matematika1bangrs

Matematika 1 1

DETERMINAN

Ronny Susetyoko

Matematika 1 2

Definisi

Asumsikan A adalah suatu matriks bujur sangkar, fungsi determinan, det(A) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.

atau Determinan ordo n ialah suatu skalar yang

terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang berordo n.

Notasi :

det(A) atau |A| atau |aij|

Matematika 1 3

Contoh

Matematika 1 4

Minor & Kofaktor Determinan

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka Minor elemen aij (Mij) didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan

Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai kij = (-1)i+j Mij

Matematika 1 5

Menghitung Minor dan Kofaktor

Matematika 1 6

Beda Kofaktor & Minor

Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya berbeda tanda. Jika pangkatnya genap maka kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya ganjil maka kij = -mij. Lebih mudahnya apakah kofaktor bertanda + atau – adalah menggunakan ’papan periksa’ sebagai berikut :

Matematika 1 7

Nilai Determinan

a). Aturan Sarrus (n <= 3)

Matematika 1 8

Nilai Determinan

b). Ekspansi Laplace (n >= 3)

Nilai determinan adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Matematika 1 9

Contoh : Dari soal sebelumnya,

Ekspansi Laplace baris ke – 1 :

Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan hasilnya!

Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak mengandung elemen nol.

Matematika 1 10

Sifat-Sifat Determinan

1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom semua elemennya nol

2. det(A) = det(AT)

Matematika 1 11

Sifat-Sifat Determinan

3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar).

Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5 menjadi :

Matematika 1 12

Sifat-Sifat Determinan

4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.

5. Nilai determinan berubah tanda jika dua baris/kolom ditukar tempatnya

Matematika 1 13

Sifat-Sifat Determinan

6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j.

Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :

7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlah determinan.

Matematika 1 14

Teorema

Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11a22...ann .

Catatan Untuk mempermudah perhitungan nilai determinan, dapat menggunakan sifat-sifat tersebut.

Matematika 1 15

Contoh

Matematika 1 16

Sifat-Sifat Lain

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya jika det(A) 0.

Jika A dapat diinverskan, maka :

Matematika 1 17

Manfaat

penyelesaian sistem persamaan linier menghitung matriks invers menentukan karakteristik suatu sistem

linier

Matematika 1 18

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Matematika 1 19

Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = x

Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas masalah sistem n persamaan linier dalam n peubah yang dinyatakan dalam bentuk :

Ax = x{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan suatu skalar}

Sistem ini merupakan sistem linier homogen tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai :Ax = x Ax – x = 0 atau dengan menyelipkan matriks identitas dan memfaktor-kannya :

(A - I )x = 0 *)

Matematika 1 20

Contoh

Matematika 1 21

Yang Menarik?

Masalah utama yang menarik dalam sistem linier *) adalah menentukan nilai-nilai di mana sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak-trivial. Nilai disebut suatu nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial dari *) disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan.

Sistem (A - I )x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika :

disebut persamaan karakteristik

Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman & Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar laten atau akar ciri.

Matematika 1 22

Soal Latihan

Matematika 1 23

Soal Latihan

Matematika 1 24

Soal Latihan

Matematika 1 25

MATRIKS

Matematika 1 26

Definisi

Himpunan skalar dari bilangan real/ kompleks yang disusun dalam empat persegi panjang menurut baris/kolom.

Matematika 1 27

Operasi Matriks

Penjumlahan (syarat : ordo sama) Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks

(syarat : jumlah kolom matriks-1 = jumlah baris matriks-2)

Matematika 1 28

Hukum-Hukum

1. A(B + C) = AB + AC H. Distributif I

2. (A + B)C = AC + AB H. Distributif II

3. A(BC) = (AB)C H. Asosiatif

4. AB BA general

5. AB = 0 tidak harus A = 0 atau

B = 0 atau A & B nol.

