bab 2 landasan teori - bina nusantara |...
Post on 23-Mar-2019
250 Views
Preview:
TRANSCRIPT
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Peramalan
2.1.1. Faktor-Faktor Pertimbangan Dalam Peramalan Kuantitatif
Menurut Sofjan Assauri, ” Peramalan adalah kegiatan untuk memperkirakan apa
yang akan terjadi pada masa yang akan datang ” (Sofjan Assauri, 1984:1). Sedangkan
menurut Hendra Kusuma, ”Peramalan adalah perkiraan tingkat permintaan satu atau
lebih produk selama bebrapa periode mendatang” (Henra Kusuma, 1999:13).
Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif ini dapat dibedakan atas:
1) Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan
antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan
deret waktu, atau ”time series”.
2) Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan
antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel yang lain yang
mempengaruhinya, yang bukan waktu, yang disebut metode korelasi atau sebab
akibat ” causal methods” (Sofjan Assauri,1984:9).
Peramalan kuantitatif hanya dapat digunakan apabila terdapat tiga kondisi sebagai
berikut:
1. Adanya informasi tentang keadaan yang lain.
2. Informasi tersebut dapat dikuantifikasikan dalam bentuk data.
7
3. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang
akan datang (Sofjan Assauri,1984:5)
Ada empat jenis pola data, antara lain:
1. Pola horizontal atau stationary, bila nilai-nilai dari data observasi berfluktuasi
disekitar nilai konstan rata-rata. Dengan demikian dapat dikatakan pola ini
sebagai stationary pada rata-rata hitungnya (means ).
2. Pola seasonal atau musiman, bila suatu deret waktu dipengaruhi oleh faktor
musim (seperti kuartalan, bulanan , mingguan dan harian).
3. Pola cyclical atau siklus bila data observasi dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi
jangka panjang yang berkaitan atau bergabung dengan siklus usaha (business
cycle).
4. Pola trend bila ada pertambahan atau kenaikan atau penurunan dari data
obserfasi untuk jangka panjang. Pola ini terliahat pada penjualan produk dari
banyak perusahaan. Pendapatan Domestik Nasional Bruto (GDP/GNP) dan
indikator ekonomi (Sofjan Assauri,1984:5)
2.1.2. Model Peramalan Moving Averages
Metode moving averages diperoleh melalui penjumlahan dan pencarian nilai rata-
rata dari sejumlah periode tertentu, setiap kali menghilangkan nilai terlama dan
menambah nilai baru.
8
Keterangan:
1ˆ
+tY = Nilai peramalan pada periode berikutnya
tY = Nilai aktual perintaan periode sebelumnya
n = Periode dalam rata-rata bergerak
Dengan tambahan bahwa satu nilai Y diganti setiap periode. Perhitungan rata-rata
dilakukan dengan bergerak ke depan untuk memperkirakan periode yang akan datang
dan dicatat dalam posisi terpusat pada rata-ratanya. Moving Averages secara efektif
meratakan dan menghaluskan fluktuasi pola data yang ada. Tentu saja semakin
panjang periodenya, semakin rata kurvanya. Kebaikan lainnya adalah bahwa metode
Moving Averages dapat diterapkan pada data apapun juga, apakah data sesuai dengan
kurva matematik atau pun tidak.
Kelemahan metode ini adalah tidak mempunya persamaan untuk peramalan.
Sebagai gantinya digunakan rata-rata bergerak terahir sebagai ramalan periode
berikutnya. (T. Hani Handoko, 1984:276).
2.1.3. Model Peramalan Double Eksponential Smooting
Eksponential Smooting adalah suatu tipe teknik peramalan rata-rata bergerak yang
melakukan penimbangan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial sehingga
n
YYYYY ntttt
t121
1ˆ +−−−
+
+++=
9
data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam rata-rata
bergerak. Dengan Eksponential Smooting sederhana, peramalan dilakukan dengan
cara ramalan periode terahir ditambah dengan porsi perbedaan (disebut α) antara
permintaan nyata periode terahir dan ramalan periode terahir. Persamaan
Eksponential Smooting adalah :
)1(
21
+−=
Nα
Keterangan :
Ŷt = Peramalan Pada Periode t
Ŷt-1 = Peramalan Pada Periode t-1
α = Konstanta Pemulusan
Yt-1 = Data Permintaan Aktual pada Periode t-1
N = Banyaknya Periode Data Permintaan Aktual
Eksponential Smooting sederhana tidak memperhitungkan trend , sehingga tidak
ada nilai α yang sepenuhnya menggantikan trend dalam data. Nilai-nilai α rendah
akan menyebabkan jarak yang lebih lebar dengan trend karena hal itu akan
memberikan bobot yang lebih kecil pada permintaan yang sekarang.
