pengolahan data
Post on 30-Jun-2015
1.303 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Dalam pengolahan data dikenal beberapa istilah seperti, statistika dan
peluang. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika'
berasal dari bahasa Inggris ‘statistics’.
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu
alam (misalnya astronomi dan biologi) maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi
dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga
digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan. Misalnya saja, sensus
penduduk yang merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi
statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling
(misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat
hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan
dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara
untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan
berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam
matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam
matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.
2
B. RUMUSAN MASALAH
Adapun rumusan masalah dari makalah ini, antara lain sebagai berikut.
1. Bagaimana membuktikan rumus permutasi dan kombinasi dan cara
menyelesaikan soal-soal tersebut?
2. Bagaimana rumus peluang dari suatu kejadian dan cara penyelesain soal
tersebut?
3. Bagaimana cara menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram?
4. Bagaimana menghitung mean, median, modus dan simpangan baku pada
data tunggal dan data berkelompok?
C. TUJUAN
Adapun tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui rumus permutasi
dan kombinasi serta cara penyelesaian soalnya, untuk mengetahui rumus peluang
suatu kejadian serta cara penyelesaian soalnya, untuk mengetahui cara menyajikan
data dalam bentuk tabel dan diagram, dan untuk mengetahui cara menghitung mean,
median, modus, dan simpangan baku pada data tunggal dan data berkelompok.
3
BAB II
PEMBAHASAN
A. PERMUTASI DAN KOMBINASI
1) Permutasi
Permutasi dari sekumpulan unsur adalah penyusunan unsur-unsur itu dengan
memperhatikan urutannya.
Banyaknya permutasi dari n unsur dengan setiap pengambilan r unsur ditulis
dengan notasi n P r , P n r , P (n,r) , n P r.
Rumus permutasi :
P (n,r) = ___n!___ (n – r)!
Keterangan :
n = banyaknya unsur r = jumlah susunan unsur berurut
Contoh :
1. Disediakan 4 huruf yaitu A, B, C, dan D. Dari 4 huruf tersebut akan disusun
huruf secara permutasi yang terdiri atas :
a. 2 huruf
b. 3 huruf
Jawab :
a. Terdiri atas 2 huruf
n = 4 r = 2
4
P (4,2) = ___4!___ = _4 × 3 × 2!_ = 12(4 – 2)! 2!
Pembuktian
AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC = 12
b. Terdiri atas 3 huruf
n = 4 r = 3
P (4,3) = ___4!___ = _4 × 3 × 2 × 1!_ = 24(4 – 3)! 1!
Pembuktian
ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA,
BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC,
DCA, DCB = 24
2. Pada pemilihan pelajar teladan akan dipilih pelajar teladan 1, 2, dan 3. Ada
berapa cara pemilihan pelajar teladan tersebut, jika ada 6 calon.
Jawab :
n = 6 r = 3
6P3 = ___6!___ = _6 × 5 × 4 × 3!_ = 120 cara(6 – 3)! 3!
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Jika P menyatakan banyaknya n unsur dengan terdapat p unsur yang sama, q
unsur yang sama, r unsur yang sama, maka rumusnya :
P = ____n!____ p! q! r! ... (p + q + r + ... < n)
Contoh :
5
1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata :
a. BIOLOGI
b. STATISTIK
Jawab :
a. BIOLOGI
n = 7 huruf O = 2 huruf I = 2
P = __7!__ = _7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!_ = 1.260 2! 2! 2! (2 × 1)
b. STATISTIK
n = 9 huruf S = 2 huruf T = 3 huruf I = 2
P = ___9!___ = _9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3!_ = _60480_ = 15.120 2! 3! 2! 3! (2 × 1) (2 × 1) 4
2. Berapa banyak susunan huruf pada kata BELAJAR dengan syarat sebuah
huruf vokal selalu berada diantara 2 huruf konsonan.
