9 rangkaian arus bolak balik

Rangkaian AC (Arus Bolak Balik)

Simon Patabang, MT.

Universitas Atma Jaya Makassar

Pendahuluan

• Rangkaian AC adalah rangkaian listrik dimana besarnya arus dan tegangan berubah terhadap waktu dan dapat mengalir dalam dua arah (bolak-balik).

• Secara matematik, arus dan tegangan bolak-balik berbentuk gelombang sinus seperti pada gambar berikut :

Rangkaian Arus Bolak Balik• Sumber arus bolak-balik adalah generator arus bolak-

balik (AC).• Generator AC menghasilkan dan tegangan dan arus AC

yang berbentuk gelombang sinus dengan sudut frekuensi ω.

• Beban pada rangkaian AC disebut Impedansi dengan simbol Z.

dimana:V = tegangan sumber. V = Vm sin ωtI = Arus total I = Im sin ωtZ = beban/impedansi

• Arus dan tegangan bolak balik didefinisikan dengan persamaan sebagai berikut :

dimana :V : tegangan sesaatI : arus sesaatVm : tegangan maksimumIm : arus maksimumω : kecepatan sudut (rad/detik)t : waktu (detik)Sudut phasa θ = ω.t rad

sinmV V tsinmI I t

Salah satu sifat khusus dari gelombang arus AC adalah mempunyai sifat periodik atau berulang dengan selang waktu tertentu yang disebut dengan perioda (T).

Hubungan antara frekuensi sudut (ω) , frekuensi (f) dan periode T adalah : ω = 2πf f = 1 / T (Hertz,Hz)maka ω = 2π/TT = Periode = waktu untuk menempu satu gelombangF = banyaknya gelombang dalam waktu 1 detik

Besaran pada Tegangan bolak-balik yaitu :1. Tegangan sesaat (Vt) adalah tegangan pada suatu

waktu (t) detik.2. Tegangan maksimum (Vm) adalah tegangan dengan

harga maksimum dari tegangan nominal.3. Tegangan peak to peak (puncak-puncak) (Vpp)

merupakan beda tegangan maksimum dengan tegangan minimum, dengan persamaan:

Vpp = 2. VmTegangan maksimum dan peak to peak ditunjuk kan pada pengukuran Osiloscope.

4. Tegangan rata-rata (Vrata-rata) didefinisikan dengan persamaan :

5. Tegangan efektif (Vef) dirumuskan dengan :

Tegangan bolak – balik efektif ditunjukkan oleh alat ukur multimeter.

2 mrata rata

VV

2m

efektifVV

Besaran pada Arus bolak-balik yaitu :

1. Arus sesaat (It) adalah arus pada suatu waktu t detik.

2. Arus maksimum (Im) adalah arus dengan harga maksimum dari arus nominal.

3. Arus puncak-puncak (Ipp) merupakan beda arus maksimum dengan arus minimum, dengan persamaan:

2.pp mI I

4. Arus rata-rata (Irata-rata) didefinisikan dengan persamaan :

5. Arus efektif (Ief) adalah dirumuskan dengan :

2 mrata rata

II

222

m mefektif

I II

Contoh:Sebuah generator ac menghasilkan tegangan sebesar Vt = 120 sin 60t volt dan arus it = 40 sin 60t Amper.

Tentukanlah :1. Tegangan dan arus maksimum2. Sudut frekuensi3. Frekuensinya4. Periodanya5. Tegangan dan arus rata-rata6. Tegangan dan arus efektif7. Tegangan peak to peak

Penyelesaian :Persamaan tegangan Vt = 120 sin 60t volt dan arus it = 40 sin 60t Amper.1. Tegangan dan arus maksimum Rumus : Vt = Vm sin wt dan it = Im sin wt.

Dari persamaan diketahui bahwa :Vm = 120 volt dan Im = 40 A.

