3.3 Paradoks Zeno

Zeno merupakan seorang ahli falsafah yang berasal dari Elea. Beliau merupakan anak

lelaki kepada Teleutagoras. Beliau juga merupakan rakan dan anak murid kepada

Parmenides. Dalam falsafah monismanya, beliau mendakwa bahawa banyak perkara

kelihatan wujud hanyalah sekadar satu reality kekal yang tunggal dan digelar sebagai

makhluk. Prinsip beliau bahawa "semua adalah satu" dan perubahan tersebut adalah

mustahil. Segala hujah Zeno telah banyak dipengaruhi oleh hujah-hujah Parmenides.

Paradoks adalah suatu istilah yang mengarah kepada suatu pernyataan yang secara

logiknya terlihat benar tetapi salah dalam realitinya. Paradoks ini dianggap seakan-akan

'keperluan' untuk percanggahan atau kemustahilan. Satu paradoks yang timbul secara logik

daripada aksiom formal dipanggil antinomi. Paradoks yang sebenar secara umumnya boleh

diklasifikasikan sebagai paradoks logik, paradoks-infiniti, paradoks pengetahuan, paradoks

bahasa, dan paradoks diri rujukan.

Salah satu paradoks yang terkenal dalam bidang matematik adalah pernyataan yang

dikemukaan oleh Zeno dari Elea, yang kemudiannya dikenali sebagai Paradoks Zeno. Ianya

terkenal kerana orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Ahli falsafah Zeno telah

mencadangkan satu siri falsafah bagi mencabar fahaman berkenaan multiplicity (bilangan

yang banyak) dan gerakan bagi melenyapkan segala tanggapan tentang ruang dan masa.

Hujah beliau tersebut telah membawa kepada wujudnya paradoks, sehinggalah kepada

lahirnya infinity atau tidak terhingga.

Rajah 12 Zeno

Menurut pengikut Pythagoras, semua yang berada di dunia ini boleh diukur sebagai

gabungan atau gandaan unit-unit. Sebagai contoh, mereka melihat garisan sebagai

kumpulan titik-titik yang diskrit. Satu garisan tidak terhingga akan terdiri daripada gabungan

titik-titik yang tidak terhingga, tetapi hanya dalam konteks infiniti kerana adalah mustahil

untuk mewujudkan infiniti yang sebenar. Oleh yang demikian, garisan yang mempunyai

sempadan dikatakan terbina oleh titik-titik yang terbatas. Zeno menentang pendapat

tersebut dengan menyatakan bahawa garisan (sebarang panjang) akan sentiasa dapat

di’kerat’ menjadi 2 bahagian, dan bahagian tersebut boleh dibahagi lagi dan lagi

sehinggalah membentuk infiniti.

Dengan melihat ruang sebagai gabungan titik-titik, manakala, masa sebagai

gabungan ‘waktu’ yang diskrit, Zeno memaksa kita untuk mempercayai gerakan adalah

sebuah ilusi. Paradoks Zeno, walaupun secara amnya dibina untuk menyangkal idea

bahawa gerakan adalah suatu yang benar, pada masa yang sama ia turut berjaya

memperdebatkan hal berkenaan ruang dan masa yang sentiasa berterusan (continuous),

mempertahankan kewujudan keadaan tidak terhingga dan isu-isunya yang sering dilihat

sebagai tidak masuk akal.

Rajah 13 Zeno berpendapat sesuatu garisan sentiasa dapat dikerat

menjadi 2 bahagian sehingga infiniti

Terdapat empat jenis paradoks Zeno yang telah dicadangkan dalam usaha untuk

mencabar tanggapan tentang ruang dan masa yang sering berlegar dalam ruang lingkup

falsafah pada zaman tersebut. Paradoks yang dibawa oleh beliau membingungkan ahli

Matematik selama berabad-abad, namun, semuanya berubah apabila munculnya teori

infinite set atau set terhingga yang menyatakan bahawa paradoks-paradoks tersebut dapat

diselesaikan sepenuhnya. Paradoks Zeno memberi tumpuan terhadap hubungan diskrit

secara berterusan, iaitu suatu isu yang mendapat perhatian meluas dalam bidangnya.

