Download - Trigo No Metri
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 1
ISI KANDUNGAN
1. Nisbah Trigonometri
2. Graf Fungsi-Fungsi Trigonometri
3. Sudut Dongak dan Sudut Tunduk
4. Petua Sinus dan Petua Kosinus
5. Luas Segitiga
6. Sudut Istimewa dan Rumus Sudut Bercampur
7. Rumus Sudut Berganda
8. Identiti Trigonometri
OBJEKTIF PEMBELAJARAN
Pelajar boleh…… 1. Menentukan nisbah-nisbah trigonometri dan melukis graf-graf fungsinya.
2. Menyelesaikan segitiga bersudut tegak menggunakan nisbah trigonometri dan
teorem Pythagoras.
3. Menyelesaikan masalah-masalah melibatkan sudut dongak dan sudut tunduk.
4. Mengaplikasi petua sinus dan petua kosinus untuk menyelesaikan masalah-masalah trigonometri.
5. Mengaplikasikan rumus yang berkaitan menyelesaikan masalah luas segitiga.
6. Menggunakan sudut istimewa dan rumus sudut bercampur untuk mencari nisbah trigonometri.
7. Menggunakan rumus sudut berganda.
8. Membuktikan identiti trionometri
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 2
NISBAH-NISBAH TRIGONOMETRI
Trigonometri merupakan cabang matematik yang berkaitan dengan sudut, segitiga dan hubungannya. Definisi sinus, kosinus dan tangent hanya benar untuk segitiga bersudut tegak.
Katakan segitiga ABC mempunyai sudut tirus θ seperti di atas. Sisi-sisinya dinamakan Setentang (kerana bertentangan dengan sudut θ), Sebelah (kerana bersebelahan dengan sudut θ) dan Hipotenus. Oleh itu, nisbah-nisbah trigonometri boleh diperolehi seperti rumus berikut: Sinus:
hipotenus
setentangsin =θ � (SOH)
Kosinus:
hipotenus
sebelahcos =θ � (CAH)
Tangent:
sebelah
setentangtan =θ � (TOA)
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 3
Contoh: Cari nisbah-nisbah trigonometri θsin , θcos dan θtan dalam segitiga PQR di bawah. Kemudian tentukan berapakah nilai sudut θ.
3846.013
5
hipotenus
setentangsin ===θ
9231.013
12
hipotenus
sebelahcos ===θ
4167.012
5
sebelah
setentangtan ===θ
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 4
INTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISE
1. Determine Asin , Acos and Atan from the figure below:
2. If 41
9cos =A , determine the other two basic trigonometric ratios.
3. In the figure below, find lengths of PQ and PR:
4. In the figure below, find xsin :
Answers: 1. sin A = 12/13, cos A = 5/13, tan A = 12/5 2. sin A= 40/41, tan A = 40/9 3. PQ = 5.86 cm, PR = 9.52 cm 4. sin x = 0.333
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 5
GRAF FUNGSI TRIGONOMETRI DARI 0° to 360°
Graf-graf θsin , θcos dan θtan boleh diplot seperti berikut:
i) θsin
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin
ii) θcos
iii) θtan
Daripada graf-graf θsin dan
serupa. Ia bersifat berkala, yang bermaksud berulang Perhatikan pula graf θtan
dihampiri oleh graf fungsi tetapi tidak dapat melepasinya
OTA: TRIGONOMETRI
dan θcos di atas, perhatikan bahawa bentuk graf adalah
serupa. Ia bersifat berkala, yang bermaksud berulang-ulang.
yang mempunyai asimptot (Garis melintang yang
tetapi tidak dapat melepasinya).
Muka 6
di atas, perhatikan bahawa bentuk graf adalah
Garis melintang yang
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 7
SUDUT DONGAK DAN SUDUT TUNDUK
Sudut Dongak
Katakanlah satu titik A pada lantai rata 100 m jauhnya daripada sebuah tiang bendera, BC setinggi 30 m seperti rajah di bawah.
