BAB: FUNGSI TRANSENDENTopik: Turunan Fungsi Transenden

Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa dalam:

1. menentukan turunan fungsi transenden dengan rumus turunan

2. menentukan turunan fungsi dengan menggunakan penurunan logaritmik

3. menentukan turunan fungsi-fungsi transenden dengan penurunan implisit

4. menentukan invers suatu fungsi dan turunannya

Catatan: Penentuan integral fungsi transenden sudah dimasukkan kedalam topik "Metode substitusi" dan "Rumus-rumus integral".

1 Turunan fungsi transenden dengan rumus tu-runan

1. UAS Kalkulus 1 tahun 2001 no. 2

Tentukandy

dxjika

(a) y = 2(x2+1) + ln

3x2 1

(b) y = sin 1p3x

Jawab:

(a)

y = 2(x2+1) + ln

3x2 1

dy

dx= 2(x

2+1) (ln 2) (2x) +1

3x2 1 (6x)

(b)

y = sin 1p3x

dy

dx=

1q1 p3x2

1

2(3x)

1=2(3) =

3

2p3xp1 3x:

2. UAS tahun 1996 no. 4

Jawaban tidak perlu disederhanakan. Tentukan f0(x) jika

(a) f (x) = ex sin2 (2x)

1

(b) f (x) = ln (sec (2x) + tan (3x))

Jawab:

(a)

f 0(x) = ex sin2 (2x) + ex2 sin (2x) cos (2x) (2)

= ex sin2 (2x) + 4ex sin (2x) cos (2x) :

(b)

f0(x) =1

sec (2x) + tan (3x)

2 sec (2x) tan (2x) + 3 sec2 (3x)

2 Penurunan Logaritmik

1. UAS Kalkulus(1), Semester Pendek 2004 no. 6 (kriteria: sedang)

Tentukandy

dxdari

y = (sinx)y ln x ; 0 < x < :

Jawab:

y = (sinx)y ln x

; 0 < x <

Kedua ruas di-lnkan sehingga diperoleh

ln y = lnh(sinx)

y ln xi

= y lnx ln (sinx)

Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x, maka

1

y

dy

dx=

dy

dxlnx+ y

1

x

ln (sinx) + y lnx

1

sinx(cosx)

= (lnx) (ln (sinx))dy

dx+y ln (sinx)

x

+y (lnx) (cosx)

sinx1

y (lnx) (ln (sinx))

dy

dx=

y ln (sinx)

x+y (lnx) (cosx)

sinx

dy

dx=

y ln (sinx)

x+y (lnx) (cosx)

sinx1

y (lnx) (ln (sinx))

2

2. UAS Kalkulus (1) 2004 no. 6 (kriteria: sedang)

Tentukandy

dxdari

y = (1 + ey)ln x ; x > 0:

Jawab:

Karena y = fgsfgs maka dengan menggunakan penurunan logaritmikdiperoleh

ln (y) = lnh(1 + ey)

ln xi= ln (x) ln (1 + ey) ; untuk x > 0:

Dengan menurunkan kedua ruas secara implisit terhadap x diperoleh

1

y

dy

dx=

1

x(1 + ey) + (lnx)

1

1 + eyeydy

dx1

y e

y lnx

1 + ey

dy

dx=

1 + ey

x

dy

dx=

1 + ey

x1

y e

y lnx

1 + ey

=

1 + ey

x1

(1 + ey)ln x

ey lnx

1 + ey

:

3. UAS Kalkulus 1 tahun 2003 no. 6 (kriteria: sedang)

Diberikan fungsi f dengan f (x) = (cosx)sin x ; untuk cosx > 0:

(a) Tentukan f0(x) :

(b) Tentukan f0(0) :

Jawab:

f (x) = (cosx)sin x untuk cosx > 0:

(a) ln (f (x)) = sinx ln (cosx) : Jika kedua ruas persamaan ini ditu-runkan terhadap x diperoleh:

1

f (x)f0(x) =

cosx ln (cosx) + sinx

1

cosx( sinx)

f0(x) = f (x)

cosx ln (cosx) sin

2 x

cosx

= (cosx)

sin x

cosx ln (cosx) sin

2 x

cosx

3

(b)

f0(0) = (cos 0)sin 0cos 0 ln (cos 0) sin

2 0

cos 0

= 10

1 (ln 1) 0

1

= 1 [1 (0) 0] = 1 (0) = 0:

4. UAS Kalkulus 1 tahun 2000 no. 5b.

Tentukandy

dxjika

y = (lnx)px2+1

; jika lnx > 0:

Jawab:Dengan menggunakan penurunan logaritmik diperoleh

ln (y) = lnh(lnx)

px2+1

i; jika lnx > 0

ln (y) =px2 + 1 ln (lnx)

Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x; diperoleh

1

y

dy

dx=

1

2

x2 + 1

1=2

(2x) [ln (lnx)] +px2 + 1

1

lnx

1

x

dy

dx= y

"x ln (lnx)px2 + 1

+

px2 + 1

x lnx

#

= (lnx)px2+1

"x ln (lnx)px2 + 1

+

px2 + 1

x lnx

#5. UAS Kalkulus1 tahun 1999 no. 6.

