LAPORAN PRAKTIKUM METODE STATISTIKA I

“PELUANG POISSON”

Oleh :

Nama : Prasetyo Indra Surono

NIM : 125090501111011

Asisten I : Rizky Indra Aditya

Asisten II : Nanda Rizqia Pradana. R

LABORATORIUM STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2O12

BAB I

PENDAHULUAN

Dasar Teori

Distribusi Poisson salah satu sebaran atau distribusi diskrit yang sangat bermanfaat adalah sebaran poisson. Sebaran ini dapat dipandang sebagai penghampir sebaran binomial atau bentuk batas dari sebaran binomial. Poisson dapat juga didekati sesuai dengan sebaran itu sendiri dengan pertimbangan proses poisson.

Distribusi Poisson pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan diterbitkan bersama teori peluangnya, pada tahun 1838 dalam karyanya Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (Penelitian Peluang Hukum Masalah Pidana dan Perdata). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu.

Ciri-ciri dari distribusi Poisson :

(1) Banyaknya hasil percobaan yang satu tidak tergantung dari banyaknya hasil percobaan yang lain.

(2) Probabilitas hasil percobaan sebanding dengan panjang interval waktu.(3) Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu

yang singkat dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

Distribusi Poisson digunakan dalam :

(1) Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang seperti: Banyaknya penggunaan telpon per menit, banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan, dsb.

(2) Menghitung disktribusi binomial apabila n-besar (n ≥ 30) dan p relatif kecil (p < 0,1)

Rumus dari distribusi Poisson adalah:

Dimana: e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...) x adalah jumlah kejadian suatu peristiwa / peluang yang diberikan oleh

fungsi ini

x! adalah faktorial dari x

λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. The Distribusi poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.

Distribusi poisson juga diterapkan dalam menghitung jumlah kejadian langka tapi terbuka. Sebuah contoh klasik, misalnya jumlah orang per tahun yang menjadi cacat karena kecelakaan mobil. Percobaan poisson juga digunakan untuk mewakili jumlah pendatang yang dihitung tiap per jam di service center. Jumlah ini kan memiliki distribusi poisson jika tingkat rata-rata tidak berubah melalui waktu. Contoh lain, kedatangan harga dapat bervariasi menurut sepanjang hari atau tahun, tetapi pada percobaan poisson akan digunakan periode yang cukup homogen. Distribusi poisson juga memiliki densitas kumulatif (cdf), fungsi general momen (MGF), mean, dan varians sebagai berikut:

BAB II

METODOLOGI

Proses penghitungan peluang menggunakan software GenStat adalah sebagai berikut :1. Soal Praktikum 1

a. Aktifkan Calculate sebelum memasukkan rumus yang akan digunakan, klik Data – Calculations

b. Untuk memasukkan rumus peluang yang akan digunakan, klik Functions…

c. Masukkan rumus penghitungan cumulative probability dengan Point Probability, Lower Tail Probability, dan Upper Tail Probability, lalu klik OK.

- Untuk Point Probability (x = a) bisa mengikuti langkah sebagai berikut:1) Isi Function Probability = Point Probability2) Isi Function = Poisson Probability3) Isi X (x = a) = x jumlah kejadian suatu peristiwa4) Isi Mean (𝜆) = nilai harapan peristiwa yang

terjadi dalam interval tertentu.

1

234

- Untuk Lower Tail Probability (x ≤ b) bisa mengikuti langkah ini:1) Isi Function Probability = Lower Tail Probability2) Isi Function = Poisson3) Isi X (x ≤ b) = x jumlah kejadian suatu peristiwa4) Isi Mean (𝜆) = nilai harapan peristiwa yang

terjadi dalam interval tertentu

- Untuk Upper Tail Probability (x > c) bisa mengikuti langkah ini:1) Isi Function Probability = Upper Tail Probability

1

3

4 2

2) Isi Function = Poisson3) Isi X (x > c) = x jumlah kejadian suatu peristiwa4) Isi Mean (𝜆) = nilai harapan peristiwa yang 5) terjadi dalam interval tertentu

- Setelah memasukkan masing-masing rumus, untuk melihat hasil perhitungan rumus dengan meng-klik “Print in Output”, lalu Run.

