8 razred 7 - stefanovski - matematika

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 1/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 2/228

 Dragi u~eni~e!

Ova }e ti kwiga pomo}i da nau~i{ predvi|ene sadr`aje programa. Nau~i}e{ nove zanimqive sadr`aje o vektorima, translaciji i rotaciji. Ste}i }e{ va`na znawao stepenima, korenima i polinomima. Pro{iri}e{ znawa iz geometrije.

 Izra~unava}e{ povr{inu figura. Ste}i}e{ nova znawa o funkciji iproporcionalnosti.

 Kwiga je podeqena na pet tematske celine, a svaka od wih je podeqena na podteme.Tematske celine po~iwu sadr`ajem , a nastavne jedinice su numerisane.U svakoj nastavnoj jedinici ima oznaka u boji i preko wih su ispisane poruke,

aktivnosti, obaveze i druge preporuke, a to :

Nastavne jedinice po~iwu ne~im {to ti je ve} poznato.Podseti se i re{i zadate zahteve. To }e ti pomo}i kod

izu~avawa novog sadr`aja lekcije.

 A B Ovim oznakama je nastavna jedinica podeqena na delove(porcije), koje se odnose na nove pojmove.

1.

2.   Ovakvim oznakama su ozna~ene aktivnosti, pitawa i zadaci koje

}e{ samostalno re{avati ili uz pomo} nastavnika. U ovom delu

 u~i{ novinu u lekciji i zato treba da bude{ pa`qiv i aktivan dabi boqe razumeo i nau~io. Najbitnije je obojeno ̀ utom bojom.

Treba da zna{: Ono {to je najbitnije je izdvojeno u obliku pitawa,

zadataka ili tvr|ewa. To treba{ upamtiti i primeniti

 u zadacima i prakti~nim primerima.

Proveri!  Ovaj deo sadr`i pitawa i zadatke kojima mo`e{ da

proveri{ da li si razumeo ve}i deo onog {to se u~i, da bi

 mogao da primeni{ i koristi{ u svakodnevnom `ivotu.

ZadaciTreba da redovno i samostalno re{ava{ ove zadatke. Time

}e{ boqe nau~iti i oni }e ti koristiti.

Kada nai|e{ na pote{ko}e u izu~avawu matematike ne otkazuj se, poku{aj ponovo, a upornost donosi rezultat i zadovoqstvo.

Zadovoqstvo }e nam biti ako ovom kwigom vi{e zavoli{ matematiku i postigne{

veliki uspeh.  Autori

PROVERISVOJE ZNAWE

Na kraju svake teme ima{ test sastavqen od pitawa i

zadataka. Samostalno re{i test i time }e{

proveriti svoje znawe iz teme koja je u~ena.

Poku{aj...Potrudi se da re{ava{ zadatke i probleme u ovom delu (nije

obavezno). Time }e{ znati vi{e i bi}e{ bogatiji sa idejama.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 3/228

3Vektor. Operacije nad vektorima

TEMA 1. VEKTORI. TRANSLACIJA

VEKTORI I OPERACIJE SA VEKTORIMA

1. Usmerenost poluprava. Smer2. Vektori

3. Jednakost vektora4. Sabirawe vektora

5. Oduzimawe vektora 19

  TRANSLACIJA

6. Translacija7. Osobine translacije 24

 8. Primena translacije 27  Proveri svoje znawe 30  14 

11 7 4 22

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 4/228

4 Tema 1. Vektori. Translacija

Nacrtaj pravu a i na woj ozna~i ta~ku O.

Ta~ka O deli pravu a na dva dela ilidva skupa.

Kako se naziva deo prave koji sadr`ita~ku O i jedan od dva dela na kojima je razdvojena prava a sa ta~kom O ?

Na crte`u je nacrtana poluprava OMsa po~etnom ta~kom O i proizvoqnom

ta~kom M.

Nacrtaj poluprave AV i A, tako {tota~ke A, , i  ne le`e na istoj pravi.

Nacrtaj pravu a i na woj ozna~ita~ke M i ?

1. Na pravi  uo~i polupraveOA, O1A, O  i

Koja je poluprava podskup polupraveOA ?

Koja poluprava je podskup polupraveO

1 ?

Za poluprave OA i O1A ka`emo da su

isto usmerene. I poluprave O i O1  su

isto usmerene.

Za poluprave OA i O1 ka`emo da susuprotnog smera. I poluprave OA i Osu suprotnog smera.

Poluprave istog smera ozna~avamo

znakom  , a suprotno usmerene

znakom   Primer:    

Razgledaj crte`. Uo~i paralelne prave  i  i nawima ozna~ene poluprave OA, O

1V i O

1S.

Koje poluprave le`e na istoj poluravni sa grani~nompravom OO

1?

USMERENOST POLUPRAVA. SMER1 1 1 1 1 

VEKTORI. OPERACIJE NAD VEKTORIMA

 A 1.

V O  

A  p

Uo~io sam da:Sve ta~ke poluprave O1A

pripadaju polupravi OA, t.j.

Sve ta~ke poluprave OBpripadaju polupravi O

1, t.j.

   .

2.

O

M

Sa pravom  na crte`u ravan je

podeqena na dve poluravni, od kojih je jedna obojena.

Koje od ozna~enih ta~ki le`e na istojpoluravni ?

b

[ta je prava  za poluravan ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

b

a  

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 5/228

5Vektor. Operacije nad vektorima

Za dve poluprave ka`emo da su isto usmerene  (ili: imaju isti smer) ako le`e na jednoj pravi i jedna je podskup druge ili ako le`e na paralelnim pravama ipripadaju istoj poluravni sa grani~nom pravom kroz wihove po~etne ta~ke.

Za dve poluprave koje le`e na istoj pravi ili na paralelnim pravama i nisu istousmerene, ka`emo da su suprotno usmerene  (ili imaju suprotne  smerove).

Odredi kako su usmerene:

Va`i i uop{te

3.

a)

b)

v)   

g)  

a

bab

Ovo ti je poznato

Na crte`u su prikazani saobra}ajni znakovi koji ozna~avaju smer.

Nacrtaj polupravu OA i zatim:

Nacrtaj dve poluprave O1A

1  i O

2B

2  isto usmerene sa pravom OA.

Kako su usmerene poluprave O1A

1  i O

2

2?

Koliko poluprava u ravni mo`e da se konstrui{e isto usmerenih sa polupravomOA ?

a) poluprave OA i O1A,

b) poluprave OA i O1A

v) poluprave OV i O1A

g) poluprave OV i O1

  O1 i O

1 OV i O

1

Uo~io sam dapoluprave OA i O

1

le`e na istojpoluravni, a gra-ni~na poluprava jeOO

1.

Ka`emo da su isto usmerene  poluprave OA i O1

t.j

Poluprave OA i O1S ne le`e u istoj poluravni sa

grani~nom polupravom OO1 i za wih ka`emo da su

suprotno usmerene, t.j. OA  

Objasni {ta koji znak pokazuje.

Re~ smer ~esto upotrebqavamo na primer: ,, vetar duva u severnom smeru,, avion leti usmeru Skopqe-Ohrid itd.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 6/228

6 Tema 1. Vektori. Translacija

Smer predstavqamo jednom polupravom A iz skupa istousmerenih poluprava i ka`emo, poluprava A ima smer .

Date su poluprave OA, O1A

1  i O

2A

2, tako {to

 . polupravomOA je opredeqen smer , a polupravom O

2A

2

smer

[ta je ta~no:

Da objasni{ koje dve polupraveimaju isti smer, odnosno

suprotni smer.

Da objasni{ {ta je smer i ~imese smer predstavqa.

Na crte`u su prave  i paralelne.

Koje poluprave OA, O1S

i O1 :

Su istog smera,

Suprotnog smera

Odre|uju isti smer ?

Kakvu figuru mo`e da napravipresek:

dve poluprave istog smera kojele`e na jednoj pravi,

  dve poluprave suprotnog smerakoje le‘e na jednoj pravi?

1.

Na pravi a su date poluprave OA,

O1A i O2A, tako {to su

poluprave OA i O2A?

5.

Zadaci

Kakvu figuru mo`e da napravi unija:

dve poluprave istog smera kojele‘e na jednoj pravi,

dve poluprave suprotnog smera

koje le`e na jednoj pravi?

Nacrtaj pravougaonik  i neka Obude ta~ka preseka wegovihdijagonala. Koje poluprave : 

 i  su :

istog smera,

suprotnog smera?

2.

A O a

b

Proveri!

Zakqu~io sam da u ravni postoje beskona~no mnogo poluprava koje suisto usmerene sa datom polupravom OA

Skup   jedne poluprave i sve isto usmerene poluprave na woj u ravni se naziva smer.

A. Kako su usmerene

Treba da zna{:

a)

b)

a)

b)

a)

b)

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 7/228

7Vektor. Operacije nad vektorima

Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se

naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa  

Ta~ka A se zove po~etak, a ta~ka  kraj usmerene du`i  

Na crte`u, poluprave  le`e naparalelnim pravama  a b i c.

Kako su usmerene poluprave i 

2.

Uporedi du`ine du`i i  i 

Uo~i usmerene du`i   i potrudi se da shvati{

Usmerena du`   na crte`u se predstavqa strelicom odpo~etne ta~ke A prema krajwoj ta~ki .

o kojima dvema usmerenim du`ima se ka`e da su jednake.

c

b

a

Neka su A i  krajwe ta~kedu`i a.

[ta je ta~no:

 A 1.

Uo~io sam da je:

a)   ;

b)  i   je ista du`

v) ;

g) ?

Ta~no pod a),b) i v) ,

a

Neta~no pod g), jer kod pore|anih parova va`i:

   kada   .

Krajwe ta~ke usmerene du‘i   predstavqaju pore|ani par

VEKTORI 2 2 2 2 2

Zapisom ( ) ozna~ujemo pore|ani

par.

U pore|anom paru se ta~no zna koji jeprvi, a koji drugi elemenat.

Za pore|ani par ta~aka, (A), ta~kaA je prva komponenta, a ta~ka druga komponenta.

Neka pore|ani par (5,8) ozna~avapeti red i osmo sedi{te ubioskopskoj Sali. Da li pore|ani par(8,5) ozna~ava isto sedi{te ?

Podseti se! 

Uo~io sam da su poluprave   i E isto usmerene

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 8/228

8 Tema 1. Vektori. Translacija

Usmerene du`i  su jednake, ako imaju jednaku du`inu i

  i  Zapisujemo   .

Neka se ta~ka O pomeri za 4

 jedinice udesno po pravi gde

 je 

U koju ta~ku }e se pomeriti, t.j. preslikati ta~ka O na pravi

3.

Ta~ke O i  su krajwe ta~ke na

usmerenoj du`i Onepredstavqaju pore|ani par (O,).

Ta~ka O je po~etna, a ta~ka krajwa u ovom pomerawu.[ta predstavqaju ta~ke O i ?

