Download - UNIT PELAJARAN 4 HAD DAN KESELANJARAN.pdf
Kalkulus Asas|100
UNIT PELAJARAN 4
HAD DAN KESELANJARAN HASIL PEMBELAJARAN Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menerangkan pengertian 0
had ( )x x
f x l
.
2. Mengenalpasti kes had tak wujud.
3. Menerangkan had di ketakterhinggaan.
4. Mencari had dengan menggunakan teorem-teorem had.
5. Menerangkan takrif had secara formal.
6. Mengenalpasti keselanjaran fungsi pada suatu titik tertentu.
.
Unit 4 Had dan Keselanjaran |101
PENGENALAN
ad sesuatu fungsi adalah satu konsep asas yang perlu difahami dalam pembelajaran kalkulus. Konsep had dan keselanjaran mula-mula dipelopori oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) dan baron Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716). Beberapa ahli matematik lain seperti Agustin Louis Cauchy (1786 – 1857) dan Karl Weierstrass (1815 – 1897) telah menyempurnakan konsep had ini dan digunakan sehingga ke hari ini. Konsep had ini sangat penting dan banyak digunakan terutamanya ketika melakarkan
graf fungsi fungsi nisbah. Selain itu konsep had juga digunakan dalam mentakrifkan pembezaan atau pengamiran sesuatu fungsi. Ramai pelajar mendapati konsepnya sukar difahami terutama sekali bagi mereka yang baru pertama kali mempelajarinya. Pelajar-pelajar dinasihatkan supaya mempelajari takrifnya beulang-ulang kali dari pelbagai aspek.
H
Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah menenai had dan keselanjaran:
http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
Kalkulus Asas|102
4.1 Had
Had digunakan untuk menerangkan perubahan yang berlaku bagi suatu fungsi apabila nilai pembolehubah tak bersandar menghampiri suatu nilai tertentu. Pertimbangkan fungsi
xxxf sin)( .
Fungsi ini tidak tertakrif apabila 0x , tetapi perlu juga diketahui apa yang akan berlaku kepada
nilai )(xf apabila x bergerak disepanjang paksi- x menghampiri nilai 0. Jadual 4.1 di bawah
memberikan nilai-nilai )(xf pada titik-titik berturutan disepanjang paksi- x positif menghampiri
0x .
Jadual 4.1: Nilai x
xsinapabila x menghampiri 0 dari sebelah kanan
x 0 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
)(xf ? 0.9999999 0.9999998 0.9999833 0.9983342 0.8414709
Keputusan ini mencadangkan bahawa nilai )(xf menghampiri 1. Nombor 1 ini disebut sebagai
had bagi x
xsin apabila x meghampri 0 dari sebelah kanan, dan ditulis
1sinhad0
x
xx
(4.1)
Seterusnya, dengan cara yang sama, kita boleh mengetahui apakah yang akan berlaku kepada
xxxf sin)(
Apabila x menghampri 0 dari sebelah kiri. Jadual 4.2 memberikan jawapan kepada persoalan ini.
Unit 4 Had dan Keselanjaran |103
Jadual 4.2: Nilai x
xsinapabila x menghampiri 0 dari sebelah kiri
x – 1.0 – 0.1 – 0.01 – 0.001 – 0.0001 0
)(xf 0.8414709 0.9983342 0.9999833 0.9999998 0.9999999 ?
Daripada jadual 4.2, kita boleh simpulkan bahawa nilai )(xf menghampiri 1 apabila x
menghampiri 0 dari sebelah kiri, dan ditulis
1sinhad0
x
xx
Takrif 4.1 Had kanan
Jika nilai )(xf menghampiri nombor l1 apabila x menghampiri xo dari sebelah kanan, maka ditulis
yang dibaca sebagai “had )(xf apabila x menghampiri x0 dari sebelah kanan bersamaan dengan
l1.”
1)(had0
lxfxx
Takrif 4.2 Had kiri
Jika nilai )(xf menghampiri nombor l2 apabila x menghampiri x0 dari sebelah kiri, maka ditulis
2)(had0
lxfxx
yang dibaca sebagai “had )(xf apabila x menghampiri x0 dari sebelah kiri bersamaan dengan l2.”
