NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL
FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Felisitas Sekar Dayu Rinakit
NIM : 081414069
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2013
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL
FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Felisitas Sekar Dayu Rinakit
NIM : 081414069
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2013
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini kupersembahkan
untuk kedua orangtuaku, adik,
nenek, dan seluruh keluargaku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
ABSTRAK
Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu
Variabel Bebas. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Skripsi ini membahas tentang pengertian fungsional, nilai ekstrim suatu
fungsional, dan persamaan Euler. Selama ini telah banyak dibahas mengenai nilai
ekstrim suatu fungsi baik itu fungsi satu variabel maupun fungsi beberapa
variabel. Kali ini, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai nilai ekstrim suatu
fungsional.
Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya
merupakan fungsi, dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi.
Daerah asal suatu fungsional adalah ruang fungsi, dan daerah hasilnya adalah
himpunan bilangan real. Nilai ekstrim relatif suatu fungsional dapat dibedakan
menjadi dua, yaitu nilai ekstrim kuat dan nilai ekstrim lemah. Nilai ekstrim kuat
pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih besar (luas). Nilai
ekstrim lemah pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil
(sempit). Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang
yang lebih besar. Syarat perlu suatu fungsional mencapai nilai ekstrim di suatu
titik tertentu yaitu diferensial dari fungsional di titik itu adalah 0.
Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu nilai ekstrim dari
fungsional yang berbentuk π½ π¦ = πΉ π₯,π¦(π₯),π¦(π₯)β² ππ₯π
π, untuk daerah asal
fungsional memenuhi suatu syarat batas; yakni nilai fungsi-fungsi dalam daerah
asal tersebut adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi itu. Syarat perlu itu
adalah suatu persamaan diferensial, di mana fungsi yang membuat π½[π¦] memiliki
nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial
itu disebut persamaan Euler. Jika π¦ = π¦ (π₯) membuat π½[π¦] memiliki nilai ekstrim,
maka persamaan Eulernya adalah ππΉ
ππ¦ π₯,π¦ ,π¦ β² β
π
ππ₯ ππΉ
ππ¦ β² π₯,π¦ ,π¦ β² = 0.
Dalam skripsi ini, teorema mengenai syarat perlu suatu fungsional
mencapai nilai ekstrim di suatu titik tertentu akan dibuktikan. Begitu pula dengan
teorema tentang persamaan Euler.
Kata kunci : fungsional, nilai ekstrim, persamaan Euler.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRACT
Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Extreme Value of Functional for
Function With One Independent Variable. Thesis. Mathematics Education
Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of
Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This thesis discusses the definition of a functional, extreme value of a
functional, and Eulerβs equation. All this time, there are many discussions about
extreme value of function both function of one variable and several variables. But,
this thesis will discuss about extreme value of a functional.
Functional is a kind of function that its independent variable are functions.
Or in the other word we can say that functional is a function of function. Domain
of a functional is a function space and the range is a set of real number. The
relative extreme value of a functional can be differed into two. They are strong
extreme value and weak extreme value. The strong extreme value of a functional
is an extreme value on a bigger space (broader). The weak extreme value of a
functional is an extreme value on a smaller space (narrower). The smaller space is
a proper subset of the bigger space. Necessary condition of a functional to get
extreme value in a certain point is that its differential in that point is 0.
There is a theorem of necessary condition of extreme value from the
functional π½ π¦ = πΉ π₯,π¦(π₯),π¦(π₯)β² ππ₯π
π. The domain of that functional should
satisfy the boundary condition; i.e. the value of functions on its domain is same at
its end points. The necessary condition is a differential equation in which the
function that made π½[π¦] has extreme value, will satisfy the diferential equation.
That differential equation is called Eulerβs equation. If π¦ = π¦ (π₯) make π½[π¦] has
extreme value then its Eulerβs equation is ππΉ
ππ¦ π₯,π¦ ,π¦ β² β
π
ππ₯ ππΉ
ππ¦ β² π₯,π¦ ,π¦ β² = 0.
In this thesis, theorem of the necessary condition of a function to has
extreme value in a certain point will be proved. And also the theorem of Eulerβs
equation.
Key words : functional, extreme value, Eulerβs equation
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan
rahmat-Nya sehingga penyusunan skripsi yang berjudul βNilai Ekstrim
Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebasβ dapat terselesaikan.
Banyak hambatan dan rintangan yang penulis hadapi dalam proses
penyusunan skripsi ini. Namun atas berkat dan rahmat-Nya serta dukungan dan
bantuan dari berbagai pihak, penulis akhirnya dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin menyampaikan
terima kasih kepada :
1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata
Dharma.
2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sanata Dharma.
3. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi
Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.
4. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang
telah memberikan saran, bimbingan, dan dorongan kepada penulis dalam
penyusunan skripsi ini.
5. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., dan Ibu Veronika Fitri Rianasari,
S.Pd., M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak
masukan kepada penulis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
6. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan banyak
ilmu kepada penulis selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.
7. Seluruh staf sekretariat JPMIPA.
8. Bapak, ibuk, adik, nenek, serta seluruh keluarga penulis yang selalu
memberikan banyak dukungan, dan semangat kepada penulis.
9. Teman-teman P.Matβ08 Soso, Nia, Vika, Ray, Deka, Zeny, Niken, dan
yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas
kebersamaannya selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.
10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah
membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, sehingga
penulis meminta saran dan kritik dari pembaca agar kedepannya dapat lebih baik
lagi. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih dan semoga skripsi ini dapat
berguna untuk pembaca.
Yogyakarta, Desember 2013
Penulis
Felisitas Sekar Dayu Rinakit
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... v
ABSTRAK ....................................................................................................... vi
ABTRACT ........................................................................................................ vii
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...................... viii
KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix
DAFTAR ISI .................................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1
A. Latar Belakang ............................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 2
C. Tujuan Penulisan ......................................................................................... 2
D. Pembatasan Masalah ................................................................................... 2
E. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 3
F. Metode Penulisan ........................................................................................ 3
G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 4
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 5
A. Fungsi .......................................................................................................... 5
B. Limit ............................................................................................................ 6
C. Kontinuitas ................................................................................................ 11
D. Turunan ..................................................................................................... 14
E. Nilai Maksimum dan Minimum ................................................................ 20
F. Integral ...................................................................................................... 27
G. Kalkulus Multivariabel.............................................................................. 35
H. Deret Tak Hingga ...................................................................................... 45
I. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................... 54
BAB III FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS ................... 57
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
A. Ruang Fungsi ............................................................................................ 57
B. Fungsional ............................................................................................... 104
C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas ........................... 119
BAB IV PERSAMAAN EULER .................................................................. 124
BAB V PENUTUP ........................................................................................ 135
A. Kesimpulan ............................................................................................. 135
B. Saran ........................................................................................................ 137
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 138
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Permasalahan mengenai suatu nilai yang optimum sangat dibutuhkan
dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saja dalam mencari luas maksimum,
biaya minimum, dan sebagainya.
Dalam kalkulus diferensial, dapat ditemukan π₯ sehingga π(π₯)
mencapai nilai ekstrim. Sedangkan dalam kalkulus peubah banyak, dapat
ditemukan (π₯1, π₯2,β¦ , π₯π) sehingga π(π₯1, π₯2,β¦ , π₯π) mencapai nilai ekstrim.
Nilai ekstrim adalah nilai maksimum dan minimum fungsi-fungsi tersebut.
Dalam analisis fungsional, salah satu konsep yang dipelajari adalah
konsep tentang fungsional. Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana
variabel bebasnya merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional
merupakan fungsi dari fungsi.
Selama ini telah dikenal rumus panjang kurva π¦ = π(π₯), π β€ π₯ β€ π
yaitu πΏ = 1 + [π β² π₯ ]2ππ₯π
π. Rumus tersebut merupakan suatu fungsional
dengan variabel bebas fungsi π(π₯). Dengan mencari π¦ = π(π₯) agar fungsional
tersebut mencapai nilai minimum, itu berarti sama saja dengan mencari kurva
yang terpendek.
Salah satu bentuk fungsional adalah sebagai berikut π½ π¦ =
πΉ π₯, π¦(π₯),π¦(π₯)β² ππ₯π
π. Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
nilai ekstrim dari fungsional yang berbentuk π½ π¦ = πΉ π₯,π¦(π₯),π¦(π₯)β² ππ₯π
π.
Syarat perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang
membuat π½[π¦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial
itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Oleh karena itu, pada
kesempatan kali ini penulis akan membahas tentang nilai ekstrim suatu
fungsional dan persamaan Euler tersebut.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :
1. Bagaimana pengertian nilai ekstrim suatu fungsional?
2. Apa yang dimaksud dengan persamaan Euler?
3. Bagaimana isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler?
C. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah :
1. Mengetahui pengertian nilai ekstrim suatu fungsional.
2. Mengertahui apa yang dimaksud dengan persamaan Euler.
3. Mengetahui isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler.
D. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas tentang fungsional
untuk fungsi satu variabel bebas. Jadi dalam skripsi ini variabel bebas dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
fungsional yang akan dibahas adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel
bebas.
Penulis juga akan membahas tentang persamaan Euler untuk nilai
ekstrim suatu fungsional, dimana daerah asal fungsional memenuhi suatu
syarat batas. Syarat batas tersebut yaitu nilai fungsi-fungsi dalam daerah asal
adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi tersebut.
Kemudian penulis juga membatasi tentang contoh penerapan
persamaan Euler. Contoh persamaan Euler yang akan dibahas hanya berupa
persamaan diferensial biasa.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari pembahasan ini adalah dapat memberikan kejelasan
tentang nilai ekstrim suatu fungsional, dan dapat memberikan kejelasan
tentang persamaan Euler.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi
pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari
buku-buku acuan yang digunakan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. Sistematika Penulisan
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, rumusan
masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, manfaat penulisan, metode
penulisan, dan sistematika penulisan.
Dalam bab II akan dibahas tentang teori-teori yang menjadi dasar
pembahasan dalam bab III, diantaranya adalah fungsi, limit dan kontinuitas,
turunan, nilai maksimum dan minimum fungsi satu variabel bebas, integral,
fungsi peubah banyak, turunan parsial, nilai maksimum dan minimum fungsi
peubah banyak, deret taylor, dan persamaan diferensial biasa.
Dalam bab III pertama-tama akan dibahas tentang ruang fungsi, di
mana ruang-ruang tersebut penting untuk daerah asal suatu fungsional.
Setelah itu akan dibahas tentang pengertian dan contoh-contoh fungsional,
diferensial suatu fungsional, dan nilai ekstrim suatu fungsional.
Dalam bab IV akan dibahas teorema mengenai syarat perlu untuk
suatu nilai ekstrim dari fungsional π½ π¦ = πΉ π₯, π¦(π₯),π¦(π₯)β² ππ₯π
π. Syarat
perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang membuat
π½[π¦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu.
Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.
Dalam bab V berisi tentang kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Fungsi
Fungsi merupakan alat untuk menyatakan hubungan antara dua buah
variabel atau lebih. Andaikan fungsi sebagai suatu mesin, maka dia akan
mengolah masukan menjadi keluaran atau disebut juga hasil menurut aturan
fungsi tersebut. Masukan dan keluaran itu haruslah anggota dari himpunan,
sehingga sebelum membahas tentang fungsi, akan dibahas himpunan terlebih
dahulu. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek-obyek yang dapat
didefinisikan dengan tepat dan dapat dibedakan. Obyek-obyek ini disebut
elemen atau anggota dari himpunan tersebut, dan dinotasikan dengan huruf
kecil.
Definisi 2.1.1
Himpunan yang tidak mengandung elemen disebut himpunan kosong dan
dinotasikan dengan β .
Definisi 2.1.2
Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A
secara tepat satu elemen, yang disebut f(x), dalam himpunan B.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Dalam hal ini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan tidak
kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x)
adalah nilai f pada x dan dibaca βf dari xβ. Daerah hasil (range) f adalah
himpunan semua nilai f(x) di mana x berubah sepanjang daerah A. Lambang
yang menyatakan suatu bilangan sembarang di daerah asal fungsi f disebut
variabel bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut
variabel tak bebas. Fungsi disebut juga pemetaan.
B. Limit
Dalam limit fungsi, akan dianalisis mengenai perubahan nilai fungsi
ketika masukan atau input fungsi itu bergerak mendekat semakain dekat tetapi
tidak pernah sampai kepada nilai tertentu.
Dituliskan Lxfax
)(lim dan dikatakan βlimit f(x) ketika x mendekati a
sama dengan Lβ, jika kita dapat membuat nilai f(x) sembarang yang dekat
dengan L (sedekat yang kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat
dengan a, tetapi tidak sama dengan a.
Limit ini bisa didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.2.2
Jika f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka tertentu yang
memuat bilangan a, kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan
bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan Lxfax
)(lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
jika untuk setiap bilangan ν > 0 terdapat bilangan yang berpadanan πΏ > 0
sedemikian rupa hingga π π₯ β πΏ < ν bilamana 0 < π₯ β π < πΏ.
Cara lain untuk menuliskan baris terakhir definisi ini adalah :
jika 0 < π₯ β π < πΏ maka π π₯ β πΏ < ν
Dituliskan Lxfax
)(lim dan dikatakan bahwa limit-kiri f(x) ketika x
mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri] sama dengan L
jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup
dekat ke a dan x lebih kecil daripada a.
Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Sisi-Kiri)
Lxfax
)(lim jika untuk setiap bilangan ν > 0 terdapat bilangan yang
berpadanan πΏ > 0 sedemikian rupa hingga π π₯ β πΏ < ν bilamana π β πΏ <
π₯ < π.
Dituliskan Lxfax
)(lim dan dikatakan bahwa limit-kanan f(x) ketika x
mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan] sama dengan
L jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup
dekat ke a dan x lebih besar daripada a.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.2.4 (Definisi Limit Sisi-Kanan)
Lxfax
)(lim jika untuk setiap bilangan ν > 0 terdapat bilangan yang
berpadanan πΏ > 0 sedemikian rupa hingga π π₯ β πΏ < ν bilamana π < π₯ <
π + πΏ.
Dari ketiga definisi sebelumnya, didapat syarat keberadaan limit yaitu
sebagai berikut :
Lxfax
)(lim jika dan hanya jika Lxfax
)(lim dan .)(lim Lxfax
Hukum Limit : Andaikan bahwa c konstanta dan limit )(lim xfax
dan
)(lim xfax
ada, maka :
1. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
(Hukum Penjumlahan)
2. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
(Hukum Pengurangan)
3. )(lim)(lim xfcxcfaxax
(Hukum Perkalian Konstanta)
4. )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
(Hukum Hasil Kali)
5.
ax
ax
ax xg
xf
xg
xf
)(lim
)(lim
)(
)(lim (Hukum Hasil Bagi)
6. n
ax
n
axxfxf
)(lim)(lim , dengan π bilangan bulat positif. (Hukum
Pemangkatan)
7. ccax
lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
8. axax
lim
9. nn
axax
lim , dengan π bilangan bulat positif.
10. nn
axax
lim , dengan π bilangan bulat positif. (Jika π genap, anggap
bahwa π > 0)
11. nax
n
axxfxf )(lim)(lim
, dengan π bilangan bulat positif. (Jika π
genap, anggap bahwa 0)(lim
xfax
)
Teorema 2.2.1
Jika π π₯ β€ π(π₯) pada waktu x dekat dengan a (kecuali mungkin di a) dan
limit f dan g keduannya ada untuk x mendekati a maka ).(lim)(lim xgxfaxax
Bukti :
π(π₯) β€ π(π₯)
Limit π dan π ada untuk π₯ β π , sehingga :
Lxfax
)(lim dan Mxgax
)(lim
LMxfxgax
)()(lim (menurut Hukum Pengurangan limit)
Akan digunakan metode kontradikisi, sehingga dimisalkan πΏ > π
LMxfxgax
)()(lim , sehingga untuk sembarang ν > 0 terdapat πΏ > 0
sedemikian sehingga
0 < π₯ β π < πΏ β π π₯ β π(π₯) β (πβ πΏ) < ν (menurut definisi 2.2.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Ambil ν = πΏ βπ (karena πΏ > π dari pernyataan awal), diperoleh πΏ > 0
sedemikian sehingga
0 < π₯ β π < πΏ β π π₯ β π(π₯) β (π β πΏ) < πΏ βπ
Karena π β€ π untuk setiap bilangan a maka diperoleh
0 < π₯ β π < πΏ β π π₯ β π(π₯) β (πβ πΏ) < πΏ βπ
0 < π₯ β π < πΏ β π π₯ β π(π₯) < 0
0 < π₯ β π < πΏ β π π₯ < π(π₯)
Didapat π π₯ < π(π₯). Ini bertentangan dengan π(π₯) β€ π(π₯). Oleh karena itu,
ketidaksamaan πΏ > π adalah salah. Oleh karena itu πΏ β€ π yaitu
).(lim)(lim xgxfaxax
Teorema 2.2.2 (Teorema Apit)
Jika π(π₯) β€ π(π₯) β€ π(π₯) pada waktu π₯ dekat π (kecuali mungkin di π) dan
Lxhxfaxax
)(lim)(lim maka .)(lim Lxg
ax
Bukti :
π(π₯) β€ π(π₯) β€ π(π₯)
Misalkan ν > 0 diberikan.
Karena Lxfax
)(lim , maka terdapat πΏ1 > 0 sedemikian sehingga
0 < π₯ β π < πΏ1 β π π₯ β πΏ < ν
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
0 < π₯ β π < πΏ1 β πΏ β ν < π π₯ < πΏ + ν
Karena Lxhax
)(lim , maka terdapat πΏ2 > 0 sedemikian sehingga
0 < π₯ β π < πΏ2 β π π₯ β πΏ < ν
0 < π₯ β π < πΏ2 β πΏ β ν < π π₯ < πΏ + ν
pilih πΏ = min πΏ1, πΏ2 .
Jika 0 < π₯ β π < πΏ maka 0 < π₯ β π < πΏ1 dan 0 < π₯ β π < πΏ2, sehingga
πΏ β ν < π(π₯) β€ π(π₯) β€ π π₯ < πΏ + ν
πΏ β ν < π(π₯) < πΏ + ν
π(π₯) β πΏ < ν
Oleh karena itu,
Lxgax
)(lim
C. Kontinuitas
Setelah dibahas mengenai fungsi, limit, dan turunan, selanjutnya akan
dibahas mengenai kontinuitas suatu fungsi.
Definisi 2.3.1
Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika ).()(lim afxfax
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi ini secara implisit mensyaratkan tiga hal, jika f kontinu di a :
1. f(a) terdefinisi (yaitu a berada di daerah asal f)
2. )(lim xfax
ada (sehingga harus memenuhi syarat keberadaan limit)
3. )()(lim afxfax
Dari ketiga hal tersebut f(x) haruslah terdefinisi pada suatu selang
terbuka yang memuat a, f(x) mempunyai sifat bahwa perubahan kecil pada x
hanya menghasilkan perubahan kecil pada f(x), dan tidak ada celah pada
kurvanya.
Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tidak dipenuhi, maka f(x)
dikatakan tidak kontinu di titik a. Jika f(x) tidak kontinu di titik a, maka f(x)
dikatakan diskontinu di a.
Defiinisi 2.3.2
Sebuah fungsi f kontinu dari kanan pada sebuah bilangan a jika
)()(lim afxfax
dan f kontinu dari kiri pada a jika ).()(lim afxfax
Definisi 2.3.3
Dikatakan f kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik
(a,b). f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu
kanan di a, dan kontinu kiri di b.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Teorema 2.3.1
Jika π kontinu pada π dan bxgax
)(lim , maka )())((lim bfxgfax
. Dengan
kata lain, )(lim))((lim xgfxgfaxax
.
Bukti :
Fungsi π kontinu pada π, sehingga didapat
)()(lim bfyfby
Ini berarti untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ1 > 0 sedemikian sehingga
jika 10 by maka .)()( bfyf
bxgax
)(lim
Ini berarti untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ > 0 sedemikian sehingga
jika ax0 maka .)( bxg
Karena π¦ = π(π₯), maka didapat .)( 1bxg
Oleh karena itu, mengakibatkan .)())(( bfxgf
Oleh karena itu, untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ > 0 sedemikian sehingga
Jika ax0 maka .)())(( bfxgf
Ini berarti ).())((lim bfxgfax
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Teorema 2.3.2
Jika π kontinu pada π, dan π kontinu pada π(π), maka fungsi komposit π β π
yang diberikan oleh π β π π₯ = π(π π₯ ) kontinu pada π.
Bukti :
π kontinu pada π, sehingga didapat :
)()(lim agxgax
Karena π kontinu pada π(π), maka dengan menerapkan teorema 2.3.1, akan
diperoleh )).(())((lim agfxgfax
Ini berarti fungsi π(π π₯ ) kontinu pada π.
Karena itu, π β π π₯ = π(π π₯ ) kontinu pada π.
D. Turunan
Dalam kalkulus diferensial permasalahan yang dibahas adalah tentang
bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.
Misalnya antara waktu dan jarak, waktu dan populasi, (dalam kedua hal
tersebut perubahan yang dimaksud adalah laju), dan sebagainya.
Turunan adalah sebuah limit unik yang berkaitan dengan masalah
bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.