Ovo pomerawe ta~ke u ravni je izvr{eno u odre|enomsmeru i na odre|eno rastojawe. Na crte`u ga

predstavqamo kao usmerenu du`

Uo~io sam da }e se ta~ka O pomeriti (preslikati) u ta~ku .

B

 p

Smer koji Aopredequje polupravu A se zove smer usmerene du‘i  

Prema tome, usmerene du`i   su isto usmerene.

Du`ina du‘i A  se zove du‘ina  (intenzitet) usmerene du`i

  ozna~ava se sa  Prema tome

Usmerena du`, ~iji se po~etak podudara sa krajem se zove nultausmerena du‘. Ona nema odre|eni smer, a wena du`ina je nula

Neka je predstavqena jedna usmerena du`  Koliko usmerenih du`i jednakih   postoje?

Mogu da nacrtam mnogo usmerenih du`i jednakih na

  , a ima beskona~no mnogo koje su jednake woj.

Skup od jedne usmerene du`i i sve usmerene du`i jednake woj se naziva vektor.

Skup svih nulti usmerenih du`i se zove nulti vektor.

Uo~i i upamti! 

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 9/228

9Vektor. Operacije nad vektorima

Ozna~i ~etiri ta~ke A,  i . Predstavi vektore:4.

To {to si nau~io o usmerenim du`ima, mo`e da se iska`e i o vektorima.

Neka je dat vektor sa usmerenom du‘i  

Du`ina usmerene du`i   se zove du`ina (ili intenzitet) vektora i ozna~ava se

Nacrtaj dva vektora   i  tako da su oni:a) isto usmereni, b) suprotno usmereni.

5.

Vektori   i  u zahtevima a)i b) mo`e{ da predstavi{ kao nacrte`u.

Primetio sam da: smer vektora se odre|uje na isti na~in kao i kod usmerenihdu`i, jer se vektor predstavqa kao usmerena du`.

Nacrtaj vektor  i ozna~i ta~ke  i M (kao na crte`u).6.

Nacrtaj vektor  tako {to 

Nacrtaj vektor tako {to    

ili

    b)a)

a

Smer usmerene du`i   predstavqa smer

vektora

Na crte`u }emo vektor predstavqati sa jednom usmerenomdu`i, t.j. jednim predstavnikom iz skupa jednako usmerenihdu`i.Prema tome, usmerena du`  }e predstavqati vektor.

Ovo je va`no ! 

b

a

c

Vektor }emo ozna~avati sa   ili malim slovom i strelicom

iznad wega. Na crte`u su dati vektori

Uo~i i upamti! 

Za vektore koji imaju isti smer ili suprotan smer, ka`emo da su kolinearni.

t.j. vektori   i  su kolinearni, ako   ili 

Za kolinearne vektore ka`emo da imaju isti pravac.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 10/228

10 Tema 1. Vektori. Translacija

Nacrtaj dva kolinearna vektora tako da le`e:

Da objasni{ {ta je usmerena du` i {ta je vektor,

Da odredi{ (i objasni{ ) vektore:istog smera, suprotnih smerova ikolinearne vektore.

Treba da zna{:

Na crte`u prava   je paralelna sa pravom . Koji su vektori predstavqeni na crte`u?

Kakav smer imaju vektori

Da li su vektori  kolinearni ? Za{to ?

Da li su vektori  kolinearni ? Za{to ?

Zapi{i vektore koji su opredeqenipore|anim parovima ta~aka : (A,),() i (E,).

1.

Zadaci

Poznato je da su vektori   i kolinearni . Da li su kolinearnivektori:

2.

  i ;   i ?

Na crte`u su dati vektori ukvadratnoj mre`i. Kako su usmerenivektori?

3.

d 

 i ; b)  i ; v)  i ;

g)  i ; d)  i ; |)  i  ?

c q

b

a  p

na paralelnim pravama i 

7.

na paralelnim pravama i 

na istoj pravi i  na istoj pravi i

Nulta usmerena du` predstavqa nulti vektor koji se ozna~ava sa

Nulti vektor smatramo za kolinearan sa svakim drugim vektorom i du`inom jednakojnuli.

Proveri!

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 11/228

11Vektor. Operacije nad vektorima

U paralelogramu  ozna~en

su vektori   a b A 1.

Uo~io sam da:

Uporedi du‘ine i odredi

smer vektora odnosno vektore

Vektori  a  i  imaju istismer i jednake du‘ine.

Dva vektora a  i  su jednaka ako imaju isti smer i jednake du`ine, t.j.

Dva vektora c i d   su suprotni ako imaju suprotne smerove i jednake du`ine.

Za vektora d   se ka`e da je suprotan vektoru  c.

  c  d 

Vektori  c  i d   imaju suprotnesmerove i jednake du`ine.

Suprotan vektor c  ozna~ava se -c, t.j. d  = -c.

a

b

cd Na pravougaoniku   predstavqeni

su vektoriwihove du‘ine i odredi wihov smer.

Suprotne strane svakog parale-lograma su paralelne i jednake.

b

a

JEDNAKOST VEKTORA3

Za koja dva vektora  i ika‘emo da imaju isti smer?

[ta predstavqa du‘ina vektora

  ?

Nacrtaj vektor  jednak zadanog vektora a  .2.

Kroz ta~ku M }u povu}ipolupravu M istog smera sapolupravom A . Napolupravi M  odredi}u

ta~ku  tako {to

Prvo }e{ nacrtati vektor  iozna~i}e{ proizvoqnu ta~ku M.

Kako }e{ odrediti ta~ku   za

vektor 

a = b   ako 1.a  b  i 2.  a  =  b .

Podseti se! 

  Uporedi

Uo~i i upamti! 

b

b

a i b

  c  i d 

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 12/228

12 Tema 1. Vektori. Translacija

Nacrtaj vektor  ako je dat wegov smer S i du`ina3.

Uo~i postupak i uporedi svoje re{ewe.

Na crte`u je dat smer S sa polupravom

 A i du`inom r  = vektora a.

r 

Od proizvoqne ta~ke M konstrui{emopolupravu M  isto usmerenu sa A.

Na polupravoj MD odre|ujemo ta~ku , tako {to

Time je opredeqen vektor   

Dat je vektor     i ta~ka M. Nacrtaj vektor4.

Prema crte`u, odredi koji od vektora su jednaki,odnosno suprotni:

5.

a) a  i b ; g) e  i r ;

b) a  i c ; d) g   i h ;

v) b  i c; |) c  i n :

B 6.

Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

Dat je vektor   i ta~ka O. konstrui{i vektor  jednak vektoru

Na koji na~in si konstruisao prvo polupravu O?

Kako si odredio ta~ku  na vektoru

Uo~i i upamti! 

Ako je u ravni dat vektor    i proizvoqna ta~ka O, tada postoji jedinstveni vektor sa po~etkom u ta~ki O koji je jednak vektoru

Konstruisawe vektora  jednak vektoru   zovemo preno{ewe vektora

   u ta~ki O.

a

a

 a

a

a b

c

e r  n

 g  h

Uo~i da za dati vektor mo`e{ da nacrta{ bezbroj jednakih vektora na wemu.

Jedan vektor    je opredeqen ako je dat wegov smer S i du`ina    r  ili ako jedat pore|ani par ta~aka (A,)- wegov po~etak A i kraj .

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 13/228

13Vektor. Operacije nad vektorima

Izaberi ~etiri ta~ke O,A, i . U ta~ki O prenesi vektore   i 7.

Dati su vektori U krajwu ta~ku vektora prenesi vektor8.

Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

Da objasni{ koja su dva vektora jednaka, odnosno suprotna;

Da prenese{ dati vektor u datu ta~ku ida datom vektoru nadove`e{ drugi

dati vektor.

Na vektor nadove`i vektor

Obrazlo`ipostupak.

Nacrtaj dva kolinearna vektora 

i na vektor nadove`i vektor1.

Date su dve proizvoqne ta~ke A i   .

Da li vektor  je suprotan vektoru

  Obrazlo`i!

Zadaci

4.

Nacrtaj dva suprotna vektora a  i  b

i vektor a  nadove`i vektor b

Da li su jednaki vektori kolinearni?Obrazlo`i!

5. Izaberi dva vektora 

Na vektor a  nadove`i vektor b 

2.

3.

Prvo konstrui{i polupravu  sa smerom

Kako si odredio ta~ku  za vektor da je jednak

Uo~i i upamti! 

Za vektor i preneseni vektor ka`emo da su nadovezani.

Dva vektora su nadovezana  ako se kraj jednog vektora podudara sa po~etkom drugogvektora.

6. Dati su vektori i ta~ka O .

Prenesi sva tri vektora u ta~ku O.

ba 

b

b

a

Proveri! 

Treba da zna{:

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 14/228

14 Tema 1. Vektori. Translacija

Konstrui{i vektor

Uporedi svoje re{ewe sa datim i obrazlo`ipostupak.

Kako si preneo vektor i vektorb  ?

Kako si odredio vektor

Koja je po~etna, a koja krajwa ta~ka vektora

[ta predstavqa ta~ka O za vektor i ta~ka  za vektor

Uo~i i zapamti da ovako konstruisan vektor se zove zbir vektora

Zbir dva nadovezana vektora predstavqaju vektor ~iji se po~etakpodudara sa po~etkom vektora a a kraj se podudara sa krajem vektora tj. ako

onda

Ovo je va`no pravilo za sabirawe vektora! 

Uo~i i zakqu~i ! 

Vektor

  c

Zbir dva vektora je jednozna~no odre|en i ne zavisi od izbora po~etne ta~ke O.

Nacrtaj dva nekolinearni vektori a  i b i konstrui{i wihov zbir.2.

Izaberi drugu ta~ku  razli~itu od O i prenesi vektor [ta

predstavqa vektor za vektore Uporedi vektore i 

b

a

c

b

a

Obrazlo`i postupak za preno{ewe

datog vektora u datu ta~ku O.

SABIRAWE VEKTORA44444

Podseti se! 

Na vektor nadove`i vektorObrazlo`i postupak!

Dati su vektori a b i ta~kaO u ravni.

Prenesi vektore

 a  i b  tako{to  a  i

  b.

 A 1.

b

a

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 15/228

15Vektor. Operacija nad vektorima

Kako je lak{e izvr{iti

sabirawe vektora  jerwihov zbir ne zavisi od izborapo~etne ta~ke O?

Prene}u samo vektor

odnosno na vektor

nadoveza}u vektor  a zatim }u

odrediti wihov zbir.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

Imenuj date vektore sa wihovim po~etnim ikrajwim ta~kama.

b

a

  c   

  a       b

b

Kako je konstruisan vektor

[ta predstavqa vektor za vektore

Uo~i da odre|ivawe zbira dva vektora se svodi na konstrukcijutrougla AVS. Zato ka`emo, zbir dva vektora je odre|en po pravilutrougla.

Dati su vektori Konstrui{i zbir:3.a  + b ; b  + c .

