Soal Latihan dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Di susun Oleh :

Yuyun Somantri1

http://bimbinganbelajar.net/

Di dukung oleh :

Portal edukasi Gratis Indonesia Open Knowledge and Education

http://oke.or.id

Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial

1 Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di SMA Negeri 3 Tasikmalaya

Persamaan Lingkaran

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 !

Jawab :011866)4()3( 22222 =−−−+⇔=−+− yxyxyx

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (2,3) dan melalui titik (5,-1) !

Jawab :Persamaan lingkaran yang berpusat (2,3 ) adalah 222 )3()2( ryx =−+−Melalui titik (5,-1) maka : 25)31()25( 2222 =⇔=−−+− rrJadi persamaan lingkarannya : 25)3()2( 22 =−+− yx atau

0126422 =−+−+ yxyx

3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik A dan B !

Jawab :

Pusat lingkarannya :

=

+−+

23,

27

241,

225

Panjang diameternya : 34)14()52( 22 =++−

Jari-jari lingkarannya = r = ½ d = 3421

Persamaan lingkarannya : 2212

232

27 )34()()( =−+− yx atau

063722 =+−−+ yxyx

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis 3x - 4y + 7 = 0 !

Jawab :

r (2,-3)

0126425)3()2(

5)4(37)3)(4(2.3

2222

222211

=−+−+⇔=++−

=−+

+−−+=+

++=

yxyxyxJadi

bacbyaxr

1

5. Tentukan pusat lingkaran 0136422 =+−++ yxyx !

Jawab :Pusat ( ) )3,2())6.(,4.(, 2

121

21

21 −=−−−=−− BA

6. Tentukan jari-jari lingkaran 02422 =++−+ cyxyx yang melalui titik A(5,-1) !

Jawab :Melalui titik A(5,-1) maka 40)1(25.4)1(5 22 −=⇔=+−+−−+ cc

3)4(2.)4.( 2412

412

412

41 =−−+−=−+= cBAr

7. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran 0112444 22 =+−++ yxyx !

Jawab :

( )23

41

49

41

23

21

4122

22

,

03

4:0112444

=−+==−

−=

=+−++

=+−++

rjariJari

Pusatyxyx

yxyx

8. Tentukan m supaya lingkaran 06422 =++−+ myxyx mempunyai jari-jari 5 !

Jawab :1236.16.5 4

141 −=⇔−+= mm

9. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran 2522 =+ yx maka tentukan c !

Jawab :Cara I : Substitusi y = x + c ke 2522 =+ yx maka

2502008404

0252225)(222

2222

±=⇔=+−⇒=−=

=−++⇔=++

cccacbD

ccxxcxx

Cara II : 52522 =⇒=+ ryx

2550)11(25)1(

12222 ±=⇔=+=+=

=⇒+=

cmrc

mcxy

2

10. Tentukan a agar garis y = x + a menyinggung lingkaran 022622 =+−−+ yxyx !

Jawab :

260)22.(2.4)82(0

022)82(202)(26)(

22

22

22

=−==+−−−⇒=

=+−+−+

=++−−++

aatauaaaaD

aaxaxaxxaxx

11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx yang melalui titik (7,1) !

Jawab :Persamaan garis yang melalui titik (7,1) adalah :

2534.71

2543)(71

)1(25)71()1(71)7(1

34

34

34

2

43

43

43

1

34

243

122222

=−⇔−+=⇒=

=+⇔−−+−=⇒−=

=−=⇔+=−⇒+=

−+=⇔−=−

yxxymyxxym

mataummmmrcmmxyxmy

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 0126422 =−+−+ yxyx di (5,1 ) !

Jawab :Cara I : 25)3()2(01264 2222 =++−⇒=−+−+ yxyxyx

Persamaan garis singgungnya :

0194325)3)(31()2)(25(25)3)(3()2)(2( 11

=−+=+++−−

=+++−−

yxyxyyxx

Cara II : Garis yang melalui (5,1) adalah :

01943)5(1

)1(25)34()1(

34)2(3)22(43)5(1

43

4322

222

=−+⇔−−=−

−=⇔+=++=

−+−=+⇔−−=−+−=−

yxxyjadiMmm

mrcmxmyxmy

xmy

3

13. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran 16922 =+ yx menyinggung lingkaran pyx =−+− 22 )12()5( . Tentukan p !