Limit unik tersebut adalah sebagai berikut : .)()(
lim0 h
xfhxf
h
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Suatu fungsi f(x) dikatakan terdifirensialkan pada titik π₯ = π asalkan nilai
limit unik pada titik tersebut ada (terdefinisi).
Definisi 2.4.1
Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan )(' af adalah
.)()(
lim)('0 h
afhafaf
h
asalkan limit ini ada.
Jika dituliskan π₯ = π + π , maka π = π₯ β π , dan h mendekati 0 jika
dan hanya jika x mendekati π. Karena itu, cara setara mendefinisikan turunan
adalah .)()(
lim)('ax
afxfaf
ax
Diberikan sembarang bilangan x yang bersifat bahwa
h
xfhxf
h
)()(lim
0
ada, maka didapat nilai )(' xf pada x, sehingga 'f dapat
dipandang sebagai suatu fungsi baru, disebut turunan dari f dan didefinisikan
sebagai berikut .)()(
lim)('0 h
xfhxfxf
h
Terdapat beberapa notasi yang sering digunakan untuk menyatakan
turunan, diantaranya adalah π β² π₯ ,π¦β² ,ππ¦
ππ₯,ππ
ππ₯,π
ππ₯π π₯ ,π·π π₯ ,π·π₯π(π₯).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Semua notasi ini mewakili ekspresi limit unik h
xfhxf
h
)()(lim
0
yang
disebut turunan, sehingga h
xfhxf
h
)()(lim
0
= π β² π₯ = π¦β² =
ππ¦
ππ₯=
ππ
ππ₯=
π
ππ₯π π₯ = π·π π₯ = π·π₯π(π₯).
Definisi 2.4.2
Fungsi f dapat didiferensialkan di a jika )(' af ada. Fungsi f dapat
didiferensialkan pada selang buka (a,b) [atau (π,β) atau (ββ,π) atau
(ββ,β)] jika fungsi f dapat didiferensialkan pada setiap bilangan dalam
selang tersebut.
Teorema 2.4.1
Jika f dapat didiferensialkan di π , maka f kontinu di π.
Bukti :
f dapat didiferensialkan di π, yaitu :
ax
afxfaf
ax
)()(lim)(' ada. (menurut definisi 2.4.1)
Karena π₯ β π maka π π₯ β π π = π π₯ βπ π
π₯βπ π₯ β π .
Oleh karena itu,
)(
)()(lim)()(lim ax
ax
afxfafxf
axax
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
)(lim.)()(
lim axax
afxf
axax
(menurut aturan hasil kali)
= π β² π . 0 = 0
π π₯ = π π₯ + π π β π π
π π₯ = π π + π π₯ β π(π)
)()()(lim)(lim afxfafxfaxax
)()(lim)(lim afxfafaxax
(menurut aturan penjumlahan)
)(0)( afaf
)()(lim afxfax
Karena itu, π kontinu di π (menurut definisi 2.3.1).
Berikut adalah kemungkinan-kemungkinan di mana fungsi π π₯ gagal
memiliki turunan di π₯ = π di dalam domainnya :
Pada umumnya jika grafik suatu fungsi f mempunyai βpojokβ atau
βpatahanβ di dalamnya, maka grafik fungsi f tidak dapat didiferensialkan pada
kondisi tersebut. (saat menghitung fβ(a), kita akan menemukan bahwa limit
kiri dan limit kanan berlainan sehingga turunan pada titik itu tidak ada)
Jika kurva mempunyai garis singgung vertikal saat di π₯ = π (garis
singgung menjadi semakin curam ketika π β 0), maka f tidak dapat
didiferensialkan di π. Garis singgung π¦ = π(π₯) di suatu titik adalah tegak
artinya kemiringan (gradien) garis singgung itu tidak terdefinisi, padahal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
kemiringan garis singgung π¦ = π(π₯) di suatu titik adalah turunan π di titik
tersebut, sehingga turunannya juga tidak terdefinisi.
Pada sembarang ketidakkontinuan maka f gagal untuk dapat
didiferensialkan. (menurut teorema 2.4.1)
Rumus-Rumus Turunan :
1. π
ππ₯ π = 0 (Turunan Fungsi Konstanta)
2. Jika π sembarang bilangan real, maka :
π
ππ₯ π₯π = ππ₯πβ1 (Aturan Pangkat)
3. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka :
π
ππ₯[ππ π₯ ] = π
π
ππ₯π(π₯) (Aturan Perkalian Konstanta)
4. Jika π dan π keduanya dapat didiferensialkan, maka :
π
ππ₯ π π₯ + π π₯ =
π
ππ₯π π₯ +
π
ππ₯π(π₯) (Aturan Jumlah)
5. Jika π dan π keduanya dapat didiferensialkan, maka :
π
ππ₯ π π₯ β π π₯ =
π
ππ₯π π₯ β
π
ππ₯π(π₯) (Aturan Selisih)
6. Jika π dan π keduanya dapat didiferensialkan, maka :
π
ππ₯ π π₯ π π₯ = π(π₯)
π
ππ₯[π π₯ ] + π(π₯)
π
ππ₯[π π₯ ] (Aturan Hasil Kali)
7. Jika π dan π keduanya dapat didiferensialkan, maka :
π
ππ₯ π(π₯)
π(π₯) =
π π₯ π
ππ₯[π π₯ ]βπ π₯
π
ππ₯[π π₯ ]
π(π₯) 2,π(π₯) β 0 (Aturan Hasil Bagi)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Sekarang akan dibahas tentang turunan yang lebih tinggi. Jika fungsi π
dapat diturunkan, maka turunannya yaitu πβ juga berupa fungsi, sehingga πβ
bisa jadi mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh π β² β² = πβ²β².
Fungsi πβ²β² yang baru ini disebut turunan kedua dari π karena πββ
merupakan turunan dari turunan π.
Notasi-notasi dari turunan kedua dari π¦ = π(π₯) adalah sebagai berikut :
π
ππ₯ ππ¦
ππ₯ =
π2π¦
ππ₯2= π β²β² π₯ = π·2π(π₯)
Turunan ketiga πβββ adalah turunan dari turunan kedua : π β²β²β² = (π β²β² )β² .
Notasi-notasi untuk turunan ketiga adalah :
π¦β²β²β² = π β²β²β² π₯ =π
ππ₯ π2π¦
ππ₯2 =
π3π¦
ππ₯= π·3π(π₯)
Umumnya turunan ke-π dari πdinyatakan oleh π(π)dan diperoleh dari f
dengan cara menurunkan n kali. Jika π¦ = π(π₯), maka dapat dituliskan :
π¦(π) = π(π) π₯ =π(π)π¦
ππ₯= π·(π)π(π₯)
Kali ini akan dibahas tentang diferensial. Jika π¦ π₯ = π(π₯), dengan
π(π₯) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka diferensial ππ₯ adalah
peubah bebas; yakni ππ₯ dapat diberi nilai sembarang bilangan real. Kemudian
diferensial ππ¦ didefinisikan dalam bentuk ππ₯ oleh persamaaan
ππ¦ = π β² π₯ ππ₯
Oleh karena itu, ππ¦ adalah peubah tak bebas, dia tergantung pada nilai π₯ dan
ππ₯.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Besar dari βπ¦ dapat dituliskan sebagai berikut :
βπ¦ = β(π π₯ = π π₯ + βπ₯ β π(π₯)
Misalkan ππ₯ = βπ₯, sehingga βπ¦ menyatakan besarnya kurva π¦ = π(π₯)
(perubahan tinggi kurva) jika π₯ berubah sebesar βπ₯ = ππ₯.
Kemiringan suatu garis singgung π¦ = π(π₯) di suatu titik adalah turunan
π ; yakni πβ² di titik tersebut. Sehingga tinggi dari garis singgung adalah
π β²(π₯)βπ₯. Karena ππ₯ = βπ₯, maka tinggi dari garis singgung adalah π β²(π₯)ππ₯.
Padahal ππ¦ = π β² π₯ ππ₯, sehingga ππ¦ menyatakan besarnya garis
singgung (tinggi garis singgung) jika π₯ berubah sebesar βπ₯ = ππ₯.
E. Nilai Maksimum dan Minimum
Kali ini akan dibahas tentang salah satu penerapan turunan yaitu
masalah pengoptimalan. Di sini akan dicari nilai yang optimum dari suatu
fungsi. Pengoptimalan tersebut bisa jadi mencari nilai maksimum atau
minimum suatu fungsi. Karena itu, akan dibahas terlebih dahulu apa yang
dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum.
Definisi 2.5.1
Fungsi f mempunyai maksimum mutlak (atau maksimum global) di c jika
π(π) β₯ π(π₯) untuk semua x di D, dengan D adalah daerah asal f. Bilangan
π(π) disebut nilai maksimum f pada D. Secara serupa, f mempunyai minimum
mutlak di c jika π(π) β€ π(π₯) untuk semua x di D dan bilangan π(π) disebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
nilai minimum f pada D. Nilai maksimum dan minimum f disebut nilai
ekstrim f.
Definisi 2.5.2
Fungsi f mempunyai maksimum lokal (atau maksimum relatif) di c jika
π(π) β₯ π(π₯) bilamana x dekat c [ini berarti bahwa π(π) β₯ π(π₯) untuk semua
π₯ di dalam suatu selang terbuka yang mengandung π]. Secara serupa, f
mempunyai minimum lokal di c jika π(π) β€ π(π₯) bilamana x dekat c.
Teorema 2.5.1
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup π, π , maka f mencapai nilai
maksimum mutlak f(c) dan minimum mutlak f(d) pada suatu bilangan c dan d
dalam π, π .
Bukti :
Fungsi f kontinu pada selang tertutup π, π sehingga menurut definisi 2.3.3
fungsi f kontinu pada π, π yaitu kontinu di setiap titik dalam π, π , kontinu
kanan di a yaitu )()(lim afxfax
, dan kontinu kiri di b yaitu )()(lim bfxfbx
Di sini daerah asal fungsi f adalah π, π .
Karena f kontinu pada π, π sehingga untuk c di interval π, π didapat
).()(lim cfxfcx
Oleh karena itu, ada π(π), π(π), dan π(π) untuk π di interval (π, π). Karena
semua bilangan itu merupakan bilangan real, maka menurut sifat-sifat urutan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
bilangan real terdapat π(π1) di mana π(π1) β₯ π(ππ) untuk π sepanjang
interval π, π dan terdapat π(π2) di mana π(π2) β€ π(ππ) untuk π sepanjang
interval π, π .
Menurut definisi 2.5.1, f memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di
daerah asal f yaitu dalam selang tertutup π, π .
Dari teorema di atas dapat dikatakan bahwa jika fungsi itu tidak kontinu
atau fungsi itu tidak berada pada selang tertutup π, π maka fungsi itu bisa
jadi tidak mempunyai atau belum tentu mempunyai nilai ekstrim di π, π .