Keempat-empat paradoks di bawah ini merupakan "paradoks" yang sama tetapi

bukan paradoks yang sebenar. Hal ini kerana mereka tidak menunjukkan percanggahan

yang mereka berpura-pura untuk menunjukkan sesuatu.

4 Jenis Paradoks

Zeno

Paradoks Achilles & kura-kura

Paradoks Diktomi

Paradoks Anak

Panah

Paradoks Stadium

Rajah 13 Empat jenis paradoks Zeno

3.3.1 Paradoks Achilles dan Kura-kura

Kura-kura telah mencabar Achilles, yang merupakan pelari terpantas purba, untuk berlumba

dengannya. Kura-kura mendakwa ia mampu menang dengan syarat Achilles membenarkan

beliau memulakan perlumbaan tersebut 100 kaki di hadapan. Achilles membenarkannya

kerana dia yakin dengan kemenangannya. Kedua-duanya bergerak pada satu laluan lurus

pada kelajuan malar.

Dalam usaha untuk menyamai kura-kura tersebut, Achilles perlu tiba ke tempat di

mana kura-kura berada kini. Walaubagaimanapun, pada masa Achilles tiba pada

kedudukan tersebut, kura-kura telah bergerak ke satu lokasi baru. Contohnya, Ketika lumba

sudah bermulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik permulaan kura-kura). Namun si

kura-kura ini juga pasti sudah melangkah maju, Achilles kemudiannya perlu untuk sampai

ke lokasi baru ini. Semasa Achilles tiba di lokasi tersebut, kura-kura akan berpindah lagi ke

lokasi lain, dan begitulah seterusnya. Zeno kononnya ingin membuktikan bahawa Achilles

tidak akan dapat memotong kura-kura. Zeno menganalogikan paradoks ini dengan

membayangkan lumba lari Achilles dengan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari

dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah tentu jauh lebih lambat.

Rajah 14 Paradoks Achilles dan kura-kura

Setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura berada sebelum itu, kura-

kura sudah melangkah maju. Dalam erti kata lain, Achilles, secepat mana pun dia berlari

tidak akan dapat mendahului kura-kura (tidak kira seberapa lambat kura-kura melangkah).

Secara ringkasnya, pelari tercepat (A) tidak akan dapat mendahului pelari yang lebih lambat

(B). Hal ini berlaku kerana A harus berada pada titik permulaan B, sementara, B sudah

meninggalkan (berada di depan) titik tersebut.

Apa yang Zeno lakukan di sini dalam satu paradoks yang lain adalah untuk

membahagikan perjalanan Achilles kepada beberapa bahagian yang tak terhingga. Ini

adalah dibenarkan, mengikut mana-mana segmen talian boleh dibahagikan kepada

bilangan mata yang tak terhingga atau segmen garisan. Pada hakikatnya, pembahagian

jarak Achilles ini menjadikannya berlari dalam bahagian yang tidak terhingga. Beliau mesti

melalui titik A, kemudian B, C, dan sebagainya. Zeno mengatakan bahawa anda boleh

membahagikan garisan kepada beberapa bahagian yang tak terhingga. Dan kemudian

beliau mengatakan bahawa anda tidak boleh bahagikan selang masa kepada beberapa

bahagian yang tak terhingga. Ini tidak konsisten. Tiada paradoks di sini. Zeno hanya

berpura-pura jahil mengenai sifat masa. Sela masa hanya satu lagi segmen talian (apabila

diplot dalam graf), yang anda boleh bahagikan dalam apa-apa cara yang anda inginkan.

3.3.2 Paradoks Diktomi

Dalam paradoks ini, Zeno menyatakan bahawa seorang pelari tidak akan tiba di garisan

penamat pada suatu trek perlumbaan dengan alasan untuk menempuhi suatu perjalanan

dengan jarak tertentu, semua objek bergerak mesti akan melalui ½ daripada jarak tersebut.

Sebelum ia melalui ½ daripada jarak yang dinyatakan, ia mesti melalui ¼ daripada jarak

tersebut. Begitulah seterusnya, 1/8, 1/16, 1/32…sedemikian sehingga jumlah perjalanannya

menjadi tidak terhingga. Oleh kerana itu, adalah mustahil untuk melakukan perjalanan

sebanyak tidak terhingga, maka, objek tidak akan dapat sampai ke tempat yang dituju.