Kalkulus Asas|104
Takrif 4.3 Had suatu fungsi
Jika had dari sebelah kiri dan had dari sebelah kanan bagi )(xf mempunyai nilai yang sama, iaitu
0 0
had ( ) had ( )x x x x
f x f x l
maka 0
had ( )x x
f x
wujud dan ditulis
0
had ( )x x
f x l
Contoh 4.1
1. Diberi ( ) 2f x x jika 1x dan (1) 0f . Cari
a) 1
had ( )x
f x
b) 1
had ( )x
f x
c) 1
had ( )x
f x
Penyelesaian:
Graf f mengandungi titik (1, 0) dan titik-titik pada graf 2y x kecuali titik (1, 3), seperti yang
ditunjuk dalam Rajah 4.1.
-2 -1 1 2 3 4-1
1
2
3
4
5
x
y
Rajah 4.1
Unit 4 Had dan Keselanjaran |105
Didapati bahawa
a) 1
had ( ) 3x
f x
b) 1
had ( ) 3x
f x
c) Oleh kerana 1 1
had ( ) had ( ) 3x x
f x f x
, maka 1
had ( ) 3x
f x
1. Berdasarkan Rajah 4.2 , cari
a) )(had1
xfx
b) )(had1
xfx
c) )(had2
xfx
d) )(had3
xfx
1 2 3 4
1
2
x
y
Rajah 4.2
Latihan Formatif 4.1
)(xfy
Kalkulus Asas|106
2. Lakarkan graf
2 2
,,2
)( 2 xx
xx
xf dan cari had-had berikut.
a) )(had2
xfx
b) )(had2
xfx
c) )(had2
xfx
d) )(had1
xfx
4.2 Kes had tak wujud
Terdapat dua keadaan yang mana 0
had ( )x x
f x
tak wujud:
Jika had dari sebelah kiri dan had dari sebelah kanan bagi f(x) tidak mempunyai nilai yang
sama, iaitu
0 0
had ( ) had ( )x x x x
f x f x
maka 0
had ( )x x
f x
tak wujud.
Jika had suatu fungsi apabila
0 0 0, , atau x x x x x x
tidak dapat dipastikan. Jika had tidak ada, maka disebut had tak wujud.
Unit 4 Had dan Keselanjaran |107
Contoh 4.2
Lakarkan graf 2
1yx
. Seterusnya dapatkan had 20
1xhad
x
Penyelesaian:
Graf bagi 2
1yx
digambarkan dalam Rajah 4.3. Perhatikan bahawa apabila x menghampiri 0
dari sebelah kiri atau sebelah kanan, fungsi ini menokok tanpa batas. Maka,
20
1 hadxx
.
20
1xhad
xtidak wujud kerana 2
1yx
menokok tanpa batas apabila x menghampiri 0.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
x
y
Rajah 4.3
2
1x
y
Kalkulus Asas|108
1. Lakarkan graf
1 1
,13,1
)(2
xx
xxxf dan cari had-had berikut.
a. )(had1
xfx
b. )(had1
xfx
c. )(had1
xfx
d. )(had1
xfx
2. Tentukan sama ada 3
3had3 xx
wujud.
3. Tunjukkan bahawa xx
x
||had0
tak wujud.
4.3 Had di ketakterhinggaan
Had juga boleh digunakan untuk menggambarkan kelakuan sesuatu fungsi apabila pembolehubah tak bersandar bergerak menjauhi asalan di sepanjang paksi-x. Jika x dibiarkan menokok tanpa batas, x dikatakan menghampiri positif ketakterhinggaan dan ditulis sebagai x . Sebaliknya,
jika x dibiarkan menyusut tanpa batas, x dikatakan menghampiri negatif ketakterhinggaan dan ditulis sebagai x .
Katakanlah had bagi f(x) apabila x menghampiri positif ketakterhinggaan ialah l, dengan l suatu nombor nyata. Pernyataan ini boleh ditulis sebagai
Latihan Formatif 4.2
Unit 4 Had dan Keselanjaran |109
had ( )x
f x l
Garis y = l merupakan garis asimptot mengufuk untuk f(x).
Contoh 4.3
1. Lakarkan graf x
y 3 . Seterusnya dapatkan
xx
3 had
dan xx
3 had
Penyelesaian:
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Rajah 4.4
Graf bagi x
y 3 digambarkan dalam Rajah 4.4. Perhatikan bahawa fungsi ini tidak
tertakrif apabila 0x . Perhatikan juga bahawa, apabila x semakin bertambah
menghampiri , nilai )(xf menghampiri 0. Maka,
03 had xx
Dengan cara yang sama, apabila x semakin menyusut menghampiri , nilai )(xf
menghampiri 0. Maka,
03 had xx
xy 3
Kalkulus Asas|110
2. Tentukan )9247( had 35
xxxx
Penyelesaian:
535 7 had)9247( had xxxxxx
(Nota: Had bagi suatu fungsi polynomial boleh ditentukan dengan mengira had sebutan yang mempunyai kuasa tertinggi).