2. Sudut frekuensiSudut frekuensi w = 60 rad/det

3. Frekuensinya.W = 2πf f = w/2π dimana π = 22/7f = 60/(2.22/7) f = 9,55 Hz

4. Periodanya 5. T = 1/f T = 1/9,55 = 0,105 detik

6. Tegangan dan arus rata-rata

Vr = 2. 120/π = 76,36 VoltIr = 2. 40/ π = 25,45 A

7. Tegangan dan arus efektifVef = Vm/√2 Vef = 120/√2 = 84,85 Volt Ief = Im /√2 Ief = 40/√2 = 28,28 A

8. Tegangan peak to peakVpp = 2.Vm Vpp = 2.120 = 240 Volt

dan2 m

rata rataV

V

2 mrata rata

II

Jenis Beban

• Dalam sistem tenaga listrik arus bolak-balik dikenal beberapa jenis beban. Jenis Beban AC terdiri dari :

1. Beban Resistif (R) 2. Beban Induktif (L)3. Beban kapasitif (C) 4. Beban campuran.

1. Rangkaian AC Beban R

Beban resistor (R) yang terhubung dengan sumber tegangan bolak-balik, maka besarnya tegangan beban R adalah:

Besarnya arus listrik yang mengalir pada beban R adalah :

sinmV V t

dimana , Im (arus maksimum), maka :

Gambar gelombang tegangan dan arus bolak-balik pada beban R digambarkan sebagai berikut :

sinmI I t

sinm

VIRV tIR

mmVIR

• Nilai V dan I selalu mencapai suatu titik pada saat yang bersamaan yaitu : mencapai nilai maksimum pada sudut π/2, 5π/2, mencapai nol pada sudut 0, π, 2π dan mencapai nilai minimum pada sudut 3π/2.

• Pada keadaan demikian, dikatakan bahwa V dan i mempunyai phasa yang sama (sephasa).

• Sephasa artinya pada setiap sudut yg sama, posisi V dan I selalu bersamaan.

Sudut Fase dan Beda Fase

• Dalam rangkaian listrik arus bolak-balik, sudut fase dan beda fase akan memberikan informasi tentang tegangan dan arus.

• Beda fase antara tegangan dan arus pada listrik arus bolak-balik memberikan informasi tentang sifat beban dan penyerapan daya atau energi listrik.

• Dengan mengetahui beda fase antara tegangan dan arus dapat diketahui sifat beban apakah resistif, induktif atau kapasitif.

Diagram Phasor Beban R

• Phasor adalah bilangan kom pleks yang merepresentasikan besaran atau magnitude dan phasa gelombang sinusoidal.

• Diagram phasor menyatakan hubungan antara vektor V dan i dengan sudut phasa θ

Diagram phasor mempunyai ketentuan sebagai berikut:

a. Panjang phasor menyatakan nilai maksimum dari tegangan dan arus bolak-balik, yakni Vm dan im.

b. Proyeksi phasor terhadap sumbu Y menyatakan nilai-nilai sesaat dari tegangan (Vt) dan arus bolak-balik (It), yaitu :

sint mV V t

sint mI I t

Pada beban R, sudut phasa arus dan tegangan sama dengan Nol artinya vektor tegangan dan arus selalu berimpit.

Sudut phasa artinya beda sudut antara posisi vektor tegangan dan vektor arus.

Persamaan V dan I dapat dituliskan dalam bentuk polar sebagai berikut :

/_

Contoh :Rangkaian AC beban R, dimana R = 40Ω, Vm = 100 V, dan frekuensi generator f = 50 Hz. Pada saat t=0 detik, tegangan pada resistor VR = 0. Tentukan:a. arus maksimum,b. frekuensi sudut ,c. arus melalui resistor pada t = 1/75 sd. arus melalui resistor pada t = 1/150 s

Penyelesaian:Diketahui : R = 40Ω, Vm = 100 V, f = 50 Hz, VR = 0 , pada saat t=0 detik

a. Rangkaian resistor murni, Im dapat dicari dengan persamaan:

Im = Vm/R = 100/40 = 2,5 A b. Frekuensi sudut anguler (ω) ω = 2πf = 2π.50 = 100 π rad/detc. Untuk rangkaian resistor murni, tegangan sefase

dengan arus, sehingga untuk :

V = Vm.sin ωt, maka I = Im.sin ωt. Persamaan arus sesaat yaitu:

I(t) = Im.sin ωt = 2,5 sin ωt

pada saat t = 1/75 detik, maka arus It adalah :

1 42,5sin100 2,5sin75 3

12,5. 32

5 34

t

t

t

I

I

I A

d. Pada saat t = 1/150 detik, maka arus It adalah :

1 22,5sin100 2,5sin150 3

12,5. 32

5 34

t

t

t

I

I

I A

2. Rangkaian AC Beban L

Sumber tegangan bolak-balik Vt mensuplai arus ke beban induktor L maka akan timbul tegangan pada beban sebesar VL. Besarnya Vt sama dengan VL atau Vt = VL.