Jawab :
Huruf konsonan : B, L, J, dan R
n = 4 r = 4 karena semua huruf konsonan digunakan.
Pk = ___4!___ = 4 × 3 × 2 × 1 = 24(4 – 4)!
Huruf vokal : E dan A
n = 3 huruf A = 2
Pv = _3!_ = _3 × 2!_ = 32! 2!
P = Pk × Pv = 24 × 3 = 72
6
Permutasi Siklik
Permutasi siklik adalah susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran
dengan memperhatikan urutannya. Banyaknya permutasi siklik dari n unsur adalah
P = (n – 1)!
Contoh :
1. Ada 5 orang siswa mengelilingi meja bundar. Berapa banyak susunan duduk
yang berbeda dari 5 orang itu.
Jawab :
n = 5
P = (5 – 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
2. Ada 8 orang mengelilingi api unggun. Berapa banyak cara orang itu
mengelilingi api unggun jika 2 orang duduk berdampingan.
Jawab :
n = 7 n ≠ 8 karena ada 2 orang yang duduk bersama, yang lainnya tidak.
Jadi, hanya membentuk 7 susunan putaran.
P = (7 – 1)! 2!= 6! 2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) (2 × 1)
= 720 × 2
= 1.440
2) Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah penyusunan unsur-unsur
tanpa memperhatikan urutannya.
7
Kombinasi dari n unsur berbeda dengan setiap pengambilan r unsur ditulis
dengan notasi n C r , n C r , C n r , C (n,r)
Rumus Kombinasi :
n C r = ____n!____ (n – r)! r!
Keterangan :
n = banyaknya unsur r = jumlah susunan unsur tak berurut
Contoh :
1. Berapa banyak cara memilih pemain bulu tangkis ganda putra dari 7 pemain
inti putra.
Jawab :7C2 = ____7!____
(7 – 2)! 2!
= _7 × 6 × 5!_ 5! 2!
= _7 × 6_ = _42_ 2 × 1 2
= 21
2. Dari 6 anak putra dan 7 anak putri akan ditunjuk 2 anak putra dan 4 anak
putri. 1 putra dan 2 putri sudah pasti ditunjuk. Berapa cara dapat memilih
sisanya.
Jawab :
Sisa anak putra 5 orang, sisa putra yang akan ditunjuk 1 orang.
Sisa anak putri 5 orang, sisa putri yang akan ditunjuk 2 orang.5C1 × 5C2 = ___5!___ × ____5!____
(5 – 1)! 1! (5 – 2)! 2!
8
= _5 × 4!_ × _5 × 4 × 3!_ 4! 1 3! (2 × 1)
= 5 × 20 = 5 × 10 2
= 50
B. PELUANG SUATU KEJADIAN
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Ruang sampel (ruang contoh) adalah himpunan semua hasil mungkin terjadi
dari satu kejadian.
Contoh :
1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan ruang sampel dan kejadian
munculnya bilangan ganjil.
Jawab :
Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}
Kejadian bilangan ganjil A = {1,3,5}
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik
sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel
kejadian tersebut. Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai
peluang kejadian A dinyatakan dengan :
P (A) = _n (A)_ n (S)
Keterangan :
P (A) = Peluang kejadian A
n (A) = Banyaknya kejadian A
n (S) = Banyaknya sampel
9
Contoh :
1. Dua buah uang logam dilemparkan secara bersamaan sebanyak satu kali.
Tentukan :
a. Peluang munculnya satu angka, satu gambar.
b. Peluang muncul dua gambar.
Jawab :
Uang 1
Uang 2
A G
A A A G A
G A G G G
n (S) = {AA,AG,GA,GG} = 4
a. Peluang muncul satu angka, satu gambar
A = {AG,GA} n (A) = 2
P (A) = _n (A)_ = _2_ = 1 n (S) 4 2
b. Peluang muncul dua gambar
B = {GG} n (B) = 1
P (B) = _n (B)_ = 1 n (S) 4
2. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilemparkan secara bersamaan.