3. Tentukan 8653 had
xx
x
Penyelesaian:
Bahagikan setiap ungkapan pada pembilang dan penyebut dengan pembolehubah x yang
mempunyai kuasa tertinggi. Untuk contoh ini, kuasa x tertinggi adalah satu iaitu xx 1 .
Maka
21
86
53 had
8653 had
x
xxx
xx
Unit 4 Had dan Keselanjaran |111
1. Berdasarkan Rajah 4.5, cari
a) (x) had fx
b) (x) had fx
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Rajah 4.5
2. Tentukan )12174( had 38
xxxx
3. Tentukan xxxxxx
x 8712526 had 3
23
4. Tentukan 742235 had 3
24
xxxx
x
Latihan Formatif 4.3
Kalkulus Asas|112
4.4 Kaedah pengiraan had
Dalam Bahagian 4.1, kita telah perhatikan bahawa had )(xf apabila x meghampiri a tidak
bergantung kepada nilai f di ax . Walau bagaimanapun, boleh juga belaku had tersebut diberi
dengan tepat oleh )(af . Dalam kes ini, had suatu fungsi boleh dinilai secara penggantian terus
iaitu:
)()(had afxfax
Teorem 4.1 Sifat Asas Had
Misalkan ka , dan n ialah nombor-nombor nyata, maka
a) kkax
had
b) axax
had
c) nn
axax
had
Teorem 4.2 Sifat Had
Misalkan had mewakili had-had
axhad ,
axhad ,
axhad ,
xhad atau
xhad
Jika had )(xf dan had )(xg kedua-duanya wujud, maka
a) )( had )]([ had xfkxkf ; k pemalar
b) )( had)( had)]()([ had xgxfxgxf
c) )( had)( had)]()([ had xgxfxgxf
d) )( had)( had
)()( had
xgxf
xgxf
, dengan syarat 0)( xg
Unit 4 Had dan Keselanjaran |113
e) nn xfxf )( had)]([ had
f) nn xfxf )( had)( had , dengan syarat 0)( had xf jika n genap.
Teorem 4.3 Had bagi fungsi trigonometri
Untuk setiap nombor nyata c yang tertakrif dalam domain
a) ctc
sinsin hadt
b) ctc
kos kos hadt
c) ctc
tantan hadt
d) ctc
kot kot hadt
e) ctc
sek sek hadt
f) ctc
kosek kosek hadt
Teorem 4.4 (Had bagi fungsi trigonometri khas)
a) 1sin had0t
t
t
b) 0 kos1 had0t
tt
Kalkulus Asas|114
Contoh 4.4
Dapatkan had bagi setiap ungkapan berikut
a) )5( had0
xx
b) )53( had2
xx
c) )325( had 2
3
xx
x
d) 45 had 2
2
x
x
e) xxx
sin had0
f) x
xx
1
1 had2
1
g) x
xx
3sin had0
Penyelesaian:
a) 0)0(5 had 5)5( had0x0
xxx
b) 115)2(35 had had 3)53( had222
xxx
xx
c) 423)3(2)3(53 had had 2 had 5)325( had 2
33
2
3
2
3
xxxxxxxx
d) 4164)2(54 had had5)45( had45 had 2
2
2
2
2
2
2
2
xxxxxxx
e) 0)0(0sin had hadsin had000
xxxxxxx
Unit 4 Had dan Keselanjaran |115
f) Perhatikan bahawa kita tidak boleh menggantikan nilai 1x untuk mencari x
xx
1
1 had2
1
kerana )1(f tidak tertakrif. Kita juga tidak boleh menggunakan Teorem 4.2 (d) kerana
penyebutnya bernilai sifar. Maka, kita perlu faktorkan ungkapan tersebut sebelum mengira had.