( ) sinmV t V t

Apabila induktor mempunyai induktansi sebesar L, maka berdasarkan Hukum Lenz besarnya tegangan beban adalah :

Karena VL = Vt maka :

LdiV Ldt

sin

sin

m

m

diL V tdtVdi tL

Jadi arus AC pada beban induktor adalah:

Dgn Integrasi maka besarnya i adalah :

dan cost ωt = sin (ωt - π/2)

ωL adalah besarnya hambatan pada induktor disebut reaktansi induktif dengan simbol XL.

. 2 .LX L f L

maka LXVm Im

sinmVdi tL

( cos )mVi tL

sin( )2mi I t m

mV

IL

dimana :

Gelombang V dan i dalam rangkaian induktor L digambarkan sebagai berikut :

Pada saat mencapai nilai maksimum, V berada pada sudut π/2 sedangkan I mencapai nilai maksimum pada sudut π. Selisi kedua sudut adalah π - π/2 = π/2 (beda sudut fase). Jadi V dan i berbeda fase sebesar π/2 atau 90 derajat dimana arus terlambat (lagging) dari tegangan.

Diagram Phasor

Diagram phasor, hubungan V dan i untuk rangkaian induktor memperlihatkan bahwa arus im terlambat dari tegangan Vm atau tegangan Vm mendahului Im sebesar 90˚.

Atau arus tertinggal terhadap tegangan sebesar 90˚. Karena arus tertinggal terhadap tegangan, maka disebut lagging.

maka persamaan tegangan sesaatnya :

Jika diketahui persamaan tegangan sesaatnya adalah :

maka persamaan arus sesaat adalah :

Jika diketahui persamaan arus sesaatnya adalah :

Jika arusnya adalah :

Maka :

Bentuk polar dari persamaan arus dan tegangan adalah :

Sebuah induktor 0,2 henry dipasang pada sumber tegangan arus bolak-balik, V = (200. sin 200t) volt. Tentukan persamaan arus yang mengalir pada rangkaian tersebut!

Diketahui:

V = (200 sin 200t) voltL = 0,2 HDitanya: I = ... ?

Contoh :

Penyelesaian :

Persamaan tegangan : V = Vm.sinωtV = 200.sin 200t

Dari persamaan diketahui :Vm = 200 volt dan ω= 200 rad/s, maka:

XL = ω.L= (200)(0,2)XL = 40ΩIm = Vm / XL = 200 / 40 = 5 A

Untuk beban L, arus tertinggal π/2 rad terha-dap tegangan, sehingga:

sin2

5sin 2002

mI I wt

I t A

3. Rangkaian AC Beban CBila beban C dicatu dengan tegangan bolak-balik Vt, maka kapasitor akan menyimpan muatan listrik Q. Besarnya tegangan pada C sebesar Q/C.

sint mV V t CQVC

dan

Maka : sinmQ V tC

Karena sumber dan beban paralel, maka besarnya tegangan dengan beban kapasitansi C sama. Vt = Vc

Besarnya arus listrik i pada kapasitor adalah :

Besarnya hambatan pada kapasitor disebut reaktansi kapasitif Xc dengan satuan Ohm didefinisikan sbb :

CfCXC .2

1.1

sinmQ CV t

0

cos

cos

(sin 90 )

m

m

m

dqidt

i CV tV

i tXc

i I t

• Dari persamaan tersebut terlihat bahwa arus mendahului tegangan dengan sudut 90 derajat

• Gelombang V dan i pada rangkaian dengan beban kapasitor seperti pada gambar dibawah ini.

Grafik memperlihatkan bahwa V dan i berbeda fase π/2, dimana arus i mendahului V sebesar π/2.

Diagram Phasor

Diagram phasor menunjukkan bahwa arus Im mendahului tegangan Vm sebesar 90˚.

