8/6/2019 Numerical (5.1)

1/10

1

5. 1 : PENYELESAIAN PERSAMAAN SERENTAK LINEAR

5.1 .1 : KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS (GAUSS ELIMINATION RULE)

Berkonsepkan membuang atau menghapuskan sebahagian daripada unsur-unsur dalam matriks.

Persamaan matriks akan menjadi mudah dimana pembolehubah-pembolehubah dapat diperolehi terus dari matriks terbit

terakhir.

Persamaan serentak perlu ditukar ke bentuk matriks imbuhan BA sebelum menyelesaikan penghapusan.

Selepas dikenakan kaedah penghapusan Gauss, persamaan matriks akan menjadi:

''33

'23

'21

131211

00

0

a

aa

aaa

3

2

1

x

x

x

''3

'2

1

b

b

b

Unsur-unsur sifar dalam matriks di atas adalah hasil selepas dihapuskan dengan kaedah penghapusan Gauss.

Namun begitu, penghapusan juga mengakibatkan unsur-unsur lain bertukar nilai. Proses ini dikatakan penjelmaan.

Terdapat 2 peringkat penjelmaan:

1. Penjelmaan peringkat pertama (hanya melibatkan baris ke-2 dan ke-3 sahaja)

Rumus

(Bagi baris ke-2) B2 -

11

21a

ax B1

(Bagi baris ke-3) B3 -

11

31aa B1

2. Penjelmaan peringkat kedua (hanya melibatkan baris ke-3 sahaja)

Rumus

(Bagi baris ke-3) B3 -

22

32a

aB2

Contoh

Dapatkan penyelesaian menggunakan Kaedah Gauss

x + y + z = 8

3x + 2y + z = 49

5x 3y + z = 0

BAB 5: KAEDAH

BERANGKA

8/6/2019 Numerical (5.1)

2/10

8/6/2019 Numerical (5.1)

3/10

3

Langkah 4: Tukar matriks imbuhan di langkah 3 ke dalam bentuk persamaan serentak dan selesaikan.

x + y + z = 8

-y 2z = 25

12z = -240

Untuk mendapatkan nilai z :

z = 2012240

Setelah dapat nilai z, teruskan pengiraan untuk mendapatkan nilai y :

-y 2(-20) = 25

y = 15

Akhir sekali, dapatkan nilai x dengan menggantikan nilai z & y dari atas :

x + 15 + (-20) = 8

x = 13

Maka x = 1 3 y = 1 5 z = - 20

Contoh

x1 + 2x2 x3 = 6

3x1 + 8x2 + 9x3 = 10

2x1 x2 + 2x3 = -2

Penyelesaian

2

10

6

212

983

121

3

2

1

x

x

x

2

10

6

212

983

121

A X B BA

210

6

212983

121

B2 -

11

21a

ax B1

861

310

12)1(1

39

221

38

011

33

B3 -

11

31a

aB1

1461

2

2

4)1(1

22

521

21

011

22

Peringkat

pertama

8/6/2019 Numerical (5.1)

4/10

4

14

8

6

450

1220

121

34

8

6

3400

1220

121

x1 + 2x2 x3 = 6

2x2 + 12x3 = -8

34x3 = -34

x1 = 1 x2= 2 x3 = - 1

LATIHAN 5a

1. Selesaikan mengikut kaedah penghapusan Gauss.

a) x + 2y 3z = 3

2x y z = 11

3x + 2y + z = -5

b) x1 4x2 2x3 = 21

2x1 + x2 + 2x3 = 3

3x1 + 2x2 x3 = -2

c) a + 3b + 3c = 4

2a 3b 2c = 2

3a + b + 2c = 5

d) t + 2s u = 2

4t + s + 3u = 15

t 2s + 4u = 9

B3 -

22

32a

aB2

Peringkat

kedua

3482

514

34122

54

02255

002

50

8/6/2019 Numerical (5.1)

5/10

5

Segitiga

atas

5. 1 . 2 CARA PENGHURAIAN LU - DOOLITTLE (LU DECOMPOSITION - DOOLITTLE METHOD)

Merupakan kaedah-kaedah penyelesaian sistem persamaan serentak linear menggunakan pendekatan matriks dala

mengeluarkan rumusan-rumusan atau formula-formula yang membolehkan penyelesaian persamaan serentak linear mela

kaedah berangka.

Dalam aljabar matriks, di bawah syarat-syarat tertentu, suatu matriks boleh dihuraikan sebagai hasil darab LU dengan

(Lower), satu matriks segitiga bawah dan U (Upper), satu matriks segitiga atas.