Terdapat beberapa hujah yang diberikan oleh Zeno, namun, hujah yang paling

kukuh mengatakan bahawa pelari tidak akan sampai ke garisan penamat disebabkan oleh

jaraknya yang terlalu jauh dan jumlah jarak larian itu adalah tidak terhingga. The Standard

Solution berpendapat sebaliknya; hasil tambah siri geometri tidak terhingga ialah 1, bukan

infiniti.

Dalam contoh Zeno, seekor kuda cuba untuk merentasi jarak dari titik A ke titik B.

Sebelum kuda tersebut sampai di kedudukan B, secara jelasnya ia mesti terlebih dahulu

melintasi separuh daripada jarak berkenaan. Sebelum ia bergerak melintasi separuh

daripada jarak berkenaan, semestinya ia perlu melalui satu per empat jarak dan begitulah

seterusnya seolah-olah perjalanan untuk melepasi suatu jarak, sebenarnya tidak berlaku! Ia

tidak mampu dimulakan, mahupun diselesaikan. Oleh yang demikian, pergerakan tersebut

mengikut Zeno hanyalah ilusi semata-mata.

3.3.3 Paradoks Anak Panah

Paradoks ini mengambil pendekatan yang berbeza untuk mencabar kesepaduan kewajaran

pemikiran berkaitan konsep masa dan gerakan. Berbeza dengan yang lain, paradoks ini

cuba menunjukkan bahawa “pergerakan” dan “kaku” itu sebenarnya tidak dapat dipisahkan.

Dengan andaian bahawa ‘masa terdiri daripada detik-detik’, Zeno menjelaskan bahawa

untuk membentuk sebarang pergerakan, suatu objek mestilah mengubah kedudukan yang

ia penuhi kini. Beliau turut menyatakan bahawa pada satu-satu ketika, anak panah

sebenarnya tidak bergerak, sama ada di tempatnya atau sebaliknya. Ia tidak boleh bergerak

ke tempat lain kerana tiada masa yang diperuntukkan untuk anak panah itu bergerak. Ia

juga tidak boleh bergerak di tempatnya kerana ia sudah ada di situ. Dalam erti kata yang

lain, pada setiap ketika, tiada pergerakan yang berlaku. Jika segalanya kaku pada setiap

detik, yang mana masa pula adalah gabungan detik-detik, maka pergerakan adalah suatu

yang mustahil. Perkara ini dapat dijelaskan melalui gambar rajah serta contoh berikut:

Rajah 15 Paradoks Diktomi

Ta, Tb, Tc, Td dan Te mewakili detik-detik. Garis lurus PQ mewakili jarak, manakala

setiap gambar anak panah mewakili lokasi anak panah pada setiap detik. Pada Ta, hujung

anak panah berada di titik P. Ia ‘terbang’ ke titik Q. Jika mata manusia dapat merakamkan ia

pada setiap detik, maka, kita akan dapat melihat anak panah tersebut pada titik X, titik Y

dan titik Z. Malangnya, mata kita tidak mempunyai kemampuan tersebut. Malah, sekiranya

kita menggunakan kamera berprestasi tinggi sekalipun, kita tidak dapat melihat gambar

anak panah yang kaku. Tidak kira betapa cepatnya kelajuan pengatup (shutter), hasilnya

hanyalah imej yang kabur.

Zeno melihat waktu sebagai rangkaian “masa kini” yang berkesinambungan. Oleh

yang demikian, sebuah anak panah yang meluncur memiliki pelbagai versi “masa kini”

dalam perjalanannya. Ada “masa kini” sesaat sesudah lepas dari busur, “masa kini” setelah

beberapa detik di angkasa, dan seterusnya.

Rajah 16 Pergerakan anak panah kura

Masalahnya ialah pada setiap “masa kini” itu, anak panah mendiami tempat yang

tetap, persis jika dirakam oleh kamera video. Pada setiap frame terdapat pelbagai kondisi

anak panah. Semuanya nampak kaku. Walaubagaimanapun, sekiranya video dimainkan,

bahawa anak panah itu sebenarnya bergerak. Hal inilah yang dikatakan Zeno bahawa anak

panah itu “kaku” sekaligus “bergerak”. Sungguhpun kedua-dua paradoks sebelum ini

melibatkan pembahagian ruang, paradoks anak panah pula membahagikan waktu atau

masa – bukan kepada segmen, tapi kepada bentuk titik (points).