Diketahui y =x2 + 1

lnx, untuk x > 0. Tentukan

dy

dx.

Jawab:Dengan pendiferensialan logaritma:

y =x2 + 1

ln xln y = ln

hx2 + 1

ln xi= (lnx) ln

x2 + 1

Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x akan diperoleh

1

y

dy

dx=

1

xlnx2 + 1

+ (lnx)

1

x2 + 1(2x)

dy

dx= y

lnx2 + 1

x

+2x (lnx)

x2 + 1

!

=x2 + 1

ln x ln x2 + 1x

+2x (lnx)

x2 + 1

!:

4

6. UAS Kalkulus1 tahun 1998 no. 3

Tentukandy

dxjika

y = (lnx)2x+3

; untuk lnx > 0:

Jawab:

y = (lnx)2x+3

; dengan lnx > 0:

ln y = lnh(lnx)

2x+3i= (2x+ 3) ln (lnx) :

d

dx(ln y) =

d

dx[(2x+ 3) ln (lnx)]

1

y

dy

dx=

2 ln (lnx) + (2x+ 3)

1

lnx

d

dx(lnx)

dy

dx= (lnx)

2x+3

2 ln (lnx) +

2x+ 3

x lnx

:

3 Penurunan Implisit

1. UAS Kalkulus tahun 2003 no. 8 (kriteria: sedang)

Tentukandy

dxdari

x ln y + sin 1 (2x) + e2xy = e:

Jawab:

d

dx

x ln y + sin 1 (2x) + e2xy

=

d

dx(e)

1 (ln y) + x1

y

dy

dx

+

24 1q1 (2x)2

(2)

35+ 2e2xy + e2x dydx

= 0

x

y+ e2x

dy

dx+ ln y +

2p1 4x2 + 2ye

2x = 0

dy

dx=

ln y 2p1 4x2 2ye

2x

x

y+ e2x

2. UAS Kalkulus 1 tahun 2002 no. 2 (kriteria: mudah)

Tentukandy

dxjika

y2 ln (x) = tan 1 (ln (x)) :

5

Jawab:

d

dx

y2 ln (x)

=

d

dx

tan 1 (ln (x))

2ydy

dxln (x) + y2

1

x=

1

1 + (ln (x))2

1

x

dy

dx=

1

x+ x (lnx)2

y2

x

2y (lnx)

3. UAS Kalkulus 1 tahun 2000 no. 5a.

Tentukandy

dxjika

x3 + x tan 1(y) = ey

Jawab:

Kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x

d

dx

x3 + x tan 1 (y)

=

d

dx(ey)

3x2 + 1tan 1 (y)

+ x

1

1 + y2dy

dx= ey

dy

dx

dy

dx

x

1 + y2 ey

= 3x2 tan 1 (y)

dy

dx=

3x2 tan 1 (y)x

1 + y2 ey

4. UAS Kalkulus1 tahun 1999 no. 8

Tentukandy

dxdari persamaan implisit berikut

xy3 + e(y+px) = tan 1(2x)

Keterangan : tan 1(2x) = arctan(2x)Jawab:

Misalkan diberikan persamaan implisit

xy3 + e(y+px) = tan 1 (2x) :

6

Dengan menurunkan kedua ruas secara implisit terhadap x akan diperoleh

1y3 + x3y2 dydx+ e(y+

px)dy

dx+

1

2px

=

1

1 + 4x2(2)

dy

dx

3xy2 + e(y+

px)

=2

1 + 4x2 y3 e

(y+px)

2px

dy

dx=

2

1 + 4x2 y3 e

(y+px)

2px

3xy2 + e(y+px)

5. UAS Kalkulus1 tahun 1997 no. 9.

Tentukanlahdy

dxuntuk

exy + lnx6y2

= 3x2y3:

Jawab:

d

dx

exy + ln

x6y2

=

d

dx

3x2y3

exyy + x

dy

dx

+

1

x6y2

6x5y2 + x6

2ydy

dx

= 6xy3 + 3x2

3y2

dy

dx

xexy +

2

y 9x2y2

dy

dx= 6xy3 yexy 6

x

dy

dx=

6xy3 yexy 6x

xexy +2

y 9x2y2

4 Fungsi Invers dan turunannya

1. UAS Kalkulus 1 tahun 1998 no. 2

Diketahui f fungsi monoton turun pada selang [0; 2] yang didenisikansebagai

f (x) = cosx2

:

(a) Tentukan f 1 (x) :

(b) Tentukand

dx

f 1 (x)

:

Jawab:

7

(a) Misalkan

y = cosx2

; x 2 [0; 2]

x

2= cos 1 (y)) x = 2 cos 1 (y)

f 1 (y) = 2 cos 1 (y)

) f 1 (x) = 2 cos 1 (x) :

(b) f (x) = cosx2

=) f0(x) = 1

2sinx2

""""""""""

x=2

p1 y21

y

f 1

0(y) =

1

f0(x)=

1

12 sinx2

= 2p1 y2 :

)f 1

0(x) =

2p1 x2 :

8