aljabar bolean - · pdf filediktat elektronika digital – aljabar booleanaljabar...
TRANSCRIPT
Diktat Elektronika Digital – Aljabar BooleanAljabar BooleanAljabar BooleanAljabar Boolean
Irwan Kurniawan, ST
Politeknik Jambi
Page | 1
ALJABAR BOLEAN
Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang
"mencakup intisari" operasi logika DAN, ATAU dan TIDAK dan juga teori himpunan untuk
operasi union, interseksi dan komplemen.
Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris,
bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian
dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.
Aljabar Boolean dapat digunakan untuk menganalisa suatu rangkaian logika dan
mengekspresikan operasinya secara matematik. Suatu rangkaian dapat direduksi menjadi
bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan teorema Boolean tertentu. Ekspresi
Boolean yang lebih sederhana ini dapat menggantikan ekspresi aslinya, karena nilainya yang
ekivalen.
Hukum hukum ALjabar Boolean
1. Hukum Komutatif
Hukum komutatif aljabar boolean memiliki kesamaan degan aljabar biasa. Berikut ini akan
kita lihat pemakaian hukum komutatif dalam gerbang-gerbang logika
Hukum Komutatif Untuk Gerbang Logika OR
Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dipertukarkan tempatnya dan
dapat merubah urutan sinyal-sinyal masukan. Perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi
keluarannya.
Dalam hukum persamaan Boolean hal ini dapat ditulis sebagai berikut:
� � � � � � � � �
Diktat Elektronika Digital – Aljabar BooleanAljabar BooleanAljabar BooleanAljabar Boolean
Irwan Kurniawan, ST
Politeknik Jambi
Page | 2
Hukum Komutatif Untuk Gerbang Logika AND
Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dipertukarkan tempatnya dan
dapat merubah urutan sinyal-sinyal masukan. Perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi
keluarannya.
Dalam hukum persamaan Boolean hal ini dapat ditulis sebagai berikut:
�. � � �. � � �
2. Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif untuk Gerbang Logika OR
Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dikelompokan tempatnya dan
diubah urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah
keluarannya.
Dalam hukum persamaan Boolean ditulis sebagai berikut: � � �� � � � �� � � � �
Pada hakekatnya cara pengelompokan variabel dalam suatu operasi OR tidak berpengaruh
pada keluarannya. Artinya keluarannya akan tetap sama dengan : � � � � � � �
Perhatikan gambar berikut!
Diktat Elektronika Digital – Aljabar BooleanAljabar BooleanAljabar BooleanAljabar Boolean
Irwan Kurniawan, ST
Politeknik Jambi
Page | 3
Hukum Asosiatif untuk Gerbang Logika AND
Gerbang AND dengan 2 masukan yaitu yaitu A dan B, dapat dikelompokan tempatnya dan
diubah urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah
keluarannya.
Dalam hukum persamaan Boolean ditulis sebagai berikut: �. ��. � � ��. �. � � �
3. Hukum Distributif Gerbang AND dan OR dengan masukan tertentu, yaitu A, B¸dan C, dapat disebarkan
tempatnya, dan dapat dirubah urutan-urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan
tersebut tidak akan mengubah keluarannya.
Dalam persamaan boolean ditulis sebagai berikut:
�. �� � � � �. � � �. �
Diktat Elektronika Digital – Aljabar BooleanAljabar BooleanAljabar BooleanAljabar Boolean
Irwan Kurniawan, ST
Politeknik Jambi
Page | 4
1.1 Sifat – sifat Khusus Aljabar Boolean
Sifat Khusus dalam operasi Gerbang OR
-Kaidah Pertama: A+0 = A
-Kaidah Kedua : A+1 = 1
-Kaidah Ketiga : A + A = A
-Kaidah Keempat : � � �� �
Sifat Khusus dalam operasi Gerbang AND
-Kaidah Pertama: A . 0 = 0
-Kaidah Kedua : A.1 = A
-Kaidah Ketiga : A . A = A
A 0 Y
0 0 0
1 0 1
A
0
A
A 1 Y
0 1 1
1 1 1
A
11
A A Y
0 0 0
1 1 1
A
A
A
Diktat Elektronika Digital – Aljabar BooleanAljabar BooleanAljabar BooleanAljabar Boolean
Irwan Kurniawan, ST
Politeknik Jambi
Page | 5
- Kaidah Keempat : �.�� � �
Sifat absorpsi
� � ��� � � ��
Untuk membuktikan sifat atau teorema ini perhatikan persamaan berikut:
� � ��� � ��� � 1 � ��� berdasarkan sifat � � 1 � 1
� � ��� � �� � �. 1 � ��� lihat sifat �. 1 � �
� � ��� � � � �� � ���
� � ��� � � � ��� � �� lihat sifat � � �� � 1
� � ������ � � � �. 1 � � � � terbukti !
Perhatikan gambar berikut:
Kedua rangkaian logika diatas memiliki keluaran yang sama untuk kondisi masukan A
dan B yang sama.
Sifat Reduksi
� � �� � �
Untuk membuktikan sifat atau teorema ini perhatikan persamaan berikut:
� � �� � ��� � 1 berdasarkan sifat � � 1 � 1
� � �� � �. 1 � � lihat sifat �. 1 � �
terbukti !
Diktat Elektronika Digital – Aljabar BooleanAljabar BooleanAljabar BooleanAljabar Boolean
Irwan Kurniawan, ST
Politeknik Jambi
Page | 6
Teorema De Morgan
- Teorema Pertama
� ���������� � �� .��
Perhatikan persamaan gerbang logika NOR berikut
� � � � ���������
Rangkaian logika 2 masukan yang di “NOT” kan dan kemudian hubungkan ke
gerbang AND.
Dari rangkaian diatas dapat ditulis persamaan aljabar boolean sebagai berikut:
� � � � . ��
Karena kedua rangkaian diatas menghasilkan masukan dan keluaran yang ekivalen
atau sama maka dapat dinyatakan sebagai berikut:
� � ��������� � �� . �� � ����� �� ������ ��!���
- Teorema Kedua
� . ������� � �� � ��
Perhatikan persamaan gerbang logika NAND berikut:
� � � . �������
Diktat Elektronika Digital – Aljabar BooleanAljabar BooleanAljabar BooleanAljabar Boolean
Irwan Kurniawan, ST
Politeknik Jambi
Page | 7
perhatikan rangkaian yang terdiri dari logika NOT dan gerbang logika OR berikut :
Rangkaian diatas dapat dituliskan ke dalam persaman berikut :
� � �� � ��
Kedua rangkaian logika diatas memiliki kesamaan sifat atau dapat dikatakan
keduanya ekivalen sehingga dapat dibuktikan teorema de morgan sesuai dengan
kedua persamaan di atas.
� � � . �������
� � �� � ��
� . ������� � �� � ��
Penyerderhaan dengan Aljabar Boolean
Contoh 1: " � �� � ��� � �
Dapat di sederhakan dengan langkah berikut: " � �� � ��� � � " � ��� � ��� � � #��$�!%��� &�$'� �� � � " � ��(� �( � � #��$�!%��� &�$'� ��� � �� � ���� � 1 " � ���� � � � #��$�!%��� &�$'� � � 1 � 1 " � �� � �
Contoh 2:
� � ��� � �� � �� � ��
Penyelesaian:
� � ��� � �� � �� � ��
� � �� � ��� � �� � ��
� � � � �� � ��
� � ��1 � � � ��
� � � � ��