Dati su kolinearni vektori

Konstrui{i zbir

4.

Razgledaj re{ewe pod a)   a ;  b i   a + b .

Uo~i kako je primeweno pravilo za sabirawe vektora. Obrazlo`i postupak.

Odredi zbir nultog vektora i vektorB 5.

Uo~i da za zbir vektora po pravilu za sabirawe vektora va`i:

Isto tako:

ac

b

ab

  b

a

c

Va`i i op{te

Za svaki vektor a su ta~ne jedna~ine

Dati su vektori Konstrui{i vektor6.a

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 16/228

16 Tema 1. Vektori. Translacija

Biramo ta~ku A. Vektor prenosimo sa

po~etkom u ta~ki A i na wega nadovezujemovektor tj

dobijamo

Konstrui{emo paralelogram A, tj.odre|ujemo teme .

Po{to su u paralelogramu suprotne stane paralelne i jednake, dobijamo:

Onda:   b  a , pa: a  b  b  a 

Va`i i op{te

Za koja bilo dva vektora   je ta~na jedna~ina

Prema crte`u, mo`e{li da uo~i{ drugina~in za sabirawe

vektora i 

Vektore a  i b  prene}u u zajedni~ki

po~etak (  a  i   b ), a zatim

konstruisati paralelogram A.Vektor koji opredequje dijagonalu

    je zbir a  + b .

Ovo pravilo za sabirawe vektora se naziva pravilo paralelograma.

b

a

 a + 

  b  b + 

 ab

a

b

a

Nacrtaj dva suprotna vektora a zatim odredi wihov zbir.7.

Ako a    i - a  , onda po pravilu za sabirawe vektora sledi:

a + (- a ) =  . Isto tako: (- a  a 

Va`i i op{te

Za svaki vektor a su ta~ne jedna~ine 

Neka su data dva nekolinearna vektora Konstrui{i zbirove

. Uporedi vektore a  + b  i b  + a .

8.

Uporedi svoje re{ewe sa datim i uo~i postupak.

           t.j.

sabirawe vektora ima komutativno svojstvo.

  a

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 17/228

17Vektor. Operacija nad vektorima

Nacrtaj tri nekolinearna vektora  a zatim konstrui{i wihov zbir.

Nacrtaj dva nekolinearna vektora ikonstrui{i wihov zbir po pravilu paralelograma.

9.

Uporedi svoje re{ewe sa datim na crte`u i obrazlo`ipostupak.

Dat je ~etvorougaonik A. Neka

c  i   d .

10.

Od   mo`e{ da uo~i{ da:   , t.j.

( a + b ) + c = d .

Od   sledi:   , t.j. a + ( b + c ) = d .

Prema tome: ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

a

b

c

d 

 a  +  b

b      +    c    

Poku{aj da poka`e{ da

Uo~i na crte`u da su vektori nadovezani.

a

ba +  b 

b

a

Uo~i i upamti

Zbir tri ili vi{e nadovezanih vektora je vektor ~iji se po~etak podudara sa po~etkomprvog vektora, a wegov kraj se podudara sa krajem posledweg nadovezanog vektora.

Na crte`u je konstruisan zbir vektora

Va`i i op{te

Za svaka tri vektora   je ta~na jedna~ina

t.j. za sabirawe vektora va`i asocijativno svojstvo. Zbog toga, zbir triju vektora

mo`e da se zapi{e i bez zagrada

a

b

d  c d  c

b

ae

    a + b ) + c = a + ( b + c ).

, t.j.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 18/228

18 Tema 1. Vektori. Translacija

Dat je ~etvorougao A i  vektora

  a  b  c  i  d   Po

crte`u odredi zbir:

3.

a) a  + b ; v) a  + b  + c ;

b) d   + a ; g) a  + b  + c  + d  .

4. Nacrtaj tri kolinearna vektora

tako {to vektor  ima suprotni

smer od vektora Konstrui{izbirove:

a) a  + b ; b) a  + c ;

v) b  + c ; g) a  + b  + c .

Dati su vektori (kao na crte`u)

   a , b i .

1.

Zadaci

Konstrui{i ih sa po~etkom u datoj ta~kiM, vektore:

a) - a ; b) - b ; v) a + b ;

g) a + ; d) - b + ; |) a + (-a ).

a) a  + b  = c ; b) a  + b  = - c ;

v) a + c = a ; g) a  + b  + c  =  ?

Dat je trougao A  i

vektorite  a , b i c.

Koje su jedna~ine ta~ne?

2.

Da konstrui{e{ zbir dva vektora popravilu trougla i paralelograma;

Da iska`e{ i primeni{ svojstva

sabirawa vektora.

Nacrtaj dva vektora  tako {to

Treba da zna{:

dati vektor predstavqawihov zbir. c

Proveri se!

a

bc

a

b

c

d 

a

b

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 19/228

19Vektor. Operacija nad vektorima

ODUZIMAWE VEKTORA5 5 5 5 5 

Dati su vektori

   a  i  = b .

Konstrui{i vektor

tako {tob +  x = a .

 A 1.

Uo~io sam da vektor  treba da bude nadovezan na vektor  a kraj da mu se

podudara sa krajem vektora tj

Razgledaj re{ewe (nacrte`u) i obrazlo`i.Koja je po~etna, a kojakrajwa ta~ka vektora

  x ?

Ovako konstruisani vektor  se zove razlika vektora ozna~ava se sa

  tj 

Razlika vektora a  i b  pretstavqa vektor  x , takav {to b  + x = a ,

t.j. ako b + x = a , tada  x = a - b .

b

a  

b

a  

 x

Dati su vektori a  i b .2.

Konstrui{i vektor c = a - b .b

a

Razgledaj re{ewe i uo~i postupak.

Da bi konstruisao razliku a - b  treba prethodno da

vektore a i b  dovede{ u proizvoqnu zajedni~ku ta~ku,

ali je prakti~nije da jedan vektor prenese{ u po~etakdrugog vektora.

Ako  a  i   b, tada vektor a - b  go konstrui{e prema zakqu~ku:

a - b .

c    =    a     -   b    

  a  

b

Dati su vektori

Podseti se! 

Nacrtaj vektor  tako {to

a

b

Uo~i i upamti! 

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 20/228

20 Tema 1. Vektori. Translacija

Koje su ti veli~ine

poznate kao vektorskeveli~ine?

Takve veli~ine su: brzina, snaga,ubrzawe i dr.

Voda jedne reke te~e brzinom od 4 m u sekundi. Jedan ~amac polazi sa jedne obale,normalnoj drugoj obali, sopstvenom brzinom 3 m u sekundi.

7.

Odredi u kom smeru }e se kretati ~amac i kojom brzinom.

Prirodno je da veli~ine koje imaju karakteristike, osim brojevne vrednosti, jo{ isvoj smer da ih zovemo vektorske veli~ine.

Dati su kolinearni vektori a , b i c.Konstrui{i vektor:

a) m = a - b ; b) n = b - c.

3.

Nacrtaj dva vektora a  i b  tako {to a  = 5  a b   3  i konstrui{i vektor

c = a - b .

4.

Prema crte`u koja od slede}ih jedna~ina ta~na:

a) b  + a  = c ; b) c  - b  = a ;

v) c  = a  - b ; g) c  - a  = b

5.

Uo~i re{ewe i obrazlo`i. Po crte`u:

a) a ; b ;   m  a - b ;b) c ; b ; n  b - c .

B Upoznao si se sa vektorima, wihovim svojstvima i operacijama nad wima. Udaqem u~ewu matematike, fizike i drugih nauka uvide}e{ wihovu velikuprimenu.

Ako zapi{e{ da je du`ina u~ionice 10 m ili je danas temperatura +120S, tada je ovimpodacima potpuno odre|ena du`ina u~ionice i temperatura. Veli~ine kao {to su naprimer du`ina, povr{ina, volumen, masa, temperatura i dr., celosno su brojevimaodre|ene. Takve veli~ine se nazivaju skalarne veli~ine ili skalari

b

c

n

b m

a

a

b

c

Da li je dovoqan podatak ako ka`emo da vetar ima brzinu 20 km na ~as?6.

Nije dovoqan podatak. Karakteristika vetra je da on ima svoj smer koji mo`eda bude severan, ju`an, isto~ni i dr.

b a

c

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 21/228

21Vektor. Operacija nad vektorima

Razmisli o re{ewu, a zatim sagledaj slede}ipostupak.

Sa vektorom v (v

 = ) je pretdstavqena sop-

stvenata brzina ~amca u mirnoj vodi.

Vektorom v

 (v

 = ) je pretstavqena brzina

na reke.

Smer vektora v  je smer kretawa ~amca, a du`ina

vektora v  predstavqa koliko metara u sekundi

se kre}e ~amac.

Izmeri koliko metara u sekundi se kre}e ~amac.

Da iska‘e{ definiciju i na~inoduzimawa dvaju vektora;

Da konstrui{e{ razliku dva vektora;Nacrtaj vektor a , a zatim predstavi gkao razliku dva vektora.

Treba da zna{:

Da objasni{ koji su skalari, a kojevektorske veli~ine. Nacrtaj dva kolinearna vektora, a

zatim odredi wihovu razliku.

Vektor v = v  v  pretstavqa brzinu kretawa~amca.

1.

Zadaci

Konstrui{i razliku:

a) a  - b ; b) a  - ;

v)   - a ; g) ( a + b ) - .

Dati su vektorite   a , b i

.

2.

Konstrui{i razliku:

a) a  - b ; b) b  - c ;

v) a  - c ; g) ( a  - b ) - c .

ba

b

c

a

v

reka

v

   v =    v  

 +    v  

v

v

Dati su vektori   = a;  = b i

 = c .

Proveri se!

Dati su vektori a , b i c  tako

{ta a  i b  su kolinearni vektori.

3.

Konstrui{i vektora

a

b

c

Preko vektora a  i b  izrazi vektor

a) ; b) .

Nacrtaj pravougaonik    i stavi

  a , b.

4.

  ( a + b ) - c.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 22/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 23/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 24/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 25/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 26/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 27/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 28/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 29/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 30/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 31/228

31Stepen sa pokazateqem prirodni broj

TEMA 2. STEPENI. KVADRATNI KOREN

  STEPEN GDE JE POKAZATEQ

PRIRODNI BROJ

1. Stepen 32

2. Pretstavqawe broja u obliku stepena.

  Izra~unavawe brojnog izraza 35

  OPERACIJE SA STEPENIMA

3. Mno`ewe i deqewe stepena

  jednakih osnova 39

4. Stepenovawe stepena, proizvod

  i koli~nik 42

Sre}an

22 + 3  4-   ti

ro|endan

  KVADRAT I KVADRATNI KORENRACIONALNOG BROJA

5. Kvadrat broja. Kvadratni koren 45

6. Izra~unavawe kvadratnog koren -

  na nije obavezno

REALNI BROJEVI

7. Iracionalni brojevi 52

8. Skupovi realnih brojeva 54

  Proveri svoje znaewe 56

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 32/228

32 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Zbir istih sabiraka se kra}e zapisuje

kao proizvod.3 + 3 + 3 + 3 = 4  3

Zapi{i slede}e zbirove kaoproizvode:

 36 + 36 =

120 + 120 + 120 + 120=

Jedan obojeni kru`i} nekapredstavqa amebu.