Nilai α yang rendah terutama cocok bila permintaan produk relativ stabil (yang
berat, tampa trend atau variasi siklikal) tetapi variasi acak adalah tinggi. Nilai-nilai α
lebih tinggi adalah lebih berguna dimana perubahan perubahan yang sesungguhnya
cenderung terjadi karena lebih responsif terhadap fluktuasi permintaan. Sebagai
)ˆ(ˆˆ111 −−− −+= tttt YYYY α
10
contoh niali α tidak mungkin cocok bagi industri barang-barang mode tanggapan
yang cepat dan dramatik. Pengenalan-pengenalan produk baru, kampanye
promosional, dan bahkan antisipasi terhadap resesi juga memerlukan penggunaan
nilai-nilai α yang lebih tinggi. Nilai α yang tepat pada umumnya dapat ditentukan
dengan pengujian ”trial – and – eror” (coba-coba) terhadap α yang berbeda-beda
untuk menemukan satu nilai α yang menghasilkan kesalahan terkecil bila digunakan
pada data masa lalu (T. Hani Handoko, 1984:279).
Dengan cara analogi yang dipakai waktu berangkat dari rata-rata bergerak tunggal
ke pemulusan (smoothing) eksponensial tunggal, kita juga dapat berangkat dari rat-
rata bergereak ganda ke pemulusan eksponensial ganda. Perpindahan seperti itu
mungkin menarik karena salah satu keterbtasan dari rata-rata bergerak tunggal yaitu
perlunya menyimpan N nilai terakhir masih terdapat pada rata-rata bergerak linear,
kecuali bahwa jumlah nilai data yang diperlukan sekarang adalah 2N-1. pemulusan
eksponensial linear dapat dihitung hanya dengan tiga nilai data dan satu nilai untuk α.
Pendekatan ini juga memberikan bobot yang semakin menurun pada observasi masa
lalu. Perbedaan nilai pemulusan tunggal dan ganda dapat ditambahkan kepada nilai
pemulusan tunggal dan disesuaikan untuk trend (S. Makridakis 1988,279).. Adapun
persamaannya sebagai berikut:
tt YYY ˆ)1(ˆ11 αα −+=+
)ˆˆ(ˆ1−−+= tttt YYYα
11
)ˆˆ(1
ttt YYb −−
=α
α
mbaY ttmt +=+
2.1.4. Model Peramalan Linear Regretion
Model analisis garis kecenderungan dipergunakan sebagai peramalan apabila pola
hitoris data actual permintaan menunjukan adanya suatu kecenderungan naik dari
waktu ke waktu. Model analisis garis kecenderungan yang paling sederhana adalah
menggunakan persamaan garis lurus (straight line equation), sebagai berikut:
1. Perhitungan slope
∑
∑−−
−−−=
22 )(
))(()(
bartnt
barYbartnYtb
tt
2. Perhitungan intersep
)()( bartbbarYa t −−−=
3. Nilai ramalan ramalan permintaan periode t
btaYt +=ˆ
Keterangan:
tY = Nilai ramalan pada periode t
a = intersep
b = Slope dari garis kecenderunga (trend line), merupakan tingkat
perubahan dalam permintaan
12
t = Indeks waktu
n = Banyaknya periode
t-bar = nilai rata-rata dari t
tY = Variable permintaan (data aktual)
barYt − = Nilai rata-rata permintaan per periode waktu
2.1.5. Model peramalan Holt-Winters Additive Algorithm
Metode ini digunakan untuk pola data musiman (seasonal). Metode ini merupakan
lanjutan dari metode Holt dua parameter. Perbedaannya hanya pada penambahan satu
parameter untuk nilai musiman (seasonality). Nilai musiman ini diperoleh dari
perkalian antara seasonal indeks (Yt/At) dengan konstanta musiman γ kemudian
ditambahkan dengan perkalian nilai musiman sebelumnya (St-L) dengan (1-γ).
Persamaan yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Pemulusan eksponential
))(1( 11 −−
−
+−+= tt
Lt
t
t TAS
YA αα
2. Perkiraan kecenderungan
11 )1()( −− −+−= tttt TAAT ββ
3. Perkiraan nilai musiman
Lt
t
t SA
YS −−+= )1(4 γγ
4. Peramalan pada perioda 5 adalah sebagai berikut:
13
pLtttpt SpTAY +−+ += )(ˆ
Keterangan :
At = Nilai Pemulusan baru
α = Konstanta pemulusan (0<α<1)
Yt = Nilai Peramalan Aktual pada periode t
β = Konstanta pemulusan trend (0<β<1)
T1 = Nilai perkiraan trend
γ = Konstanta pemulusan seasonal
St = Nilai seasonal perkiraan
p = periode peramalan
L = Panjang Musiman
ptY +ˆ = Nilai peramalan pada periode berikutnya
Satu masalah dalam metode Winters adalah menentukan nilai-nilai untuk α ,β , dan
γ tersebut yang akan meminimumkan MSE atau MAPE. Pendekatan untuk
menentukan nilai ini biasanya secara coba dan salah (trial & eror), walaupun mungkin
juga digunakan alogaritma optimasi non-Linear unutk mendapatkan nilai parameter
optimal. Karena ke dua pendekatan tersebut memakan banyak waktu dan mahal,
maka metode ini jarang digunakan. Metode ini dipakai jika banyak himpunan data
yang harus ditangani.
