kumpulan soal geometri

BAB II

TEMPAT KEDUDUKAN

Jarak Antara Dua Titik

1. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 4, B = 3, C = -2

a. Jarak antara titik AB

b. Jarak antara titik AC

c. Jarak antara titik BC

Jawab

Jarak antara titik pada garis =

a.

a.

c.

2. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 2, B = 1, C = -2

a. Jarak antara titik AB

b. Jarak antara titik AC

c. Jarak antara titik BC

Jawab

Jarak antara titik pada garis =

a.

a.

c.

Hubungan Koordinat Cartesius dan Kutub

1. Diketahui koordinat cartesius titik tentukan koordinat kutib titik

P?

Jawab :

Koordinat cartesius titik maka dan

karena titik P berada dikuadran IV maka :

Jadi koordinat kutub titik P adalah

2. Diketahui koordinat kutub titik tentukan koordinat cartesius titik

A ?

Jawab

Koordinat kutub titik maka dan

Jadi koordinat cartesius titik A adalah

Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain

1. Misalkan diketahui titik dan dan titik T terletak pada ruas

garis AB dengan perbandingan . Tentukan koordinat tikik T

Jawab :

Jadi koordinat titik

2. Misalkan diketahui titik dan dan titik T terletak pada ruas

garis AB dengan perbandingan . Tentukan koordinat tikik T

Jawab :

Jadi koordinat titik

Jarak Antara Dua Titik

1. Diketahui dua buah titik A(2,4) dan B(8,8). Tentukan jarak antara kedua titik ?

Jawab :

2. Diketahui dua buah titik A(5,7) dan B(6,3). Tentukan jarak antara kedua titik ?

Jawab :

Tempat Kedudukan Titik pada ruang

1. Tentukan jarak dari titik pusat O ke titik P bila :

a. P(4,3,2)

b. P(-2,3,6)

Jawab :

Titik asal dan

a. P(4,3,2)

b. P(-2,3,6)

2. Tentukan jarak titik A ke titik B bila :

a. A(4,2,2) dan B(2,1,1)

b. A(1,2,0) dan B(2,1,0)

Jawab :

Titik asal dan

a. A(4,2,2) dan B(2,1,1)

b. A(1,2,0) dan B(2,1,0)

Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain pada Ruang

1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(1,2,0) dan B(5,-8,-1) dan

C(1,3,1). Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi

BC. Tentukan koordinat titik D.

Jawab :

Berdasarkan dalil garis bagi maka :

Jadi koordinat titik D(1,4625;1,728;0,768)

2. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(3,6,9) dan B(4,8,12) dan C(1,3,1).

Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC.

Tentukan koordinat titik D.

Berdasarkan dalil garis bagi maka :

Jadi koordinat titik D(3,1;6,5;5,9)

3. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(3,4,1), B(7,-8,-2) dan

C(2,4,1). Tentukan titik berat segitiga ABC ?

Jawab :

4. Tunjukan bahwa ketiga titik berikut segaris A(2,5,-4) B(1,4,-3) dan C(4,7,-6)

Jawab :

Karena BC = AB + AC maka titik-titik tersebut segaris

BAB III

GARIS PADA BIDANG

1. Misalkan diketahui persamaan garis :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik pangkal O(0,0) dan titik potong

garis .

Jawab :

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik potong kedua garis

dan gunakan persamaan berkas garis

Merupakan persamaan garis yang melalui titik potong garis dan , karena

garis yang diminta melalui titik pangkal O(0,0) maka .

Maka

Substitusi ke persamaan (1) maka :

Jadi persamaan garis adalah

2. Misalkan diketahui titik A(4,1) dan garis . Tentukan jarak

dari titik A ke garis g.

Jawab :

3. Misalkan diketahui titik A(4,2) tentukan persamaan garis yang melalui titik A

dan bersudut 450 dengan garis

Jawab :

Misalkan persamaan garis yang dimaksud berbentuk

Garis membentuk sudut 450 berarti

Garis melalui titik A(4,2) berarti koordinat titik A memenuhi persamaan

garis :

Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah

B. GARIS PADA RUANG

1. Diketahui dua buah titik A(3,4,1) dan B(1,7,2) tentukan persamaan garis

melalui titik A dan B.

Jawab :

Maka persamaan garis AB melalui titik A adalah

Vector cosinus arah garis adalah

BIDANG

1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier melalui titik A(3,2,1) dan

B(-1,-2,6) dan C(1,7,2)

Jawab :

Persamaan parameter

Persamaan linier :

2. Tentukan persamaan bidang melalui ketiga titik (3,4,1) (-1,-2,5) dan (1,7,2)

Jawab :

3. Tentukan sudut antara bidang 2x + 3y + 6z + 9 =0 dan bidang 3x + 2y + 2z – 8

= 0

Jawab :

4. Apakah empat titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) sebidang dan tentukan

persamaan liniernya ?

Jawab :

Empat titik akan sebidang jika dan hanya jika :

Titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) maka

Karena determinannya nol maka keempet titik tersebut sebidang.

Persamaan linier :

5. Tentukan persamaan linier bidang melalui (6,-4,8) dan tegak lurus garis

Jawab :

Persamaan linier bidang rata :

6. Tentukan persamaan linier bidang :

a. Melalui (3,-6,-8) yang horizontal

Jawab :

Maka

Persamaan liniernya adalah :

b. Sejajar sumbu z memotong sumbu x positif sebesar 4, memotong sumbu y

negative sebesar 6.