- Inilah hasil penghitungan cumulative probability distribusi Poisson

1

3

4 2

Point Probability

Lower Tail Probability

Upper Tail Probability

BAB III

PEMBAHASAN

Soal Praktikum 2

1. Kapan distribusi Poisson digunakan? Beri contoh kongrit tentang distribusi Poisson!

2. Hitung dan interpretasikan:a. P( X=4 ) dengan λ = 6b. P( X≤4 ) dengan λ = 4c. P( 2<X≤4 ) dengan λ = 5

3. Toko tanaman hias Mekar Indah ingin melakukan rekapitulasi hasil penjualan tanamannya. Biasanya dari 100 tanaman yang tersedia, too tanaman tersebut hanya mampu menjual 2 buah tanaman setiap harinya. Dibuatlah rekapitulasi setiap akhir bulannya dengan melihat penjualan yang dilakukan pad setiap harinya. Dari hasil rekapitulasi yang dilakukan, pemilik took tanaman hias ingin mengetahui probabilitas tanaman yang terjual setiap harinya. Probabilitas dari penjualan adalah factor yang diperhitungkan oleh penjual agar dapat mengetahui penambahan stok tanaman. Hitung dan interpretasikan probabilitas penjualan tanaman hias apabila : a. Kurang dari 5 tanaman hias yang terjualb. Berkisar antara 3 sampai 8 tanaman yang terjual

Pembahasan

1. Distribusi Poisson digunakan jika parameter n sangat besar (lebih dari 50) sedangkan p kecil sekali (kurang dari 0,1) atau bisa dikatan sulit menggunakan pendekatan binomial. Selain itu, poisson juga dapat digunakan untuk menentukan hasil pengamatan-pengamatan mengenai dering telepon per jam, jumlah hama tikus di sawah per hektar, jumlah kelahiran normal di rumah sakit, kejadian kematian akibat hepatitis B, dan banyaknya pembelian suatu merk kosmetik tertentu di sebuah pusat perbelanjaan.

Contoh konkrit dari distribusi poisson ini seperti saat kita mempelajari masuknya telepon dari luar pada switch board di ruang operator Universitas Brawijaya. Dering telepon yang akan dating kita sebut saja dengan kejadian dan setiap kali dering telepon berbunyi kita katakana terdapat perubahan dalam system. Dari sini, kita bisa mencari berapa peluang gangguan tersebut terjadi.

Dalam proses ini juga, sudah jelas bahwa kejadian poisson merupakan kejadian yang kontinu dalam waktu.

2. a. P (x = 4) dengan Mean (𝜆) = 61) Rumus Manual

2) Rumus GenstatPoint Probability untuk X = 4 : POIS (𝜆) : 𝜆 = 4

Perintah Langsung : PRPOISSON(x; 𝜆) : PRPOISSON(4;6)

b. P (x ≤ 4) dengan Mean (λ) = 41) Rumus Manuals

2) Rumus GenstatLower Tail Probability untuk X ≤ 4

Perintah Langsung : CLPOISSON(x; 𝜆) : CLPOISSON(4;4)

c. P (2 < x ≤ 4) dengan Mean (λ) = 51) Rumus Manual

2) Rumus Genstat(Lower Tail Probability untuk X ≤ 4) – (Lower Tail Probability untuk X ≤ 2)

Perintah Langsung : CLPOISSON(x; 𝜆) - CLPOISSON(x; 𝜆): CLPOISSON(4;5) - CLPOISSON(2;5)

Note:Sebenarnya untuk tipe soal ini kita bisa menggunakan rumus point, lower tail, maupun upper tail probability tergantung kita ingin memasukin tipe data yang bagaimana. Tapi disarankan menggunakan lower tail probability karena rumus lower tail bisa kita gunakan baik rumus manual maupun rumus genstat. Soalnya kalau menggunakan upper tail kita tidak mengetahui sampai nilai x berapa harus kita gunakan. Sedangkan untuk point probability, rumus tersebut tidak efisien karena ada titik yang tidak tampak tapi mempunyai peluang.