14
2.1.6. Analisis Kesalahan Peramalan
Beberapa alternatif analisis kesalahan peramalan yang digunakan adalah:
1) Mean Squared Eror (MSE) :
2) Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Keterangan:
Nilai Tengah Kesalahan Kuadrat (Mean Squared Error)
n
YY
MSE
n
t
tt∑=
−
= 1
)ˆ(
(2-2)
Nilai Tengah Kesalahan Persentase Absolut (Mean Absolute Percentage
Error)
n
Y
YY
MAPE
n
t t
tt∑=
−
= 1
|ˆ|
Dua ukuran tersebut, merupakan alat evaluasi teknik-teknik peramalan untuk
berbagai macam parameter. Semakin rendah nilai MAPE dan MSE, peramalan
semakin baik (mendekati data masa lalu). Tetapi nilai terrendah (kecuali nol) tidak
memberikan indikasi seberapa baik metode peramalan yang digunakan dibandingkan
dengan metode lainnya (Hendra Kusuma, 199:38).
15
2.1.7. Verifikasi dan Pengendalian Peramalan
Langkah penting setelah peramalan adalah verivikasi peramalan sedemikian rupa
sehingga dapat mencerminkan data masa lalu dan sistem sebab-akibat yang
mendasari permintaan itu. Jika proses verivikasi ditemukan keraguan atas validitas
peramalan maka harus dicari metode yang lebih cocok. Validitas harus ditentukan
dengan uji statistika yang sesuai. Peramalan harus selalu dibandingkan dengan
permintaan aktual secara teratur. Pada suatu saat harus diambil tindakan revisi
terhadap peramalan tersebut apabila ditemukan bukti yang meyakinkan adanya
perubahan pola permintaan. Selain itu penyebab perubahan pola permintaan pun
harus diketahui. Penyesuaian metode peramalan dilakukan segera perubahan pola
permintaan diketahui (Hendra Kusuma, 1999:40).
Terdapat banyak perkakas yang digunakan untuk memverivikasi peramalan dan
mendeteksi perubahan sistem sebab akibat yang melatar belakangi perubahan pola
permintaan. Tetapi bentuk yang paling sederhana diusulkan oleh Bigel adalah peta
kendali peramalan, mirip peta kendali kualitas.
Tracking signal adalah suatu ukuran bagaimana baiknya suatu ramalan
memperkirakan nilai-nilai aktual. Tracking signal dihitung sebagai running sum of
the forcast errors (RSFE) dibagi dengan mean absolut deviation (MAD), sebagai
berikut:
MAD
RSFESignalTracking =⋅
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅∑
=MAD
iperiodindemandforecastiperiodindemandactual )(
16
Tracking signal yang positif yang menunjukkan bahwa nilai aktual permintaan
lebih besar dari peramalan, sedangkan tracking signal yang negatif berarti nilai aktual
permintaan lebih kecil dari pada ramalan. Suatu tracking signal disebut baik apabila
memiliki RSFE yang rendah, dan mempunyai positife eror yang sama banyak atau
seimbang dengan negatife eror, sehingga pusat dari tracking signal mendekati nol.
Apabila tracking signal telah dihitung kita dapat membangun peta kontrol signal
sebagaimana halnya dengan peta-peta kontrol dalam pengendalin proses statistical
(statistical proses control = SPC) yang memiliki bats kontrol atas (upper control
limit) dan batas control bawah (lower control limit).
Beberapa ahli dalam sistem peramalan seperti George Plossl dan Oliver Wight,
dua pakar Production Planning and Inventory Control, menyarankan untuk
menngunakan tracking signal maksimum ±4, sebagai batas-batas pengendalian untuk
tracking signal. Dengan demikian apabila tracking signal telah berada diluar batas-
batas pengendalian, model peramalan perlu ditinjau kembali, karena akurasi
peramalan tidak adapat diterima (Vincent Gaspersz, 2002:81).
⋅⋅⋅⋅∑
=MAD
erorforecastdariabsolutMAD
)(
17
2.2. Optimasi Model Pengambilan Keputusan
2.3.1. Pengaruh Ketersediaan Data Terhadap Permodelan
Apapun jenis model akan memiliki sedikit nilai praktis jika tidak didukung oleh
data yang handal. Walaupun sebuah model didefinisikan dengan baik, mutu
pemecahan model tersebut sangat tergantung pada pengestimasian data yang
diperlukan. Jika estimasi tersebut terdistorsi, pemecahan yang diperoleh, walaupun
optimal dalam arti matematis, pada kenyataannya dapat bermutu rendah dari sudut
pandang system nyata.