Sudut dongak pada hujung tiang C dari titik A adalah satu garis yang perlu didongakkan daripada garis AB.
°=
==
7.16
3.0100
30tan
θ
θ
Sudut Tunduk
Katakanlah satu titik D pada hujung benteng 50 m tingginya menghadap laut yang terbentang luas. Sebuah kapal terletak 120 m daripada benteng itu pada paras laut, pada titik F seperti dalam rajah di bawah.
Sudut tunduk pada kapal itu dari titik D adalah sudut yang mana satu garis lurus DF ditundukkan daripada satah melintangnya.
( )°=
==−
62.22
4.250
12090tan
α
α
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 8
INTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISE
1. In the figure below, E and F are two points on the ground. GF is a flag pole.
If the angle of elevation of point G from point E is 26.5°, find the height of the flag pole in meter.
2. An electricity pylon stands on horizontal ground. At a point of 80 m from the
base of the pylon, the angle of elevation of the top of the pylon is 23°. Calculate the height of the pylon to the nearest meter.
3. A surveyor measures the angle of elevation of the top of a perpendicular building as 19°. He moves 120 m nearer the building and finds the angle of elevation is now 47°. Determine the height of the building.
4. The angle of depression of a ship viewed at a particular instant from the top of a 75 m vertical cliff is 30°. Find the distance of the ship from the base of the cliff at this instance. The ship is sailing away from the cliff at constant speed and 1 minute later its angle of depression from the top of the cliff is 20°. Determine the speed of the ship in kmh-1.
Answers: 1. 10 m 2. 34 m 3. 128.68 m 4. 130 m, 4.6 km/h
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 9
PENYELESAIAN SEGITIGA
Petua Sinus
Biar ABC sebuah segitiga scalene, dan sisinya a, b dan c.
Petua sinus menyatakan bahawa C
cB
bA
asinsinsin
==
Contoh: Dalam segitiga ABC di bawah, °= 53A , °= 61B dan panjang cm60.12=a . Cari sisi-
sisi yang tidak diketahui dan sudut yang selebihnya.
( ) °°°° =+−=∠ 666153180C
( )
cm7991.13
8746.07986.0
60.12
53sin
60.12
61sin
sinsin
=
=
=
=
°°
b
b
b
Aa
Bb
( )
cm4136.14
9135.07986.0
60.12
53sin
60.12
66sin
sinsin
=
=
=
=
°°
c
c
c
Aa
Cc
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 10
Petua Kosinus
Biar ABC sebuah segitiga scalene, dan sisinya a, b dan c.
Petua kosinus menyatakan:
( )( )( )Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=
Contoh: Cari semua sudut dalam segitiga di bawah.
( )
( )( )( )
°
−
=
=
=−−
=
−=
−+=
−+=
74.81
1429.0cos
1429.070
7464cos
cos707464
cos572254964
cos2
1
222
A
A
A
A
A
Abccba
( )
( )( )( )
°
−
=
=
=−−
=
−=
−+=
−+=
60
5.0cos
5.080
8949cos
cos808949
cos582256449
cos2
1
222
B
B
B
B
B
Baccab
( ) °°°° =+−=∠∴ 26.386074.81180C
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 11
LUAS SEGITIGA
Luas segitiga diberikan oleh rumus ( )( )tinggitapakA2
1= .
Contoh: Cari luas segitiga ABC di bawah:
( )( )xA 52
1= dimana x adalah tinggi segitiga yang tidak diketahui.