Tentukan peluang munculnya bilangan ganjil dan gambar.
Jawab :
Dadu
Uang
1 2 3 4 5 6
A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A
G 1,G 2,G 3,G 4,G 5,G 6,G
10
n (S) = 12
n (A) = {(1,G),(3,G),(5,G)} = 3
Peluang munculnya bilangan ganjil
P (A) = _n (A)_ = _3_ = 1 n (S) 12 4
C. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL DAN DIAGRAM
1) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
a. Tabel Frekuensi Data Tunggal
Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan distribusi frekuensi data
tunggal. Pada tabel frekuensi data tunggal , tiap-tiap baris pada nilai atau data hanya
memuat satu nilai atau data. Tabel dibagi menjadi 3 kolom. Kolom pertama adalah
datanya. Kolom kedua adalah turus, yaitu cara mencacah data menggunakan simbol
“I” setiap menemukan data yang bersesuaian dengan data yang diperoleh. Kolom
ketiga adalah frekuensi, yaitu jumlah turus atau simbol pada data tertentu.
Contoh :
1. Pada sensus penduduk suatu desa didapat data jumlah anak yang dimiliki oleh
tiap keluarga sebagai berikut.
1 4 3 4 5 4 3 6 1 2
2 3 2 4 1 6 5 3 4 3
4 4 5 4 4 4 6 5 4 4
2 4 3 3 2 4 2 3 4 1
Buatlah tabel frekuensi data tunggalnya.
Jawab :
11
Jumlah Anak Turus Frekuensi
1
2
3
4
5
6
IIII
IIII I
IIII III
IIII IIII IIII
IIII
III
4
6
8
15
4
3
Jumlah 40
b. Tabel Frekuensi Data Berkelompok
Penyajian data berkelompok dalam bentuk tabel dinamakan distribusi
frekuensi data berkelompok. Pada tabel frekuensi data berkelompok, terdapat
beberapa istilah-istilah antara lain sebagai berikut. Pertama, kelas interval adalah
pengelompokan beberapa nilai atau data. Kedua, banyak kelas interval adalah
banyaknya pengelompokan dari seluruh data atau nilai yang ada. Ketiga, panjang
interval adalah banyaknya data pada suatu kelas interval.
Contoh :
1. Nilai ulangan Matematika siswa kelas IX suatu SMP adalah sebagai berikut.
44 54 85 92 73 99 91 96 74
75 70 57 83 49 57 52 64 73
82 90 70 89 91 67 52 64 73
82 59 65 79 82 89 53 50
Jawab :
a. Menentukan banyaknya kelas interval
menggunakan aturan Sturgess, k = 1 + 3,3 log n
n = banyaknya data
12
k = 1 + 3,3 log 36
= 1 + 3,3 ( 1,57 )
= 1 + 5,181
= 6,181
= 6
b. Menentukan panjang interval
i = _R_ R = Range atau Jangkauan k = data terbesar – data terkecil
= _99 – 44_ k = banyaknya kelas interval 6
= _55_ 6
= 9,17
= 10
c. Menetapkan batas bawah kelas
Misal batas bawah = 41, maka penyajian tabel kebenarannya :
Interval Turus Frekuensi
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
III
IIII II
IIII I
IIII I
IIII III
IIII
3
7
6
6
8
5
Jumlah 35
Catatan :
Dalam penyajian data bentuk tabel, kita bisa tidak menggunakan kolom turus. Agar
kita lebih mudah mengetahui jumlah data kita bisa mengurutkan data terlebih
dahulu.
13
2) Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Data juga dapat disajikan dalam bentuk diagram, seperti : diagram batang,
diagram garis, diagram lingkaran (umumnya untuk data tunggal), histogram, dan
poligon (umumnya untuk data berkelompok).
a. Diagram Batang
Diagram batang adalah cara menyajikan data dalam bentuk batang-batang.
Tiap batang lebarnya sama, sedangkan tinggi batang menyatakan frekuensi dari data
yang bersangkutan.