Pada beban kapasitor, arus mendahului tegangan sebesar 90˚. Keadaan ini disebut arus leading.Jika diketahui persamaan arus sesaat adalah :

maka persamaan tegangan sesaatnya :

Jika diketahui persamaan tegangan sesaatnya adalah :

maka persamaan arus sesaat adalah :

Bentuk Polar persamaan arus dan tegangan :

Contoh :

Sebuah kapasitor 50 μF dihubungkan dengan sumber tegangan arus bolak-balik. Arus yang mengalir pada rangkaian adalah I = (4.sin 100t) A. Tentukanlah persamaan tegangan pada kapasitor !

Diketahui: C = 50 μF = 5 × 10-5 FI = (4.sin 100t) A

Ditanyakan : Persamaan tegangan, V = ...?

Penyelesaian:I = (Im.sin ω ) AI = (4.sin100t) A maka, Im = 4 A, dan ω = 100 rad/s

Dari persamaan di atas, maka diperoleh :

4 Rangkaian R-L Seri

Hambatan R dan XL dihubungkan seri dengan catu daya tegangan bolak-balik V.Beban Z adalah : Z = R + j XL

Diagram vektor beban Z :

Hambatan R dan XL juga dijumlahkan secara vektor :

Z = impedansi (Ohm)22LXRZ

22LR VVV

Total tegangan V diperoleh dengan penjumlahan secara vektor :

Hukum Ohm I :VR = tegangan pada RVL = tegangan pada XL

Kuat arus yg mengalir pada rangkaian adalah :

22LXR

VZVi

Contoh :

Sebuah Induktor L = 40 mH dan resistor R = 6 Ohm dirangkai seri dan dihubungkan dengan sebuah sumber tegangan AC dengan nilai Vm = 200 Volt dan frekuensi f= 100/π Hz. Tentukanlah kuat arus melalui rangkaian pada saat t = 0,05 sekon !

Terlebih dahulu kita cari beberapa besaran berikut:

Arus maksimum yang mengalir adalah :

Sudut fase antara tegangan dan arus adalah :

Subsitusi hasil perhitungan ke dalam persamaan arus, maka besarnya arus yang mengalir dalam rangkaian pada saat t=0,05 detik adalah :

5. Rangkaian R-C Seri

Hambatan R dan XC dihubungkan seri dengan tegangan bolak-balik V.

Beban Z adalah : Z = R - j XC

Diagram vektor beban Z :

Hambatan R dan XC juga dijumlahkan secara vektor :

Z = impedansi (Ohm)22CXRZ

VR = tegangan pada RVC = tegangan pada XC

Besar tegangan total V ditulis secara vektor :

CC

R

iXViRV

22CR VVV

Hukum Ohm I :

Kuat arus i yg mengalir pada rangkaian adalah :

22CXR

VZVi

Contoh :

Sebuah kapasitor dengan kapasitas 25/π μF disusun seri dengan sebuah resistor 300 Ohm dan dihubungkan dengan sumber tegangan AC dengan persamaan V = 40 sin(100πt) volt. Tentukan arus yang mengalir pada rangkaian pada saat t = 0,05 sekon.

Diketahui :R=300 Ohm, L= 25/π μF, t = 0,05 detik.Ditanyakan arus I=? Jawab :Persamaan arus I = Im sin(ωt + θ)

Arus maksimum yang mengalir dapat dicari sbb:

Sudut fase antara tegangan dan arus dapat dihitung dari grafik :

Θ = 53 ͦ

Subsitusi nilai2 yang diperoleh ke dalam persamaan arus I sbb :

I = Im sin (ωt + θ)

LatihanSebuah resistor 200 Ω dan kapasitor 5μF dihubungkan seri. Tegangan pada resistor adalah Vr = 1,2 cos 2500 t Volt.Tnetukanlah :a. Persamaan arusb. Reaktansi kapasitf kapasitorc. Tegangan pada kapasitor

Penyelesaian :

R dan C dihubungkan seri, maka arus pada R dan C sama besarnya yaitu : I = VR/Ri= (1,2 cos 2500 t)/ 200 = 6x 10⁻³ cos 2500 t A

b. Xc = 1/ωC Xc = 1/ (2500. 5 x10⁻⁶ )Xc = 80 Ω.

c. Vc = I. Xc Vc = 6x 10⁻³ cos 2500 t x 80 Volt . Pada saat t=0 detik maka : Vc = 6x 10⁻³ x 80 = 0,48 Volt

6 Rangkaian R-L-C Seri

Hambatan R, XL dan XC dihubungkan seri de-ngan tegangan bolak-balik V.