STEPEN1 1 1 1 1 

STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ

 A

1.

Ameba je jedno}elijski

`ivi organizam. Ona serazmno‘ava prostomdeobom. Svaka ameba sedeli na dve nove amebe.

Zna~i, stepen 24  je kratakzapis proizvoda od 4mno`ioca, jednakih na broj 2.

Proizvod istih mno`ioca zapisuje se

kra}e kao stepen.6  6  6 = 63

Zapi{i slede}e proizvode kaostepene:

2 2  2  2 =

18 18 =

Uo~i broj ameba koje se dobijajurazmno`avawem jedne amebe.

Proizvod 2 2  2  2 kratak zapis 24 (se ~ita

"dva na ~etvrti#), a negova brojevna vrednost je

16.

Zapi{i ~etvrtu deobu amebe kao proizvod jednakih mno`ioca.

Prva deoba

Druga deoba

Tre}a deoba

2 = 2

2  2 = 22 = 4

2  2  2= 23 = 8

Zapi{i kao stepen ~etvrtu deobu amebe.

Koliki je broj ameba, posle ~etvrte deobe?

an

Stepen

Eksponent,

stepenov

pokazateq

Osnovastepena

Zapi{i kao stepen proizvod:

  (- 3,2)  (- 3,2)  (- 3,2);2. Pro~itaj stepen: 712.

Proizvodot od n  jednakih mno`ioca jed-

nakih broja a se ozna~ava sa an i zove se

stepen na a, t.j.

Po dogovoru: a1 = a.

Podseti se! 

Uop{te

^ita se: a na enti.

 a  a  a 

 a = a

n

n-puta 

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 33/228

33Stepen sa pokazateqem prirodni broj

Stepen 34  zapi{i kao proizvod i izra~unaj wegovu vrednost.

Uo~i primere gde je izvr{eno stepenovawe.

B

3.

Operacija kojom se izra~unava brojna vrednost stepena nekog broja senaziva stepenovawe.

Koristi asocijativno svojstvo{to ti je najpogodnije.

34 = 3  3  3  3 = (3  3)  (3  3) = 9  9 = 81

ili 3  (3  3  3)= 3  27 = 81

(- 4)2 = (- 4)  (- 4) = 16

(- 4)3 = (- 4)  (- 4)  (- 4) = 16  (- 4) = - 64

17 = 1  1  1  1  1  1  1 = 1

(- 1)3 = (- 1)  (- 1)  (- 1) = - 1

(- 1)6 = (- 1)  (- 1)  (- 1)  (- 1)  (- 1)  (- 1) = 1

06 = 0  0  0  0  0  0 = 0

Uo~i znak osnove i znakvrednosti stepena, a naro~itoda li je eksponent parni ilineparni broj.

Kolika je vrednost stepena saosnovicom 1, a koliko stepenasa osnovicom (-1)?

Da li vrednost stepena saosnovicom 0, zavisi odeksponenta?

Izra~unaj vrednost svakog stepena:

(1,2) 3 = ; (- 5) 4 = ; (- 3) 3 = ; = ; 0 = ; 16 = ; 71 = .

Slede}a tabela }e ti pomo}i da proceni{ kakav broj je vrednost stepena u zavisnostiod osnove stepena i eksponenta stepena.

Osnovica stepena Eksponent Vrednost stepena

Pozitivni broj

10

Negativni broj

Koji bilo broj

Koji biloprirodni broj

  Pozitivni broj

10

Parni brojNeparni broj

  Pozitivni broj  Negativni broj

1   Sam taj broj

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 34/228

34 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

[ta je stepen, osnovu (osnovicu) stepena ieksponent (stepenov pokazateq);

Da odredi{ brojnu vrednost stepena;

Odredi {ta je ta~no za stepen a.a) a je eksponent, a n je osnova stepena;b) n pokazuje koliko je puta broj a uzetkao mno`ilac;v) vrednost a  je pozitivni broj ako a<0i n je neparni broj.

Tvr|ewe koje za a nije ta~no ispravi izapi{i.

Treba da zna{:

Koriste}i pravila iz tabele, odredi kakav broj }e biti vrednost svakog stepena:

63; (- 6)3; ; 61; (- 0,23)1; 260; 1103; 020.

4.

5. Uo~i brojnu vrednost stepena (-2)3, izra~unatu digitronom:

Izra~unaj kalkulatorom:

3 3 = ; 0,5 10 = ; (- 1,2) 4 = ; (-136) = ; 152 = .

Da odredi{ brojnu vrednost stepena;

Poku{aj da odgovori{:

Izraz -4 6 nije stepen, a izraz (-4)6  jestepen. Za{to?

Zapi{i svaki izraz kao

proizvod. Uo~i razlikume|u zapisima.

Problem sa algama

U jednoj ~a{i stoje alge. Alge su takve{to se za jedan dan wihov broj mo‘euve}ati za dvaput.

Potrebno je bilo da se za 10 dana ~a{anapuni algama.

Za koliko dana je ~a{a bila napuwenaalgama do pola?Obrazlo`i svoj odgovor.

-2  y x 3 = -8 Ako kalkulator ima ili

  na tastaturi.

 y x  x y

-2   = 4 Ako kalkulator nema ili

  na tastaturi.

 y x  x y= -8

Proveri!

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 35/228

35Stepen sa pokazateqem prirodni broj

Odredi osnovicu i eksponent svakogstepena:

1.

Zadaci

 pm - x   p -  p

Zapi{i kao stepen proizvode:2.

(- 2,5)  (- 2,5) = ;

  x  x  x  x  x  x = ;

(a + b)  (a + b)  (a + b) = ;

6  6  6  6  6 = ;

 ( x + 6)  ( x + 6) = .

Zapi{i kao stepen proizvode:3.

64 = ;

 = ;

4.

(- 2)5 = ;

Proizvod 10.10.10, zapisan kaostepen je 103.

Odredi osnovicu i eksponentastepena 103.

PRETSTAVQAWE BROJA U OBLIKU STEPENA.

IZRA^UNAVAWE BROJNE VREDNOSTI IZRAZA 2 2 2 2 2

Podseti se! 

Zapi{i stepen 106  kao proizvod jednakih dvocifrenih mno`ioca.

 A 1. U tabeli su neke dekadne jedinice zapisane kao proizvod

Uporedi : broj nula u svakoj dekadnoj jedinici, broj mno`ioca u proizvodu ieksponenta u zapisu kao stepen.

Uo~io sam da je broj nula udekadnoj jedinici jednakpokazatequ u wegovom zapisuu obliku stepena sa osnovicom10.

(- x + 3)3= ;

(- 2)4 = ;

 = ;  (m3)4 = .

Izra~unaj vrednost svakog stepena

  (- 0,6 )7 = ;

= ;

Proveri svoj rezultatkalkulatorom.

istih mno`ioca i kao stepeni saosnovicom 10.

Dekadna jedinica

Proizvod Stepen

  (- 5)2 = ;

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 36/228

36 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Zapi{i kao proizvod stepene 109,10 11,10 10

.

3.

Brzina svetlosti je 300 000 kilometara u sekundi. Zapi{i brzinu svetlosti kaoproizvod broja i stepena sa osnovicom 10.

Brojevi koji mogu da se zapi{u kao proizvod broja i dekadne jedinice, moguda se zapi{u i kao proizvod broja i stepena sa osnovicom 10.

Na primer: 265.000 000= 265.1 000 000= 265.106.

4.

Masa Sunca je oko deset miliona puta ve}a od mase Meseca. Zapi{i masu Sunca uobliku stepena.

Zapi{i dekadnu jedinicu koja je jednaka stepenu 107.

Put koji prolazi svetlost u toku jedne godine se zove svetlosna godina. Kolikokilometara ima jedna svetlosna godina?

1 godina = 365 dana; 1 dan = 24 ~asa;

1 ~as = 60 minuta; 1 minuta =60 sekundi;

Podseti se! 

1 svetlosnagodina

Zapi{i svetlosnu godinu kao proizvod

dva broja od kojih je jedan stepen saosnovicom 10 i pokazateqem 8.

Do sada si sagledao da veliki brojevi mogu da se zapi{u kao proizvod dvabroja, od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10.Na sli~an na~in, mali brojevi mogu da se zapi{u kao stepen sa osnovicom0,1 ili proizvod broja i stepena sa osnovicom 0,1.

B U tabeli uo~i decimalnebrojeve koji su zapisani kaoproizvod jednakih mno‘ioca ikao stepeni sa osnovicom 0,1

5.

Masa Meseca je oko kilograma.

Ja imam 107  putave}u masu

Broj Zapis kao proizvod Stepen  

Zapi{i oblik stepena brojeva koji se sre}u u svakoj re~enici:2.

= 300 000  365  24  60  60 =

Masa Neptuna je oko

nuli

 kilograma.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 37/228

37Stepen sa pokazateqem prirodni broj

Svaki decimalni broj mo‘e da se napi{e kao proizvod dva mno‘iocatako {to je jedan stepen od o,1.

Zapi{i kao stepen sa osnovom 0,1 brojeve:0,0000000001 i 0,0000001.6.

Uporedi broj decimalnih mesta poslezapete u broju, sa eksponentom u zapisubroja kao stepen.

Uo~io sam da eksponent uzapisu kao stepen je jednakbroju decimalnih mestaposle zapete u broju.

Stepen sa osnovom 0,1 zapi{i kao decimalni broj.=

Napi{i slede}e brojeve kao proizvod celog broja i stepena sa osnovicom 0,1:

7. Uo~i primer: 0,007 = 7  0,001 = 7  (0,1  0,1  0,1) = 7 0,13

0,3 = ; 0,0008 = ; 0,000362 = ; 1,05 = .

Potseti se! 

Izra~unaj

V Operacije stepenovawe je operacija tre}eg reda.

8. Uo~i preme{tawe brojevne

vrednosti izraza

(816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8)  2.

21

3

Ja sam tre}ired, ali naprvom mestu

Ali prvou zagradi.

Red operacijaBrojni izraz

(816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8)  2

Zagrade 810 : (-3)4 - (63 : 8)  2 =

Tre}i red = 810 : 81 - (216 : 8)  2 =

Drugi red = 10 - 27  2 =

Prvi red = 10 - 54 =

Rezultat - 44

Ta~ke idu

pre crtice.

an

+ -

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 38/228

38

Da napi{e{ velike i male brojeve uvidu stepena;

Da primeni{ redosled operacija pri-likom izra~unavawa brojevne vred-nosti izraza.

