Tematika: A matematikai fizika differencialegyenleteiKodszam: FLM1202Kreditszam: 6 (fizinfosoknak 5)Orarend:2 ora eloadas, hetfo 10 ora, Farkas Gyula (5/II) terem

2 ora szeminarium, szerda 8 ora, 243A terem

Oktato:Lazar Zsolt Jozsef adjunktusfoepulet 203. teremzsolt.lazar@phys.ubbcluj.roElektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/differencial

1 Vizsga (60%)

Elmelet ∼25%Feladatok ∼75%

2 Tevekenyseg (40%)

Hazi feladatok (60%)1

Felmerok (40%)

1A hazi feladatok fele szukseges a vizsgan valo reszvetelhez.

Tananyag

Kozonseges differencial egyenletek

Parcialis differencial egyenletek

Specialis fuggvenyek

Ortogonalis polinomok

Fourier-sorok

Integral transzformaciok

Komplex analızis???

...

Di�erenciálegyenletek vizsgatételek

2009. június 19.

1. Igazoljuk a Γ(x) =∫∞0e−ttx−1dx Euler-féle függvény következ® tulajdon-

ságát:Γ(x+ 1) = xΓ(x)

Oldjuk meg a következ® di�erenciálegyenleteket:

2.

y′ =

√y

x+y

x

3.y′ − y = 2te2t , y(0) = 1

4.

y′ − y2

3− 2

3x2= 0

(a −1/x megoldása az egyenletnek).

5.(2x+ 3)dx+ (2y − 2)dy = 0

6.y′′y(iv) − (y′′′)

2= 0

7.y′′ + y = t(1 + sin t)

(használjuk az állandók változtatásának módszerét)

8.y′′ + ω2y = cos 2t

(használjuk a Laplace-transzformáltat)

9.y(iv) + 4y′′ = sin 2x+ xex + 4

10. {y′1 − 2y1 + y2 = 2x

y′2 − 3y1 + 2y2 = ex

11. Határozzuk meg a f¶részfogjel Fourier-sorát.

12. Vezessétek le a Hermite-polinomok rekurrencia képletét

e−t2+2tx =

∞∑

n=0

Hn(x)tn

n!

13. Írjuk fel és oldjuk meg a h®di�uzió egyenletét a T (x, 0) = τ(x) kezdetifeltétel esetén.

1

Euler- es Beta-fuggvenyek

Euler vagy gamma fuggveny:

Γ(x) =

∫ ∞

0

e−ttx−1dt , x ∈ R

Masodfaju Euler integral

Megjelenik a statisztikus mechanikaban, valoszınusegszamitasifeladatokban, adatelemzesben.Pl.

”normaleloszlasu” pozitıv definit mennyisegek nyomatekai.

Beta fuggveny:

B(x , y) =

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt , x , y ∈ R

Elsofaju Euler integral

A gamma fuggveny kozeli rokona. Megjelenik peldaul string elmeletben,valoszınusegszamıtasi feladatokban, adatelemzesben.

Tulajdonsagok

Hatarozatlan integralas:

F ′ = f , →∫

f (x)dx = F + C ,

F az f primitıvje.Hatarozott integralas:

∫ b

a

f (x)dx = F

∣∣∣∣b

a

= F (b)− F (a) .

Tulajdonsagok

Γ(1) =

∫ ∞

0

e−tdt = −e−t∣∣∣∞

0= 1 → Γ(1) = 1 .

Parcialis integralas

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′ → f ′ · g = (f · g)′ − f · g′ ,∫

(. . . )

∫f ′(x)g(x)dx = f · g −

∫f (x)g′(x)dx ,

∫ b

af ′(x)g(x)dx = f · g

∣∣∣∣ba−∫ b

af (x)g′(x)dx ,

Γ(x + 1) =

∫ ∞

0

e−ttxdt = − e−ttx∣∣∣∞

0︸ ︷︷ ︸=0

+x

∫ ∞

0

e−ttx−1dt = xΓ(x)

Γ(x + 1) = xΓ(x)

Legyen x = n ∈ N

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) =

= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = · · · = n!