3. Analisa Soal𝜆 = 2 bungaX = tergantung pertanyaane = 2.718

a. P (x < 5) dengan Mean (λ) = 21) Rumus Manual

Dari hasil penghitungan data di atas dapat disimpulkan jumlah dari probabilitas kurang dari 5 yaitu 0 sampai 4. Sehingga probabilitas penjualan tanaman hias kurang dari 5 buah adalah 0,9473.

2) Rumus GenstatLower Tail Probability untuk X < 5

Perintah Langsung : CLPOISSON(x; 𝜆) – PRPOISSON(x; 𝜆): CLPOISSON(5;2)- PRPOISSON(5; 2)

b. P (3 < x < 8) dengan Mean (λ) = 21) Rumus Manual

Dari hasil penghitungan data di atas dapat disimpulkan jumlah dari probabilitas tanaman yang terjual antara 3 sampai 8 yaitu 4 sampai 7. Sehingga probabilitas penjualan tanaman hias antara 3 sampai 8 adalah 0,1418.

2) Rumus Genstat(Lower Tail Probability untuk X ≤ 7) – (Lower Tail Probability untuk X ≤ 3)

Perintah Langsung : CLPOISSON(x; 𝜆) - CLPOISSON(x; 𝜆): CLPOISSON(7;2) - CLPOISSON(3;2)

BAB IV

PENUTUP

Kesimpulan :

Kita dapat menghitung distribusi probabilitas binomial untuk percobaan dengan probabilitas sukses atau berhasil kurang dari 0.05. Namun, perhitungan tersebut akan sangat tidak efektif dan akurat (khususnya untuk n yang sangat besar, misalnya 100 atau lebih). Semakin kecil probabilitas sukses, distribusi probabilitasnya akan semakin melenceng. Oleh karena itu, dikembangkan satu bentuk distribusi binomial yang mampu mengkalkulasikan distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses atau berhasil sangan kecil dan jumlah percobaan (n) sangat besar yang disebut distribusi Poisson.

Oleh karena itu, penggunaan distribusi Poisson sangat membantu untuk menghitung perobabilitas pada percobaan dengan n relatif besar. Distribusi Poisson merupakan distribusi peubah acak dimana hasil percobaan terjadi selama waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Distribusi ini secara luas sering dipakai terutama dalam proses simulasi, misalnya banyaknya dering telepon dalam satu jam di suatu instansi, banyaknya penambahan stock tanaman dalam suatu produksi tanaman, dan sebagainya.

Saran :

Sama halnya dengan distribusi binomial, dalam penghitungan peluang distribusi Poisson penggunaan software Genstat juga sangat mendukung dan lebih

efisien. Ini dikarenakan dengan menggunakan software ini kita tidak perlu lagi mencari peluang distribusi Poisson secara manual. Apalagi kita tahu, jika mean (rata-rata) atau jumlah percobaannya banyak, otomatis pangkat dalam rumus penghitungannya jadi lebih besar, ini membuat rumus itu sendiri jadi lebih susah untuk dihitung secara manual.

Hal yang harus diperhatikan juga dalam menghitung distribusi Poisson adalah pengetahuan kita tentang rumus-rumus peluang poisson. Jangan sampai kita salah memasukkan nilai mean (rata-rata) dengan nilai x dan yang harus diperhatikan lagi mean itu didapat dari hasil perkalian jumlah percobaan (n) dengan peluang berhasil dalam setiap percobaan (p). Semua point ini harus kita ingat dan mengerti supaya dalam penghitungan peluang, tidak akan terjadi kesalahan data maupun hasil penghitungan.

BAB V

DAFTAR PUSTAKA

Sudaryono. 2012. Statistika Probabilitas (Teori & Aplikasi). Tangerang : C.V Andi Offset

Walpole, Ronald. E. 1992. Pengantar Statistika, edisi ke-3. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama.

T.McClave, James. P.George Bendon. Terry Sincich. 2002. Statistik untuk Bisnis dan Ekonomi, edisi ke-11. Jakarta : Penerbit Erlangga