21
)1( had)1(
)1)(1( had1
1 had11
2
1
xx
xxx
xxxx
,
(Nota: Secara umumnya apabila kedua-dua had pembilang dan had penyebut bernilai sifar, kita boleh cuba meringkaskan ungkapan tersebut menggunakan kaedah pemfaktoran).
g) 13
3sin had33
3sin3 had3sin had000
x
xx
xx
xxxx
Dapatkan had bagi setiap ungkapan berikut
1. )453( had 2
2
xx
x
2. 2
45 had 2
3
3
xxx
x
3. x
xx
1
1 had2
1
4. xx
xe x
x
2
12
0 had
5. Tunjukkan 0|| had0
xx
6. t
tt sin
kos1 had0
Latihan Formatif 4.4
Kalkulus Asas|116
4.5 Takrif had secara formal
Andaikan )(xf tertakrif untuk semua nilai x dalam suatu selang terbuka yang mengandungi
nombor a , kecuali mungkin )(xf tertakrif atau tidak pada a . Kita tulis
Lxfax
)( had
Jika untuk setiap nombor 0 , kita boleh cari suatu nombor 0 supaya )(xf memenuhi
Lxf )( apabila x memenuhi ax .
Takrif ini diilustrasikan secara graf seperti dalam Rajah 4.5
Rajah 4.5
Contoh 4.5
Dengan menggunakan takrif had, buktikan bahawa
1)52( had3
xx
Penyelesaian:
Perlu ditunjukkan bahawa apabila diberi sebarang nombor , boleh dicari suatu nombor positif
supaya
Unit 4 Had dan Keselanjaran |117
1)52( x ……………………………..(i)
apabila x memenuhi
3x …………………………….(ii)
Untuk mencari , kita tulis semula ketaksamaan (i) sebagai
62x
atau setara dengan
32 x
atau
2
3 x …………………………….(iii)
Nilai mestilah dipilih supaya (iii) dipenuhi apabila (ii) ditepati. Satu cara mudah yang boleh
dilakukan ialah dengan memilih
2
Untuk membuktikan pilihan ini adalah tepat, kita andaikan bahawa x memenuhi (ii). Oleh
kerana dipilih 2 , maka daripada (ii) diperoleh bahawa x memenuhi
2
3 x ……………………………..(iv)
Perhatikan bahawa (iii) adalah sama dengan (iv). Ini membuktikan bahawa
1)52( had3
xx
Kalkulus Asas|118
Dengan menggunakan takrif had, buktikan bahawa
1. 1)53( had2
xx
2. 3)1( had2
xx
4.6 Keselanjaran
Fungsi selanjar mempunyai tafsiran geometri yang mudah. Ia merupakan fungsi yang grafnya tidak “terputus” pada satah koordinat. Takrif 4.4 Keselanjaran suatu fungsi Fungsi f adalah selanjar pada a jika tiga syarat berikut dipenuhi:
i) f tertakrif pada suatu selang terbuka mengandungi a .
ii) )( had xfax
wujud.
iii) )()( had afxfax
.
Jadual 4.3 menggambarkan beberapa fungsi yang tidak selanjar pada titik 2x .
Latihan Formatif 4.5
Unit 4 Had dan Keselanjaran |119
Jadual 4.3: Beberapa contoh fungsi yang tidak selanjar pada titik 2x
Graf fungsi Sebab f tak selanjar
-1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y
f tidak selanjar pada 2x
kerana )2(f tak tertakrif.
-1 1 2 3 4 5
1
2
3
x
y
f tidak selanjar pada 2x
kerana )( had2
xfx
tak wujud.
-1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
f tidak selanjar pada 2x
kerana )2()( had2
fxfx
.
Teorem 4.5 Keselanjaran Fungsi Polinomial dan Fungsi Nisbah.
a) Semua fungsi polynomial adalah sentiasa selanjar iaitu ia selanjar dalam selang ),( .
b) Semua fungsi nisbah adalah selanjar dalam selang di mana ia tertakrif iaitu ia selanjar pada domainnya.
Kalkulus Asas|120
Contoh 4.6
Tentukan sama ada fungsi f yang diberikan oleh
1,11,21,
)(3
3
xxxxx
xf
Adalah selanjar pada 1x
Penyelesaian:
Domain f ialah N, maka fungsi f memenuhi syarat i) dalam Takrif 4.4.
Perhatikan bahawa
1 had)( had 3
11
xxf
xx
0)1( had)( had 3
11
xxf
xx
Oleh kerana )( had)( had11
xfxfxx
, maka )( had1
xfx
tak wujud. Jadi, f tidak memenuhi syarat
ii) dalam Takrif 4.4, dan dengan itu, f tak selanjar pada 1x .