Dalam beberapa permasalahan, data tidak dapat diketahui dengan pasti sehingga
data tersebut dapat diestimasi berdasarkan distribusi probabilitas. Pada permasalahan
tersebut, struktur model kemungkinan perlu diubah untuk mengakomodasi sifat
probabilistic dari permintaan. Jadi berdasarkan ketersediaan data, permodelan dapat
dibagi menjadi 2 jenis model, yaitu model probabilistic atau stochastic dan model
deterministic (Hamdy A Taha, 1993:7). Pada kenyataannya, pengumpulan data
merupakan bagian paling sulit dari sebuah model.
2.3.2. Penyelesaian Terhadap Model Pengambilan Keputusan
Dalam operasional riset terdapat 2 jenis perhitungan yang berbeda, yaitu:
1. Model-model simulasi
Memecahkan system yang dimodelkan kedalam modul-modul dasar atau
elementer yang kemudian dikaitkan satu sama lain dengan hubungan-hubungan
logis yang didefinisikan dengan baik.
18
2. Model-model matematis
Pemecahan yang optimal dari sebuah model matematis biasanya tidak tesedia
dalam bentuk tertutup, melainkan solusi optimal dicapai dalam langkah-langkah
atau iterasi. Jadi dapat dikatakan bahwa pemecahan menyatu secara iteratif ke
pemecahan optimal.
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai model matematis yang merupakan model
dari operasional riset. Terdapat dua alasan mengapa tidak semua model matematis
memiliki alogaritma pemecahan optimal, yaitu:
1) Alogaritma pemecahan dapat terbukti menyatu ke pemecahan optimal, tetapi
dalam arti teoritis.
2) Kompleksitas model matematis dapat membuat perancangan alogaritma
pemecahan tidak mungkin dilakukan (Hamdy A Taha, 1993:8).
Selanjutnya akan diterangkan mengenai salah satu model matematis yang
mengasumsikan bahwa tujuan dan batasan sebuah model dapat diekspresikan secara
kuantitatif data sebagai fungsi matematis dari variable keputusan, yaitu Linear
Programming
2.3. Linear Programming
2.3.1. Pengantar Linear Programming
Keberhasilan suatu teknik riset operasi pada akhirnya diukur berdasarkan
penyebaran penggunaannya sebagai suatu alat pengambil keputusan sejak
diperkenalkan diakhir tahun 1940 -an, Linear Programming telah terbukti merupakan
19
salah satu riset operasi yang paling efektif. Keberhasilannya berakar dari
keluwesannya dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata dibidang –
bidang berikut ini, yaitu militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan,
dan bahkan ilmu sosial dan perilaku. Disamping itu, tersedianya program komputer
yang sangat efisien untuk memecahkan masalah – masalah linear programming yang
sangat luas merupakan faktor penting dalam tersebarnya penggunaan teknik ini.
Kegunaan linear programming adalah lebih luas daripada aplikasinya semata –
mata. Pada kenyataannya, linear programming harus dipandang sebagai dasar
penting pengembangan teknik – teknik riset operasi lainnya, termasuk program
integer, stokastik, arus jaringan dan kuadratik. Dalam hal ini, pemahaman akan linear
programming adalah penting untuk implementasi teknik – teknik tambahan ini.
Linear programming adalah sebuah alat deterministik, yang berarti bahwa semua
parameter model yang diasumsikan diketahui dengan pasti. Tetapi dalam kehidupan
nyata, jarang seseorang mengahadapi masalah dimana terdapat kepastian yang
sesungguhnya. Teknik linear programming mengkompensasikan ”kekurangan” ini
dengan memberikan analisis paska optimal dan analisis parametrik yang sistematis
untuk memungkinkan pengambil keputusan yang bersangkutan untuk menguji
sensivitas pemecahan yang optimal yang statis terhadap perubahan diskrit atau
kontinue dalam berbagai parameter dari model tersebut. Pada intinya teknik tambahan
ini memberikan dimensi dinamis pada sifat pemecahan linear programming yang
optimal.
20
Tujuan dari linear programming adalah suatu hasil yang mencapai tujuan yang
ditentukan (optimal) dengan cara yang paling baik diantara semua alternatif yang
mungkin dengan batasan sumber daya yang tersedia. Meskipun mengalokasi sumber
– sumber daya kepada kegiatan – kegiatan merupakan jenis aplikasi yang paling
umum, linear programming mempunyai banyak aplikasi penting lainnya.
Sebenarnya, setiap masalah yang metode matematisnya sesuai dengan format umum
bagi linear programming merupakan masalah bagi linear programming. Selanjutnya
suatu prosedur penyelesaian yang sangat efisien, yang dinamakan metode simpleks,
tersedia untuk menyelesaikan masalah – masalah linear programming bahkan untuk
masalah yang besar sekalipun.