6. Jika AB = AC belum tentu AB = AC atau B = C

Matematika 1 29

Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom)

2. Matriks Diagonal

Matematika 1 30

Jenis-Jenis Matriks

Matematika 1 31

Jenis-Jenis Matriks

Matematika 1 32

Jenis-Jenis Matriks

Matematika 1 33

Jenis-Jenis Matriks

Matematika 1 34

Jenis-Jenis Matriks

Matematika 1 35

Jenis-Jenis Matriks Yang Lain

Matriks Bidiagonal Atas Matriks Bidiagonal Bawah Matriks Tridiagonal Matriks Hermitian Matriks Singular dll.

Matematika 1 36

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Metode grafis ( maksimum 3 variabel) Eliminasi Subtitusi Determinan Eliminasi Gauss Gauss-Jordan Gauss-Seidel Dll.

Matematika 1 37

Operasi Dasar

Operasi Dasar Persamaan Pertukaran tempat dua persamaan Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke

persamaan lain

Operasi Dasar Baris Pertukaran tempat dua baris Perkalian baris dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang lain.

Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)

Matematika 1 38

Rank (Pangkat) Matriks

Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks

Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linier dalam suatu matriks

Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar suatu matriks yang determinannya tidak nol.

Matematika 1 39

Kebebasan dan ketidakbebasan linier

Bebas linier jika p baris mempunyai rank p. Tidak bebas linier jika rank < p.

Matematika 1 40

Solusi Sistem Persamaan Linier

Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan matriks augmented A mempunyai rank yang sama.

Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan jumlah variabel ( r = n).

Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak berhingga.

Jika solusi ada maka dapat diselesaikan dengan Eliminasi Gauss.

Matematika 1 41

Penerapan Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.

Elektronika) Transformasi Linier Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier) Markov Chains Programa Linier Assignment (Penugasan) Database Analisis Komponen Utama (termasuk Trans.Linier) Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata kuliah

Aljabar Matriks.

Matematika 1 42

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan pengembangan dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik .

Matematika 1 43

Augmented Matrix

Matematika 1 44

Matematika 1 45

Matematika 1 46

Matematika 1 47

VEKTOR

Matematika 1 48

Matematika 1 49

Matematika 1 50

Matematika 1 51

Matematika 1 52

Matematika 1 53

Matematika 1 54

Matematika 1 55

BILANGAN KOMPLEKS

Matematika 1 56

Matematika 1 57

Matematika 1 58

Matematika 1 59

Matematika 1 60

Matematika 1 61

Matematika 1 62

Matematika 1 63

Matematika 1 64

Matematika 1 65

Matematika 1 66

Matematika 1 67

FUNGSI

Matematika 1 68

Definisi Fungsi

Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.

Secara matematis :

Matematika 1 69

Pengertian

X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta (image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x.

Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f-1(y).

Matematika 1 70

Catatan

Fungsi tidak lain adalah pemetaan (mapping).

Peta invers mungkin bisa lebih dari satu elemen.

Matematika 1 71

Hasil Ganda Kartesis

Himpunan semua pasangan-pasangan berurutan atau ordered pairs (x,y) dengan x elemen X dan y elemen Y.

Contoh :

X = {x1,x2} dan Y = {y1, y2,y3}

X x Y = {(x1,y1), (x1,y2), x1,y3)

(x2,y1), (x2,y2), (x2,y3)

(x3,y1), (x3,y2), (x3,y3)}

Matematika 1 72

Komposisi Fungsi

Matematika 1 73

Grafik Fungsi

Grafik fungsi suatu f dari X ke Y ialah himpunan pasangan-pasangan berurutan (x, f(x)) dengan x berjalan pada X (x elemen X) dan f(x) berjalan pada Y (f(x) elemen Y)

y = f(x)

0

10

20

30

40

50

0 10

XY

Matematika 1 74

Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y) disebut variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable).

Dalam pemakaian, domain dari variabel disajikan dengan interval ( himpunan bagian dari himpunan real).

Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.