Beban impedansi rangkaian adalah :

Z = R + j XZ = R + j (XL – XC)

22 )( CL XXRZ

VR = tegangan pada RVC = tegangan pada XC

VL = tegangan pada XL

Besarnya tegangan Vm diperoleh dengan penjumlahan vektor seperti pada diagram phasor berikut :

CC

LL

R

iXViXViRV

Hukum Ohm I :

Besar tegangan total Vm ditulis secara vektor :

22 )( CLR VVVV

Kuat arus yg mengalir pada rangkaian ini adalah :

22 )( CL XXR

VZVi

Contoh :

Penyelesaian :XL = ωL = (10.000 rad/det) . 60 mH = 600 ΩXC = 1 / ωC = 1/ (10.000rad/det)( 0,5 x 1 ⁻⁶ F) = 200 0 0̄ ΩImpedansi Z rangkaian adalah :

Sebuah rangkaian RLC seri dengan data R=300Ω, L=60mH, C=0,5μF, Vm= 50 V, dan ω=10.000 rad/det. Hitunglah reaktansi Xc, XL, impendansi Z, Amplitudo arus, sudut phasa, dan tegangan pada tiap elemen rangkaian.

Dengan amplitudo tegangan sumber V= 50 volt, maka amplitudo arus adalah :

Sudut phasa adalah :

Karena sudut phasa positif, maka tegangan mendahului arus sebesar 53 ͦ atau beban bersifat induktif.Tegangan pada R : Tegangan pada L :

Soal Latihan

1. Arus listrik PLN yang sampai ke rumah mempunyai tegangan 220 V dan frekuensi 50 Hz. Tentukan:(a) Tegangan maksimum.(b) Kecepatan sudut.(c) Tegangan efektif.

2. Sebuah rangkaian ac kapasitif mempunyai frekwensi sudut 100 rad/s dan Vm = 220 V, Jika C = 20 μF, tentukanlah kuat arus yang melalui rangkaian pada saat t = 0,004 s!

3. Suatu kumparan dengan induktansi diri 100 mH dan hambatan tidak diketahui dan sebuah kapasitor 1 μF di susun seri dengan suatu osilator berfrekuensi 5000 rad/s. Jika sudut fase antara tegangan power suplai dan kuat arus 60o , tentukan hambatan kumparan dan kapasitor.

4. Tegangan induksi pada suatu generator mempunyai persamaan, Vt = 200 sin(100t )Tentukan:a. Tegangan maksimumb. Kecepatan sudutc. Frekuensi putarand. Periodee. Lukiskan grafik ggl (tegangan) sebagai fungsi waktu.

Resonansi SeriResonansi dapat terjadi dalam rangkaian RLC seri dan LC seri. Jika XL = Xc maka besarnya impedansi rangkaian adalah :

Pada saat XL sama dengan Xc maka akan terjadi resonansi. Besarnya frekuensi resonansi dapat dihitung sebagai berikut :

22 )( CL XXRZ

Z = R

maka besarnya frekuensi resonansi adalah :

Dimana :

LCf

21

CL

XX CL

1

Faktor Daya :

• Besaran cos Φ ini disebut dengan faktor kerja (power faktor), dan untuk rangkaian seri RLC berlaku :

Faktor daya untuk beban resistor murni R sama dengan 1 cos Φ = 1

Faktor daya dapat dihitung dengan Rumus lain :

ZR

cos

Daya Arus Bolak-balik

Daya dalam arus searah dirumuskan P = V.i, dengan V dan i harganya selalu tetap.Daya listrik arus bolak-balik dinyatakan sebagai perkalian antara tegangan, kuat arus dan faktor daya.

Dengan :P = daya listrik bolak-balik (Watt)V = tegangan efektif (V)i = kuat arus efektif (A)Z = impedansi rangkaian (Ohm)Cos θ = faktor daya

cosatau cos 2ZiPViP

ZR

cos

• Rumus daya yang lain :

• Segitiga Daya :Daya dapat dibedakan menjadi :1. Daya aktif = P = kW2. Daya reaktif = Q =k VAR3. Daya semu = S = kVA

Hubungan ketiga jenis daya :

Q (KVAR) = S (KVA) sin θP (KW) = S (KVA) cos θ

S² = P² + Q²

Sekian