Povr{inu Zemqe, koja iznosi oko 510000 000 km2, napi{i kao proizvod dvamno`ioca od kojih je jedan stepen sa

osnovicom 10.Napi{i redosled kojim se vr{e oper-acije sabirawe, oduzimawe, mno`ewe,deqewe i stepenovawe u brojnomizrazu.

Napi{i brojeve koji se nalaze u svakojre~enici ,kao proizvod dva mno`ioca,

tako da je jedan stepen broja 10 (iliobratno): 

1.

Zadaci

Uo~i brojevnu vrednost izraza6:3+3.32. gde treba da se napi{u za-grade tako da bude ta~na wegova bro- jevna vrednost?

4.

Izra~unaj:2.

Odredi brojevnu vrednost izraza: 3.

Masa Jupitera je oko

Mars ima masu oko 6,4  1020 tonaU ~ovekovom telu ima oko  0,1  1015

}elija.

435  104 = ; 26783  102 = ;

6,9  102 = ; 0,45  103 = ;

15  0,13 = ; 0,392  0,12 = .

6 : 3 + 3  32

 = 45;6 : 3 + 3  32 = 9;

6 : 3 + 3  32 = 29.

Odredi brojevnu vrednost izraza:

a) 620 + 3  52 - 147 : (- 7)2  = ; b)

Kod obra~unavawa brojne vrednosti izraza, operacija stepenovawa se vr{i preoperacije drugog reda (mno`ewe i deqewe), a na kraju su operacije prvog reda(sabirawe i oduzimawe). Naravno, treba se obratiti pa`wa na zagrade.

Proveri!Treba da zna{:

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 39/228

39

 Stepen  a n u oblikuproizvoda se pi{e 

Predstavi kaoproizvod jednakvemno`iteqe stepena

73 = ; (- 2)2 = .

MNO@EWE I DEQEWE STEPENA JEDNAKIH OSNOVICA3

OPERACIJE SA STEPENIMA

Lak{e se pamti:

Uo~i da prilikom mno`ewa dva stepena sa jednakim osnovicama:

I ovo je lako, osnovicu

prepisujem, a stepenove po-kazateqe sabiram. 

Odredi proizvode:  a4  a5; ( - 2)7  (- 2)2; (a - 3)  (a - 3)6.2.

Koji stepenovi pokazateq nedostaje u posledwem slu~aju datog u tabeli?

 Predstavi vrstu stepena proiz-voda:

Osnova rezultata je ista kao i mno`ioca;

Stepenovi pokazateq rezultata je zbir pokazateqa mno`ioca.

Proizvod stepena sa jednakim osnovi-cama je stepen sa istom osnovicom kaoosnovice mno`ioca i pokazateqa jed-nakom zbiru pokazateqa mno`ioca.

am  an = am + n

Zapi{i rezultat mno`ewa stepena:  x5   x6 = ; ( - k ) p  (- k )m = .

Uo~i kako je izra~unat proizvod 

( x2   x4)   x3 ( x2   x4)   x3 = ( x2 + 4)   x3 = x6   x3 = x6 + 3 = x9 

3.

a m  a n  a p = a m + n + p 

Razgledaj tabelu o mno`ewu stepena.

Mno`ewestepena

Pisawe stepena kao proiz-voda

Proizvodstepena

23  22 (2  2  2)  (2  2) =

2  2  2  2  223+2 = 25

(-3)2  (-3) ((-3)  (-3))  (-3) =

(-3)  (-3)  (-3)(-3)2+1 = (-3)3

= =

54  52 (5  5  5  5)  (5  5) =

5  5  5  5  5  554+2 = 5

Potseti se! 

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 40/228

40

Ako a, b i n su prirodni bro- jevi i n je deliteq brojevima

a  i b, tada 

Skrati razlomke: 

Podseti se! 

Primer: 

 ili

razgledaj tabelu o deqewu stepena jed-

nakih osnovica.

Deqewestepena

Pisawe stepena kao de-qewe proizvoda

Koli~nikstepena

25 : 22

 = 2  2  225-2 = 23

(-3)2 : (-3) = (-3)

(-3)2-1 = (-3)

57 : 53

 = 5  5  5  5 57-3 = 54

96 : 9 = 9  9  9  9  9

96-1 = 9

Primeti da prilikom deqewa dva stepena jednakih osnovica va`i slede}e:

Osnovica koli~nika je ista kao i osnovica deqenika i delioca;

Stepenovi pokazateq koli~nika je razlika od pokazateqa deqenika i delioca.

Koji je broj stepenovi pokazateq koji nedostaje u posledwem primeru datog u ta-beli?

Lak{e se pamti:Koli~nik stepena jednakih osnovica(razli~iti od 0) je stepen sa istom os-novicom i pokazateqem jednakog razli-

ci pokazateqa m i n, m > n, deqenika idelioca.

a m : a n = a m - n; m > n

uo~i izra~unavawe koli~nika (-6)5 : (-6)3 = .6.

ili skra}eno: (-6)5 : (-6)3 = (-6)5 - 3 = (-6)2.

Uo~i deqewe stepena jednakih osnovica kada deqenik i delilac imaju isteeksponente.

7.

Razlo`i stepen 69 na tri mno`ioca. Vide}e{ da ima tri re{ewa, ali tinapi{i samo dva.

4.

Proizvod jednog mno`ioca i a7  je jednak a97. Koji je taj mno`ilac?

Koji broj je stepenovi pokazateq koji nedostaje u mno`ewu 63  6 = 612 ?

a  0

       izra~unaj:

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 41/228

41

Uo~i deqewe stepena jednakih osnova kada je pokazateq deqenika broj koji jemawi od pokazateqa delioca.

8.

Izra~unaj: 

Odredi koli~nik:

Da ka`e{ i primeni{ pravila:Ka`i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova.Objasni kako se dele stepeni jednakihosnova.

Ako  0 tada ise, an : an = .  jer su brojilac i imenilac jednaki.

Ako primeni{ pravilo o deqewu stepena jednakih osnova, dobi}e{::  

an : a n = an - n = ao

Uvidi da si u prvom slu~aju dobio 1, a u drugom a0

Koji broj je koli~nik prilikom deqewdva stepena jednakih osnova (razli~iti

od nule) i jednakih eksponenata?Koja je brojna vrednost stepena sa kojobilo osnovom a  0 , i eksponent 0?

smatra}emo da ao = 1

am  a n = am + n, m, n  N;

am  a n = am - n, a  0 i  m > n;

  a  0 i m < n;

an  a n = a 0 = 1, a  0 i n  N.

Izra~unaj proizvode stepena:1.

Izra~unaj brojnu vrednost svakogizraza:4.

[ta treba da se upi{e u prazne kva-drati}e da jedna~ine budu ta~ne:

2.

Izra~unaj koli~nike stepena:3.

 x5  x15

a6 9 a15

174 : 172 = ; 1,14 : 1,1 = ;

 y100  y2 615 6100

 x3  x5  x2 (-b)  (-b)5 (-b)10

7    7100 = 7135;

 p4  p   4  p10?

 x9 : x12 = ; 35 : 318 = ;

126 : 126 = ; a3 : a3 = .

= ; = ;

2  32 - 6   + 5  (75 : 72) = .

Zadaci

Proveri!

Treba da zna{:

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 42/228

42

broj bakterija se u nekom proizvodu dvaputpove}ava na svakih 6 minuta.  

Koliko bakterija }e imati taj proizvod za1 ~as, ako je na po~etku imao jednu bak-teriju?

Stepen a3 se pi{e kao proizvodovako:

a3 = a  a  a

Napi{i stepene kao proizvod: 

STEPENOVAWE STEPENA, PROIZVOD I KOLI^NIKSTEPENOVAWE4

Napi{i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova. 

Zapis (23)4  predstavqa stepen. 

[ta je osnova, a {ta eksponentstepena?

Uo~i da 23 predstavqa osnovu stepena, azapis (23)4  -stepenovani stepen.

 Zapi{i stepen (23)4  kao proizvod jed-nakih mno`ioca.

Stepen zapisan kao proizvod je(23)4 = 23  23  23  23

Lako je!(23)4 = 23  23  23  23 =

= 23+3+3+3 = 212.

ili  (23)4 = 23  4 = 212.

Mo`e{ li stepen (23)4da napi{e{ kaostepen sa osnovicom 2?Mo`e{ li da uvidi{ skra}eni na~inza stepenovawe stepena(23)4 ?

Stepen se stepenuje tako {to se os-nova stepena stepenuje sa proizvodomstepenovih pokazateqa. 

Zna~i, osnova se prepisuje, aeksponenti mno`e.

Uo~i primer: : ( x4)2 = x4 2 = x8.2.

6.Koliko-bakterijaima

Izra~unaj koliki je koli~nik  

   k  = 2 za k = -25.

(a m)n = a m  n

               Stepenuj stepene:

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Potseti se! 

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 43/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 44/228

44

Razgledaj primere: 7.

v) (c : 2)3 = ; g) ( x3 : y7)2 = ; d) (2m : 3n)4 = .

Uo~i upro{}avawe izraza  ( x4)3 : x2 primenom operacija sa stepenima.

( x4)3 : x2 = x4 3 : x2 = x12 : x2 = x12 - 2 = x10.

8.

Izra~unaj vrednost brojnih izraza:

a)  (32)3 = ; b) (2  3)4 : 33 = ; v) ((-4)8 : (-4)4) : (-4)2 = .

9.

Date izraze napi{i kao stepene sa osnovom 2,ali predhodno razgledaj re{eni primer.

a) 27 : 42 = ; b) = .

10.Primer:

164 : 83 = (24)4 : (23)3 =

= 24   4 : 23  3 = 216 : 29 =

216 - 9 = 27.

Da ka`e{ pravila o stepenovawu proizvoda, koli~nik i stepen

Da primeni{ postupke za stepenovawe proizvoda, koli~nika i stepena u zadacima.

Izvr{i stepenovawe svakog izraza:

Stepenovawe proizvoda

(a  b)n = an bn

Stepenovawe koli~nika

(a  b)n = an bn; b  0

Stepenovawe stepena

(am)n = am  n

 = ;  = .

Uprosti izraze:

  b) ( y13  y) : ( y7)2 = ; v) (b4)3 : (b4 b3 b2) = ; g) (2  3)4 : 63 = .

Zna~i, kada stepenujemkoli~nik, stepenujem deqe-nika i delioca (ili brojiocai imenioca) posebno i dobi- jene stepene delim.

Uop{te, stepen koli~nika je jednak koli~niku stepenova-nog deqenika i delioca sadatim pokazateqem, tj.

 = ; b  0.

( x3 y4)5 = ;

b)

b)

Stepenuj koli~nike:

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Treba da zna{:

Proveri!

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 45/228

45

Izmeri i napi{idu`inu strane kvadratana crte`u.

KVADRAT BROJA. KVADRATNI KOREN5 

Napi{i koli~nik kao stepen: 3.

Odredi vrednost izraza:5.

Napi{i stepen a18, kao stepen saosnovicom:

a) a2; b) a6; v) a9

4.