Untuk membuat diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak
yang berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar (horizontal) menunjukkan jenis
kategorinya, sedangkan sumbu tegak (vertikal) menunjukkan frekuensinya. Skala
sumbu mendatar tidak harus sama dengan skala sumbu tegak. Letak batang yang satu
dengan yang lain dibuat terpisah.
Contoh :
1. Dari hasil wawancara terhadap 48 siswa tentang cara mereka sampai di
sekolah, diperoleh data sebagai berikut.
Kendaraan Frekuensi
Bus kota
Angkutan kota
Mobil
Sepeda
Jalan kaki
12
15
6
10
5
Buatlah diagram batang dari data tersebut.
Jawab :
14
Bus kota Angkutan kota
Mobil Sepeda Jalan kaki02468
10121416
Diagram Batang
Kendaraan
Frekuensi
b. Diagram Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh dari
waktu ke waktu secara teratur dalam interval waktu tertentu. Diagram garis
digunakan untuk mengetahui pertumbuhan atau perkembangan suatu hal secara
kontinu.
Contoh :
1. Berikut adalah tabel nilai rata-rata Ujian Nasional (UN) suatu sekolah selama
tujuh tahun terakhir.
Tahun Nilai Rata-Rata
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
6,6
6,8
7,0
7,5
6,4
6,8
7,0
15
Gambarlah diagram garis dari data tersebut.
Jawab :
Tahun 2002
Tahun 2003
Tahun 2004
Tahun 2005
Tahun 2006
Tahun 2007
Tahun 2008
5.8
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
Diagram Garis
Tahun
Nilai
c. Diagram Lingkaran
Penyajian data juga dapat dilakukan dengan menggunakan lingkaran. Daerah
lingkaran menggambarkan keseluruhan data. Data disajikan dengan menggunakan
juring atau sektor, di mana besar sudut pusat juring sesuai dengan perbandingan
setiap data terhadap keseluruhan data.
Contoh :
1. Dalam suatu kelas terdapat 60 siswa. Tiap siswa wajib memilih satu jenis
kegiatan ekstrakurikuler. Adapun datanya adalah 15 siswa memilih basket, 17
siswa memilih voli, 24 siswa memilih PMR, dan 4 siswa memilih Pramuka.
Buatlah diagram lingkaran dri pemilihan ekstrakurikuler siswa tersebut.
Jawab :
Sebelum membuat diagram lingkaran, kita mencari sudut pusat untuk tiap
juring terlebih dahulu.
16
Jenis
Ekstrakurikuler
Frekuens
i
Persentase Besar Sudut
Pusat
Basket
Voli
PMR
Pramuka
15
17
24
4
15 × 100 % = 25 %60
17 × 100 % = 28,3 %60
24 × 100 % = 40 %60
4 × 100 % = 6,7 %60
15 × 360 S = 90 S60
17 × 360 S = 102 S60
24 × 360 S = 144 S60
4 × 360 S = 24 S60
Basket25%
Voli28%
PMR40%
Pramuka7%
Diagram Lingkaran
d. Histogram
Histogram adalah diagram dengan menggunakan persegi panjang-persegi
panjang. Bentuk histogram sama dengan diagram batang, hanya batangnya
berdekatan atau berimpit. Pada histogram, setiap persegi panjang menunjukkan kelas
17
tertentu, lebar persegi panjang menunjukkan panjang kelas, dan tinggi persegi
panjang menunjukkan frekuensi.
e. Poligon
Poligon adalah diagram dengan menggunakan perbandingan dalam bentuk
tinggi batang yang titik tengah pada ujung-ujung batang tersebut dihubungkan dengan
garis lurus.
