6. Mekanika

Lagrange as 2201 mekanika benda langit

6.1 Pendahuluan

Bab ini menjelaskan tentang reformulasi

mekanika Newtonian yang dipelopori oleh

ilmuwan asal Perancis-Italia Joseph Louis

Lagrange. Khususnya, formula ini untuk

menyelesaikan persamaan gerak sistem

dinamika yang rumit.

6.2 Koordinat umum Misalkan 𝑞𝑖 (untuk 𝑖 = 1, 𝐹) merupakan sebuah set koordinat dari sistem dinamik. 𝑞𝑖 dapat berupa koordinat kartesian, bola, sudut atau gabungan ketiganya; yang disebut sebagai koordinat umum. Sistem dinamik yang konfigurasi sesaat sepenuhnya ditentukan oleh 𝐹 secara bebas, dikatakan

koordinat umum tersebut memiliki 𝐹 derajat kebebasan. Misalkan, posisi sesaat sebuah partikel yang bergerak bebas dalam tiga dimensi sepenuhnya ditentukan oleh tiga koordinat kartesian , 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 , dan koordinat ini tidak bergantung satu terhadap yang lain, maka sistem dinamis

yang terdiri dari satu partikel bergerak bebas dalam tiga dimensi memiliki tiga derajat kebebasan. Jika ada dua partikel bebas bergerak maka sistem tersebut memiliki enam derajat kebebasan, dan seterusnya.

Misalkan kita memiliki sistem dinamis yang terdiri dari 𝑁 partikel

bergerak bebas dalam tiga dimensi, berarti 𝐹 = 3 𝑁 derajat

kebebasan sistem, yang konfigurasi sesaatnya dapat

ditentukan oleh 𝐹 koordinat kartesian. Koordinat ditunjukkan dengan 𝑥𝑗, dengan 𝑗 = 1, 𝐹, maka 𝑥1, 𝑥2𝑥3, adalah koordinat

kartesian untuk partikel ke-1, 𝑥4, 𝑥5𝑥6, untuk partikel ke-2, dst.

Anggap bahwa konfigurasi sesaat sistem dapat dinyatakan

dengan koordinat umum 𝐹 yang kita notasikan dengan 𝑞𝑖 dengan 𝑖 = 1, 𝐹, dan bisa saja berupa koordinat bola. Kita tuliskan bentuk umum 𝑥𝑗 dengan 𝑞𝑖:

𝑥𝑗 = 𝑥𝑗 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞𝐹 , 𝑡 (6.1)

untuk 𝑗 = 1, 𝐹 (𝑥𝑗 dan 𝑞𝑖 bergantung terhadap waktu).

Misal sebuah sistem terdiri dari partikel yang bergerak pada

permukaan yang bergerak. Dengan aturan rantai, variasi dalam 𝑥𝑗 disebabkan oleh variasi 𝑞𝑖 (dengan 𝑡 konstan):

𝛿𝑥𝑗 = 𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑖=1,𝐹 𝑞𝑖 (6.2)

untuk 𝑗 = 1, 𝐹

6.3 gaya secara umum Kerja pada sistem dinamik dalam koordinat kartesian:

𝛿𝑊 = 𝑓𝑗𝛿𝑥𝑗𝑗=1,𝐹 (6.3)

Di sini, 𝑓𝑗 adalah komponen gaya kartesian yang bekerja

pada berbagai partikel yang membentuk sistem, dengan demikian, 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 adalah komponen gaya yang bekerja pada partikel pertama, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 pada partikel ke-2 dst. Dengan menggunakan persamaan (6.2), dapat kita tuliskan:

𝛿𝑊 = 𝑓𝑗 𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑖=1,𝐹 𝑞𝑖 𝑗=1,𝐹 (6.4)

Atau :

𝛿𝑊 = 𝑄𝑖𝛿𝑞𝑖 𝑖=1,𝐹 (6.5),

dengan

𝑄𝑖 = 𝑓𝑗𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖𝑗=1,𝐹 gaya umum! (6.6)

Perhatikan bahwa gaya umum tidak selalu memiliki dimensi gaya, tetapi produk 𝑄𝑖𝑞𝑖 harus memiliki dimensi kerja. Jadi, jika 𝑞𝑖 tertentu adalah koordinat kartesian maka yang terkait dengan 𝑄𝑖 adalah gaya. Sebaliknya jika 𝑞𝑖 adalah sudut, maka yang terkait dengan 𝑄𝑖 adalah torka.