Untuk matriks A berperingkat 3 x 3, huraian LU boleh ditunjukkan sebagai:

33

2322

131211

333231

2221

11

333231

232221

131211

00

00

00

u

uu

uuu

lll

ll

l

aaa

aaa

aaa

A L U

Contoh

Selesaikan set tiga persamaan serentak berikut:

x1 + 3x2 + 3x3 = 4

2x1 3x2 2x3 = 2

3x1 + x2 + 2x3 = 5

Penyelesaian

Langkah 1: Tukar persamaan dalam bentuk matriks

213

232

331

3

2

1

x

x

x

=

5

2

4

A X B

Langkah 2: Tukarkan kepada matriks segitiga bawah, L (lower) & matriks segitiga atas, U (upper), kemudian jadikan persamaan A

LU

A L U

33

2322

131211

333231

2221

11

00

00

00

213

232

331

u

uu

uuu

lll

ll

l

Langkah 3: Letakkan nilai 1 di setiap pepenjuru utama L

33

2322

131211

3231

21

00

0

1

01

001

213

232

331

u

uu

uuu

ll

l

Segitiga bawah

Gantikan nilai 1 di sini

8/6/2019 Numerical (5.1)

6/10

6

Langkah 4: Darabkan matriks LU (hasil tambah LU di bawah adalah sama bagi setiap cara Doolittle)

213

232

331

=

3323321331223212311131

2313212212211121

131211

uululululul

uuluulul

uuu

A LU

Langkah 5: Cari nilai L dan U dengan membandingkan nilai di A. Bandingkan nilai dari satu baris ke baris seterusnya @ dari satu

lajur ke lajur seterusnya

Penyelesaian dari baris ke baris

Baris 1:

1 banding u11 1=11u 111 u

3 banding u12 3=12u 312 u

3 banding u13

u13 = 3 3

13u

Baris 2:

2 banding l21u11 l21u11 = 2

l21 x (1) = 2 l21 = 2

-3 banding l21u12 + u22 l21u12 + u22 = -3

2(3) + u22 = -3 u22 = -9

-2 banding l21u13 + u23 l21u13 + u23 = -2

2(3) + u23 = -2 u23 = -8

Baris 3:

3 banding l31u11 l31u11 = 3

l31 x 1 = 3 l31 = 3

1 banding l31u12 + l32u22 l31u12 + l32u22 = 1

[3x3] + [l32 x (-9)] = 1 l32 = 0.889

2 banding l31u13 + l32u23 + u33 l31u13 + l32u23 + u33 = 2

[3x3] + [ 9

8

x -8] + u33 = 2 u33 = 0.111

Langkah 6: Binakan matriks L dan U yang baru setelah menggantikan nilai dari langkah 5

L =

1889.03

012

001

dan U =

111.000

890

331

8/6/2019 Numerical (5.1)

7/10

7

tukar

tukar

Langkah 7: Bina persamaan baru menggunakan rumus Ly = B dan tukarkan matriks di bawah ke dalam bentuk persamaan

1889.03

012

001

3

2

1

y

y

y

=

5

2

4

321

21

1

889.03

2

yyy

yy

y

=

5

2

4

L y B

Langkah 8: Dapatkan nilai y1, y2 dan y3. Selesaikan y1 terlebih. Kemudian diikuti y2 dan y3

Nilai y1 : Nilai y2 : (ganti nilai y1 )

41 y 22 21 yy

2 (4) + y2= 2

y2 = -6

Nilai y3 : (ganti nilai y1 dan y2)

5889.03 321 yyy

3 (4) + 0.889 (-6) + y3 = 5

y3 = -1.666

Maka y =

3

2

1

y

y

y

=

666.1

6

4

Langkah 9: Bina persamaan matriks baru guna rumus Ux = y dan tukar matriks di bawah ke bentuk persamaan

111.000

890

331

3

2

1

x

x

x

=

666.1

6

4

3

32

321

112.0

89

33

x

xx

xxx

=

666.1

6

4

U x y

Langkah 10: Dapatkan nilai x1, x2 dan x3. Selesaikan x3 terlebih. Kemudian diikuti x2 dan x1

Nilai x3 : Nilai x2 (ganti nilai x3 ) Nilai x1 :

0.112 x3 = -1.666 -9x2 8x3 = -6 x1 + 3x2 + 3x3 = 4

x3 =112.0

666.1 9x2 8 (-15) = -6 x1 + 3 (14) + 3 (-15) = 4

x3 = -15 x2 = 14 x1 = 7

x1 = 7 x2= 1 4 x 3 = - 15

8/6/2019 Numerical (5.1)

8/10

8

Segitiga

atas

100

10

1

0

00

213

232

331

23

1312

333231

2221

11

u

uu

lll

ll

l

5. 1 . 3 CARA PENGHURAIAN LU CROUT (LU DECOMPOSITION CROUT METHOD)