Linear programming merupakan proses optimasi dengan menggunakan model
keputusan yang dapat diformulasikan secara sistematis dan timbul karena adanya
keterbatasan dalam mengalokasikan sumber – sumber daya. Don T. Philips dalam
bukunya ”operasion research principles and practice” menyatakan bahwa linear
programming merupakan masalah pemrograman yang harus memenuhi tiga kondisi
berikut ini:
1. Variabel – variabel keputusan yang terlibat harus tidak negatif
2. Kriteria – kriteria untuk memilih nilai terbaik dari variabel keputusan
dapat diekspresikan sebagai fungsi linear variabel tersebut. Fungsi
kriteria itu bisa disebut sebagai ”fungsi objektif”.
21
3. Aturan – aturan operasi yang mengarahkan proses – proses dapat
diekspresikan sebagai suatu set persamaan atau pertidaksamaan linear.
Set tersebut dinamakan ”fungsi pembatas”.
2.3.2. Pembuatan Model
Untuk menyelesaikan suatu masalah dapat digunakan model linear programming.
Adapun langkah – langkah pemodelannya adalah sebagai berikut:
a. Menentukan variabel – variabel dari persoalan.
b. Menentukan batasan – batasan yang harus dikenakan atas variabel untuk
memenuhi batasan sistem yang di modelkan.
c. Menentukan tujuan yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan Optimal
(terbaik) dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut (Hamdi A.
Taha,1993:17).
Langkah – langkah pemodelan dapat diformulasikan sebagai berikut:
a. Identifikasi variabel, misalnya X1, X2, dan seterusnya.
b. Fungsi pembatas diformulasikan sebagai berikut:
a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn (≤; = ;≥) b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn (≤; = ;≥) b2
! ! ! !
! ! ! !
am1X1 + am2X2 + ... + amnXn (≤; = ;≥) bm
X1, Xn, …, Xn ≥ 0
22
Keterangan:
Xj = Variabel Keputusan
Cj = Konstanta variabel keputusan
ajj = Konstanta variabel keputusan pada persamaan / pertidak
samaan pembatas
bi = Konstanta ruas kanan dari setiap persamaan / pertidaksamaan
pembatas
i = 1,2, ...., m
j = 1,2, ...., m
c. Fungsi tujuan (baik maksimasi ataupun minimasi) dapat diformulasikan sebagai
berikut:
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
Bentuk umum model diatas, bila ditulis dalam notasi vektor matriks, dapat
diekspresikan sebagai berikut:
Maksimasi atau Minimasi: Z = C.X
Dengan memperhatikan: a . X = b
X (≤; = ; ≥) 0
X ≥ 0
23
2.3.3. Bentuk Baku Formulasi Model Linear Programing
Terdapat 4 buah karakter yang menjadi ciri dari bentuk standar, yaitu sebagai
berikut:
a. Semua pembatas berupa persamaan
b. Elemen ruas kanan tiap pembatas adalah non – negatif
c. Semua variabel adalah non – negatif
d. Fungsi tujuan berjenis maksimasi atau minimasi
Pembatas yang pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan dengan
menambah atau mengurangi ruas kiri dengan suatu variabel non – negatif. Variabel
baru ini disebut ”varibel slack”, yang harus ditambahkan ke ruas kiri bila dibentuk
pertidaksamaan ≤ dan dikurangi bila bentuk pertidaksamaan ≥ variabel slack (Sj) ≥ 0
mempunyai sifat menggunakan satu satuan sumber terbatas untuk setiap satuan Sj
yang terjadi, dan juga mempunyai sifat tidak mempengaruhi besaran fungsi tujuan.
a1X1 + a2X2 ≥ b1 → a1X1 + a2X2 – S1 = b1
b1 ≥ 0 S1 ≥ 0
a1X1 + a2X2 ≥ b2 → a1X1 + a2X2 – S2 = b1
b2 ≥ 0 S2 ≥ 0
Didalam menyelesaikan persoalan linear programming dengan menggunakan
metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan adalah bentuk standar. Karena itu
setiap masalah linear programming harus diubah menjadi bentuk standar sebelum
dapat dipecahkan dengan metode simpleks.
24
Hal lain yang perlu diperhatikan dalam memecahkan masalah persoalan dengan
menggunakan metode simpleks adalah harus adanya variabel – variabel basis dalam
fungsi pembatas untuk memperoleh solusi awal yang feasible. Untuk fungsi – fungsi
pembatas dengan tanda ≤, maka variable basis dapat diperoleh dengan menambahkan
varible slack atau sebaliknya. Tetapi apabila fungsi pembatas mempunyai bentuk
persamaan, maka tidak selalu diperoleh varible basis.