Teorema 2.5.2 (Teorema Fermat)
Jika π mempunyai maksimum atau minimum lokal di π dan jika π β²(π) ada
maka π β² π = 0.
Bukti :
Andaikan f mempunyai maksimum lokal di c, sehingga menurut definisi
2.5.2, π(π) β₯ π(π₯) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat
ke 0, dengan h positif atau negatif, maka
π(π) β₯ π(π + π)
oleh karena itu,
π π + π β π(π) β€ 0
Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah
ketidaksamaannya tetap.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Oleh karena itu, jika π > 0, dan π cukup kecil, dapat diperoleh :
π π + π β π(π)
πβ€ 0
Dengan mengambil limit kanan (karena π > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
π β² π ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Sekarang untuk π < 0
Kedua ruas ketidaksamaan π π + π β π(π) β€ 0 dapat dibagi dengan
bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.
Oleh karena itu, jika π < 0, dan π cukup kecil, dapat diperoleh :
π π + π β π(π)
πβ₯ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Dengan mengambil limit kiri (karena π < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
π β² π ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Didapat 0)(' cf dan 0)(' cf sehingga π β² π = 0.
Andaikan f mempunyai minimum lokal di c. Menurut definisi 2.5.2, π(π) β€
π(π₯) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat ke 0, dengan h
positif atau negatif, maka
π(π) β€ π(π + π)
oleh karena itu,
π π + π β π(π) β₯ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah
ketidaksamaannya tetap.
Oleh karena itu, jika π > 0, dan π cukup kecil, dapat diperoleh :
π π + π β π(π)
πβ₯ 0
Dengan mengambil limit kanan (karena π > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
π β² π ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Sekarang untuk π < 0
Kedua ruas ketidaksamaan π π + π β π(π) β₯ 0 dapat dibagi dengan
bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Oleh karena itu, jika π < 0, dan π cukup kecil, dapat diperoleh :
π π + π β π(π)
πβ€ 0
Dengan mengambil limit kiri (karena π < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut Teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
π β² π ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Didapat 0)(' cf dan 0)(' cf sehingga π β² π = 0.
Definisi 2.5.3
Bilangan kritis dari suatu fungsi f adalah suatu bilangan c di dalam daerah asal
f sedemikian sehingga 0)(' cf atau )(' cf = tidak ada.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Dalam bentuk bilangan kritis, Teorema Fermat tadi dapat dinyatakan ulang
sebagai berikut :
Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di c, maka c adalah
bilangan kritis f.
Berikut ini adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum
mutlak, metode ini disebut Metode Selang Tertutup.
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi
kontinu π pada selang tertutup π, π langkah-langkahnya adalah sebagai
berikut
1. Cari nilai f pada bilangan kritis f di dalam π, π
2. Cari nilai f pada titik-titik ujung selang
3. Yang terbesar di antara nilai dari langkah 1 dan 2 adalah nilai
maksimum mutlak ; yang terkecil di antara nilai-nilai ini adalah nilai
minimum mutlak.
F. Integral
Pertama, akan dibahas tentang antiturunan. Dalam kalkulus diferensial,
telah dibahas tentang bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya
terhadap besaran lain. Kali ini akan dibahas kebalikannya. Misalnya, jika
sudah diketahui bagaimana laju pertumbuhan penduduk, maka kali ini dapat
dicari kebalikannya yaitu berapa jumlah populasi pada suatu waktu tertentu.
Persoalan di sini adalah mencari fungsi F yang merupakan antiturunan dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
dari suatu fungsi f yang diketahui. Jika fungsi F itu ada, maka F disebut
antiturunan dari f.
Definisi 2.6.1
Fungsi F disebut antiturunan dari f pada interval I jika πΉβ² π₯ = π(π₯).
Teorema 2.6.1
Jika F antiturunan dari f pada interval I, maka antiturunan dari f pada I yang
paling umum adalah F(x)+C dengan C konstanta.
Bukti :
Andaikan F antiturunan dari f pada interval I sehingga :
πΉβ² π₯ = π(π₯) (menurut definisi 2.6.1)
πΉβ²(π₯) + 0 = π π₯
π
ππ₯ πΉ π₯ + 0 = π π₯
π
ππ₯ πΉ π₯ +
π
ππ₯(πΆ) = π π₯ , untuk C adalah konstanta. (menurut Turunan
Fungsi Konstanta)
π
ππ₯ πΉ π₯ + πΆ = π π₯ (menurut aturan penjumlahan )
Oleh karena itu, didapat
π
ππ₯ πΉ π₯ + πΆ =
π
ππ₯ πΉ π₯ = π π₯
Oleh karena itu,
πΉ π₯ + πΆ juga merupakan antiturunan dari f pada interval I
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Selanjutnya akan dibahas tentang integral tentu.
Definisi 2.6.2
Jika π fungsi kontinu yang didefinisikan untuk π β€ π₯ β€ π, maka kita bagi
selang π, π menjadi n selang-bagian berlebar sama βπ₯ =(πβπ)
π. Misalkan
π₯0 = π , π₯1, π₯2,β¦ , π₯π(= π) berupa titik ujung selang-bagian ini dan pilih titik
sampel π₯1β, π₯2
β,β¦ , π₯πβ di dalam selang-bagian. Maka definisi integral tentu π
dari π sampai π adalah :
n
in
b
a
xxfdxxf1
*
1 )(lim)(
Integral tentu b
a
dxxf )( adalah sebuah bilangan, integral tentu tersebut tidak
tergantung kepada x. Dapat digunakan sembarang huruf di tempat x tanpa
mengubah nilai integral.
Misalnya :
b
a
b
a
b
a
drrfdttfdxxf )()()(
Berikut ini adalah sifat-sifat integral tentu. Andaikan bahwa f dan g
adalah fungsi-fungsi kontinu, maka :
1. )( abcdxc
b
a
, dengan π konstanta sembarang.
2.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
3. dxxfcdxxcf
b
a
b
a
)()( , dengan π konstanta sembarang.
4.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
5.
c
a
b
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
6. Jika π(π₯) β₯ 0 untuk π β€ π₯ β€ π, maka .0)( dxxf
b
a
7. Jika π(π₯) β₯ π(π₯) untuk π β€ π₯ β€ π, maka .)()( dxxgdxxf
b
a
b
a
8. Jika π β€ π(π₯) β€ π untuk π β€ π₯ β€ π, maka
).()()( abMdxxfabm
b
a
Sekarang, akan dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus. Teorema
Dasar Kalkulus ini mengaitkan antara kalkulus diferensial dan kalkulus
integral, yaitu hubungan timbal balik antara keduannya.
Misalkan π kontinu pada [π, π] dan didefinisikan fungsi baru π, yaitu :
dttfxg
x
a
)()( , dengan π β€ π₯ β€ π. Di sini nilai π tergantung pada π₯ yang
mana π₯ adalah peubah batas atas dalam integral. Jika π₯ bilangan tetap, maka
dttf
x
a
)( adalah integral tentu. Namun jika π₯ berubah-ubah, maka bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
dttf
x
a
)( juga akan berubah-ubah menurut π₯. Oleh karena itu, dapat
didefinisikan bahwa π(π₯) adalah fungsi dari π₯.
Teorema 2.6.2 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1)
Jika π kontinu pada [π, π], maka fungsi π yang didefinisikan oleh
π π₯ = π π‘ ππ‘ π β€ π₯ β€ π
π₯
π
adalah kontinu pada [π, π] dan terdiferensialkan pada (π, π) dan πβ² π₯ = π(π₯).
Bukti :
Fungsi π kontinu pada [π, π].
π π₯ = π π‘ ππ‘ π β€ π₯ β€ π
π₯
π
Jika π₯ dan (π₯ + π) berada dalam (π, π) maka
π π₯ + π β π π₯ = π π‘
π₯+π
π
ππ‘ β π π‘
π₯
π
ππ‘
= π π‘ π₯
πππ‘ + π(π‘)
π₯+π
π₯ππ‘ β π π‘
π₯
πππ‘ (menurut sifat
integral tentu; yakni sifat ke 5)
= π π‘ π₯
π₯ππ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Oleh karena itu, untuk π β 0,
π π₯+π βπ π₯
π=
1
π π π‘ π₯
π₯ππ‘ (1)
Kali ini, anggap bahwa π > 0. Karena π kontinu pada [π₯, π₯ + π], menurut
teorema 2.5.1, terdapat bilangan π’ dan π£ dalam [π₯, π₯ + π] sedemikian sehingga
π π’ = π dan π π£ = π, dengan π dan π adalah nilai minimum dan
maksimum mutlak π pada [π₯, π₯ + π]. Menurut sifat integral; yakni sifat 8
didapat :
ππ β€ π(π‘)
π₯+π
π₯
ππ‘ β€ ππ
π(π’)π β€ π π‘
π₯+π
π₯
ππ‘ β€ π(π£)π
Karena π > 0, ketaksamaan ini dapat dibagi dengan π :
π(π’) β€1
π π π‘
π₯+π
π₯
ππ‘ β€ π(π£)
Gunakan persamaan 1 untuk menggantikan bagian tengah kesamaan ini :
π(π’) β€π π₯+π βπ π₯
πβ€ π(π£) (2)
Ketaksamaan 2 dapat dibuktikan dalam cara serupa untuk kasus π < 0.
Sekarang, biarkan π β 0. Maka π’ β π₯ dan π£ β π₯, Karena π’ dan π£ terletak di
antara π₯ dan π₯ + π‘. Karena itu,
)()(lim)(lim0
xfufufxuh
dan )()(lim)(lim0
xfufufxvh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
karena π kontinu di π₯. (definisi 2.3.1)
Dari persamaan 2 dan teorema 2.2.2 (teorema apit), maka didapat :
πβ² π₯ = limπβ0
π(π₯+π)
π= π(π₯) (3)
π β€ π₯ β€ π
Jika π₯ = π atau π₯ = π , maka persamaan 3 dapat ditafsirkan sebagai limit
sepihak.