3.3.4 Paradoks Stadium

Sebuah jasad bergerak pada kelajuan yang ditetapkan dalam tempoh masa tertentu untuk

merentasi sebuah jasad lain yang mempunyai panjang yang tetap. Zeno ingin mencabar

keadaan ini dengan mengutarakan paradoks keempat beliau iaitu paradoks stadium atau

juga dikenali sebagai paradoks ‘baris bergerak’. Andaikan bahawa terdapat 3 buah keretapi,

yang mana setiap satunya dipenuhi dengan kereta yang sama saiz. Keretapi A tidak

bergerak (kekal pada kedudukannya), keratapi B bergerak ke kiri A, manakala, keretapi C

bergerak secara relatif ke kanan A dan B serta bergerak pada kelajuan yang sama

sebagaimana B.

Rajah 17 Urutan Kotak-Tiga Empat (Three Four-Box Sequences)

Katakan T sebagai masa yang diambil untuk sebuah kereta dalam keretapi B bergerak

melepasi sepenuhnya sebuah kereta lain dalam keretapi A.

Oleh kerana keretapi C bergerak pada kelajuan yang sama dengan keretapi B, ia

juga mengambil masa T untuk sebuah kereta dalam gerabaknya melepasi sebuah kereta

lain dalam keretapi A.

Disebabkan oleh keretapi B menggerakkan sebuah kereta ke kiri, manakala,

keretapi C menggerakkan sebuah kereta dalam gerabaknya ke kanan, B dan C telah

menggerakkan sepenuhnya dua buah kereta secara relatif antara satu sama lain. Atas

dasar hujah ini, kita boleh menentukan unit terkecil masa yang baru iaitu T/2 sebagai

tempoh masa yang diambil untuk keretapi C menggerakkan sebuah keretanya secara relatif

kepada keretapi B.

Begitulah seterusnya; keretapi B diandaikan sebagai berehat, dan kita boleh

membayangkan keretapi terbaru iaitu keretapi D akan mengulangi infinitum yang wujud.

Idea yang ingin diutarakan di sini ialah ia adalah suatu bentuk percanggahan untuk

membayangkan masa sebagai satu urutan detik-detik yang diskrit, kerana detik-detik ini

boleh dipecahkan secara tidak terhingga.

3.3.4 Penyelesaian dan Aplikasi Kalkulus

Paradoks Pertama:

Menurut Standard Solution, jarak yang dilalui oleh Achilles adalah terbatas, bukan infiniti.

Berikut adalah graf mengikut kaedah Standard Solution yang akan menjelaskan lagi

perlumbaan tersebut.

Kesilapan teori Zeno kini jelas: Achilles dan kura-kura bergerak bebas melalui ruang-

masa. Kedudukan Achilles juga sememangnya tidak bergantung pada kura-kura.

Berpandukan graf tersebut, Achilles dapat mengatasi kura-kura apabila trajektori beliau

melintasi laluan kura-kura. Kesilapan Zeno ialah kerana mengandaikan nombor tidak

terhingga apabila dijumlahkan hasilnya juga menjadi tidak terhingga. Walaubagaimanapun,

Rajah 18 Graf perlumbaan Achilles dan kura-kura

dengan pengenalan kalkulus, kita mampu membuktikan jarak tidak terhingga antara Achilles

dan kura-kura tersebut adalah sebaliknya, yang mana jarak tersebut adalah antara 11 dan

12 meter.

Pada mulanya, Achilles berada 10 meter ke belakang kura-kura. Tiba di kedudukan

10 meter, beliau mendapati dirinya berada 1 meter di belakang kura-kura, memandangkan

kadar pergerakan kura-kura tersebut diandaikan sebagai 1/10 Achilles. Achilles berlari 1

meter lagi ke hadapan, menjadikan beliau 1/10 meter di belakang kura-kura. Begitulah

seterusnya: 1/100 meter, 1/1000 meter.

Dalam bentuk siri geometrik:

Pengiraan Achilles, a=10, dan r=1/10.