Misalkan sistem dinamis yang dimaksud adalah konservatif, maka:

𝑓𝑗 = −𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑗, (6.7)

untuk 𝑗 = 1, 𝐹, dengan 𝑈 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝐹 , 𝑡 adalah energi potensial sistem. Oleh karena itu, persamaan (6.6):

𝑄𝑖 = − 𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑗𝑗

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖𝑗=1,𝐹 = −

𝜕𝑈

𝜕𝑞𝑖 (6.8)

untuk 𝑖 = 1, 𝐹

6.4 persamaan Lagrange Persamaan gerak dalam koordinat kartesian:

𝑚𝑗𝑥 𝑗 = 𝑓𝑗 (6.9)

untuk 𝑗 = 1, 𝐹 dan 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3 adalah massa partikel ke-1, 𝑚4, 𝑚5, 𝑚6 adalah massa partikel ke-2, dst. Energi kinetik dapat dituliskan sebagai:

𝐾 =1

2 𝑚𝑗𝑥 𝑗

2𝑗=1,𝐹 (6.10)

dengan 𝑥𝑗 = 𝑥𝑗 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝐹 , 𝑡 , maka dapat kita tuliskan:

𝑥 𝑗 = 𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖𝑞 𝑖 +

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑡𝑖=1,𝐹 (6.11)

untuk 𝑗 = 1, 𝐹. Selanjutnya 𝑥 𝑗 = 𝑥 𝑗 𝑞 1, 𝑞 2, … , 𝑞 𝐹 , 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝐹 , 𝑡 . Menurut persamaan di atas: 𝜕𝑥 𝑗

𝜕𝑞 𝑖=

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖 (6.12)

Dengan 𝑞 𝑖 dan 𝑞𝑖 merupakan variabel bebas.

Dengan mengalikan persamaan (6.12) dengan 𝑥 𝑗 dan

dideferensiasi terhadap waktu didapat:

𝑑

𝑑𝑡𝑥 𝑗

𝜕𝑥 𝑗

𝜕𝑞 𝑖=

𝑑

𝑑𝑡𝑥 𝑗

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖= 𝑥 𝑗

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖+ 𝑥 𝑗

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖 (6.13)

Sekarang 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖=

𝑑2𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑘𝑘=1,𝐹 𝑞 𝑘 +

𝑑2𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑡 (6.14)

Sehingga 1

2

𝜕𝑥 𝑗2

𝜕𝑞 𝑖= 𝑥 𝑗

𝜕𝑥 𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (6.15)

Dan

(6.16)

Dari persamaan 6.13, 6.15, dan 6.16:

𝑑

𝑑𝑡

1

2

𝜕𝑥 𝑗2

𝜕𝑞 𝑖= 𝑥 𝑗

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖+

1

2

𝜕𝑥 𝑗2

𝜕𝑞𝑖 (6.17)

Kalikan persamaan di atas dengan 𝑚𝑗, dan jumlahkan untuk semua 𝑗: 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐾

𝜕𝑞 𝑖= 𝑓𝑗

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑞𝑖+

𝜕𝐾

𝜕𝑞𝑖𝑗=1,𝐹 (6.18)

seperti pada persamaan (6.9) dan (6.10). Dari persamaan (6.6): 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐾

𝜕𝑞 𝑖= 𝑄𝑖 +

𝜕𝐾

𝜕𝑞𝑖 (6.19)

Dan dengan persamaan (6.8), kita peroleh: 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐾

𝜕𝑞 𝑖= −

𝜕𝑈

𝜕𝑞𝑖+

𝜕𝐾

𝜕𝑞𝑖 (6.20)

Sekarang dikenalkan sebuah fungsi Lagrange, yaitu selisih antara energi kinetik dan energi potensial sistem dinamik

𝐿 = 𝐾 − 𝑈 (6.21)

Karena energi potensial 𝑈 tidak bergantung pada 𝑞 𝑖, maka dari Persamaan (6.20): 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞 𝑖−

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 0 (6.22)

untuk 𝑖 = 1, 𝐹

Menurut analisis di atas, jika kita dapat menunjukkan energi kinetik dan energi potensial sistem dinamik yang bergantung terhadap koordinat umum dan turunannya terhadap waktu, maka kita dapat langsung menuliskan persamaan gerak sistem tersebut, yang dinyatakan dalam koordinat umum, dengan menggunakan persamaan Lagrange, (6.22). Tapi skema ini hanya bekerja untuk sistem konservatif.