Menurut teorema 2.4.1, dan definisi 2.3.3, π(π₯) kontinu pada [π, π]
Teorema 2.6.3 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 2)
Jika π kontinu pada [π, π], maka
b
a
aFbFdxxf )()()( dengan πΉ
antiturunan sembarang dari π, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga πΉβ² = π
Bukti :
Misalkan π π₯ = π(π‘)π₯
πππ‘. Dari Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1
diketahui bahwa πβ² π₯ = π(π₯); yakni π adalah sembarang antiturunan π. Jika
πΉ adalah sembarang antiturunan yang lain dari π pada [π, π] maka
πΉ π₯ = π π₯ + πΆ (6)
untuk π < π₯ < π
(menurut teorema 2.6.1)
Tetapi πΉ dan π keduanya kontinu pada [π, π], sehingga dengan mengambil
limit kedua ruas persamaan 6 (seraya π₯ β π+ dan π₯ β πβ), dapat dilihat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
bahwa hal itu juga berlaku jika π₯ = π dan π₯ = π. (definisi 2.3.1, definisi
2.3.3)
Jika diberikan π₯ = π dalam rumus untuk π(π₯), maka diperoleh :
π π = π π‘ ππ‘ = 0
π
π
Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan 6 dengan π₯ = π dan π₯ = π,
didapat :
πΉ π β πΉ π = π π + πΆ β π π + πΆ
= π π β π π = π π = π π‘ π
πππ‘
Setelah dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus, yakni hubungan antara
antiturunan dan integral, maka sekarang akan dibahas tentang antiturunan
dalam Teorema Dasar Kalkulus tadi, yang disebut juga dengan integral tak
tentu.
π π₯ ππ₯ = πΉ(π₯) bermakna πΉβ² π₯ = π(π₯)
Sebagai contoh, π₯2ππ₯ =π₯3
3+ πΆ , dengan πΆ konstan, ini karena
π
ππ₯ π₯3
3+ πΆ = π₯2.
Berikut ini, akan dibahas mengenai salah satu teknik pengintegralan
yaitu integral parsial.
Pada turunan, terdapat aturan hasil kali yaitu
π
ππ₯ π π₯ π π₯ = π(π₯)
π
ππ₯[π π₯ ] + π(π₯)
π
ππ₯[π π₯ ]
Dengan mengintegralkan kedua ruas, akan didapat :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
π π₯ π(π₯) = [π π₯ πβ²(π₯) + π π₯ π β² π₯ ]ππ₯
Menurut sifat penjumalahan pada integral, akan didapat :
π π₯ πβ²(π₯)ππ₯ + π π₯ π β² π₯ ππ₯ = π π₯ π(π₯)
Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
π π₯ π β² π₯ ππ₯ = π π₯ π π₯ β π π₯ πβ²(π₯)ππ₯
Persamaan di atas disebut rumus pengintegralan parsial.
Jika π’ = π(π₯) dan π£ = π(π₯) maka ππ’ = π β² π₯ ππ₯ dan ππ£ = πβ² π₯ ππ₯, rumus
pengintegralan parsial dapat ditulis menjadi
π’ ππ£ = π’π£ β π£ ππ’
Setelah dibahas mengenai integral; yakni integral tentu dan tak tentu, kali
ini akan dijelaskan mengenai salah satu penggunaan integral lebih lanjut yaitu
tentang rumus panjang kurva.
Jika π kontinu pada [π, π], maka panjang kurva π¦ = π(π₯), π β€ π₯ β€ π
adalah πΏ = 1 + [π β² π₯ ]2ππ₯π
π.
G. Kalkulus Multivariabel
Di bagian ini, akan dibahas pengertian fungsi beberapa variabel, limit,
dan kontinuitasnya, derivatif parsial, dan nilai ekstrim untuk fungsi beberapa
variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Pertama-tama akan dibahas tentang fungsi 2 variabel bebas dan 3
variabel bebas.
Definisi 2.7.1
Suatu fungsi π dari dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada
masing-masing pasangan terurut bilangan real (π₯,π¦) di dalam sebuah
himpunan π· sebuah bilangan real unik yang dinyatakan oleh π(π₯,π¦).
Himpunan π· adalah daerah asal dari π dan daerah nilainya adalah himpunan
nilai yang digunakan π, atau dengan kata lain , {π π₯,π¦ |(π₯,π¦) β π·}.
Definisi 2.7.2
Jika π adalah fungsi dua variabel dengan daerah asal π·, maka grafik π adalah
himpunan semua titik (π₯,π¦, π§) di π 3 sedemikian sehingga π§ = π(π₯,π¦) dan
(π₯,π¦) berada di π·.
Sekarang akan dibahas tentang pengertian limit dan kontinuitas fungsi 2
variabel.
Definisi 2.7.3
Misalkan π adalah fungsi dua variabel yang daerah asalnya π· mencakup titik-
titik yang sengaja dipilih dekat dengan (π, π). Maka dikatakan bahwa limit
dari π(π₯,π¦) seraya (π₯,π¦) mendekati (π, π) adalah πΏ, dan ditulis
Lyxfbayx
),(lim),(),(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
jika untuk setiap bilangan ν > 0 terdapat bilangan yang berpadanan πΏ > 0
sedemikian sehingga π π₯,π¦ β πΏ < ν bilamana (π₯,π¦) β π· dan 0 β€
(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 < πΏ.
Definisi 2.7.4
Fungsi dua variabel π disebut kontinu di (π, π) jika
),(),(lim),(),(
bafyxfbayx
Dikatakan π kontinu pada π· jika π kontinu di setiap titik (π, π) dalam π·.
Sekarang akan dibahas untuk fungsi tiga variabel atau lebih.
Definisi 2.7.5
Fungsi tiga variabel, π, adalah aturan yang memberikan kepada masing-
masing rangkap tiga terurut (π₯,π¦, π§) di dalam daerah asal π· β π 3 sebuah
bilangan real unik yang dinyatakan oleh π(π₯,π¦, π§).
Definisi 2.7.6
Fungsi π variabel adalah aturan yang memberikan sebuah bilangan π§ =
π(π₯1, π₯2,β¦ , π₯π) kepada rangkap π bilangan real (π₯1, π₯2,β¦ , π₯π).
Himpunan rangkap π yang demikian dinyatakan dengan π π .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Definisi 2.7.7
Andaikan π adalah sembarang titik pada π π , dan π± adalah variabel-variabel
dari fungsi π variabel. Jika π didefinisikan pada himpunan bagian π· dari π π ,
maka limπ±βπ π(π±) = πΏ bermakna bahwa untuk setiap bilangan ν > 0 terdapat
sebuah bilangan terkait πΏ > 0 sedemikian sehingga π π± β πΏ < ν bilamana
π± β π· dan 0 < π± β π < πΏ.
Untuk π = 3, maka π± = π₯,π¦, π§ dan a= π, π, π , sehingga definisi di atas
menjadi definisi limit untuk fungsi 3 variabel ; yakni :
),,(),,(lim),,(),,(
cbafzyxfcbazyx
Yang berarti bahwa nilai π(π₯,π¦, π§) mendekati bilangan πΏ seraya titik (π₯,π¦, π§)
mendekati titik (π, π, π) di sepanjang daerah lintasan dalam daerah asal π.
Definisi persisnya yaitu :
Untuk setiap bilangan ν > 0 terdapat sebuah bilangan terkait πΏ > 0
sedemikian sehingga π π₯,π¦, π§ β πΏ < ν bilamana
0 β€ (π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 + (π§ β π)2 < πΏ dan (π₯,π¦, π§) berada dalam daerah
asal π.
Definisi 2.7.8
Fungsi π variabel π disebut kontinu di π jika
limπ±βπ π(π±) = πΏ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Teorema 2.7.1
Jika π adalah fungsi 3 variabel yang kontinu pada (π, π,π) dan
π π₯ ,π π¦ , π(π§) adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel. kxgax
)(lim ,
lyhby
)(lim , mzicz
)(lim , maka ),,())(),(),((lim),,(),,(
mlkfxzxyxgfcbazyx
.
Dengan kata lain
.)(lim),(lim),(lim))(),(),((lim),,(),,(
ziyhxgfxzxyxgf
czbyaxcbazyx
Bukti :
Fungsi π kontinu pada (π, π,π), sehingga didapat
),,(),,(lim),,(),,(
mlkfwvufmlkwvu
Ini berarti untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ1 > 0 sedemikian sehingga
jika 1
222 )()()(0 mwlvku maka .),,(),,( mlkfwvuf
kxgax
)(lim
Ini berarti untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ2 > 0 sedemikian sehingga
jika 20 ax maka .)( kxg
lyhby
)(lim
Ini berarti untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ3 > 0 sedemikian sehingga
jika 30 by maka .)( lyh
mzicz
)(lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Ini berarti untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ4 > 0 sedemikian sehingga
jika 40 cz maka .)( mzi
0 < π₯ β π + π¦ β π + π§ β π < πΏ1 + πΏ2 + πΏ3
Karena πΏ1, πΏ2, πΏ3 adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka πΏ1 + πΏ2 + πΏ3
juga masih merupakan bilangan positif yang sangat kecil, sehingga dapat
dituliskan πΏ1 + πΏ2 + πΏ3 = πΏ.
Jadi dapat dituliskan 0 < π₯ β π + π¦ β π + π§ β π < πΏ.
kxg )( lyh )( 3)( mzi
2222 3))(())(())(( mzilxhkxg
Karena ν adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka 23 juga masih
merupakan bilangan positif yang sangat kecil.
Karena π’ = π π₯ ,π£ = π π¦ ,π€ = π(π§) maka didapat
1
222 ))(())(())(( mzilxhkxg , sehingga mengakibatkan
),,())(),(),(( mlkfxixhxgf
Oleh karena itu, untuk setiap ν > 0, terdapat πΏ > 0 sedemikian sehingga
Jika 0 < π₯ β π + π¦ β π + π§ β π < πΏ maka
.),,())(),(),(( mlkfxixhxgf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Ini berarti ).,,())(),(),((lim),,(),,(
mlkfxzxyxgfcbazyx
Teorema 2.7.2
Jika π,π, π masing βmasing adalah fungsi satu variabel sedemikian sehingga π
kontinu pada π, π kontinu pada π, π kontinu pada π, dan π kontinu pada
(π π ,π π , π π ), maka fungsi π(π π₯ ,π π₯ , π(π₯)) kontinu pada (π, π, π).
Bukti :
Mengingat fungsi π kontinu pada π, maka didapat :
)()(lim agxgax
Fungsi π kontinu pada π, maka didapat :
)()(lim bhyhby
Fungsi π kontinu pada π, maka didapat :
)()(lim cizicz
Fungsi π kontinu pada (π π ,π π , π π ), maka dengan menerapkan teorema
2.7.1, akan diperoleh ))(),(),(())(),(),((lim),,(),,(
cibhagfxzxyxgfcbazyx
Ini berarti fungsi π(π π₯ ,π π₯ , π(π₯)) kontinu pada (π, π, π).
Setelah membahas limit dan kontinuitas, kali ini akan dibahas tentang
pengertian turunan parsial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Definisi 2.7.9
Jika π adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi ππ₯ dan ππ¦
yang didefinisikan oleh
ππ₯ π₯,π¦ = limπβ0
π π₯ + π,π¦ β π(π₯, π¦)
π
ππ¦ π₯,π¦ = limπβ0
π π₯, π¦ + π β π π₯,π¦
π
Berikut ini adalah notasi-notasi untuk turunan parsial.
