persamaan garis lurus lingkaran
Post on 12-Apr-2017
412 Views
Preview:
TRANSCRIPT
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM DAN LUAR LINGKARAN
ARVIN EFRIANIMAGISTER PENDIDIKAN
MATEMATIKA
CONTOH SOAL
4MATERI
PRASYARAT
2
KD & TUJUAN1
MENU
MATERI3
LATIHAN5
PENULIS
6
Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran serta cara melukisnya
KD dan TUJUAN
KOMPETENSI DASAR
- Siswa dapat menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dengan benar- Siswa dapat menjelaskan cara melukis garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dengan tepat
TUJUAN PEMBELAJARAN
MATERI PRASYARAT
TEOREMA PYTHAGORAS LINGKARAN
TEOREMA PYTHAGORAS
a c
b
“Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah
kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”
c2 = a2+b2
LINGKARAN
GARIS SINGGUNG
LINGKARANUNSUR-UNSUR
LINGKARAN
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
O Perhatikan gambar disamping,
titik O merupakan titik pusat lingkaran.
Untuk membuat lingkaran dan menentukan titik pusat lingkaran harus menggunakan jangka
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran
Titik Pusat
A
O
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Misal ada titik A di lengkungan lingkaran
Hubungkan titik O dan titik A dengan sebuah garis lurus
Garis lurus yang menghubungkan titik O dan A tersebut disebut Jari-jari lingkaran dan ditulis OA
Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran
Jari-Jari
C
B
A
O
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat.
Diameter Misal ada titik B di lengkungan
lingkaran Buat garis dari titik B melalui titik O
sampai pada lengkungan lingkaran, misal di titik C
Garis BC tersebut disebut diameter dan garis OB dan OC disebut Jari-jari
Perhatikan, BC = OB + OC. Dengan kata lain Diameter adalah 2 jari-jari
C
B
A
OBusur lingkaran dibagi menjadi 2,
yaitu Busur Kecil dan Busur Besar Pada gambar di samping, garis lengkung AC merupakan busur Busur AC yg berwarna kuning disebut busur kecil, sedangkan busur AC yang berwarna hitam disebut busur besar.
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Busur lingkaran adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di
lengkungan tersebut
Diameter
C
B
A
O
Pada gambar di samping, tarik garis lurus dari titik A ke titik C
Apakah garis lurus BC juga merupakan tali busur???
Jawabnya YA, BC merupakan tali busur sekaligus diameter lingkaran karena garis BC menghubungkan titik B dan C pada lengkung lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran
Garis lurus AC tersebut disebut tali busur
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran
Tali Busur
C
B
A
O Seperti pada Busur lingkaran, Tembereng
juga dibagi menjadi 2, yaitu Tembereng Kecil dan Tembereng Besar
Pada gambar di samping, daerah yang berwarna kuning disebut Tembereng kecil
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur
Tembereng
C
B
A
O Juring lingkaran juga dibagi menjadi 2,
yaitu Juring Kecil dan Juring Besar Pada gambar di samping, daerah AOB
disebut Juring kecil
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur
yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut
Juring
C
B
AD
O Dari titik pusat O, buat garis yang
tegak lurus dengan tali busur AB misal di titik D
Garis OD ini yang disebut Apotema
UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Apotema adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis tersebut tegak
lurus dengan tali busur.
Apotema
POSISI GARIS TERHADAP LINGKARANPerhatikan gambar berikut ini!
a. Garis f memotong lingkaran di 2 titik yaitu A dan B dan tegak lurus garis i.
b. Garis g memotong lingkaran di 1 titik yaitu titik C dan tegak lurus garis i. Garis g ini dikatakan menyinggung lingkaran di titik C.
c. Garis h tidak memotong lingkaran
O
hf g
A
B
Ci
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran
Perhatikan lingkaran di samping!
O AUntuk menggambar garis singgung lingkaran yang melalui titik A, caranya sebagai berikut.
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran
a. Lukis garis OA dan perpanjangannya
b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik A sehingga memotong garis OA, misal di titik B dan C
c. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik B dan C sehingga saling berpotongan di titik D dan E
d. Hubungkan titik D dan E. Garis DE merupakan garis singgung lingkaran di titik A.
O A CB
D
E
Melalui satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Perhatikan lingkaran di atas! Titik A di luar lingkaran
O A
Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik A, caranya sebagai berikut.
Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
a. Hubungkan titik O dan titik A
b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik O dan A sehingga saling berpotongan di titik B dan C
O A
C
B
Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
c. Hubungkan BC sehingga memotong OA, misal di titik D
d. Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DA sehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Misal di titik E dan F.
O A
C
BE
F
D
Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
e. Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F. Garis AE dan EF merupakan dua garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.
O A
C
BE
F
D
Melalui satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut
Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
O A
B
Ca. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua
jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layangl-ayang.
b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.
Panjang Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
RL1 L
2r
P,Q
L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
L1 L
2 P
L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris.
Q
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
L1 L
2P
L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam.
Q
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
L1
L2
P
L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.
Q
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
L1
L2
P
L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.
Q
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
L1
L2
P Q
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
L1
L2
P Q
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.
Kedua lingkaran di atas tidak memiliki garis singgung
Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Kedua lingkaran di atas memiliki satu garis singgung
Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Kedua lingkaran di atas memiliki dua garis singgung
Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Kedua lingkaran di atas memiliki tiga garis singgung
Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Kedua lingkaran di atas memiliki empat garis singgung
Pernahkah kalian melihat
gambar ini sebelumnya?
Bagaimana dengan gambar di bawah ini?