Γ(n + 1) = n!

(2n)! = 1 · 2 · 3 · 4 . . . (2n − 2)(2n − 1)2n (1)

(2n)!! = 2 · 4 · 6 . . . (2n − 2)2n = 2nn! (2)

(2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 . . . (2n − 3)(2n − 1) (3)

→ (2n)! = (2n)!!(2n − 1)!! = 2nn!(2n − 1)!!

t = u2, dt = 2u du

Γ(x) = 2

∫ ∞0

e−u2u2x−1du

∫ π/2

0cos2x−1 θ sin2y−1 θdθ =

Γ(x)Γ(y)

2Γ(x + y)

Biz:

Tobbszoros integralas valtozocserevel

V =

∫D

f (x, y)dxdy =

∫D

f (x, y)dSxy , dSxy = dx · dy .

(x, y) y (u, v)

V =

∫D

g(u, v)dudv =

∫D

g(u, v)dSuv , dSuv = du · dv

dSxy =

∣∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∣ dSuv →

∣∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∣ ≡∣∣∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣∣V =

∫D

f (x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∣ dudv =

∫D

g(u, v)dudv → g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∣Pelda:

x = r cos θ , y = r sin θ →∂x

∂r= cos θ ,

∂x

∂θ= −r sin θ ,

∂y

∂r= sin θ ,

∂y

∂θ= r cos θ ,

∣∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(r, θ)

∣∣∣∣∣ = r →

V =

∫D

f (x, y)dxdy =

∫D

f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ =

∫D

g(r, θ)drdθ , g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)r .

t = u2, dt = 2u du

Γ(x) = 2

∫ ∞0

e−u2u2x−1du

∫ π/2

0cos2x−1 θ sin2y−1 θdθ =

Γ(x)Γ(y)

2Γ(x + y)

Biz:

1

4Γ(x)Γ(y) =

∫R+

e−u2u2x−1du

∫R+

e−t2t2y−1dt = (4)

=

∫∫R2

+

e−(u2+t2)u2x−1t2y−1dudt = . . . (dudt → rdrdθ) . . . (5)

=

∫ ∞0

∫ π/2

0e−r2

(r cos θ)2x−1(r sin θ)2y−1rdrdθ = (6)

=

∫ ∞0

e−r2r2x+2y−1dr

∫ π/2

0cos2x−1 θ sin2y−1 θdθ = (7)

=1

2Γ(x + y)

∫ π/2

0cos2x−1 θ sin2y−1 θdθ � (8)

Γ(1

2) =√π .

Biz: Az elozo tulajdonsagbol, ha x = y = 1/2

∫ π/2

0

cos2x−1 θ sin2y−1 θdθ =Γ(x)Γ(y)

2Γ(x + y)

∫ π/2

0

dθ =Γ(1/2)2

2Γ(1)=π

2�

B(x , y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x + y)

Biz:

B(x , y) =

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt , x , y ∈ R

t = cos2 θ, ha t = 0→ θ = π/2, ha t = 1→ θ = 0,dt = −2 cos θ sin θdθ

→ B(x , y) = 2

∫ π/2

0

cos2x−2 θ sin2y−2 θ cos θ sin θdθ �

Elozo tulajdonsagbol:B(x , y) = B(y , x)

B(x + 1, y) =x

x + yB(x , y)

Biz:

B(x + 1, y) =Γ(x + 1)Γ(y)

Γ(x + y + 1)=

xΓ(x)Γ(y)

(x + y)Γ(x + y)

B(x , y + 1) =y

x + yB(x , y)

→ B(x + 1, y) + B(x , y + 1) = B(x , y)

→ B(x + 1, y)

x=

B(x , y + 1)

y

Legendre osszefugges

Γ(x)Γ(x +1

2) =

√π

22x−1Γ(2x)

Biz:

B(x , x) =Γ(x)2

Γ(2x)=

∫ 1

0tx−1(1− t)x−1dt =

∫ 1

0(t − t2)x−1dt = (9)

=

∫ 1

0

[1

4−(

1

2− t

)2]x−1

dt = ; t −1

2=

s

2, dt =

ds

2(10)