Untuk mendapatkan variable basis tersebut, dapat ditambahkan dengan suatu
variable semu, yang disebut ”variabel artificial”. variabel artificial adalah variable
yang di tambahkan pada fungsi pembatas mempunyai hubungan persamaan untuk
memperoleh basis, atau juga dapat dinyatakan sebagai satuan variable semu (palsu)
yang mempunyai sifat menggunakan satu satuan sumber artificial ini mempunyai
koefisien fungsi tujuan yang sangat besar, dimana harga ini dapat bernilai negatif atau
positif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimasi atau minimasi:
Cn = -M ; untuk maksimasi fungsi tujuan
Cn = +M ; untuk minimasi fungsi tujuan
Keterangan:
M = bilangan bulat positif yang sangat besar
Cn = koefisien fungsi tujuan untuk variabel artificial X
2.3.4. Metode Simplex
Pada tahun 1947, seorang ahli matematika, george b. Dantzig menemukan dan
mengembangkan suatu metode pemecahan model linear programming. Metode
25
tersebut adalah metode simpleks. Metode ini merupakan teknik yang dapat
memecahkan model yang mempunyai variabel keputusan dan pembatas yang lebih
besar dari dua. Bahkan pada akhirnya, secara teoritis, metode ini dapat menangani
variabel keputusan dan pembatas dengan jumlah yang tak terbatas atau terhingga.
Algoritma simpleks diterangkan dengan menggunakan logika aljabar matriks,
sehingga operasi perhitungan dapat lebih efisien.
Metode simpleks mempunyai prosedur yang bersifat iterasi dan bergerak
selangkah demi selangkah. Dimulai dari suatu titik ekstrim (solusi feasible dasar)
didaerah feasible menuju ke titik ekstrim yang optimal. Pada setiap perpindahan dari
satu solusi feasible dasar ke solusi feasible dasar lainnya, dilakukan sedemikian rupa
sehingga terjadi perbaikan pada nilai fungsi tujuan.
Pada dasarnya, metode simpleks menggunakan dua kondisi untuk mendapatkan
solusi yang optimal,yaitu:
• Kondisi optimalitas
Yang menyatakan bahwa solusi yang dioptimalkan adalah solusi terbaik.
• Kondisi feasibilitias
yang menyatakan bahwa yang dioptimalkan adalah solusi feasible dasar
(basic feasible solution).
Karena perhitungan metode simpleks dilakukan dengan secara bertahap dan model
perhitungan dapat digunakan tabel simpleks, dengan pola umum seperti pada tabel
dibawah ini:
26
Tabel 2.1
Format Tabel Simplek
Cj C1 C2 ,,,,,,,,, Cn Ci
Basis X1 X2 ,,,,,,,,, Xn Konstanta
C1 B1 a11 a21 ,,,,,,,,, am1 b1
C2 B2 a12 a22 ,,,,,,,,, am2 b2
: : : : : : :
: : : : : : :
Cn Bn a1n a2n ,,,,,,,,, amn bn
Crow = Cj - Ji C1 – Z1 C2 – Z2 Cm –Zm Z = ∑aij - Ci
Keterangan :
Ci = koefisien fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel basis ke – i
Cj = koefisien fungsi tujuan dari semua variabel ke – j (variabel basis
maupun variabel non basis)
bi = nilai dari variabel ke – i, sedangkan nilai variabel non – basis adalah nol
aij = substitution ratio pada perpotongan baris ke – i dan kolom ke – j di
bawah variabel non basis; sedangkan yang berada di bawah variabel
basis adalah matriks satuan dengan harga 1 atau 0.
Langkah – langkah pemecahan model linear programming dengan metode
simpleks adalah sebagai berikut:
1. Formulasikan masalah
a. Membuat fungsi tujuan dan fungsi pembatas
b. Mengubah bentuk suatu pertidaksamaan menjadi persamaan dengan
menambah variabel slack atau variabel surplus serta varible
artificial.
27
c. Modifikasi fungsi tujuan dengan memasukkan variable slack,
variable surplus, atau variable artificial, bersama – sama dengan
koefisien yang sesuai.
2. Program awal
Membuat program awal sehingga hanya variable slack atau variable
artificial yang termasuk di dalam jawaban. Gambarkan program ini di
dalam tabel simpleks.
3. Tes untuk optimalisasi
a. Hitung harga – harga (Cj – Zj) pada setiap kolom.
b. Tes untuk optimalitas. Jika semua harga tersebut sudah nol atau
negatif, maka untuk persoalan maksimasi jawabannya sudah
mencapai optimal. Sebaliknya jika harga – harga tersebut nol atau
positif untuk persoalan minimasi, maka hasil jawaban tersebut
sudah mencapai optimal.
c. Program perbaikan:
1. Menentukan sebuah kolom kunci (incoming variable). Untuk
kolom yang mempunyai harga (Cj – Zj) positif terbesar di
jadikan kolom kunci, dalam masalah maksimasi dan kolom
yang mempunyai harga (Cj – Zj) negatif terbesar dijadikan
kolom kunci untuk persoalan minimasi.