Date proizvode stepena, napi{i kaostepen proizvoda.

6.

a) a2b2 = ; b) 36 x6 = ;

v) x8 y4 z 12 = ; g) 8 x9 y6 = .

P = a  a

a

a

Izra~unaj proizvode:  

Napi{i kao stepen proizvode: 

a) 7  7  7 = ; b)       =

c) 6  6 = ; d) (-0,5)  (-0,5) = ;

e) x   x = ; f ) ab  ab = .

Stepenuj proizvode:

(a3b)2 = ; ( x4 y3)7 = ;

(ay3b5)2 = ; (7a6b4)9 = .

1.

Stepenuj svaki koli~nik 

2.

Proizvod dva jednaka mno`ioca se zove kvadrat tog mno`ioca.

a)  b)

 v) g)

d) e)

Zadaci

KVADRAT I KVADRATNI KOREN RACIONALNOG BROJA

Potseti se!    

Izra~unaj povr{inu kvadrata inapi{i je u mm2

Izra~unaj povr{inu kvadrata sa

stranom

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 46/228

46

Napi{i ga u obliku proizvoda od dva jednaka mno`ioca:2.

Izra~unaj: 62 = ; = ; (0,1)2 = ; (-0,1)2 = .

Kvadriraj svaki broj:  2; -2; 1; ; 2 ; -10.

Izra~unaj napisane kvadrate: 

32 = ; = ; = ; 02 = .

3.

Uo~i da je svaki odprimera pozitivan broj Bilo koji racionalni broj  x  razli~it od

nule, broj  x2  je pozitivan broj, a je 0 za  x =0.

Uo~i primere za kvadrirawe digitronom:4.

a) 72 =

7 = 49

b)

Kvadriraj digitronom: a)1232 = ; -462 = ; b) (0,3)2 = ; = .

Izra~unaj vrednosti brojevnih izraza, a zatim proveri digitronom 

a) 4122 - 5  792 = . b) 40,42 - 10  2,282 = .

Povr{ina jednog kvadrata je 81 cm2.

Odre|ivawe brojevne vrednosti kvadrata broja, se zove kvadrirawe. 

Uop{te, koji bilo racionalni broj x, proizvod x    x , kratko se pi{e kao stepen  x2.

 x  x = x2 (~ita se: iks na kvadrat)

 x2  je kvadrat racionalnog broja x.

Odredi du`inu strane kvadrata.

1 =-0.2 5     0.04

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 47/228

47

Zna~i, treba da odredim vrednost  x, tako da

 x2

  x2

 = 81Za x=9, ta~no je da 9 9 = 81, ali i za x =(-9)

ta~no je da (-9)=81.

Po{to je du`ina uvek pozitivan broj,sledi da je strana kvadrata 9 sm.

Razgledaj primer: Brojeve 4 i -4 su re{ewa jedna~ine  x2 = 16, tako {to 42 = 4  4=16 i(-4)2 =(-4)  (-4)=16

6.

Proveri da li su brojevi i re{ewa

Odredi re{ewa:

a) x2 = 1; b) x2 = .

7.

= a Ja sam pozitivan.

Odredi samo pozitivna re{ewa jedna~ina: a) x2 = 25; b) x2 = 9; c) x2 = 144.

Ne negativno re{ewe jedna~ine x2 = a; a  0, zove se kvadratni

koren a i pi{e se a

Znak je znak za kvadratni koren, a

u zapisu a , broj a je osnova korenaili veli~ina ispod korena.

Ja imam dva re{ewa.

2

Povr{ina kvadrata je

 x2 = 81. Da bi izra~unaostranu kvadrata ,trebada izra~una{ jedna~inu

 x2 = 81.

Neka je du`ina strane kvadrata  x . Povr{ina kvadrata je P =  x   x  iliP = x2 .

81 cm2

 x

Koji broj je kvadratni koren od: 49, 25, 16 i 9.

Razgledaj primer: 

 zato {to 

Doka`i da su ta~ne jednakosti: 10.

Uo~i

Uo~i crte`

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 48/228

48

Da odredi{ kvadrat racionalnog broja; Izra~unaj:

32 = ; (1,6)2 = ; (-0,3)2 = .

Proveri da li je

re{ewe jedna~ine

Izra~unaj:a) (16 - 13)2 : 2 = ;

b) 82 + (4  8 : 4) = ;

v) = .

1.

Proveri da li je ta~no:  

Uo~i i obrazlo`i datu {emu.11.

Zna~i, da bi izra~unaokvadratni koren od a, trebada odredim ne negativan

broj b ~iji kvadrat je jednakbroju a .

Upamti!   a  = b (a  0), akob2 = a (b  0).

Izra~unaj brojevnu vrednost izraza: 12.

Razgledaj primere za odre|ivawe kvadratnog korena kalkulatorom.13.

Izra~unaj kalkulatorom:

Proveri rezultate sa kvadrirawem. 

Da odredi{ re{ewa jedna~ine tipa  x2 = a

Digitronom da izra~una{ kvadrat ikvadratni koren broja. 

Odredi x u jedna~inama:

a) x2 = 144; b) 2 x2 = 72; v) + 2 = 20

2.

Izra~unaj du`inu strane kvadratakoji ima povr{inu 324 cm2 .

3.

            b)

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Kvadratni koren

Kvadrat

Zadaci

Proveri!

Treba da zna{:

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 49/228

49

Ja znam da izra~unam kvadrat broja na druga~iji na~in! 

Uo~i kako su izra~unati kvadrati:

22 = 3  1 + 1 = 4; 32 = 4  2 + 1 = 9; 42 = 5  3 + 1 = 16; 52 = 6  4 + 1 = 25.

Otkri koje je pravilo za izra~unavawe.

Napi{i: 62, 72 i 82 na ovaj na~in. Izra~unaj 192, 312 i 992 koriste}i dati postupak. 

Proveri svoje rezultate sa kvadrirawem.

IZRA^UNAVAWE KVADRATNOG KORENA -nije obavezno 6

Sagledaj podatke u tabeli.1.

Koliko cifara imakvadratni koren broja:

a) 5625 ; b) 1 000 000 ;

v) 625  108?Izra~unaj digitronom iproveri svoj odgovor bro- jeva a) i b).

Podseti se! 

Koriste}i vrednosti iz tabele, izra~unaj:

U tabeli su date vrednosti broja a. Odredi kvadrate tih brojeva.

a

a2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 100

 = ;  = ; - = ;   = .               

Treba da zna{ da proceni{ koliko }e cifri imati kvadratnikoren datog broja.

Trocifreni ili

~etvorocifreni

 = 11

 = 60dvocifreni

 Broj a

Jednocifreni ili

dvocifreni= 3

 = 5

Kvadratnikoren Primer

Jednocifreni

Petocifreni[estocifreni

= 10

 = 80

Trocifreni

. . .

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 50/228

50

Pa`qivo primeni primer 1. nau~i}e{ da ra~una{ kvadratni korenbroja bez digitrona.  

Primer 1.

Data veli~ina ispod korena se deli na klase sa desna na levo po

dve cifre u klasi ( prva klasa u levo mo`e da ima i jednu cifru).

Prva cifra korena od broja je cifra 3 i dobija se kao broj ~ijikvadrat je najbli`e do 11 i mawi od 11 (prva klasa sa leva). Zatimse od prve klase oduzima kvadrat broja 3, tj. 3  3 = 9

Do dobijene razlike 2 (11-9=2) s desna se zapisuje naredna klasa(97) i dobija se broj 297 od koga se odvaja posledwa cifra (7).

Dvocifreni broj 29 se deli sa dvojnim proizvodom prve cifre od

rezultata, 3  2 = 6.Pritom, 29:6=4 i broj 4 je druga cifra od rezultata.

Cifra 4 se dopisuje do 6 (dobija se 64) i tako dobijeni broj semno`i sa 4, a dobijeni proizvod se oduzima od 297.

Do razlike od oduzimawa (297 - 256=41) zapisuje se naredna klasa(16).Dobija se broj 4116 od koga se izdvaja posledwa cifra - cifra 6(dobija se broj 411) i tako dobijeni broj se deli sa dvojnim proiz-vodom broja od prve i druge cifre korena (34  2 = 68).

Pritom se dobija (411:68=6) tre}a cifra korena. Ona se dopisujedo 68 i tako dobijeni broj se mno`i sa wom; dobija se (686  6 =

4116) proizvod koji se oduzima od datog broja. Ostatak od ovogdeqewa je = 0.

 = 3

  - 9

  2

 = 34

  - 9

  29 7 : 64  4

  - 25 6  41

 = 346

  - 9

  29 7 : 64  4  - 25 6

  411 6 : 686  6  - 411 6

  0

Primer 2.Za decimalni broj je sli~an postupak.Jedina razlika je {to deqewe klasa je u dva smera: od deci-

malnog zareza ulevo po dve cifre i udesno po dve cifre.Ako posledwa klasa sa desna ima samo jednu cifru, dopisuje

se 0.

Uo~i da pre nego {to se spusti prva klasa decimala, u rezultatu sestavqa zarez. 

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 51/228

51

Ako posle spustawa posledwe klase ima ostatak,postupak mo`e da se produ`i, tako {to dodaje{klasu od dve nule, a u rezultatu stavqa{ zarez.

Primer 3

Daqim dodavawem klase od dve nule postupakmo`e da se produ`i.

Kvadratni koren broja izra~unava{ do odre|enog

broja decimala.

 = 25,59   25

- 4

  25 5 : 45  5- 22 5

  300 0 : 505  5  - 252 5

  4750 0 : 5109  9  - 4598 1

  1519

Izra~unaj:

U slu~aju pod v) zaokru`i rezultat na jednu decimalu.  

Da odredi{ kvadratni koren datog pozitivnog broja. 

Izra~unaj:

Koliko cifara ima broj koji je kvadratni koren od petocifrenog broja? 

Odredi i proveri rezultat digitronom. 

Odredi brojeve ~iji je kvadrat izme|u: 

a) 4 i 9; b) 9 i 16

1.

Obrazlo`i odgovor.

Napi{i po dva cela broja najbli`a do

vrednosti slede}ih kvadratnih korena:

2.

Proveri da li je ta~no3.

Proveri koja je jedna~ina ta~na:4.

Koliko je obim kvadrata ~ija jepovr{ina 25 cm2 

5.

2.

Zadaci

Proveri!

Treba da zna{:

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 52/228

52

Racionalni brojevi su brojevi koji moguda se napi{u u obliku razlomka

 a

b, gde  a i b su celi brojevi i b  .

Skup racionalnih brojeva se ozna~ava

  i   a b   b  

IRACIONALNI BROJEVI 7  7  7  7  7 

REALNI BROJEVI

Podseti se!  Jedan kvadrat je povr{ine od 22. Kolika je du`ina wegovestranice?

 A 1.

Uo~i re{avawe.Po{to =  a 2, brojevna vrednost du`inestranice je broj tako {to

 a 2 =2 ,tj.