Jawab :Persamaan garis singgung pada lingkaran 16922 =+ yx adalah 16911 =+ yyxx

Melalui (12,-5) sehingga :12x – 5y = 169

)1........(169)12(5)5(1216960)12(560)5(12

=−−−=−−−+−

yxyx

Garis singgung pada lingkaran pyx =−+− 22 )12()5( adalah :)2.(..........)12)(12()5)(5( 11 pyyxx =−−+−−

Dari (1) dan (2) disimpulkan p = 169

14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y !

Jawab :Karena pusatnya (3,2) dan menyinggung sumbu Y maka r = 3.Persamaan lingkarannya :

04469)2()3( 2222 =+−−+⇔=−+− yxyxyx

15.Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90 searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan,

maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !

Jawab :Persamaan lingkaran dengan (-2,3) dan melalui titik (1,5) adalah:

( )0566

0)"(6)5"(4)"(5"

:)1()2(

)2.......("5"

550

""

0110

)90cos()90sin()90sin()90cos(

''

)1.......(06413)3()2(13)35()21(

)3()2(

22

22

2222

2222

222

=++−+=−−−++−−

=−−=

⇒

−−

=

−

+

−

=

−

=

−

=

−−−−−

=

=−++⇔=−++=⇔=−++

=−++

yxyxxyxy

keSubstitusixyyx

xy

xy

yx

xy

yx

yx

yx

yxyxyxJadirr

ryx

4

16. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran 0215222 =−−++ yxyx , maka tentukan k !

Jawab :6102151025 2 =−=⇔=−−−+ kataukkk

17. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) !

Jawab :Misal persamaan lingkarannya : 022 =++++ CByAxyxMelalui A(5,0) maka 5A + C = -25 ……..(1)Melalui B(0,5) maka 5B + C = -25 ……..(2)Melalui C(-1,0) maka –A + C = -1 ………..(3)Dari (1), (2) dan (3) didapat A = -4, B = -4 dan C = -5Jadi persamaan lingkarannya 054422 =−−−+ yxyx

Sehingga jari-jarinya = r = 13)5(22 22 =−−+

18.Diketahui lingkaran dengan persamaan 0025622 <=+−++ bdanybxyx menyinggung sumbu X. Tentukan nilai b !

Jawab :Pusat lingkaran ( )3,2

1 b−Menyinggung sumbu X berarti r = 3r = 3 = 10253)( 22

21 −=⇒−+− bb

19. Lingkaran 0222 =+−+ qpxyx yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis x – y = 0 bila nilai p yang positif = ……

Jawab :)1.......(402 22 −=⇔−+== pqqpr

Menyinggung garis y = x maka :

220)4(2

:)2()1()2.(..........020.2.4)2(0

02202

22

22

222

=⇒=−−

=−⇔=−−⇒=

=+−⇔=+−+

ppp

keSubstitusiqpqpDqpxxqpxxx

5

20. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran 0176422 =−+−+ yxyx dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 !

Jawab :Misal persamaan lingkarannya : )1.........(06422 =++−+ cyxyx

Substitusi 473 += xy ke persamaan (1) sehingga :

120)16217.(25.45000162175025

16.047364

473

2

2

22

=⇔=+−⇒==+++

=+

++−

++

ccDcxx

cxxxx

Persamaan lingkarannya :25)3()2(01264 2222 =++−⇔=−+−+ yxyxyx

21. Garis singgung lingkaran 2522 =+ yx di titik (-3,4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10,5). Tentukan jari-jarinya !

Jawab :Persamaan garis lingkaran 2522 =+ yx di titik (-3,4) adalah:

)1........(42532543 +=⇔=+− xyyx

Persamaan lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari-jari r adalah :( )

70)161625.(25.4)290(0016162529025

16.012542531020

4253

:)2()1()2.......(01251020)5(10

22

22

22

2

222222

=⇔=−−−⇒==−+−

=−+

+−−

++

=−+−−+⇔=−+−

rrDrxx

rxxxx

keSubstitusiryxyxryx

22. Jika jari-jari lingkaran L adalah r dan A suatu titik pada L sehingga 45=∠ BAC , maka tentukan luas daerah yang diarsir !

C

O B A

Jawab :

( )241.

21.

36090

902

22 −=−=−=

=∠=∠

∆ ππ rrrrLLL

BACBOC

ABCBOCjuring

6