Download - Ppt. Struktur Aljabar Grup
STRUKTUR ALJABAR
GRUPOleh:
FELI RAMURYTRIMUHTIHARYANI
Dosen Pengasuh : 1. Dr. Darmawijoyo 2. Dr. Nila Kesumawati,
M.Si.
O GRUPOIDO SEMIGRUPO GRUPO GRUP ABEL
GRUPOID
Definisi 1.2.1Suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*) didalamnya, disebut grupoid dan dinyatakan dengan (G,*)
Contoh 1:Misalkan G = danoperasibiner “*” dalam G ditentukansebagaiberikut:
* x y z
x x y y
y y x y
z z y xTabel ini dibaca x * x = x, x * y = y, z * z = x dan seterusnya
(G,*) ini merupakan grupoid, karena operasi * merupakan operasi biner dalam G.
SEMIGRUPDefinisi 1.2.2Suatugrupoid (G,*) disebutsemi-grup, apabilaterhadapoperasibiner * dalam G berlakusifatasosiatifsebagaiberikut: x,y,z G berlaku(x * y) * z = x * (y * z)
Contoh 2:Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a*b = a + b + abTunjukkan bahwa (N,*) adalah semigrup!
Penyelesaian:1. Tertutup
Ambilsembaranga,bN, karenaa,bN
Maka a * b = a + b + abN
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
Penyelesaian:
2. Assosiatif
Ambilsembarang a, b, c N, maka
(a * b) * c = (a + b + ab) * c
= (a+b+ab) + c + (a + b + ab) c
= a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc)
= a + (b+c+bc) + a (b + c + bc)
= a + b + c + bc + ab + ac + abc
Penyelesaian:
Makauntuksetiapa,b,cN berlaku
(a * b) * c = a * (b * c)
Jadi, (N,*) merupakan suatu semigrup
GRUPDefinisi 1.2.3Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:
1. Tertutup
Grup
a,b G maka a * b = c dengan c G
2. Assosiatif
a,b,c G berlaku (a * b) * c = a * (b * c)
3. Terdapatunsuridentitas e G
a * e = e * a = a, a G
4. Untuksetiap a G terdapat G
* a = a * = e
Contoh 3:Misalkan G = Tunjukkanbahwa G adalahsuatugrupterhadapperkalianbiasa (G,x)
Penyelesaian:
Dengan menggunakandaftarCayley G = terhadap (G,x) sebagaiberikut:
x -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
Penyelesaian:
a. Tertutup
G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x karena
-1 x -1 = 1 G
-1 x 1 = -1 G
1 x -1 = -1 G
1 x 1 =1 G
Penyelesaian:
b. Assosiatif
Ambilsembarangnilai G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G, maka
(a x b) x c = (-1 x -1) x 1 = 1 x 1 = 1
a x (b x c) = -1 x (-1 x 1) = -1 x -1 = 1
sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka G assosiatif
Penyelesaian:
c. Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap perkalian
Ambil sembarang nilai dari G,
- Misalkan-1 G sehingga
-1 x e = e x (-1) = -1
- Misalkan1 G sehingga
1 x e = e x 1 = 1
Maka G mempunyai identitas
Penyelesaian:
d. Adanya invers
- Ambil sembarang nilai dari G,
misalkan-1 G, pilih-1 G, sehingga:
-1 x (-1) = 1 = e, maka = -1
- Ambil sembarang nilai dari G,
misalkan1 G, pilih1 G, sehingga:
1 x 1 = 1 x 1 = e, maka = 1
Maka ada invers untuk setiap anggota G
GRUP ABELDefinisi 1.2.4Dalamsuatugrup G bilaberlakusifat a b = ba untuksetiapanggotaa,b G, maka G disebutgrupkomutatifataugrupabel.
Contoh 4:Misalkan G = Tunjukkanbahwa G adalahsuatugrupterhadapperkalianbiasa (G,x)
Penyelesaian:
Padacontoh 3 telahtebuktibahwa G = merupakangrupterhadapperkalianbiasasehinggakitahanyamembuktikansifatkomutatif
-1 x 1 = -1 dan 1 x (-1) = -1
sehingga -1 x 1 = 1 x (-1) = -1
Jadi, (G,x) merupakan grup komutatif atau grup abel.
Terima KasihTerima Kasih
Elements PageElements Page