Jika π§ = π(π₯,π¦), maka dituliskan
ππ₯ π₯,π¦ = ππ₯ =ππ
ππ₯=π
ππ₯π π₯,π¦ =
ππ§
ππ₯= π1 = π·1π = π·π₯π
ππ¦ π₯,π¦ = ππ¦ =ππ
ππ¦=π
ππ¦π π₯, π¦ =
ππ§
ππ¦= π2 = π·2π = π·π¦π
Kemudian, akan dibahas mengenai aturan untuk pencarian turunan
parsial dari π§ = π(π₯,π¦).
1. Untuk mencari ππ₯ , pandang π¦ sebagai konstanta dan diferensialkan
π(π₯,π¦) terhadap π₯.
2. Untuk mencari ππ¦ , pandang π₯ sebagai konstanta dan diferensialkan
π(π₯,π¦) terhadap π¦.
Turunan parsial juga dapat didefinisikan untuk fungsi tiga variabel atau lebih.
Jika π adalah fungsi dua variabel π₯,π¦, dan π§, turunan parsialnya terhadap π₯
didefinisikan sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
ππ₯ π₯,π¦, π§ = limπβ0
π π₯ + π,π¦, π§ β π(π₯,π¦, π§)
π
dan ditemukan dengan cara memandang π¦ dan π§ sebagai konstanta serta
mendiferensialkan π(π₯,π¦, π§) terhadap π₯.
Umumnya, jika π’ adalah fungsi π-variabel, π’ = π(π₯1, π₯2 ,β¦ , π₯π), turunan
parsialnya terhadap variabel π₯π ke-π adalah
ππ’
π₯π= lim
πβ0
π π₯1,β¦ , π₯πβ1,π₯π+π , π₯π+1,β¦ , π₯π β π(π₯1, π₯π ,β¦ , π₯π)
π
dan dituliskan
ππ’
ππ₯π=
ππ
ππ₯π= ππ₯π = ππ = π·ππ.
Setelah dibahas mengenai turunan parsial pertama, kali ini akan kita
bahas pengertian mengenai turunan parsial ke dua dan ke tiga.
Jika π adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya ππ₯ dan ππ¦
juga fungsi dua variabel. Sehingga dapat ditiinjau turunan parsial dari ππ₯ dan
ππ¦ .
Jika π§ = π(π₯,π¦), digunakan notasi berikut :
ππ₯ π₯ = ππ₯π₯ = π11 =π
ππ₯ ππ
ππ₯ =
π2π
ππ₯2=π2π§
ππ₯2
ππ₯ π¦ = ππ₯π¦ = π12 =π
ππ¦ ππ
ππ₯ =
π2π
ππ¦ ππ₯=
π2π§
ππ¦ ππ₯
(ππ¦)π₯ = ππ¦π₯ = π21 =π
ππ₯ ππ
ππ¦ =
π2π
ππ₯ ππ¦=
π2π§
ππ₯ ππ¦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
(ππ¦)π¦ = ππ¦π¦ = π22 =π
ππ¦ ππ
ππ¦ =
π2π
ππ¦2=π2π§
ππ¦2
Jadi, notasi ππ₯π¦ atau π2π
ππ¦ ππ₯ bermakna bahwa pertama, diferensialkan
terhadap π₯ kemudian terhadap π¦ sedangkan dalam menghitung ππ¦π₯ urutannya
dibalik.
Turunan parsial orde 3 atau lebih tinggi dapat juga didiferensialkan. Misalnya,
ππ₯π¦π¦ =π
ππ¦ π2π
ππ¦ ππ₯ =
π3π
ππ¦2 ππ₯
dan seterusnya.
Untuk selanjutnya, akan dibahas tentang pengertian nilai
maksimum dan nilai minimum lokal untuk fungsi beberapa variabel.
Definisi 2.7.9
Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di (π, π) jika π(π₯,π¦) β€
π(π, π) ketika (π₯, π¦) dekat (π, π). [Ini berarti bahwa π(π₯,π¦) β€ π(π, π) untuk
semua titik (π₯, π¦) dalam suatu cakram dengan pusat π, π .] Bilangan π(π, π)
disebut nilai maksimum lokal. Jika π(π₯,π¦) β₯ π(π, π) ketika (π₯,π¦) dekat
(π, π), maka π(π, π) disebut nilai minimum lokal.
Fungsi π-variabel mempunyai maksimum lokal di (π1,π2,β¦ ,ππ) jika
π(π₯1, π₯2,β¦ , π₯π) β€ π(π1,π2,β¦ ,ππ) ketika (π₯1, π₯2,β¦ , π₯π) dekat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
(π1,π2,β¦ ,ππ). Bilangan π(π1,π2,β¦ ,ππ) disebut nilai maksimum lokal. Jika
π(π₯1, π₯2,β¦ , π₯π) β₯ π(π1,π2,β¦ ,ππ) ketika (π₯1, π₯2,β¦ , π₯π) dekat
(π1,π2,β¦ ,ππ), maka π(π1,π2,β¦ ,ππ) disebut nilai minimum lokal.
H. Deret Tak Hingga
Pembahasan kali ini dimulai dengan pembahasan tentang pengertian
suatu barisan. Sebuah barisan adalah suatu daftar bilangan yang dituliskan
dalam suatu urutan tertentu :
π1,π2,π3,π4,β¦ ,ππ ,β¦
Barisan di atas adalah barisan tak hingga, yaitu barisan dengan suku tak
hingga banyak.
Bila diperhatikan, untuk setiap bilangan bulat positif π terdapat suatu
bilangan ππ yang terkait. Oleh karena itu, sebuah barisan dapat didefinisikan
sebagai sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat
positif.
Barisan π1,π2,π3,π4,β¦ ,ππ ,β¦ dinotasikan sebagai ππ atau ππ π=1β
Definisi 2.8.1
Barisan ππ mempunyai limit πΏ dan dituliskan Lann
lim atau ππ β πΏ
seraya π β β apabila untuk setiap ν > 0 terdapat sebuah bilangan bulat π
sedemikian sehingga ππ β πΏ < ν apabila π > π. Jika n
na
lim ada, dikatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
bahwa barisan tersebut konvergen. Jika tidak, dikatakan bahwa barisan
tersebut divergen.
Sekarang, akan mulai dibahas tentang deret. Jika suku-suku dari suatu
barisan tak hingga ππ π=1β dijumlahkan, maka akan didapatkan suatu ekspresi
yang berbentuk
π1 + π2 + π3 +β―+ ππ +β―
Ekspresi di atas disebut deret tak hingga, dan dinyatakan dengan lambang
ππβπ=1 atau ππ
Tinjau jumlah parsial pada deret di atas yaitu :
π 1 = π1
π 2 = π1 + π2
π 3 = π1 + π2 + π3
dan, secara umum,
π π = π1 + π2 + π3 +β―+ ππ = ππ
π
π=1
Jumlah-jumlah parsial ini membentuk barisan baru π π .
Definisi 2.8.1
Diberikan sebuah deret ππ =βπ=1 π1 + π2 + π3 +β―, misalkan π π adalah
jumlah parsial ke-π dari deret tersebut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
π π = ππ =βπ=1 π1 + π2 +β―+ ππ . Jika barisan π π konvergen dan
ssnn
lim hadir sebagai suatu bilangan real, maka deret ππ dikatakan
konvergen dan kita tuliskan π1 + π2 +β―+ ππ +β― = π atau ππ = π
Bilangan π disebut sebagai jumlah dari deret tersebut. Jika tidak, deret tersebut
dikatakan divergen.
Definisi 2.8.2
Barisan ππ adalah terbatas di atas apabila terdapat suatu bilangan π
sedemikian sehingga ππ β€ π untuk semua π β₯ 1.
Barisan ππ adalah terbatas di bawah apabila terdapat suatu bilangan π
sedemikian sehingga π β€ ππ untuk semua π β₯ 1.
Jika ππ adalah terbatas di atas dan di bawah, maka ππ merupakan barisan
terbatas.
Telah dibahas mengenai pengertian barisan dan deret tak hingga. Untuk
selanjutnya, akan dibahas tentang deret pangkat.
Definisi 2.8.3
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
πππ₯π = π0 + π1π₯ + π2π₯
2 + π3π₯3 +β―
β
π=0
dengan π₯ adalah suatu variabel dan ππ adalah konstanta-konstanta yang
disebut koefisien dari deret tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Jumlah deret tersebut merupakan suatu fungsi
π(π₯) = π0 + π1π₯ + π2π₯2 +β¦+ πππ₯
π +β―
yang daerah asalnya adalah himpunan semua π₯ sedemikian sehingga deret
konvergen.
Secara lebih umum, deret yang berbentuk
ππ(π₯ β π)π = π0 + π1(π₯ β π) + π2(π₯ β π)2 +β―
β
π=0
disebut deret pangkat dalam (π₯ β π) atau deret pangkat yang berpusat di π
atau deret pangkat di sekitar π.
Jari-jari konvergensi deret pangkat adalah suatu bilangan positif π
sedemikian sehingga deret tersebut konvergen bila π₯ β π < π dan divergen
bila π₯ β π > π .
Jumlah suatu deret pangkat merupakan suatu fungsi
π π₯ = ππ(π₯ β π)πβ
π=0
yang daerah asalnya adalah selang konvergensi deret tersebut. Sekarang
fungsi tersebut akan diturunkan. Bagaimana cara menurunkan fungsi tersebut
dapat dilihat dari teorema berikut ini:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Teorema 2.8.1
Jika deret pangkat ππ(π₯ β π)π mempunyai jari-jari konvergensi π > 0,
maka fungsi π yang didefinisikan oleh
π π₯ = π0 + π1 π₯ β π + π2 π₯ β π 2 +β― = ππ(π₯ β π)π
β
π=0
dapat diturunkan (dan karenanya kontinu) pada selang (π β π ,π + π )
π β² π₯ = π1 + 2π2 π₯ β π + 3π3 π₯ β π 2 +β― = πππ(π₯ β π)πβ1β
π=1
Jari-jari konvergensi deret pangkat pada persamaan di atas adalah π .
Bukti :
π(π₯) kontinu pada setiap π₯ anggota himpunan bilangan real, karena π(π₯)
berupa polinom. Sehingga π(π₯) juga kontinnu pada selang (π β π ,π + π ).
Setiap suku dari π(π₯) juga kontinu pada setiap π₯ anggota himpunan bilangan
real, karena dia berupa polinom. Sehingga mereka juga kontinnu pada selang
(π β π , π + π ).