Contoh: sebuah partikel bermassa 𝑚 bergerak dalam dua dimensi dengan energi potensial pusat 𝑈(𝑟) (sistem dinamik dengan dua derajat kebebasan). Seperti dijelaskan dalam sub-bab 3.4, paling mudah posisi sesaat partikel tersebut dinyatakan dalam koordinat 𝑟 dan 𝜃. Menurut persamaan (3.13), kecepatan partikel tersebut dapat dituliskan sebagai:

𝑣2 = 𝑟 2 + 𝑟𝜃 2 (6.23)

Lagrangian untuk sistem ini (𝐿 = 𝐾 − 𝑈):

𝐿 =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 − 𝑈 𝑟 (6.24)

Sekarang (dengan memanfaatkan persamaan 6.22): 𝜕𝐿

𝜕𝑟 = 𝑚𝑟 ,

𝜕𝐿

𝜕𝑟= 𝑚𝑟𝜃 2 −

𝑑𝑈

𝑑𝑟 (6.25)

𝜕𝐿

𝜕𝜃 = 𝑚𝑟2𝜃 ,

𝜕𝐿

𝜕𝜃= 0 (6.26)

Persamaan Lagrange 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞 𝑖−

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 0(6.22) :

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑟 −

𝜕𝐿

𝜕𝑟= 0 (6.27)

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝜃 −

𝜕𝐿

𝜕𝜃= 0 (6.28)

Sehingga kita peroleh: 𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 +

𝑑𝑈

𝑑𝑟= 0 (6.29)

𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑟2𝜃 = 0 (6.30)

Atau:

𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −𝑑𝑉

𝑑𝑟 (6.31)

𝑟2𝜃 = ℎ (6.32)

Dengan 𝑉 =𝑈

𝑚 , dan ℎ konstan.

Persamaan gerak dalam medan potensial pusat!

6.5 momentum secara umum

Energi kinetik sebuah partikel yang bergerak satu dimensi, dinyatakan dengan:

𝐾 =1

2𝑚𝑥 2 (6.33)

Momentum linier partikel tersebut adalah 𝑝 = 𝑚𝑥 , dan dapat dituliskan sebagai:

𝑝 =𝜕𝐾

𝜕𝑥 =

𝜕𝐿

𝜕𝑥 (6.34),

dengan 𝐿 = 𝐾 − 𝑈, dan energi potensial 𝑈 bergantung pada 𝑥 .

Sekarang bila sistem dinamik dengan 𝐹 koordinat umum 𝑞𝑖. Momentum umum (kadang disebut sebagai momentum konjugat) dinyatakan:

𝑝𝑖 =𝜕𝐿

𝜕𝑞 𝑖 (6.35)

untuk 𝑖 = 1, 𝐹. Persamaan Lagrange (6.22): 𝑑𝑝𝑖

𝑑𝑡=

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖 (6.36)

untuk 𝑖 = 1, 𝐹. Catat bahwa momentum umum tidak selalu memiliki dimensi momentum linier.

Misalkan bahwa Lagrangian 𝐿 tidak

bergantung secara eksplisit pada koordinat

𝑞𝑘. Dari Persamaan (6.36):

𝑑𝑝𝑘

𝑑𝑡=

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘= 0 (6.37),

maka:

𝑝𝑘 = konstan. (6.38)

Dalam kasus ini, Koordinat 𝑞𝑘 tidak diketahui.

Dengan demikian, disimpulkan bahwa momentum

umum yang terkait dengan koordinat yang tidak

dapat diketahui merupakan konstanta gerak.

Kita ambil contoh Lagrangian untuk sebuah partikel

yang bergerak dalam potensial pusat yang tidak

bergantung pada koordinat sudut 𝜃 (persamaan

6.24 ). Maka 𝜃 adalah koordinat yang tidak

diketahui, dan

𝑝𝜃 =𝜕𝐿

𝜕𝜃 = 𝑚𝑟2𝜃 (6.39)

merupakan gerak yang konstan. 𝑝𝜃 merupakan

momentum sudut terhadap pusat, dan kekal

karena tidak ada torka dari pusat yang bekerja

pada gaya pusat.