Jawab :

- bidang memotong sumbu x positif di (4,0,0)

- bidang memotong sumbu y negarif di (0,-6,0)

- bidang memotong sumbu z positif di (0,0,2)

c. Melalui (6,-4,8) tegak lurus

Jawab :

Persamaan linier bidang :

d. Melalui (-3,-6,-9) tegak lurus garis yang melalui (-6,6,12) dan (10,8,2)

Jawab :

Kemudian garis g menghubungkan (-6,6,12) dan (10,8,2)

Karena bidang w tegak lurus garis g maka

sehingga persamaan bidang :

e. Tegak lurus potongsn garis P(-4,4,-6) dan Q(12,8,5)

Jawab :

7. Tentukan persamaan linier bidang :

a. melalui (-2,4,8) dan sejajar bidang rata

Jawab :

b. Sejajar bidang rata dan berjarak 2 dari titik asal

(0,0,0)

Jawab :

c. Sejajar bidang rata dan berjarak 5 dari titik (5,2,-2)

Jawab

Persamaan liniernya :

8. Tentukan titik potong ketiga bidang berikut :

Jawab :

Dari persamaan (1) dan (2)

Dari persamaan 2 dan 3

Dari persamaan 4 dan 5

Substitusi persamaan (6) ke persamaan (5)

Substitusi persamaan (7) ke persamaan (1)

LINGKARAN DAN BOLA

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 cm

Jawab :

Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 mempunyai persamaan

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 cm

Jawab :

Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 mempunyai persamaan

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Jawab :

Persamaan lingkaran :

Pusat lingkaran :

Jari-jari lingkaran :

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari-jari 4

Jawab :

5. Tentukan persamaan bola yang berpusat di (4,6,-2) berjadi-jari 8

Jawab :

Persamaan bola :

6. Tentukan persamaan bola yang mempunyai diameter ruas garis yang

menghubungkan (2,1,-3) dan (2,-2,5)

Jawab :

Diameter bola

Jari-jari bola

Pusat bola merupakan titik tengah diameter AB, berarti koordinat titik pusat

bola adalah

Persamaan bola :

7. Tentukan persamaan bola yang berpusat (-4,4,6) melalui titik (6,8,-2)

Jawab :

Melalui titik (6,8,-2)

Persamaan bola

8. Tentukan persamaan bola melalui empat titik A(1,1,1) B(1,2,1) C(1,1,2)

D(2,1,1)

Jawab :

Persamaan bola

Melalui titik (1,1,1)

Melalui titik (1,2,1)

Melalui titik (1,1,2)

Melalui titik (2,1,1)

Eliminasi Persamaan (1) dan (2)

Eliminasi Persamaan (2) dan (3)

Substitusi persamaan (5) ke (6)

Eliminasi persamaan (3) dan (4)

Substitusi nilai A,B, C ke persamaan (1)

Maka persamaan bola adalah :

9. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari bola

Jawab :

A = 4, B = -6, C = 8, D = 29

Pusat bola

Jari-jari bola

8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang tegak

lurus garis

Jawab :

maka

Misal garis singgungnya adalah g maka

Persamaan garis singgung :

9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

a. mempunyai gradient 3

b. membentuk sudut 60o terhadap sumbu X

c. sejajar dengan garis 3x – 4y + 10 = 0

Jawab :

a. mempunyai gradien 3 maka persamaan garis singgung :

b. membentuk sudut 60o maka

Persamaan garis singgung :

c. sejajar garis

Persamaan garis singgung adalah :

10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang

sejajar dengan garis

Jawab :

Lingkaran berpusat di (1,-2) dan jari-jari 3.

Persaman garis singgung :

11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (-2,1)

Jawab :

Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (2,2)

Jawab :

Persamaan garis singgung :

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di

titik (7,2)

Jawab :

Persamaan garis singgung :

14. Tentukan persamaan garis singgung bola di titik (2,2,2)

Jawab :

15. Tentukan persamaan garis singgung bola di titik

(1,2,1)

Jawab :

16. Tentukan persamaan garis singgung bola di

titik (1,1,1)

Jawab :

17. Tentukan persamaan bidang kutub bola

dengan titik kutub (1,1,1)

Jawab :

18. Tentukan kuasa titik P(3,2,1) terhadap bola

Jawab :

Kuasa P(3,2,1) terhadap bola

Karena k > 0 maka titik P(3,2,1) berada di luar bola S = 0

19. Tentukan titik kuasa empat bola berikut :

20. Tentukan persamaan bola S = 0 yang melalui lingkaran potong bola

dan melalui titik O(0,0,0)

Jawab :

Persamaan bola S = 0 memenuhi persamaan perkas

Persamaan bola S = 0 adalah

Persamaan bola S = 0 melalui titik O(0,0,0) berarti titik tersebut memenuhi

persamaan (a) sehingga diperoleh :

Substitusi pada persamaan (a)

21. Tentukan persamaan bola S = 0 melalui lingkaran potong bola

dan bidang dan melalui titik P(1,1,1)

Jawab :

Persamaan berkas adalah

Bola S = 0 melalui titik (1,1,1) maka koordinat tiik P(1,1,1) memenuhi

persamaan bola (a). substitusika koordinat titik P(1,1,1) pada persamaan (a)

diperoleh harga pada persamaan (a) diperoleh

22. Tentukan titik limit dari berkas yang dibentuk oleh bola :

dan bola

Jawab :

Persamaan berkas adalah

Koordinat titik pusat bola adalah

Jari-jari kuadrat bola adalah

Karena bola berbentuk bola titik maka r = 0 atau

Maka atau

Untuk maka

Untuk maka