Contoh :
1. Buatlah histogram dan poligon dari tabel berikut.
Nilai Frekuensi
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 - 84
2
7
8
14
10
6
3
Jawab :
Untuk membuat histogram, tentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.
tepi bawah = nilai terendah – 0,5 tepi atas = nilai tertinggi + 0,5
Nilai Frekuensi Tepi kelas
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
2
7
8
14
10
49,5 – 54,5
54,5 – 59,5
59,5 – 64,5
64,5 – 69,5
69,5 – 74,5
18
75 – 79
80 - 84
6
3
74,5 – 79,5
79,5 – 84,5
0-49,5 49,5-54,5 54,5-59,5 59,5-64,5 64,5-69,5 69,5-74,5 74,5-79,5 79,5-84,50
2
4
6
8
10
12
14
16Histogram
Nilai
Frekue
nsi
0-49,5 49,5-54,5 54,5-59,5 59,5-64,5 64,5-69,5 69,5-74,5 74,5-79,5 79,5-84,50
2
4
6
8
10
12
14
16Poligon
Nilai
Frekue
nsi
19
D. MEAN, MEDIAN, DAN MODUS
1) Mean (Rataan Hitung)
Mean adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Mean biasanya
dilambangkan dengan x̅� .
a. Mean Data Tunggal
Mean data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
Mean = x̅� = _Jumlah data_ = _x̅1 + x̅2 + x̅3 + ... + x̅n_ Banyak data n
Atau untuk data tunggal yang tersaji dalam bentuk tabel atau diagram dengan rumus :
x̅� = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi
Contoh :
1. Nilai rapor Budi pada suatu semester adalah sebagai berikut : 7, 8, 7, 6, 6, 7,
5, 8, 5, 7. Dari data tersebut, carilah meannya.
Jawab :
Urutan data : 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8
Mean = _5 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8_ 10
= _66_ 10
= 6,6
2. Tentukan mean dari data berikut.
Nilai (x̅i) 6 7 8 9
Frekuensi (fi) 10 10 15 5
20
Jawab :
Mean = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi
= _(6 × 10) + (7 × 10) + (8 × 15) + (9 × 5)_10 + 10 + 15 + 5
= _60 + 70 + 120 + 45_ 40
= _295_ 40
= 7, 375
= 7, 38
b. Mean Data Berkelompok
Mean data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.
Mean = x̅� = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi
dengan : x̅i = nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i
Contoh :
1. Carilah rataan hitung dari data dibawah ini.
Data fi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
4
2
6
3
3
2
Jawab :
21
Data fi x̅i fi . x̅i
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
4
2
6
3
3
2
42
47
52
57
62
67
168
94
312
171
186
134
Ʃ fi = 20 Ʃ fi.x̅i = 1065
Mean = _Ʃ fi x̅i_ Ʃ fi
= _1065_ 20
= 53, 25
2) Median (Nilai Tengah)
Median adalah nilai yang terletak di tengah dari data yang terurut. Jika banyak
data ganjil, median adalah nilai paling tengah dari data yang terurut. Jika banyak data
genap, median adalah mean dari dua bilangan yang di tengah setelah data diurutkan.
a. Median Data Tunggal
Median data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
Untuk data ganjil : Me = X n + 1/2
Untuk data genap : Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_ 2
Contoh :
1. Nilai rapor Budi pada suatu semester adalah sebagai berikut : 7, 8, 7, 6, 6, 7,
5, 8, 5, 7. Dari data tersebut, carilah mediannya.
22
Jawab :
Urutan data : 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8
Jumlah data = 10 (genap)
Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_ 2
= _X5 + X6_2
= _7 + 7_ = 14 2 2
= 7
2. Tentukan median dari data berikut.
Nilai (x̅i) 6 7 8 9
Frekuensi (fi) 10 10 15 5
Jawab :
Jumlah data = 40 (genap)
Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_ 2
= _X20 + X21_2
= _7 + 8_ = 15 2 2
= 7, 5
b. Median Data Berkelompok
Median data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.