Svaki racionalni broj mo`e da sepredstavi kao kona~an decimalani brojili periodi~ni decimalni broj.

Brojevi:

a) 15; 4,27 su kona~ni decimalnibrojevi;

Su periodi~ni decimalni brojevi.

Procenom i proverom mo`e da se odredi:

Zna~i, du`ina stranice kvadrata je,,broj,, izme|u

Digitronom mo`e da se izra~una da je

   1,4142135..., t.j.  je beskona~no

neperiodi~ni decimalni broj.

Svaki decimalni broj koji imabeskona~no decimala ineperiodi~an je, zove seiracionalni broj.

Tako, je iracionalni broj.

I brojevi:

itd prikazuju se kao beskona~nidecimalni brojevi koji suneperiodi~ni, pa su i oniiracionalni brojevi.

Iracionalne brojeve kao decimalne brojeve zapisujemo kao pribli`ne vrednosti.

Uz pomo} digitrona odredi pribli`ne vrednosti iracionalnih brojeva u oblikudecimalnih sa dve decimale.

2.

Skupovi iracionalnih brojeva se ozna~avaju slovom .

 < 2 zato {to 12 = 1 i 22 = 4. Prema

tome  nije cel broj.

Ali da li je celi broj

Po{to se svaki racionalni broj predstavqa kao kona~an decimalni broj ili beskona~ni

periodi~ni decimalni broj, mo`emo da zakqu~imo da nije racionalni broj.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 53/228

53Realni brojevi

Koriste}i vrednosti od proceni vrednost i proveri digitronom da li

si dobro procenio.3.

Proveri da li va`i nejedna~ina 4.

Odredi pribli`nu vrednost:5.

 preciznost sa 1 decimalnim mestom;

  preciznost sa dva decimalna mesta;

Da li postoji du` ~ija du`ina ima merni broj 6.

Strana kvadrata   ima du`inu 1 , wegovapovr{ina je

 =1   1=1.

Dijagonala kvadrata    je strana kvadrata  .

Mo`e da se vidi da kvadrat    ima dvaput  ve}u povr{inuod povr{ine kvadrata , tj.

Podseti se na zadatak 1. Kvadrat

povr{ine 2 ima stranu du‘ine

Odredi du`inu strane kvadrata , ako je povr{ina

Zna~i postoji du‘ du‘ine

  , a ona je .

Razgledaj crte‘ i vidi obrazlo‘ewe.

Iznad du`i se konstrui{e

kvadrat. Wegova je povr{ina

Dijagonala kvadrata (wena du`ina) sprenosi na brojnoj pravi.

Rastojawe od O do dobijene ta~ke

pozitivnom smeru je  a u

negativnom smeru je

Mo`e{ da vidi{ da

BAko `eli{ da zna{ vi{e....

Uo~i kako je na brojnoj pravi predstavqen iracionalni broj 7.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 54/228

54

SKUPOVI REALNIH BROJEVA88888

Podseti se! 

  je skup racionalnih brojeva:

 =   a b   b  

Odredi kom skupu brojeva pripada vrednost svakog brojnog izraza.

vrednosti izraza a), b), d) i ‘) su elementi

Vrednosti iz a) do |) i ‘) su elementi skupa

Primeti da:

Vrednosti svih izraza od a) do z) su elementi skupa 

Odredi re{ewe jedna~ineDa li jedna~ina 2=3 ima re{ewe koje je element skupa 2.

Uo~i da 2=3 ima re{ewe

 je iracionalni broj i nije element skupa

Kom skupu pripadaju brojevi:

 je skup prirodnih brojeva:

  je skup celih brojeva: 

 A Dosada si nau~io da sabira{,oduzima{, mno`i{ i deli{brojeve, da odredi{ stepen ikvadratni koren broja.

1. Izra~unaj:

a) 106 - 95 = ; b) 47  102 = ; v) 316 + 316 = ;g) 9 - 15 = ; d) 135 : 5 = ; |) 816 - 816 = ;

e) 1 : 2 = ; `) 63 = ; z) 1 : 3 = .

Koji se broj naziva iracionalni broj.

Napi{i 4 broja koji su iracionalni.

Treba da zna{:

Zadaci

Koji su od brojeva

iracionalni?

1.

Predstavi brojeve na brojnoj pravi:2.

3.

Proveri re{ewe izra~unavawemkvadratnog korena digitronom.

Zaokru`i na dva decimalna mestairacionalne brojeve koji su dati ubrojnim izrazima.

Odredi brojnu vrednost izraza:

Proveri!

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 55/228

55Realni brojevi

Prema elementima skupova:  -prirodni brojevi,  -celi brojevi,  -racionalni brojei -iracionalni brojevi, odgovori na pitawa:

3.

Da li svaki element skupa  pripada i skupu ? Da li svaki element iz skupa   pripada skup

Da li svaki element skupa  pripada i skupu ? Da li svaki element iz skupa  pripada skupu

Da li neki elementi skupa  pripadaju i skupu ?

Uo~i venov dijagram:

Za skupove  i  va`i:       i    =

Skupovi ~iji elementi su svi racionalni iiracionalni brojevi se zove skup realnihbrojeva i ozna~ava se sa .

Odredi kom skupu pripada svaki od slede}ih brojeva:

4.

Na brojnoj pravi predstavi brojeve: 6.

Treba da zna{:

Koji brojevi su elementi skupa ;

Da li je ta~no:Ako je broj a  element skupa celihbrojeva Z  , tada je taj broj element

skupa Q i . Obrazlo`i!

Dati su brojevi:1.

Zadaci

Koji brojevi su elementi skupa N?

Od onog {to je navedeno, {ta jeta~no:

a)  je iracionalni broj;

b) -  je realni broj;

v)  je iracionalni i racionalni broj

g)7 je prirodni broj, a ceo broj jeracionalni broj i realni broj.

2.

Da navede{ primere realnih brojeva.

Koji brojevi su elementi skupa Z?

Koji brojevi su elementi skupa Q?

Koji brojevi su elementi skupa R?

BZa svaki realni broj postoji

ta~ka na brojnoj pravi.

Na brojnoj pravi ozna~ene su ta~ke. Kojod wih je pridru`ena racionalnom, koja iracionalnom broju?

5.

-1 0

- -

3

-2-3-4-5 1 2 3 4 51,5

Proveri!

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 56/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 57/228

57Monomi i polinomi

TEMA 3. POLINOMI

MONOMI I POLINOMI

1. Izrazi 58

2. Monomi 63

3. Sabirawe i oduzimawe monoma 67

4. Polinomi 69

5. Mno`ewe i stepenovawe monoma 73

6. Sabirawe i oduzimawe polinoma 74

7. Mno`ewe polinoma sa monomom 76

8. Mno`ewe polinoma 78

9. Proizvod zbira i razlike dva

izraza 81

10. Kvadrat binoma 83

11. Deqewe monoma. Deqewe

  polinoma sa monomom 86

12. Delewe polinoma sa polinomom 88

13. Racionalni izrazi 90

RAZLAGAWE POLINOMA NA

MNO@IOCE

14. Razla`ewe polinoma izvla~ewemzajedni~kog mno`ioca ispred zagrade i

grupirawem 93

15. Razlagawe polinoma tipa

    -  na proste mno`ioce 95

16. Razlagawe polinoma tipa

 +  +

 i 

 -  +

 na  proste mno`ioce 97RAD SA PODACIMA17. Prikupqawe podataka 99

  Proveri svoje znawe 102

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 58/228

58 Tema 3. Polinomi

Kojim redosledom treba daizvr{i{ operacije u datimbrojevnim izrazima?

U datim izrazima, prvo treba daizvr{im operacije mno‘ewe ideqewe, a zatim operacije sabirawe ioduzimawe.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

  -   - -  -  -  , tj. vrednost izraza je 7.

- -= = =

+ +, tj. vrednost izraza je 3.

Broj koji se dobija posle vr{ewa svih operacija u datom brojevnom izrazu se zovebrojevna vrednost  izraza.

2. Izra~unaj vrednost izraza

Koja je vrednost imeniocaizraza ? Da li tim brojemmo‘e{ da izvr{i{ deqewe?

Vrednost izraza 10:2-5=0, ne delise sa nulom, tj. deqewe sa nulomnema smisla.

Za brojni izraz u kome ima deqewe sa nulom, se ka`e da nema brojnu vrednost ilida nema smisla.

3. Odredi koji od navedenih izraza nema brojevnu vrednost:

Zapise 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8  2 su brojevni izrazi.

IZRAZI1 1 1 1 1 

MONOMI I POLINOMI

Podseti se!  Izra~unaj vrednost izraza: A 1.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 59/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 60/228

60 Tema 3. Polinomi

Promenqiva je simbol (naj~e{}e slovo) koji predstavqa zajedni~ku oznaku zaelemente datog skupa..Skup se zove domen  promenqive (naj~e{}e se ozna~ava sa , a svaku wegov elementpredstavqa vrednost promenqive.

Ako nije zadat domen promenqive smatra}emo da je on skup R realnih brojeva.

8. Odredi domen svake promenqive u prethodna dva zadatka.

Uoo~i i zapamti

Konstante: 1, 2, 0, , ... su izrazi.

Promenqive:  x,  y,  z ,... , a, b,  c, ... su izrazi.

Zapisi: 3 + 5  2,  x  y  x   y -  i drugi, sostaveni od konstante i promenqive

uz pomo}  znakova za operacije, su izrazi.

Ako u izrazu ima promenqive, tada se on zove izraz sa promenqivom.

9. Koji od slede}ih izraza je sa promenqivom:

Izraz sa promenqivom 5  -2 mo`e da se ozna~i sa A(

V 10. Izra~unaj vrednost izraza

Uporedi svoje re{avawe sa zadatim. x -  x -  - -   - -  -  ,

t.j. broj 5 je vrednost izraza

Datom izrazu sa promenqivom odgovara odgovaraju}i brojevni izraz, ako sepromenqiva zameni sa odre|enom vredno{}u; vrednost brojevnog izraza je brojevna

vrednost  izraza sa promenqivom.

11. Izra~unaj vrednost izraza

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 61/228

61Monomi i polinomi

Iz tabele mo`e{ da uo~i{ da je skup vrednosti izraza A( -5 u domenupromenqive , je skup

Skup vrednosti izraza

Za koju vrednost  x    izraz ) nema vrednost?

13. Neka su dati izrazi:

Odredi skupove vrednosti A(

Uporedi skupove vrednosti A( i   (  ). [ta prime}uje{?

Uo~i re{avawe ovog zadatka u tabeli.

 x

  x

 x

-2 -1 1 2

0 -1 3 8

0 -1 3 8

Prime}ue{ da za svaku vrednost  x    x  x

Izrazi sa promenqivom koji imaju jednake brojevne vrednosti, za  svaku vrednostpromenqive od domena se zovu identi~ni izrazi.