Karena itu, menurut aturan penjumlahan dan aturan perkalian konstanta pada
turunan akan didapat :
πβ² π₯ =π
ππ₯(π0) + π1
π
ππ₯ π₯ β π + π2
π
ππ₯ π₯ β π 2 +β―
π β² π₯ = 0 + π1 + 2π2
π
ππ₯ π₯ β π +β― = πππ(π₯ β π)πβ1
β
π=1
Teorema 2.8.2
Jika fungsi π mempunyai uraian deret pangkat di π, yakni jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
π π₯ = ππ(π₯ β π)πβπ=0 π₯ β π < π
maka koefisiennya diberikan oleh rumus ππ =π π
π !(π₯ β π)π .
Bukti :
π(π₯) dapat diuraikan dalam bentuk deret pangkat sehingga
π π₯ = π0 + π1 π₯ β π + π2 π₯ β π 2 + π3 π₯ β π
3 + π4 π₯ β π 4 + β―
(1)
π₯ β π < π
Perhatikan bahwa jika π₯ = π dimasukkan ke dalam persamaan (1) , maka
akan didapat π π = π0
Menurut teorema 2.8.2 deret pada persamaan (1) dapat diturunkan suku demi
suku, sehingga
π β² π₯ = π1 + 2π2 π₯ β π + 3π3 π₯ β π 2 + 4π4 π₯ β π
3 +β― (2)
π₯ β π < π .
Substitusi π₯ = π ke persamaaan (2), sehingga didapat π π = π1.
Turunkan kedua ruas persamaan (2) dan didapat
π β² β² π₯ = 2π2 + 2 β 3π3 π₯ β π + 3 β 4π3 π₯ β π 2 +β― (3)
π₯ β π < π .
Substitusi π₯ = π ke persamaaan (3) sehingga didapat π π = 2π2.
Sekali lagi, sehingga penurunan deret pada persamaan (3) memberikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
π β² β²β² π₯ = 2 β 3π3 + 2 β 3 β 4π4 π₯ β π + 3 β 4 β 5π5 π₯ β π 2 β¦ (4)
π₯ β π < π
Substitusi π₯ = π ke persamaaan (4) sehingga didapat π π = 2 β 3π3 = 3! π3.
Sekarang dapat dilihat polanya. Jika dilanjutkan penurunannya dan juga
substitusi π₯ β π, maka dapat diperoleh
π(π) π = 2 β 3 β 4 ββββ πππ = π! ππ
π(π) π = π! ππ
Oleh karena itu didapat
ππ =π(π ) π
π !
Sekarang substitusikan rumus ππ kembali ke dalam deret didapat
π π₯ = π π
π!(π₯ β π)π(π₯ β π)π
β
π=0
= π π +π β² π
1! π₯ β π +
πβ² β² π
2! π₯ β π 2 +
πβ² β²β² π
3! π₯ β π 3 +β―
Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa jika π dapat diturunkan sampai tak
hingga kali pada π₯ = π, maka didapat polinomial Taylor sebagai berikut :
π(π₯) = π π +π β² π
1! π₯ β π +
πβ²β² π
2! π₯ β π 2 +
πβ²β²β² π
3! π₯ β π 3 +β―
Deret di atas disebut deret Taylor dari fungsi π di π (atau di sekitar π atau
yang berpusat di π).
Dalam kasus deret Taylor, jumlah parsialnya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
ππ π₯ = π π π
π!(π₯ β π)π
β
π=0
= π π +π β² π
1! π₯ β π +
π β² π
2! π₯ β π 2 +β―+
π(π ) π
π ! π₯ β π π
ππ adalah polinom berderajat π untuk π di π.
Jika dimisalkan π π π₯ = π π₯ β ππ π₯ sehingga π(π₯) = ππ π₯ + π π π₯ ,
maka π π π₯ disebut suku sisa dari deret Taylor.
Teorema 2.8.3
Jika π(π₯) = ππ π₯ + π π π₯ , di mana ππ adalah polinom berderajat π untuk π
di π dan 0)(lim
xRnn
untuk π₯ β π < π , maka π sama dengan jumlah deret
Talor-nya pada selang π₯ β π < π .
Bukti :
0)(lim
xRnn
π(π₯) = ππ π₯ + π π π₯ , maka
)]()([lim)(lim xRxfxT nn
nn
)(lim)(lim xRxf nnn
(menurut hukum pengurangan limit)
0)( xf
)(xf
Oleh karena itu, ).()( xTxf n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Dalam mencoba menunjukkan 0)(lim
xRnn
untuk fungsi π tertentu, biasanya
digunakan fakta berikut :
Jika π π+1 (π₯) β€ π untuk π₯ β π β€ π, maka suku sisa π π π₯ dari deret
Taylor-nya memenuhi ketaksamaan π π π₯ β€π
π+1 ! π₯ β π π+1 untuk
π₯ β π β€ π, dengan π suatu konstanta dan π adalah sembarang bilangan
positif.
Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor.
Sekarang untuk fungsi dengan 3 variabel bebas,
Deret Taylor dari fungsi πΉ(π₯,π¦, π§) yang memiliki turunan parsial sampai
tingkat berapapun di sekitar (π, π, π), yaitu
πΉ π₯,π¦, π§ = πΉ π, π, π
+ π₯ β π π
ππ₯πΉ π, π, π + π₯ β π
π
ππ¦πΉ π, π, π
+ π§ β π π
ππ§πΉ(π, π, π)
+1
2! π₯ β π
π
ππ₯πΉ π, π, π + π¦ β π
π
ππ¦πΉ π, π, π
+ π§ β π π
ππ§πΉ(π, π, π)
2
+β―
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial
kedua dan seterusnya)
Andaikan π± = π₯,π¦, π§ dan π = π, π, π
π‘ = π± β π
π‘ = π1 + π2 + π3
Jika π(π±) adalah fungsi dengan 3 variabel yang memiliki turunan-turunan
parsial hingga pangkat π + 1, dan turunan-turunan parsial hingga pangkat
π + 1 βnya kurang dari atau sama dengan π untuk π± di suatu persekitaran dari
π maka suku sisa π π π₯ dari deret Taylor-nya memenuhi ketaksamaan
π π π± β€π
π+1 ! π‘ π+1 .
Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor untuk fungsi 3 variabel.
I. Persamaan Diferensial Biasa
Di sini hanya akan dibahas tentang pengertian persamaan diferensial
biasa, dan apa yang dimaksud solusi dari persamaan diferensial biasa.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-
variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya (turunan-turunannya) terhadap
variabel bebas.
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan hanya satu variabel bebas.
Beberapa contohnya sebagai berikut ini :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Contoh 2.9.1
1. π¦β² + 2π¦ = 0
2. π¦β²β² = π¦
3. ππ¦
ππ₯= ππ₯ + sin(π₯)
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan dua atau lebih variabel bebas.
Beberapa contohnya sebagai berikut ini :
Contoh 2.9.2
1. π2π’
ππ₯ 2 +π2π’
ππ¦ 2 = 0
2. π2π₯
ππ‘ 2 +ππ¦
ππ‘+ π₯π¦ = sin(π‘)
Sedangkan orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari
turunan yang muncul dalam persamaan.
Pada contoh 2.9.1, contoh nomor 1 berorde 1, contoh nomor 2 berorde 2,
dan contoh nomor 3 berorde 1
Pada contoh 2.9.2, kedua contoh berorde 2
Definisi 2.9.1
Andaikan persamaan diferensial dalam bentuk π¦(π) = π(π‘, π¦β² ,π¦β²β² ,β¦ ,π¦ πβ1 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Solusi dari persamaan diferensial tersebut pada interval πΌ < π‘ < π adalah
sebuah fungsi π sedemikian sehingga πβ²(π‘), πβ²β² (π‘),β¦, ππ(π‘) ada dan
memenuhi π(π‘)(π) = π[π‘,π π‘ β² ,πβ²β² π‘ ,β¦ ,π πβ1 π‘ ].
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, manipulasi seluruh
persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan hanya
menyisakan hubungan antara π₯ dan π¦.
Jika persamaan diferensial berbentuk π¦β² = π(π₯), maka persamaan tersebut
dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.
Contoh 2.9.1
Diberikan persamaan diferensial π¦β² = 3π₯2 + 1.
Akan dicari bahwa π¦ = π₯3 + π₯ + πΆ, dengan πΆ adalah konstan adalah
solusinya persamaan diferensial di atas.
Diketahui π¦β² = 3π₯2 + 1, sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas akan
didapat :
π¦ = 3 π₯2 + 1ππ₯
Oleh karena itu, didapat :
π¦ = π₯3 + π₯ + πΆ, dengan πΆ adalah konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
BAB III
FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS
Sebelum memulai pembahasan tentang fungsional yang bergantung pada
fungsi satu variabel, akan dibahas mengenai ruang fungsi terlebih dahulu.
A. Ruang Fungsi
Pertama-tama akan dibahas mengenai grup, ring, dan lapangan.
Definisi 3.1.1
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tidak kosong, maka produk
Cartesian π΄ Γ π΅ dari A dan B adalah himpunan semua pasangan berurutan
(π, π) dari π β π΄ dan π β π΅, yaitu :
π΄ Γ π΅ = π, π |π β π΄, π β π΅
Contoh 3.1.1
Jika π΄ = 1,2,3 dan π΅ = 2,6 , maka
π΄ Γ π΅ = 1,2 , 1,6 , 2,2 , 2,6 , 3,2 , 3,6
π΅ Γ π΄ = 2,1 , 2,2 , 2,3 , 6,1 , 6,2 , 6,3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Definisi 3.1.2
Misalkan π adalah himpunan tidak kosong, maka operasi biner β pada π
adalah pemetaan β: π Γ π β π dimana untuk setiap (π, π) β π Γ π terdapat
tunggal π β π sehingga β π, π = π , atau dapat ditulis π β π = π β π.
Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:
1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan
berurutan (π, π) dalam π Γ π dikawankan dengan tepat satu nilai π β π.
2. π tertutup di terhadap operasi β , yaitu untuk setiap pasangan berurutan
(π, π) dalam π Γ π maka π β π masih dalam π.
Contoh 3.1.2
Diketahui π himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan β dengan aturan
π₯ β π¦ = π₯ + π¦ (operasi penjumlahan pada bilangan bulat). Operasi
penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup, ini didapat dari sifat-sifat
penjumlahan bilangan bulat. Operasi β terdefinisikan dengan baik karena
rumus π₯ + π¦ akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (π₯,π¦) dalam π Γ π
(ini juga menurut sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat). Oleh karena itu,
operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah suatu operasi biner.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Definisi 3.1.3
Suatu grup (πΊ,β) terdiri dari himpunan tidak kosong G yang dilengkapi
dengan operasi biner β yang didefinisikan pada G dan memenuhi sifat-sifat
berikut :
1. Operasi biner β bersifat tertutup, yakni π₯ β π¦ β πΊ.
2. Operasi biner β bersifat asosiatif, yakni π₯ β π¦ β π§ = π₯ β π¦ β π§,
untuk semua π₯,π¦, π§ β πΊ.