Me = Lo + ( ½ n – Ʃ fk ) i fo
dengan : Lo = Tepi bawah dari kelas yang mengandung median
23
Ʃ fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median
fo = Frekuensi kelas yang memuat median
i = Panjang interval
n = Banyaknya data
Contoh :
1. Carilah median dari data dibawah ini.
Data fi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
4
2
6
3
3
2
Jawab :
Kelas = 50 – 54 n = 20 Lo = 50 – 0,5 = 49,5
Ʃ fk = 4 + 2 = 6 fo = 6 i = 5
Me = Lo + ( ½ n – Ʃ fk ) i fo
= 49,5 + ( ½ (20) – 6 ) 56
= 49,5 + ( 10 – 6 ) 5 6
= 49,5 + (4/6) 5
= 49,5 + 3,33
= 52,83
24
3) Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul atau frekuensinya paling tinggi.
a. Modus Data Tunggal
Modus data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
Modus = Data yang paling sering muncul
Contoh :
1. Nilai rapor Budi pada suatu semester adalah sebagai berikut : 7, 8, 7, 6, 6, 7,
5, 8, 5, 7. Dari data tersebut, carilah modusnya.
Jawab :
Urutan data : 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8
Data yang paling sering muncul adalah 7. Jadi,
Modus = 7
2. Tentukan modus dari data berikut.
Nilai (x̅i) 6 7 8 9
Frekuensi (fi) 10 10 15 5
Jawab :
Data yang paling sering muncul adalah 8. Jadi,
Modus = 8
b. Modus Data Berkelompok
Modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.
Mo = Lo + ( ___d1___ ) i d1 + d2
dengan : Lo = Tepi bawah dari kelas yang mengandung modus
d1 = Frekuensi kelas modus – Frekuensi sebelum kelas modus
25
d2 = Frekuensi kelas modus – Frekuensi setelah kelas modus
i = Panjang interval
Contoh :
1. Carilah modus dari data dibawah ini.
Data fi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
4
2
6
3
3
2
Jawab :
Kelas = 50 – 54 Lo = 50 – 0,5 = 49,5 i = 5
d1 = 6 – 2 = 4 d2 = 6 – 3 = 3
Mo = Lo + ( ___d1___ ) i d1 + d2
= 49,5 + ( ___4___ ) 5 4 + 3
= 49,5 + ( 4/7 ) 5
= 49,5 + 2,86
= 52,36
26
E. SIMPANGAN BAKU
Simpangan baku adalah akar kuadrat dari ragam. Simpangan baku merupakan
bilangan yang tidak bernilai negatif dan memiliki satuan yang sama dengan data.
Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga
diukur dalam satuan meter.
Secara umum, simpangan baku dirumuskan sebagai berikut.
S = R atau S = S2
dengan : S = Simpangan baku R = Ragam
1) Simpangan Baku Data Tunggal
Ragam data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
R = S2 = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n
Jadi, rumus simpangan baku data tunggal adalah sebagai berikut.
S = R = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n
atau S = R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ (data tabel) n
Contoh :
1. Diketahui data sebagai berikut : 2, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 10. Dari data tersebut,
carilah simpangan bakunya.
Jawab :
n = 10x̅� = _2 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 10_ = 54 = 6
9 9
R = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n
=_[(2-6) 2 +(2-6) 2 +(4-6) 2 +(5-6) 2 +(6-6) 2 +(7-6) 2 +(9-6) 2 +(9-6) 2 +(10-6) 2 ]_
27
9
= _(16 + 16 + 4 + 1 + 0 + 1 + 9 + 9 + 16_9
= 72 9
= 8
S = R = 8 = 2 2
2. Tentukan simpangan baku dari data berikut.
Nilai (x̅i) 9 10 11 12 13
Frekuensi (fi) 5 6 9 6 4
Jawab :
n = 30x̅� = _(9 × 5) + (10 × 6) + (11 × 9) + (12 × 6) + (13 × 4)_
30
= _45 + 60 + 99 + 72 + 52_ 30
= 328 30
= 10,93
x̅i fi x̅i - x̅� (x̅i - x̅� )2 fi (x̅i - x̅� )
2
9
10
11
12
13
5
6
9
6
4
1,93
0,93
0,07
1,07
2,07
3,7249
0,8649
0,0049
1,0049
4,0049
18,6245
5,1894
0,0441
6,0294
16,0196
30 45,907
R = _ Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _
28
n
= _45,907_ 30
= 1,5302
S = R = 1,5302 = 1,237 = 1,24
2) Simpangan Baku Data Berkelompok
Ragam data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.