=1

2

∫ 1

−1

(1

4−

s2

4

)x−1

ds =1

22x−2

∫ 1

0(1− s2)x−1ds = (11)

; s2 = t → s =√t → ds =

1

2√tdt (12)

=1

22x−2

∫ 1

0(1− t)x−1 1

2t−1/2dt =

1

22x−1

∫ 1

0t−1/2(1− t)x−1 =

1

22x−1B

(1

2, x

)=

(13)

=1

22x−1

Γ(

12

)Γ(x)

Γ(x + 1

2

) =Γ(x)2

Γ(2x)� (14)

Γ

(n +

1

2

)=

(2n)!√π

22nn!

Biz: Az elobbi tulajdonsagbol:

Γ

(n +

1

2

)=

√πΓ(2n)

22n−1Γ(n)=

√π(2n − 1)!

22n−1(n − 1)!�

Γ(x) abrazolasa

Γ(1) = 1 , Γ(2) = 1 · Γ(1) = 1 , Γ(3) = 2 · Γ(2) = 2 ,

Γ

(1

2

)=√π ≈ 1, 77 , Γ

(3

2

)=

1

2Γ

(1

2

)=

√π

2≈ 0, 88 ,

Γ

(5

2

)=

3

2Γ

(3

2

)=

3√π

4≈ 1, 33

Γ(x + 1) = xΓ(x) , → Γ(x) =Γ(x + 1)

x

→ limx↘0

Γ(x) = +∞ , limx↗0

Γ(x) = −∞ , limx↗−1

Γ(x) = − limx↗−1

Γ(x+1) = +∞

limx↘−1

Γ(x) = −∞ , Γ

(−

1

2

)= −2

√π , lim

x↗−2Γ(x) = − lim

x↗−2Γ(x+1) = −∞

Γ

(−

1

2

)= −

3

2Γ

(−

3

2

)→

Γ

(−

3

2

)= −

5

2Γ

(−

5

2

)→

Γ

(−

5

2

)= −

7

2Γ

(−

7

2

)→

Γ

(−

3

2

)=

4

3

√π

Γ

(−

5

2

)= −

8

15

√π

Γ

(−

7

2

)=

16

105

√π

Γ(x)Γ(1− x) =π

sinπxEuler-keplet

Biz:Tetel: Ha x1, x2, · · · , xi , · · · ∈ R vegtelen sorozat az f (x) fuggveny gyokei:f (xi ) = 0, i = 1, 2, 3, ..., akkor az f fuggveny felırhato ugy, hogy:

f (x) = x

(1−

x

x1

)(1−

x

x2

)· · ·(

1−x

xi

)· · · eφ(x)

ehol eφ(x) valamely gyoknelkuli fuggveny.Peldaul:

sin x ; sin nπ = 0 , n = 0,±1,±2,±3, . . .

sin x = x

(1−

x2

π2

)(1−

x2

(2π)2

)· · ·(

1−x2

(iπ)2

)· · · ≡ x

∞∏k=1

(1−

x2

k2π2

)

sinπx

πx=∞∏k=1

(1−

x2

k2

)

1

Γ(x)= 0 , ha x = 0,−1,−2,−3, . . .

1

Γ(x)= x

(1 +

x

1

)(1 +

x

2

)· · ·(

1 +x

k

)· · · eax

1

Γ(−x)= −x

(1−

x

1

)(1−

x

2

)· · ·(

1−x

k

)· · · e−ax

Az φ(x) = ax alak eredetenek bizonyıtasa hosszadalmas.

1

Γ(x)Γ(−x)= −x2

(1−

x2

12

)(1−

x2

22

)· · ·(

1−x2

k2

)=

= −x2∞∏k=1

(1−

x2

k2

)=

= −x2 sinπx

πx

Γ(1− x) = −xΓ(−x)→ Γ(−x) = −Γ(1− x)

x−x

Γ(x)Γ(1− x)= −x

sinπx

πx�

Stirling keplet:

n! ≈√

2πn(ne

)n (1 +

1

12n

)