.437510 ke representasi oktal
Konversi bagian bulat
8 27534 34 20 4
Sehingga 27510 = 4238
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversikan 275.437510 ke representasi oktal
Konversi bagian bulat
8 27534 34 20 4
Sehingga 27510 = 4238
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversi bagian pecahan
4375 83 50004 0
Sehingga 0.437510 = 0.348
Mengkombinasikan hasilnya didapat:
275.437510 = 423.348
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversi bagian pecahan
4375 83 50004 0
Sehingga 0.437510 = 0.348
Mengkombinasikan hasilnya didapat:
275.437510 = 423.348
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversi bagian pecahan
4375 83 50004 0
Sehingga 0.437510 = 0.348
Mengkombinasikan hasilnya didapat:
275.437510 = 423.348
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversikan 985.7812510 ke representasi heksadesimal
Konversi bagian bulat
16 98561 93 130 3
Sehingga 98510 = 3D916
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversikan 985.7812510 ke representasi heksadesimal
Konversi bagian bulat
16 98561 93 130 3
Sehingga 98510 = 3D916
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversikan 985.7812510 ke representasi heksadesimal
Konversi bagian bulat
16 98561 93 130 3
Sehingga 98510 = 3D916
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversi bagian pecahan
78125 1612 500008 0
Sehingga 0.7812510 = 0.C816
Mengkombinasikan hasilnya didapat :
985.7812510 = 3D9.C816
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversi bagian pecahan
78125 1612 500008 0
Sehingga 0.7812510 = 0.C816
Mengkombinasikan hasilnya didapat :
985.7812510 = 3D9.C816
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal
Konversi bagian pecahan
78125 1612 500008 0
Sehingga 0.7812510 = 0.C816
Mengkombinasikan hasilnya didapat :
985.7812510 = 3D9.C816
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal
Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.
Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.
Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.
Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal
Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.
Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.
Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.
Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal
Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.
Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.
Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.
Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal
Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.
Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.
Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.
Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis
Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan
Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan
Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal
Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.
Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.
Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.
Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN
top related