punca polinomial - ukm.my polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah müller dan kaedah bairstow....

Punca Polinomial

Bab 7

Di akhir bab ini, anda sepatutnya:

Mampu menyelesaikan punca polinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow.Mampu menggunakan perisian untuk mendapatkan punca polinomial

Kaedah sekan vs kaedah Müller

Rajah 73

Kaedah Müller

Daripada rajah,

Di mana persamaan (7.20), f(x2) = c dan

cxxbxxaxfcxxbxxaxfcxxbxxaxf

)()()(

)()()(

)()()(

222

222

212

211

202

200 (7.18)

(7.19)

(7.20)

)()()()(

)()()()(

212

2121

202

2020

xxbxxaxfxfxxbxxaxfxf (7.21)

(7.22)

Untuk menyelesaikan persamaan, jadikan

Masukkan dalam persamaan (7.21) dan (7.22)

01

010

010

)()(xx

xfxfxxh

12

011

121

)()(xx

xfxfxxh

(7.23)

112

11

11002

1010

)()(

)()(

hahbhhhahhbhh

Selesaikan nilai a dan b menjadi

Untuk mencari punca, gunakan formula kuadratik:

)( 2

11

01

01

xfcahb

hha (7.24)

(7.25)

(7.26)

acbbcxx

42223

(7.27a)

atau

acbbcxx

42223 (7.27b)

Dengan ralat, a

%1003

23

xxx

a

Contoh

Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x0, x1 dan x2 = 4.5, 5.5 dan 5, dapatkan punca bagi :

1213)( 3 xxxf

Penyelesaian contoh x x3 13x f(x) h0 d0 h1 d1 a b c x3+ Error

x0 4.5 91.125 58.5 20.625 1 62.25 -0.5 69.75 15 62.25 48 3.97649 -25.74%x1 5.5 166.375 71.5 82.875x2 5 125 65 48

x x3 13x f(x) h0 d0 h1 d1 a b c x3+ Errorx0 5.5 166.375 71.5 82.875 -1 69.75 -1 47.69 14 32.878 -1 4.00105 0.006139x1 5 125 65 48x2 3.976487 62.878 51.7 -0.816

Kaedah Bairstow

Persamaan polinomial:

Kaedah Bairstow membahagikan persamaan polinomial dengan faktor kuadratik:

Maka, persamaan polinomial yang baru menjadi:

nnn xaxaxaaxf ...)( 2

2110 (7.29)

srxx2

231322 ...)( n

nn

nn xbxbxbbxf

dengan baki: 01 )( brxbR (7.31)

Sepertimana pembahagian secara kuadratik,

Bairstow menggunakan pendekatan menghampiri kaedah Newton-Raphson, di mana oleh kerana b0 dan b1 adalahfungsi r dan s, ia boleh dikembangkan kepada siri Taylor seperti berikut:

0hingga2-nbagi21

11

isbrbabrbab

ab

iiii

nnn

nn (7.32a)(7.32b)(7.32c)

ssbr

rbbssrrb

ssbr

rbbssrrb

0000

1111

),(

),(

(7.33)

Dengan menjadikan persamaan (7.33) bersamaan dengan 0,

Jika pembezaan separa boleh ditentukan, maka kedua persamaan di atas boleh diselesaikan serentak untuk mendapatkan nilai r dan s.

000

111

bsrbr

rb

bsrbr

rb

(7.34)

(7.35)

Bairstow menunjukkan bahawa pembezaan separa boleh diselesaikan menggunakan :

di mana:

21

11

iiii

nnn

nn

scrcbcrcbc

bc (7.36a)

(7.36b)

(7.36c)

untuk i=n-2 hingga 1

31

210

10 dan, c

sbc

rb

sbc

rb

Pembezaan separa ini dimasukkan ke dalam persamaan (7.34) dan (7.35) bersama dengan nilai-nilai b untuk mendapat:

Persamaan di atas boleh diselesaikan untuk mendapatkan nilai r dan s dan seterusnyamencari nilai anggaran r dan s.

021

132

bscrcbscrc

Anggaran ralat :

%100

%100

,

,

ss

danrr

sa

ra (7.37)

(7.38)

Apabila kedua-dua ralat menjadi cukup kecil, nilai punca boleh ditentukan dengan menggunakan:

Jika persamaan merupakan polinomial peringkat satu, punca boleh dicari menggunakan:

242 srrx

(7.39)

rsx (7.40)

Contoh

Menggunakan kaedah Bairstow dapatkanpunca polinomial bagi persamaan berikut:

Dengan nilai awalan r = s = -1 daniterasikan sehingga s= 1%

25.1875.3125.275.25.3)( 23455 xxxxxxf

Penyelesaian contoh

Gunakan persamaan (7.32) dan (7.36)

Selesaikan persamaan serentak r dan s

b5 b4 b3 b2 b1 b01 -4.5 6.25 0.375 -10.5 11.375c5 c4 c3 c2 c11 -5.5 10.75 -4.875 -16.375

375.11875.4375.165.1075.10875.4

srsr

Penyelesaian contoh

Di mana r = 0.3558 dan s =1.1381

Dengan ralat:1381.01381.11

6442.03558.01sr

%1.824%1001381.01381.1

%23.55%1006442.0

3558.0

,

,

sa

ra

Penyelesaian contoh

Lelaran kedua,

Selesaikan persamaan serentak r dan s

b5 b4 b3 b2 b1 b01 -4.1442 5.5578 -2.0276 -1.8013 2.1304c5 c4 c3 c2 c11 -4.7884 8.7806 -8.3454 4.7874

1304.23454.87874.48013.17806.83454.8

srsr

Penyelesaian contoh

Di mana r = 0.1331 dan s =0.3316

Dengan ralat:4697.03316.01381.0

5111.01331.06442.0sr

%6.70%1004697.03316.0

%0.26%1005111.0

1331.0

,

,

sa

ra

Penyelesaian contoh

Selepas 4 lelaran, nilai r = 0.5 dan s = 0.5Dengan ralat:

Gunakan persamaan (7.39) untuk mencari punca x,

%040.0

%063.0

,

,

sa

ra

0.1,5.02

5.045.05.0 2

x

Penyelesaian contohDengan persamaan kubik adalah:

Kaedah Bairstow boleh digunakan padapolinomial diatas dengan nilai awal r = 0.5 dan s = 0.5Selepas 5 lelaran, r = 2 dan s = -1.249

Dan polinomial peringkat pertama boleh diperolehi dengan menggunkan persamaan (7.40)

5.225.54)( 23 xxxxf

ix 499.012

249.1422 2