permutasi & kombinasi

PERMUTASI & KOMBINASIPERMUTASI & KOMBINASI

PROBABILITAS

POKOK BAHASANPOKOK BAHASAN

• Mencacah titik contoh• Peluang suatu kejadian• Kaidah Penjumlahan

Mencacah Titik ContohMencacah Titik Contoh

• Definisi

• Kaidah Penggandaan

• Kaidah Penggandaan Umum

• Permutasi

• Sekatan

• Kombinasi

Mencacah Titik ContohMencacah Titik Contoh

• Evaluasi : pengaruh faktor kebetulan suatu kejadian

• Faktor kebetulan = peluang

• Kita dapat memecahkan masalah peluang dengan mencacah titik dalam ruang contoh tanpa mendaftarkan terlebih dahulu unsur-unsurnya.

• Prinsip dasar mencacah : kaidah penggandaan

Mencacah Titik ContohMencacah Titik Contoh

• Kaidah Penggandaan : Bila dalam suatu operasi dpt dilakukan dalam n1 cara, dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1n2 cara.

Mencacah Titik ContohMencacah Titik Contoh

• Kaidah Penggandaan Umum

“ Bila Suatu Operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tsb operasi kedua dpt dilakukan dlm n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yg pertama operasi ketiga dpt dilakukan dalam n3 cara, & demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dpt dilakukan dlm n1n2..nk cara.”

Mencacah Titik ContohMencacah Titik Contoh

PERMUTASI

• Ad : suatu susunan yg dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan data.

• Banyaknya permutasi n benda yg berbeda ada n!.

• Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yg berbeda adalah :

)!(

!

rn

nPrn

Mencacah Titik ContohMencacah Titik ContohPermutasi• Permutasi melingkar : permutasi yang berasal dari

penyusunan benda dalam bentuk lingkaran

• Rumus : (n-1) !

• Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yg n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,…nk berjenis ke-k adalah :

!!...!

!

321 nnn

n

Mencacah Titik ContohMencacah Titik ContohSekatan

• Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam r sel, dengan n1 unsur dalam sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua, dan demikian seterusnya adl :

!!...!

!

321..., 21 nnn

nn

rnnn

Dalam hal ini, n1 + n2 + …+nr = n

Mencacah Titik ContohMencacah Titik Contoh

Kombinasi

• Ad : banyaknya cara mengambil r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutannya

• Rumus : Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yg berbeda adalah :

)!(!

!

rnr

nrn

Peluang Suatu Kejadian

• Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik contoh dalam A

• Dengan demikian :

1)(0 AP

P (Ø) = 0P (S) = 1

Peluang Suatu Kejadian• Bila suatu percobaan mempunyai N hasil

percobaan yg berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan yg sama untuk terjadi, dan bila tepat n diantara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka peluang kejadian A adalah :

N

nAP )(

Peluang Suatu Kejadian

• Bila peluang setiap titik contoh tdk dpt dianggap sama, maka peluang itu harus diberikan berdasarkan pengetahuan sebelumnya atau berdasarkan bukti percobaan. Hal ini disebut peluang relatif

Peluang Suatu Kejadian

• Penggunaan intuisi, keyakinan diri, dan informasi tidak langsung lain dalam menentukan peluang, disebut peluang yang subyektif.

Kaidah Penjumlahan• Bila A dan B adalah dua kejadian

sembarang, maka :

P (A U B) = P (A) + P(B) – P(A ∩ B)

• Bila A dan B saling terpisah, maka :

P (A U B) = P (A) + P (B)

• Bila A1, A2,…An saling terpisah, maka :

P (A1 U A2…U An) = P(A1) + P(A2)+…P(An)

Kaidah Penjumlahan• Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu

merupakan komplemen lainnya, maka :

P (A) + P (A’) = 1

• Bukti : karena A U A’ = S, dan kejadian A dan A’ saling terpisah, maka :

1 = P(S)

= P (A U A’)

= P (A) + P (A’)