R = S2 = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ n
Jadi, rumus simpangan baku data tunggal adalah sebagai berikut.
S = R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ n
Contoh :
1. Diketahui data sebagai berikut.
Panjang (cm) fi
100 – 109
110 – 119
120 – 129
130 – 139
140 – 149
150 – 159
2
6
10
12
7
3
Carilah simpangan bakunya.
Jawab :
Panjang (cm) fi x̅i fi . x̅i
100 – 109
110 – 119
120 – 129
2
6
10
104,5
114,5
124,5
209
687
1245
29
130 – 139
140 – 149
150 – 159
12
7
3
134,5
144,5
154,5
1614
1011,5
463,5
Jumlah 40 5230
x̅� = _Ʃ fi x̅i_ Ʃ fi
= 5230 40
= 130,75
Panjang
(cm)
fi x̅i x̅i - x̅� (x̅i - x̅� )2 fi (x̅i - x̅� )
2
100 – 109
110 – 119
120 – 129
130 – 139
140 – 149
150 – 159
2
6
10
12
7
3
104,5
114,5
124,5
134,5
144,5
154,5
26,25
16,25
6,25
3,75
13,75
23,75
689,0625
264,0625
39,0625
14,0625
189,0625
564,0625
1378,125
1584, 375
390,625
168,75
1323,4375
1692,1875
Jumlah 40 6537,5
R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ n
= _6537,5_ 40
= 163,4375
= 163,44
S = R = 163,44 = 12,78
30
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Permutasi dari sekumpulan unsur adalah penyusunan unsur-unsur itu dengan
memperhatikan urutannya, sedangkan kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah
penyusunan unsur-unsur tanpa memperhatikan urutannya.
Rumus permutasi : P (n,r) = ___n!___ (n – r)!
Rumus Kombinasi : n C r = ____n!____ (n – r)! r!
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik
sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel
kejadian tersebut.
Rumus peluang : P (A) = _n (A)_ n (S)
Penyajian data dalam bentuk tabel dan diagram dilakukan untuk
mempermudah dalam menyelesaikan suatu pengolahan data. Karena penyajian dalam
bentuk tabel dan diagaram akan lebih menarik, cantik dan mudah dipahami.
Adapun rumus mencari mean, median, modus dan simpangan baku untuk :
Data tunggal :
Mean = _Jumlah data_ = _x̅1 + x̅2 + x̅3 + ... + x̅n_ Banyak data n
Median
untuk data ganjil : Me = X n + 1/2
31
untuk data genap : Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_2
Modus = Data yang paling sering muncul
Simpangan Baku
S = R = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n
Data Berkelompok :
Mean = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi
Median = Lo + ( ½ n – Ʃ fk ) i fo
Modus = Lo + ( ___d1___ ) i d1 + d2
Simpangan Baku
S = R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _n
B. SARAN
Dalam menyelesaikan soal pengolahan data akan lebih mudah, jika data
tersebut disajikan terlebih dahulu dalam bentuk tabel ataupun diagram. Kemudian
soal pengolahan data tersebut diselesaikan.
32
DAFTAR PUSTAKA
Salamah, Umi. 2009. Berlogika dengan Matematika 3 untuk Kelas IX SMP dan MTs.Solo : Tiga Serangkai.
Sitorus, Ronald. 2004. Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung : YramaWidya.
Sumber lain :
http://statistikaterapan.wordpress.com
http://kambing.ui.ac.id
http://duniatik.blogspot.com
http://www.gudangmateri.com
top related