Hal ini membuktikan bahawa Achilles berjaya menyaingi kura-kura pada jarak 11 1/9 meter

perlumbaan.

10+1+ 110

+ 1100

+ 11000

+…

∑n=1

∞

arn−1=a+ar+ar2+…= 11−r

,untuk|r|<1

a1−r

= 10910

=1009, untuk a=10danr= 1

10

Paradoks Kedua:

Andaikan diberi situasi yang sama: berjalan merentasi sebuah bilik. Paradoks Dikotomi

menyebabkan kita ‘menyedari’ bahawa kita hanya berjaya berjalan separuh perjalanan ke

dinding bilik, dan tidak akan pernah sampai ke tempat yang ingin dituju. Masalah ini

menimbulkan kekeliruan kerana kita berpendapat bahawa jarak tidak terhingga apabila

dijumlahkan turut menjadi tidak terhingga, menyebabkan masa yang diambil untuk

melengkapkan perjalanan juga adalah tidak terhingga. Walaubagaimanapun, jumlah jarak

adalah finite atau terbatas kerana ia tidak pernah melebihi panjang bilik tersebut.

Dan boleh ditulis sebagai:

Umum mengetahui hasil tambahnya ialah 1 kerana dengan menambah kesemua pecahan

(terms), kita dapat mendekati nilai 1 sehampir yang diingini, namun, tidak mampu untuk

mencapai (dengan tepat) atau melebihinya.

Paradoks Ketiga:

Disebabkan ketajaman visual kinetik manusia adalah terhad, otak kita mengimbangi

sesuatu pergerakan. Sebagai contoh, gerakan linear yang seragam adalah gerakan yang

paling mudah. Jika pergerakan boleh dimodelkan, kita mampu membuat pengiraan jarak

yang dilalui objek. Rajah 7 berikut menunjukkan graf jarak-masa.

12+ 14+ 18+ 116

+ 132

+ 164

+…+ 12n

+…

∑n=1

∞12n

Paradoks Anak Panah adalah berdasarkan kepada model ini. Disebabkan panjang

masa pada satu ketika ialah sifar, maka, objek tersebut berhenti pada satu ketika tersebut.

Sekiranya kita menggantikan sebagai ke dalam persamaan , maka, .

Zeno berhujah bahawa satu garis lurus boleh dibahagikan secara tidak terhingga

kerana ia mengandungi titik-titik, dan antara dua titik tersebut, tidak kira sedekat mana pun

mereka, terdapat titik yang lain. Hal inilah yang membuktikan satu titik tidak mempunyai

apa-apa dimensi, tidak mempunyai ‘bahagian’. Begitu juga dengan selang masa. Antara

dua ketika, tidak kira betapa dekatnya mereka, terdapat ketika yang lain. Seterusnya, kita

akan melihat samada masa terdiri daripada ketika atau sebaliknya. Sebanyak mana ketika

yang dikumpul, tempoh masanya ialah sifar.

Tidak kira betapa banyak sifar yang ada, hasil tambahnya tetap sifar. Masa diwakili

oleh panjang garisan, dan ketika diwakili oleh titik pada graf jarak-masa. Tidak kira betapa

banyak titik-titik yang terkumpul, tempohnya juga sifar. Oleh yang demikian, dalam konteks

ini, garisan dikatakan tidak terdiri daripada titik-titik, seterusnya, menjadikan masa bukanlah

terdiri oleh ketika (instants).

Rajah 19 Graf Jarak-Masa

0=0+0+0+…+0

Paradoks Keempat:

Paradoks ini dikatakan agak samar-samar, dan mungkin hanya boleh diatasi dengan

menggunakan konsep kelajuan relatif. Jika dua jasad bergerak, salah satunya boleh

dianggap diam atau kaku, manakala, satu lagi jasad dijumlahkan kelajuannya.

Dalam contoh yang diberi sebelum ini, ketika B dan C sama-sama bergerak pada

waktu yang sama, maka, tempoh masa sebelum mereka bertemu juga berkurang

(mengecil). Hal ini disebabkan oleh kelajuan mereka saling menjumlahkan. Sementara A

pula tidak akan menerima sebarang kesan atau keuntungan tersebut.