Tentukan sama ada fungsi-fungsi berikut selanjar pada 2x .
1. 24)(
2
x
xxf
2.
2,2,
324
)(2
xx
xx
xg
Latihan Formatif 4.6
Unit 4 Had dan Keselanjaran |121
3.
2,2,
424
)(2
xx
xx
xh
RUMUSAN
Dalam unit ini kita telah membincangkan beberapa konsep penting berkaitan dengan had dan keselanjaran suatu fungsi. Had dan keselanjaran suatu fungsi amat penting bukan semata-mata kita ingin mengetahui kelakuan atau bentuknya tetapi ia diperlukan apabila sesuatu konsep kalkulus hendak digunakan terhadap fungsi tersebut. Adalah diharapkan agar pelajar mengukuhkan lagi kefahaman dengan latihan-latihan yang banyak daripada buku-buku teks.
KATA KUNCI Had kiri, had kanan, Had fungsi, Had tak wujud, Had di ketakterhinggaan, Keselanjaran fungsi
1. Tunjukkan 0|| had0
xx
2. Cari had-had berikut jika wujud
a) 4
2 had 2
2
2
xxx
x
b) Cari 2
2
0
39 hadt
tt
Latihan Sumatif
Kalkulus Asas|122
c) Cari 1
1 had1
x
xx
d) 32
1 had 2
2
xxx
x
e) xx
x tan4sin had
0
f) 1 kos had
2
0 ttt
x
g) x
xx
tan had0
h) x
xxx 20 sin
kos had
3. Tunjukkan |2|
2 had2
x
xx
tak wujud
4. Diberi
3,)3(30,3
0,)(
2 xxxx
xxxf
Cari had-had berikut jika wujud
a) )( had0
xfx
b) )( had0
xfx
c) )( had0
xfx
Unit 4 Had dan Keselanjaran |123
d) )( had3
xfx
e) )( had3
xfx
f) )( had3
xfx
g) Tentukan titik ketakselanjaran )(xf .
5. Dengan menggunakan takrif had, buktikan bahawa
5)23( had1
xx
6. Diberi
3,3,
133
)(xx
xx
xf
Adakah f selanjar pada 3x ?
7. Tentukan titik-titik di mana fungsi-fungsi berikut tidak selanjar
a) 2
2)(2
x
xxxf
b)
0 ,1
0 ,1)( 2
x
xxxg
c)
3 ,1
3 ,3
32)(
2
x
xx
xxxh
8. Tentukan selang-selang dimana fungsi-fungsi berikut adalah selanjar
a) 152)( 35 xxxf
b) 1
172)( 2
2
x
xxxg
Kalkulus Asas|124
RUJUKAN
Majid, M. (2002). Kalkulus Asas Untuk Pelajar Kejuruteraan dan Sains. DBP: Kuala Lumpur.
Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.
Smith, R.T., & Minton, R.B. (2007). Calculus: Early Transcendental Functions (3rd Ed.). Mc. Graw
Hill: New York.
Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.
Layari Laman Web
http://www.brightstorm.com/math/calculus/limits-and-continuity/ http://www.wyzant.com/help/math/calculus/limits/continuity http://mathworld.wolfram.com/Limit.html http://curious.com/integralcalc/limits-and-continuity
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF Latihan Formatif 4.1
1. a) 0; b) 1; c) 0; d) 1
2. a) 4; b) 4; c) 4; d) 2
Latihan Formatif 4.2
1. a) 2; b) – 2; c) tak wujud; d) 4
Latihan Formatif 4.3
1. a) 5; b) 3
2.
Unit 4 Had dan Keselanjaran |125
3. 21
4.
Latihan Formatif 4.4
1. 6
2. 7
16
3. 2
4. e
6. 0
Latihan Formatif 4.6
1. Tak selanjar kerana fungsi f tak tertakrif pada 2x
2. Tak selanjar kerana g(2))( had2
xgx
3. Selanjar
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
2. a) 43 b)
61 c) 2 d) 1 e) 4 f) 0 g) 1 h) 0
4. a) 3 b) 0 c) tak wujud d) 0 e) 0 f) 0 g) 0 dan 3
6. Tak selanjar kerana )(had)(had33
xfxfxx
7. a) 2x b) 0x c) 3x
8. a) f adalah fungsi poinomial, maka ia selanjar pada ),(
b) g adalah fungsi nisbah, maka ia selanjar pada domainnya iaitu )1,( , )1,1( dan ),1(