( )
( ) cm321.115283.42
5
5283.4
67547.0
649sin
==
=
=
=°
A
x
x
x
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 12
INTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISE
1. Calculate the length of AC and BC in the figure below.
2. Find the labeled side, x in the figure below:
3. Find side c , and the rest of the angles in the triangle ABC below:
4. For all the three triangles above, find their areas, respectively.
Answers: 1. b = 6.4 cm, a = 4.3 cm 2. x = 4.2 cm 3. c = 16.03 cm, ∆A = 70.35°, ∆B = 42.65° 4. (1) 12.47 cm2 (2) 10.27 unit2 (3) 89 cm2
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 13
RUMUS SUDUT BERCAMPUR
( )
( )
( )
( )
( )
( )BABA
BA
BABA
BA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
tantan1
tantantan.6
tantan1
tantantan.5
sinsincoscoscos.4
sinsincoscoscos.3
sincoscossinsin.2
sincoscossinsin.1
+−
=−
−+
=+
+=−
−=+
−=−
+=+
Rumus ini biasanya digunakan bersama-sama jadual Sudut Istimewa untuk mencari nisbah-nisbah trigonometri tanpa menggunakan kalkulator. Sudut Istimewa
Dua jenis sudut istimewa yang perlu diketahui adalah: i) Segitiga 30° – 60° – 90° :
ii) Segitiga 45° – 45° – 90° :
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 14
Daripada dua Sudut Istimewa di atas, kita boleh membina jadual trigonometri seperti berikut:
°30 °45 °60 °90
θsin 2
1
2
1
2
3 1
θcos 2
3
2
1
2
1 0
θtan 3
1 1 3 ∞
Contoh: 1. Cari °15sin tanpa menggunakan kalkulator. Tinggalkan jawapan dalam
bentuk ‘surd’.
( ) ( )
22
13
2
1
2
1
2
3
2
1
30sin45cos30cos45sin
sin3045sin15sin
−=
−
=
−=
−=−=
°°°°
°°° BA
2. Cari °105cos tanpa menggunakan kalkulator. Tinggalkan jawapan dalam
bentuk ‘surd’.
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 15
RUMUS SUDUT BERGANDA
A
AA
A
A
AAA
AAA
2
2
2
22
tan1
tan22tan.3
sin21
1cos2
sincos2cos.2
cossin22sin.1
−=
−=
−=
−=
=
Contoh:
Diberikan 13
12cos =β , di mana β adalah sudut tirus. Cari:
a) β2sin
b) β2cos
c) β2tan
Mengetahui 13
12cos =β , dan β adalah sudut tirus, kita boleh lukiskan rajah seperti
berikut:
Sisi yang tidak diketahui boleh dicari menggunakan Teorem Pythagoras:
5
25
1213 22
=
=
−=
x
x
x
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 16
a) β2sin
7101.0
169
120
13
12
13
52
cossin22sin
=
=
=
= βββ
b) β2cos
c) β2tan
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 17
INTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISE
1. Using the special angle triangle, evaluate the followings. Leave your answers
in surd form.
a) °105sin
b) °15cos
c) °75tan
2. Given that θ is acute, and 5
4sin =θ , evaluate the followings:
a) θ2cos
b) θ2tan
c) θ2sin
3. Given that θ is obtuse, and 2
1tan =θ , evaluate the followings:
a) θ2cos
b) θ2tan
c) θ2sin
Answers: 1. (a) (1+√3)/2√2 (b) (1+√3)/2√2 (c) (1+√3)/ √3 –1 2. (a) –0.28 (b) –3.43 (c) 0.96 3. (a) 0.6 (b) 1.333 (c) 0.8
NOTA: TRIGONOMETRI
Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 18
IDENTITI TRIGONOMETRI
3 identiti asas trigonometri adalah seperti berikut:
AA
AA
AA
22
22
22
csccot1.3
sectan1.2
1cossin.1
=+
=+
=+
Identiti songsangan trigonometri (reciprocal) seperti berikut digunakan untuk pembuktian:
ry
=θsin rx
=θcos θθ
θcos
sintan ==
xy
θθ
sin
1csc =
θθ
cos
1sec =
θθ
θθ
sin
cos
tan
1cot ==
Contoh: Buktikan identiti xxx sectancsc =
x
xx
xx
xxx
seccos
1
cos
1tancsc
cos
sin
sin
1tancsc
sectancsc
=
=
=
=
θ
θ
θθ
θ