Apa yang dilakukannya?
Dapatkah kalian menentukan
panjang tali yang menyinggung tiap katrol tersebut?
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di titik Q dengan jari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.
L1 L
2P QR r
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S.
L1 L
2P QR r
R
S
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T.
L1 L
2P QR r
R
S
T
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.
L1 L
2P QR r
R
S
T
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari R + r sehingga memotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V.
L1 L
2P QR r
R
S
T
V
U
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula titik P dan V sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.
L1 L
2P QR r
R
S
T
V
U
A
C
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik C jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D.
L1 L
2P QR r
R
S
T
V
U
A
C
B
D
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2.
L1 L
2P QR r
R
S
T
V
U
A
C
D
B
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis VQ
L1 L
2P QR r
R
S
T
V
U
A
C
D
B
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚
L1 L
2P QR r
R
S
T
V
U
A
C
D
B
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v
L1 L
2P QR rT
V
C
D
B
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
P QR r
c
D
V
a
d
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Menggunakan teorema phytagoras :
CD2 = PQ2 +PV2
CD2 = PQ2 +(PC+DQ)2
d2= a2 + (R+r)2
Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
P QR r
c
D
V
a
d
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaran L2 pusat di Q berjari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.
L1
P QR rL2
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S.
L1
P QR r
R
S
L2
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T.
L1
P QR r
R
S
TL2
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.
L1
P QR r
R
S
TL2
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – r sehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V.
L1
P QR r
R
S
T
U
V
L2
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.
L1
P QR r
R
S
T
U
V
A
C
L2
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di C, jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D
L1
P QR r
R
S
T
U
V
B
C
D
A
L2
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2.
L1
L2P QR r
R
S
T
U
V
A
C
B
D
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
L1
L2P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh QD maka diperoleh garis VQ
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
L1
L2P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
L1
L2P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v
Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
L1
L2P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
Menggunakan teorema phytagoras :
VQ2 = PQ2 +PV2
CD2 = PQ2 +(PC-DQ)2
d2= a2 + (R-r)2
Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
L1
L2P Q
Rr
C
Dd
a
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
CONTOH SOAL
1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka tentukan jarak kedua pusat lingkaran
CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab :• d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau• R = 11 cm d2 = p2 – (R - r)2
• r = 2 cm 122 = p2 – (11 - 2)2
144 = p2 – 81Ditanyakan p = ? p2 = 225
p = √225 p = 15 cm
Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 15 cm
CONTOH SOAL
2. Dua lingkaran masing-masing berjari- jari 15 cm dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2cm . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.
CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab:• s = 2 cm p = s + R + r• R = 15 cm p = 2 cm + 15 cm + 8 cm• r = 8 cm p = 25 cm
Ditanyakan: d = ? d = √(p2 – (R - r)2)d = √(252 – (15 - 8)2)d = √(625 –49)d = √(576)d = 24 cm
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm
CONTOH SOAL
3. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua
pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang
lainnya!
CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab:• d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau• R = 8 cm d2 = p2 – (R - r)2
• p = 13 cm 122 = 132 – (8 - r)2
144 = 169 – (8 - r)2
• Ditanyakan: r = ? (8 - r)2 = 169 –144(8 - r)2 = 25 (8 - r) = √25(8 - r) = 5r = 8 - 5r = 3 cmJadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 3 cm
CONTOH SOAL
4. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 29 cm dan 14 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya 36 cm. Hitung jarak pusat kedua lingkarannya!
CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab :• d = 36 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau• R = 29 cm d2 = p2 – (R + r)2
• r = 14 cm 362 = p2 – (29 - 14)2
1296 = p2 – 225Ditanyakan p = ? p2 = 1296 + 225
p2 = 1521p = √1521p = 39 cmJadi, jarak pusat kedua lingkarannya adalah 39 cm
LATIHAN
SIAPKAH ANDA MENCOBA LATIHAN ???
YA TIDAK
LATIHAN
1. Jika panjang garis dari pusat lingkaran A ke titik B adalah 45 cm dan panjang garis singgung BC adalah 36 cm, maka panjang jari-jari lingkarannya AC adalah….
27 47 37 57
A
B D
C
LATIHAN
2. Dua buah lingkaran dengan panjang jari-jari 20 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran 24 cm, maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah…….
10 cm 15 cm 20 cm 30 cm
A
B D
C
LATIHAN
3. Panjang jari-jari lingkaran A = 36 cm dan B = 19 cm. Jika jarak pusat dua lingkaran AB = 73 cm.maka panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah……..
78 cm 68 cm58 cm 48 cm
A
B D
C
LATIHAN
4. Tentukan urutan melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran a. Hubungkan titik K dengan titik M dan titik L dengan titik N. b. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik T dengan jari-jari TP. c. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik K dengan panjang jari-
jarinya sama dengan UQ dan juga lukis busur lingkaran dengan pusat L dengan panjang jari-jarinya sama dengan VQ
d. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik P yang panjang jari-jarinya r1 + r2 sedemikian sehingga memotong lingkaran yang berpusat di titik T di titik-titik U dan V
e. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik P dan Q sehingga berpotongan di titik-titik R dan S.
f. Lukislah dua lingkaran yang masing-masing berpusat di titik P dan titik Q f-e-b-d-c-a f-b-e-c-d-a a-b-f-d-c-e b-a-c-f-d-e
A B DC
CEK SKOR
PENULIS
Nama : Arvin EfrianiTTL : Palembag, 19 April 1994E-mail : arvinefriani@gmail.comSosmed : arvinefriani
top related