2. Tentukan baris kunci dan bilangan kunci (outgoing variable).
Bilangan – bilangan di bawah kolom di bagi dengan bilangan –
28
bilangan pada kolom kunci. Hasil dari pembagian ini disebut
replacement quantities (rasio). Bandingkan harga – harga rasio
ini. Baris yang mempunyai rasio terkecil dijadikan baris kunci
(outgoing variable). Bilangan yang terletak pada perpotongan
antara kolom kunci dengan baris kunci disebut bilangan kunci.
3. Mengubah bentuk baris kunci. Kurangkan bilangan pada baris
yang lama (pada setiap kolom) dengan hasil kali bilangan –
bilangan pada baris kunci yang lama dengan rasio tetap.
Dimana rasio tetap adalah hasil bagi bilangan pada baris yang
lama di dalam kolom kunci dengan bilangan kunci. Letakkan
hasil ini pada posisi yang sama pada tabel berikutnya. Gunakan
transformasi ini untuk semua baris – baris yang bukan kunci.
4. Mencari program optimal
Ulangi kembali langkah 3.b dan 3.c sampai suatu program optimal
dicapai.
2.3.5. Nilai Fungsi Tujuan
Nilai fungsi tujuan menunjukkan maksimasi keuntungan, dengan hasil
perhitungan reduced cost, slack atau surplus dan dual cost.
a. Reduced Cost
Jika variable keputusan mempunyai solusi optimal nol, maka reduced cost
akan menunjukkan besarnya biaya minimum per unit variable yang harus
29
ditingkatkan agar solusi optimal untuk variable keputusan tersebut bernilai
positif (menjadi variable basic). Jika nilai keputuasn positif (variable basic),
maka nilai reduced cost akan selau nol. Initinya, reduced cost ini
menunjukkan besarnya nilai minimum suatu variable non basic yang harus
ditingkatkan untuk menjadi variable basic.
b. Slack atau Surplus
Niali slack menunjukkan kelebihan kapasitas yang ada setelah nilai optimal
didapat serta menunjukkan status kendala terbatas atau berlebih. Kendala
terbatas adalah kendala yang mempunyai harga slack sama dengan nol, yang
berarti bahwa semua kapasitas yang ada pada kendala tersebut telah penuh.
Sedangkan kendala berlebih adalah kendala yang mempunyai harga slack
positif, yang berarti bahwa terdapat kelebihan kapasitas pada kendala tersebut.
c. Dual Cost
Menunjukkan besarnya kenaikan atau penurunan nilai tujuan yang disebabkan
oleh kenaikan 1 unit kapasitas kendala terbatas
2.3.6. Daerah Batasan Basis Tidak Berubah
Daerah batasan ini menunjukkan kenaikan atau penurunan besarnya nilai yang
diperoleh agar solusi tetap optimal dan fesible. Pada bagian ini dibahas mengenai
analisis sensifitas untuk:
1. Koefisien fungsi tujuan
30
Sasaran analisis sensifitas untuk koefisien fungsi tujuan adalah menentukan
kisaran fariasi dalam setiap koefisien fungsi tujuan yang akan membuat titik
sudut optimal saat ini tetap tidak berubah (L. Winston Wayne, 1993:196)
2. Daerah ruas kanan
Masalah ini berkaitan dengan studi sensifitas dari pemecahan optimal
terhadap perubahan dalam sisi kanan batasan. Sasaran spesifik dari masalah
ini adalah untuk menentukan perubahan dalam sisi kanan batas terhadap nilai
optimum dengan tetap mempertahankan feasibilitas (L. Winston Wayne,
1993:198)
2.3.7. Peraturan 100% Untuk Perubahan Nilai Secara Simultan
1. Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Peraturan 100% ini mempertimbangkan 2 kondisi, yaitu:
a. Semua variabel yang nilai koefisien fungsi tujuannya diubah memiliki nilai
reduced cost ≠ 0.
b. Setidaknya satu variabel yang niali koefisien fungsi tujuannya diubah
memiliki nilai reduced cost = 0 (L. Winston Wayne, 1993:262)
Pada kondisi ke-1, optimalitas tetap dapat dipertahankan jika dan hanya jika
perubahan koefisien fungsi tujuan masih dalam range perubahan yang diizinkan.
Pada kondisi ke-2, peraturan 100% diberlakukan dengan perhitungan rasio sebagai
berikut:
31
∆cj ≥ 0, rj = ∆cj / Ij
∆cj ≥ 0, rj = -∆cj / Dj
Dimana:
∆cj = Koefisien fungsi tujuan dari X1
∆cj = Selisih dari nilai cj baru dengan niali cj awal
I j = Perubahan nilai cj maksimum yang diperbolehkan
Dj = Perubahan nilai cj minimum yang diperbolehkan
Kondisi optimalitas dari perubahan simultan yang dilakukan terhadap koefisien
fungsi tujuan masih dapat dipertahankan, jika nilai 1≤∑ jr
2. Perubahan Daerah Ruas Kanan
Peraturan 100% ini mempertimbangkan 2 kondisi, yaitu:
a. Semua kendala yang nilai daerah ruas kanannya dimodifikasi merupakan
kendala berlebih.
b. Setidaknya satu kendala yang nilai ruas kanannya dimodifikasi merupakan
kendala terbatas (L. Winston Wayne, 1993:265).