Variabel Bebas dan Tak Bebas

Matematika 1 75

Ilustrasi Interval

Matematika 1 76

Contoh

Matematika 1 77

Contoh

Matematika 1 78

Soal-soal

Matematika 1 79

LIMIT & KEKONTINUAN

Matematika 1 80

Pemanasan

Jika2x3x

1x2x3)x(f

2

2

Tentukan :

)x(flim)A(3x

)x(flim)B(1x

)x(flim)C(2x

Matematika 1 81

Definisi

f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk

x x0, bila setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 < |x – x0| < berlaku

|f(x) – L| < h. Pernyataan 0 < |x – x0| < berarti untuk

semua x yang memenuhi x0 – < x < x0 +

Matematika 1 82

Ilustrasi

Matematika 1 83

Matematika 1 84

Contoh

Matematika 1 85

Kontinuitas

Matematika 1 86

Kontinuitas

Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0 jika limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama.

Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0, bila untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan positif sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h untuk |x – x0| < atau x0 – < x < x0 + .

Matematika 1 87

Soal-soal

Matematika 1 88

DIFERENSIAL(Turunan)

Matematika 1 89

Turunan Fungsi Aljabar

Matematika 1 90

Secara Geometri

Matematika 1 91

Matematika 1 92

Turunan Baku

Matematika 1 93

Matematika 1 94

Fungsi dari Suatu Fungsi

Matematika 1 95

Matematika 1 96

Perkalian & Pembagian

Matematika 1 97

Contoh

Matematika 1 98

Soal-soal

Matematika 1 99

Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua? Contoh :

y = uvw y = uv/w y = u/vw y = tu/vw Dll.

di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x. Solusi : memakai turunan logaritmik (natural)

Matematika 1 100

Contoh

Matematika 1 101

Soal-soal Terapan

Matematika 1 102

Fungsi Implisit

Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y disebut fungsi eksplisit dari x. Contoh :

y = x4 – 3x2 + 1 Y = 3x2 + cos x

Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x. Contoh :

y = xy + sin y – 2 x2 + 2xy + 3y2 = 4

Matematika 1 103

Contoh :

Matematika 1 104

Soal-soal Campuran

Matematika 1 105

Titik Balik (maks/Min)

Macam-macam : Titik maksimum Titik minimum Titik belok

Titik balik : turunan pertama = nol Turunan kedua :

Negatif titik maksimum Positif titik minimum Nol titik belok

Matematika 1 106

Ilustrasi

y=f(x)=x^3/3-25*x+6

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-15 -10 -5 0 5 10 15

y

d2y/dx2=2*x

-25-20-15-10-505

10152025

-15 -10 -5 0 5 10 15

x

y dy2

dy/dx=x^2-25

-40

-20

0

20

40

60

80

-15 -10 -5 0 5 10 15

x

y dy

Matematika 1 107

Soal-soal

Matematika 1 108

Soal cerita

Matematika 1 109

Turunan Parsial Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3

Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel z Variabel z bergantung pada variabel x dan y Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y

Bagaimana perubahan z terhadap x jika y konstan?

Bagaimana perubahan z terhadap y jika x konstan?

Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x

yxx

z42

234 yxy

z

434 22

yxxy

z

xyx

z

Matematika 1 110

Soal-soal

Tentukan

Tentukan nilai a dan b berdasarkan informasi data sampel berpasangan (x,y).

3

2 )4(

z

xyxw

3

322 )4(

z

xyxw

3

32

2 )23()4

(

yz

yzxz

xyx

w

2

1

)( ii

n

i

bxayE

zyx

wd

xy

w

yx

wd

z

w

y

w

x

w

322

,,,,,

Matematika 1 111

INTEGRAL

Matematika 1 112

Apa beda sigma & integral?

Matematika 1 113

Integral Baku

Matematika 1 114

Contoh

cedxe xx 55

5

1

cxdxx 76

7

44

cxdxxdxx 2

3

2

1

3

2

cxxdx cosh2sinh2

cxdxx

ln55

cdxx

x 5ln

55

Matematika 1 115

Fungsi Suatu Fungsi Linier

Matematika 1 116

Integral dalam bentuk f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)

Matematika 1 117

Soal-soal

Matematika 1 118

Integral Parsial

Matematika 1 119

Contoh

Matematika 1 120

Soal-soal

Matematika 1 121

Integral Dengan Pecahan Parsial

Matematika 1 122

Contoh

Matematika 1 123

Contoh

Matematika 1 124

Soal-soal

Matematika 1 125

Integral Lipat Dua

Matematika 1 126

Contoh Integral Tertentu