14. Dati su izrazi   x  x - x  i  x  x x -  a domenom .

Proveri dali su izrazi  x i  x  identi~ni.

Ako dva identi~na izraza se ve`u znakom za jednakost (=) dobija se jedna~ina koja sezove identitet.

15. Napi{i identitet iz zadatka br. 14.

12. Neka su dati izrazi:

Odredi vrednosti

Uo~i u tabeli re{avawe ovogzadatka.

 x

  x

 x

-2 -1 0 1 2

7 0 -5 -8 -9

-1 -2 -5 nemavrednost

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 62/228

62 Tema 3. Polinomi

Da izra~una{ vrednost brojevnog izraza;

Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ihizraza:

Treba da zna{:

Da razlikuje{ brojevni izraz od izrazasa promenqivom;

[ta je: konstanta, promenqiva i domenpromenqive.

Dati su izrazi:  x  x -  x  i

 x  x (2 -  x), so domenom .

Poka`i da je jedna~ina   x  x

identitet.

Dati su izrazi:  x  x - 

 x  x   i  x  x -  pri {to

 x  0 .

Odredi koja jedna~ina:

  x  x  x  x ili  x  x eidentitet.

1.

Zadaci

Izra~unaj brojevnu vrednostslede}ih izraza:

2. Odredi koji od slede}ih brojevnihizraza nema vrednost

3. Koji je od slede}ih izraza sapromenqivom

4. Izra~unaj brojevnu vrednost izraza

  x -  x    za  x  -.

5. Za koju vrednost

 x x

 nema

vrednost?

6. U skupu dati su izrazi:

  x  x   x  i

 x  x x - .

Poka`i da su izrazi   x i  x

identi~ni.

7. Poka`i da je jedna~ina

 x -   x   za  x  0 , je

identitet.

8.

Proveri!

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 63/228

63Monomi i polinomi

  su

izrazi sa promenqivom.

Podseti se! Dati su izrazi: 5 A 1.

Od kojih je konstanti i promenqivisastavqen svaki izraz?

Koje su operacije zastupqene udatim izrazima?

[ta su konstante, a {ta su promenqive uizrazima.

 2 x

Uo~i da su neki izrazi samo konstante, a neki promenqive.

Neke promenqive su napisane u obliku stepena.

Dati izrazi predstavqaju monome.

Monomi su: konstante, promenqive i izrazi koji su proizvod od konstanta i stepenapromenqive.

Odredi koji od slede}ih izraza su monomi i obrazlo`i odgovor.2.

Proizvod stepena sa istim osnovama jestepen sa istom osnovom i eksponentom jednakom zbiru eksponenata mno`ioca.

Podseti se! Dat je monom  xy x y.B 3.

Od kojih mno`ioca je sastavqenmonom?

Sa kojim mno`iocima u monomumo`e da se izvr{i operacijmno`ewe?

Odredi slede}e proizvode

a4  a2;  x3   x5   x.

Pomno`i sa istim osnovama u monom

aabb

Uradi mno`ewe sa tim

mno`iocima.

Ako primeni{ komutativno i asocijativno svojstvo mno`ioca u datom monomu iuradi{ mno`ewe, dobi}e{ identi~an monom  datom.

MONOMI 2 2 2 2 2

U drugim izrazima me|u konstantama i promenqivima ima samo operacija mno`ewe.

Op{to

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 64/228

64 Tema 3. Polinomi

Dat je monom 

- x y.6.Koji mno`ioci u monomu su konstante, akoji promenqive?

Primeti da u monomu  x y   mno‘ilac  je konstanta, a promenqiva je

Uporedi svoje re{avawe sa datim.

4 x  x  y  y = 4( x  x   y  y = 4 x y

Uo~i da dobijeni monom 4

y5 ima samo jednog brojevnog mno`ioca i nema stepene

 jednakih osnova.

Ako je u jednom monomu ura|ena operacija mno`ewe sa wegovim mno`iocima sa

kojima je mogu}e, ka`emo da je taj monom sveden u standardni oblik.

Uo~i kako se svodi monom  x y  x y  u standardni oblik.4.

-3 x y x y = (-3  2)( x  x  ( y  y -6 x y

Napi{i kao standardni oblik monome:5.

abab - x y y x  x y xy xy

Brojevni mno`ilac u standardnom obliku monoma ( u slu~aju -6) se zove koeficijent

monoma,a proizvod od promenqivih (u slu~aju y

3) se zove glavna vrednost monoma.

Odredi koeficijent i glavnu vrednost slede}ih monoma:7.

ab - x y - x y x y

Dati su monomi - x y  i  x y. Uo~i koeficijente i glavne vrednosti oba

monoma.V8.

Monomi: x; x y; ab imaju koeficient jedan. Jedinicu kao koeficijent ne zapisujemo.

Koja je glavna vrednost ovih monoma?

Monome: - x; -ab; - x y imaju koeficient -.

Napi{i glavnu vrednost ovih monoma.

[ta je zajedni~ko za oba monoma?Oba monoma imaju jednakeglavne vrednosti.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 65/228

65Monomi i polinomi

10. Dati su sli~ni monomi: - x y  i  x y.

Kakvi su me|u sebom kojeficienti datih monoma?

Uo~i da kojeficient monoma: - x y  i  x y  su suprotni brojevi.

Dva sli~na monoma ~iji su koeficijenti suprotni brojevi, nazivaju se suprotni

monomi.

11. Napi{i suprotan monom monomu   a x y -ab

12. Odredi koji od slede}ih monoma su suprotni. -a

bc

ab

c

a

bc

13. Odredi stepen svakoj od promenqivih u slede}im monomima:

 x y z  abc

G U monomu  x y z  promenqiva je  x  tre}eg stepena,  y  je od drugog stepena i  z   od

prvog stepena. Zbir stepena svih promenqivih je 3 + 2 + 1 = 6; zato se ka`e da

monom  x y z  je od {estog stepena.

Uo~i i zapamti

Stepen monoma predstavqa zbir eksponenta promenqivih u monomu. Ako je monomkonstanta, tada se smatra da on ima nulti stepen.

Na primer, monom abc je od osmog stepena, jer , a monom  je od nultog

stepena.

Monomi koji imaju jednake glavne vrednosti se zovu sli~ni monomi.

Odredi koji slede}i monomi su sli~ni:9.

Dva racionalna broja koji imaju istu apsolutnu vrednost i suprotne znakove, zovu sesuprotni brojevi.

Podseti se! 

Napi{i suprotni broj svakog slede}eg broja: a)

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 66/228

66 Tema 3. Polinomi

14. Odredi stepen svakog monoma:

- x ab - x yz  abc

Da svede{ monom u standardni oblik;

Treba da zna{:

Da odredi{ koeficijent i glavnuvrednost monoma;

Da defini{e{ sli~ne i suprotnemonome;

Da odredi{ stepen monoma.

Napi{i u standardni oblik monom

- x y    - xy  i odredi kojeficient i

glavnu vrednost monoma;

Dat je monom - x y z .

a) napi{i sli~ni monom datom.

b) napi{i suprotni monom datom monomu.

v) odredi stepen datog monoma.

1.

Zadaci

 Napi{i u standardni oblik:

-abac 

 y xy .

2. Odredi koeficijente i glavne

vrednosti slede}im monomima:

- x y

3. Napi{i monom sa kojeficient -0,5 i

glavne vrednosti a2b3.

4. Odredi koji su od slede}ih monomasli~ni:

5. Odredi koji su od slede}ih monomasuprotni.

6. Napi{i suprotini monom monoma

7. Odredi stepen svakome od slede}ihmonoma:

abc - x y -a    x yz 

8. Napi{i dva monoma sa kojeficientom

-3 i promenlive a  i b, tako da jedan

bude od ~etvrtog stepena, a drugi od

petog stepena.

Proveri!

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 67/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 68/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 69/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 70/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 71/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 72/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 73/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 74/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 75/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 76/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 77/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 78/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 79/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 80/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 81/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 82/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 83/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 84/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 85/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 86/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 87/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 88/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 89/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 90/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 91/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 92/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 93/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 94/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 95/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 96/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 97/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 98/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 99/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 100/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 101/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 102/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 103/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 104/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 105/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 106/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 107/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 108/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 109/228

Uvideo si tvr}ewe i treba da upamti¡

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 110/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 111/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 112/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 113/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 114/228

To ¡to si uvideo je jedno va`no svojstvo tetivnog ~etvorougla.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 115/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 116/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 117/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 118/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 119/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 120/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 121/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 122/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 123/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 124/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 125/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 126/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 127/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 128/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 129/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 130/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 131/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 132/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 133/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 134/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 135/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 136/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 137/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 138/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 139/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 140/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 141/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 142/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 143/228

Razgledaj crte` i odgovorina slede}i pitawa

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 144/228

a) Kako da se podeli zadati romb na

tri dela, od kojih mo`e da se sasta-

vi pravougaonik, tako da mu osnova

bude jedna od dijagonale romba?

b) Koriste¢i to, izvedi formulu koja

izra`ava povr{inu romba preko we-

govih dijagonale.

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 145/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 146/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 147/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 148/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 149/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 150/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 151/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 152/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 153/228

 Uo~i

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 154/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 155/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 156/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 157/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 158/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 159/228

Uo~i i upamti! 

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 160/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 161/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 162/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 163/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 164/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 165/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 166/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 167/228

Upamti postupak

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 168/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 169/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 170/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 171/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 172/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 173/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 174/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 175/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 176/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 177/228

Uvidi putawe

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 178/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 179/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 180/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 181/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 182/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 183/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 184/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 185/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 186/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 187/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 188/228

Uo~i

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 189/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 190/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 191/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 192/228

Uporedi svoje odgovore sa slede}im

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 193/228

Uo~i i upamti! 

Uvi}a¡

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 194/228

Va`i i uop¡te

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 195/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 196/228

Va`i i uop{te

Neobavezno Uvidi

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 197/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 198/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 199/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 200/228

Va`i i uop{te

Va`i i uop{te

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 201/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 202/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 203/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 204/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 205/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 206/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 207/228

Iz primera uvidi

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 208/228

Mo`e¡ da uvidi¡

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 209/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 210/228

Uo~i

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 211/228

Preglednije

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 212/228

Pomo}

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 213/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 214/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 215/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 216/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 217/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 218/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 219/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 220/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 221/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 222/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 223/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 224/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 225/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 226/228

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 227/228

Рецензенти:Д-р Никита Шекутковски - претседник

Шабан Алија - чланГордана Андонова - члан

Уредник издања:

Јово Стефановски

Језички лектор:Сузана Стојковска

Компјутерска обрада и дизајн:Драган Шопкоски

Коректура:

Аутори

Превод:Силвана Станковић

Издавач:Министарство образовања и науке Републике Македоније

Штампа:Графички центар дооел, Скопље

Решењем Министарства образовања и науке Републике Македонијебр.10-1621/1 од 19.06.2009 године, одобрава се употреба овог уџбеника

227

8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 228/228