∆bj ≥ 0, rj = ∆bj / Ij
∆bj ≥ 0, rj = -∆bj / Dj
Dimana:
∆bj = Nilai daerah ruas kanan dari persamaan ke-j
∆bj = Selisih dari nilai bj baru dengan niali bj awal
32
I j = Perubahan nilai cj maksimum yang diperbolehkan
Dj = Perubahan nilai cj minimum yang diperbolehkan
Kondisi optimalitas dari perubahan simultan yang dilakukan terhadap koefisien
fungsi tujuan masih dapat dipertahankan, jika nilai 1≤∑ jr
2.3.8. Kasus-kasus Khusus Dalam Aplikasi Metode Simpleks
Dalam metode simpleks terdapat beberapa kasus khusus, yaitu:
1. Degenerasi
Jika dalam metode simpleks terdapat minimal 2 rasio minimum yang sama,
sehingga dapat dipilih secara sembarang untuk mentukan variabel keluar, Tetapi
ketika hal tersebut terjadi, satu variabel dasar atau lebih pasti akan sama dengan
nol dalam iterasi berikut. Dalam kasus ini, pemecahan baru tersebut adalah
degenerasi.
Secara teoritis, degenerasi memiliki dua implikasi, yaitu:
a. Berkaitan dengan fenomena perputaran (Cycling) dimana prosedur simpleks
akan mengulang urutan iterasi yang sama tampa pernah memperbaiki tujuan
dan tidak pernah mengakhiri perhitungan.
b. Penerapan prosedur simpleks yang dapat memberi kemungkinan terdapat
perbedaan dalam mengklasifikasi variabel sebagai variabel dasar dan non
dasar akan memberikan nilai identik untuk semua variabel dan nilai fungsi
tujuan (Hamdy A. Taha, 1993:87).
33
2. Alternatif optimal
Ketika fungsi tujuan adalah sejajar dengan satu batasan yang mengikat, maka
fungsi tujuan akan memiliki nilai optimal yang sama di lebih dari satu titik sudut.
Kerena alasan tersebut, pemecahan ini disebut alternatif optimal (Hamdy A. Taha,
1993:90). Dalam penerapan metode simpleks kasus alternatif optimal ini dapat
diidentifikasikan permasalahannya dengan melihat tabel iterasi metode simpleks,
dengan ciri-ciri damana nilai koefisien variable non basic dalam persamaan x
adalah sebesar nol. Pengetahuan tentang alternatif optimal adalah berguna, karena
hal ini memberikan kesempatan bagi manajemen untuk memilih pemecahan yang
paling sesuai dengan situasi tampa mengalami penurunan nilai tujuan.
3. Pemecahan yang tidak dibatasi
Dalam beberapa model Linear Programmning, nilai variabael dapat menigkat
secara tidak terbatas tanpa melanggar salah satu batasan, yang berarti bahwa
ruang pemecahan tidak dibatasi (underbounded) dalam setidaknya satu arah.
Akibatnya, nilai fungsi tujuan dapat meningkat (kasus maksimasi) atau menurun
(kasus minimasi) secara tidak terbatas (Hamdy A. Taha, 1993:92). Pada kasus ini
dapat dikatakan bahwa baik ruang pemecahan maupun nilai fungsi tujuan optimal
tidak dibatasi. Pada kasus pemecahan yang tidak dibatasi dapat segera
diidentifikasi dari iterasi table simpleks, dimana semua koefisien pembatas pada
kandidat kolom kunci bernilai negatif atau nol.
4. Pemecahan tidak ada (tidak layak)
34
Jika batasan tidak dapat dipenuhi secara simultan, model tersebut dikatakan tidak
memiliki pemecahan yang layak ≤ (dengan asumsi konstanta sisi kanan yang
nonnegatif), karena variable slack selalu memberikan pemecahan yang layak.
Tetapi ketika menggunakan variable artificial yang berdasarkan pada
rancangannya sendiri tidak memberikan pemecahan yang layak untuk model
semula. Ketentuan pinalti untuk memaksa variable artificial bernilai nol di
pemecahan optimal menyebabkan model memiliki ruang layak (Hamdy A. Taha,
1993:93). Jika tidak memiliki pemecahan yang layak ditandai dengan ciri-ciri
dimana setidaknya satu variabel artificial bernilai positif di iterasi tabel simpleks
optimal.
top related