Contoh

Selesaikan set tiga persamaan serentak berikut:

x1 + 3x2 + 3x3 = 4

2x1 3x2 2x3 = 2

3x1 + x2 + 2x3 = 5

Penyelesaian

Langkah 1: Tukar persamaan dalam bentuk matriks

213

232

331

3

2

1

x

x

x

=

5

2

4

A X B

Langkah 2: Tukar kepada matriks segitiga bawah, L (lower) & matriks segitiga atas, U (upper), dan buat persamaan A = LU

A L U

33

2322

131211

333231

2221

11

00

00

00

213

232

331

u

uu

uuu

lll

ll

l

Langkah 3: Letakkan nilai 1 di setiap pepenjuru utama u

A L U

Langkah 4: Darabkan matriks LU (hasil tambah LU di bawah adalah sama bagi setiap cara Crout)

213

232

331

=

332332133132123131

2322132122122121

1311121111

lulullull

ulullull

ulull

A LU

Segitiga bawah

Gantikan nilai 1 di sini. Langkah ini berbeza

dari Doolittle kerana Crout menggantikan nilai

1 di pepenjuru L manakala Doolittle

menggantikan nilai 1 di pepenjuru U

8/6/2019 Numerical (5.1)

9/10

9

tukar

Langkah 5: Cari nilai L dan U dengan membandingkan nilai di A. Bandingkan nilai dari satu baris ke baris seterusnya @ dari sat

lajur ke lajur seterusnya

Penyelesaian dari lajur ke lajur

Lajur 1:

1 banding l11 111 l 111 l

2 banding l21 221 l 221 l

3 banding l31 l31 = 3 l31 = 3

Lajur 2:

3 banding l11u12 l11u12 = 3

1 x u12 = 3 u12 = 3

-3 banding l21u12 + l22 l21u12 + l22 = -3

2(3) + l22 = -3 l22 = -9

1 banding l31u12 + l32 l31u12 + l32 = 1

3(3) + l32 = 1 l32 = -8

Lajur 3:

3 banding l11u13 l11u13 = 3

1 x u13 = 3 u13 = 3

-2 banding l21u13 + l22u23 l21u13 + l22u23 = 1

[2x3] + [-9 x u23] = 1 u23 = 0.889

2 banding l31u13 + l32u23 + l33 l31u13 + l32u23 + l33 = 2

[3x3] + [-8 x 0.889] + l33 = 2 l33 = 0.112

Langkah 6: Binakan matriks L dan U yang baru setelah menggantikan nilai dari langkah 5

L =

112.083

092

001

dan U =

100

889.010

331

Langkah 7: Bina persamaan baru menggunakan rumus Ly = B dan tukarkan matriks di bawah ke dalam bentuk persamaan

112.083

092

001

3

2

1

y

y

y

=

5

2

4

321

21

1

112.083

92

yyy

yy

y

=

5

2

4

L y B

8/6/2019 Numerical (5.1)

10/10

10

tukar

Langkah 8: Dapatkan nilai y1, y2 dan y3. Selesaikan y1 terlebih. Kemudian diikuti y2 dan y3

Nilai y1 : Nilai y2 : (ganti nilai y1 ) Nilai y3 : (ganti nilai y1 dan y2)

41 y 292 21 yy 5112.083 321 yyy

2 (4) - 9y2 = 2 3 (4) 8(0.667) + 0.112y3 = 5

y2 = 0.667 y3 = -14.857

Maka y =

3

2

1

y

y

y

=

857.14

667.0

4

Langkah 9: Bina persamaan matriks baru berdasarkan rumus Ux = y dan tukarkan matriks di bawah ke dalam bentuk persamaa

100

889.010

331

3

2

1

x

x

x

=

857.14

667.0

4

3

32

321

889.0

33

x

xx

xxx

=

857.14

667.0

4

U x y

Langkah 10: Dapatkan nilai x1, x2 dan x3. Selesaikan x3 terlebih. Kemudian diikuti x2 dan x1

Nilai x3 : Nilai x2 (ganti nilai x3 )

x3 = -14.857 @ -15 x2 + 0.889x3 = 0.667

x2 + 0.889 (15) = 0.667

x2 = 14

Nilai x1 :

x1 + 3x2 + 3x3 = 4

x1 + 3 (14) + 3 (-15) = 4

x1 = 7 x1 = 7 x2= 14 x 3 = - 15

LATIHAN 5b

Selesaikan persamaan berikut menggunakan kaedah Doolittle

1. 6x1 + 3x2 + x3 = 4 2. 2x1 x2 4x3 = 8

4x1 2x2 3x3 = 2 x1 5x2 9x3 = -9

3x1 7x2 + 3x3 = 5 7x1 2x2 + 3x3 = 3

3. 3x1 2x2 + 3x3 = 23 4. 7x + 4y + 3z = 26

x1 + 4x2 + x3 = 17 6x + 11y = 60

2x1 + x2 + 3x3 = 2 4x + 6y +12z = 68