3. Terdapat π β πΊ sedemikian sehingga π₯ β π = π β π₯ = π₯, untuk semua
π₯ β πΊ.
π disebut elemen identitas dari πΊ.
4. Untuk setiap π₯ β πΊ, terdapat π₯β1 β πΊ sedemikian sehingga π₯ β π₯β1 =
π₯β1 β π₯ = π.
π₯β1 disebut invers dari π₯.
Contoh 3.1.3
1. (π , +), dengan π adalah himpunan semua bilangan real dan +
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus π₯ + π¦,
merupakan suatu grup.
Operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari
sifat penjumlahan bilangan real. Rumus π₯ + π¦ akan memberikan hasil
tunggal untuk setiap (π₯,π¦) dalam π Γ π . Dari sifat-sifat penjumlahan
bilangan real didapat : operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 0 sehingga π₯ + 0 = 0 + π₯ = π₯
untuk semua π₯ β π , dan untuk setiap π₯ β π terdapat invers yaitu β π₯
sedemikian sehingga π₯ + βπ₯ = βπ₯ + π₯ = 0. Karena keempat sifat
grup dipenuhi maka (π , +) adalah grup.
2. (π β 0 ,β) merupakan suatu grup, dengan π β {0} adalah himpunan
semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan β didefinisikan sebagai operasi
perkalian dengan rumus π₯ β π¦.
Operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat
perkalian bilangan real. Rumus π₯ β π¦ akan memberikan hasil tunggal untuk
setiap (π₯,π¦) dalam π Γ π . Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat :
operasi perkalian pada bilangan real bersifat asosiatif, terdapat unsur
identitas yaitu 1 sehingga π₯ β 1 = 1 β π₯ = π₯ untuk semua π₯ β π , dan
untuk setiap π₯ β π kecuali 0 terdapat invers yaitu 1
π₯ sedemikian sehingga
π₯ β1
π₯=
1
π₯β π₯ = 1. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka (π β 0 ,β)
adalah grup.
Definisi 3.1.4
Diberikan suatu grup (πΊ,β). Grup (πΊ,β) disebut grup komutatif atau Grup
Abelian jika untuk semua π₯,π¦ β πΊ berlaku π₯ β π¦ = π¦ β π₯.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Contoh 3.1.4
1. (π , +), dengan π adalah himpunan semua bilangan real dan +
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus π₯ + π¦,
merupakan suatu grup abelian.
(π , +) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3
Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat bahwa penjumlahan
pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (π , +)
merupakan grup abelian.
2. (π β {0},β), dengan π β {0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa
bilangan 0, dan β didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus
π₯ β π¦, merupakan suatu grup abelian.
(π β {0},β) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3
Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa perkalian pada
bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (π β {0},β)
merupakan grup abelian.
Definisi 3.1.5
Suatu ring (π , +,β) adalah himpunan tidak kosong π yang dilengkapi dengan
dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) , dan perkalian (β) sedemikian
sehingga memenuhi sifat-sifat berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
1. (π , +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, yang juga
disebut elemen 0 dalam π .
2. Terhadap operasi perkalian (β) :
a. Bersifat tertutup, yaitu untuk setiap π₯,π¦ β π maka π₯.π¦ β π
b. Bersifat asosiatif, yaitu π₯ β π¦ β π§ = π₯ β π¦ β π§, untuk semua
π₯,π¦, π§ β π
c. Bersifat distributif kanan (operasi (β) bersifat distributif kanan
terhadap operasi (+)), yaitu π₯ β π¦ + π§ = π₯ β π¦ + π₯ β π§, untuk
semua π₯,π¦, π§ β π
d. Bersifat distributif kiri (operasi (. ) bersifat distributif kiri terhadap
operasi (+)), yaitu π₯ + π¦ β π§ = π₯ β π§ + π¦ β π§, untuk semua
π₯,π¦, π§ β π
Untuk selanjutnya π₯ β π¦ akan ditulis sebagai π₯π¦.
Contoh 3.1.5
(π , +,β), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (β) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu ring.
(π , +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, ini sudah
dibuktikan pada contoh 3.1.4. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat
bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, bersifat asosiatif,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
dan bersifat distributif kiri maupun kanan. Oleh karena itu, (π , +,β) adalah
suatu ring.
Definisi 3.1.6
Ring (π , +,β) disebut ring komutatif jika dan hanya jika π₯π¦ = π¦π₯ untuk semua
π₯,π¦ β π .
Contoh 3.1.6
(π , +,β), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (β) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif.
(R, +,β) adalah suatu ring, ini sudah dibuktikan pada contoh 3..1.6.
Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada
bilangan real bersifat komutatif yaitu π₯π¦ = π¦π₯ untuk setiap π₯, π¦ β π . Oleh
karena itu, (π , +,β), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (β) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif. Oleh karena itu, (π , +,β) adalah
suatu ring komutatif.
Definisi 3.1.7
Diberikan suatu ring (πΉ, +,β). Ring (πΉ, +,β) disebut lapangan jika :
1. Ring (πΉ, +,β) adalah ring komutatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
2. Terdapat elemen satuan 1 β πΉ sedemikian sehingga 1π₯ = π₯1 = π₯,
untuk setiap π₯ β πΉ.
3. Untuk setiap π₯ β πΉ yang tidak sama dengan 0 mempunyai invers yaitu
π₯β1 sedemikian sehingga π₯β1π₯ = π₯π₯β1 = 1.
Contoh 3.1.7
(π , +,β), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (. ) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu lapangan.
(π , +,β) adalah suatu ring komutatif, ini sudah dibuktikan dalam contoh 3.1.6.
Dari sifat-sifat perkalian bilangan real bilangan real didapat bahwa terdapat
elemen identitas yaitu 1 sehingga π₯ β 1 = 1 β π₯ = π₯ untuk semua π₯ β π
sehingga 1 adalah elemen satuan dalam lapangan (π , +,β), dan untuk setiap
π₯ β π kecuali 0 terdapat invers yaitu 1
π₯ sedemikian sehingga π₯ β
1
π₯=
1
π₯β π₯ = 1.
Oleh karena itu, (π , +,β), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan
(+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (β) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu lapangan.
Setelah dibahas mengenai tentang grup, ring, dan lapangan kali ini akan
dibahas mengenai ruang linear, ruang metrik, dan ruang bernorma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Definisi 3.1.8
Diberikan suatu himpunan β dan lapangan real π . Suatu ruang linear atas
lapangan real π adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dua buah
operasi. Operasi yang pertama yaitu operasi penjumlahan (+) yang
menghubungkan setiap elemen π₯,π¦ β β dan dinotasikan π₯ + π¦. Operasi yang
kedua adalah operasi perkalian skalar yang menghubungkan π₯ β β dan setiap
πΌ β π dan dinotasikan πΌπ₯. Kedua operasi tersebut memenuhi aksioma-
aksioma berikut:
1. Jika x dan y adalah elemen-elemen dalam β, maka π₯ + π¦ berada dalam
β (tertutup terhadap penjumlahan)
2. Untuk sembarang bilangan real β, jika π₯ β β maka β π₯ β β
3. π₯ + π¦ = π¦ + π₯ ;
4. π₯ + π¦ + π§ = π₯ + (π¦ + π§) ;
5. Terdapat suatu elemen 0 sedemikian sehingga π₯ + 0 = π₯ untuk setiap
π₯ β β ;
6. Untuk setiap π₯ β β terdapat suatu elemen β π₯ sedemikian sehingga
π₯ + (βπ₯) = 0 ;
7. 1 β π₯ = π₯ ;
8. πΌ π½π₯ = πΌπ½ π₯ ;
9. πΌ + π½ π₯ = πΌπ₯ + π½π₯ ;
10. πΌ π₯ + π¦ = πΌπ₯ + πΌπ¦.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Contoh 3.1.8
Misal πΆ π, π adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval
π, π , dan diberikan lapangan real π . Didefinisikan (+) adalah operasi
penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan π + π π₯ =
π π₯ + π(π₯), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu
fungsi, yaitu πΌπ π₯ = πΌπ(π₯). Maka dari itu, πΆ π, π adalah ruang linear atas
lapangan real π .
Misal π π₯ ,π π₯ , dan π π₯ adalah sembarang fungsi kontinu anggota πΆ π, π .
Misal πΌ,π½ adalah sembarang bilangan real dalam π .
1. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [π, π], sehingga
)()(lim cfxfcx
, untuk setiap π dalam [π, π].
π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [π, π], sehingga
)()(lim cgxgcx
, untuk setiap π dalam [π, π].
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
(menurut hukum penjumlahan
limit)
)()()()(lim cgcfxgxfcx
, untuk setiap π dalam [π, π].
))(())((lim cgfxgfcx
, untuk setiap π dalam [π, π]. (menurut
definisi penjumlahan fungsi).
Oleh karena itu, π + π (π₯) kontinu pada interval [π, π].
Jadi, πΆ[π, π] tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [π, π], sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
)()(lim cfxfcx
, untuk setiap π dalam [π, π].
πΌ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
)(lim)(lim xfxfcxcx
(menurut hukum perkalian konstanta pada
limit)
)()(lim cfxfcx
, untuk setiap π dalam [π, π].
))(()(lim cfxfcx
, untuk setiap π dalam [π, π]. (menurut definisi
perkalian bilangan real dengan fungsi)
Oleh karena itu, πΌπ (π₯) kontinu pada interval [π, π].
Jadi, πΌπ π₯ = πΌπ(π₯) β πΆ[π, π].
3. π π₯ ,π π₯ , dan π π₯ adalah sembarang fungsi kontinu anggota
πΆ π, π . Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π] , π π ,π π ,π(π)
terdefinisi (dari definisi 2.3.1).
π π + π π = π π + π(π), untuk setiap π dalam [π, π]. (menurut
sifat komutatif bilangan real).
Oleh karena itu, dapat ditulis π π₯ + π π₯ = π π₯ + π(π₯), untuk
setiap π₯ dalam [π, π].
4. π π + π π + π π = π π + (π π + π π ), untuk setiap π dalam
[π, π]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis π π₯ + π π₯ + π π₯ = π π₯ +
(π π₯ + π π₯ ), untuk setiap π₯ dalam [π, π].
5. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu anggota πΆ[π, π].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π], π(π) terdefinisi. (dari
definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi 0, yaitu π¦ π₯ = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π].
(diketahui bahwa fungsi π¦ π₯ = 0 adalah fungsi yang kontinu pada
π = (ββ,β) sehingga π¦ π₯ = 0 ada dalam πΆ[π, π]).
Oleh karena itu, didapat :
π¦ π = 0 ,untuk setiap π dalam [π, π].
π π + π¦ π = π π + 0 = π π , untuk setiap π dalam [π, π]. (elemen
identitas dalam penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis π π₯ + 0 = π π₯ , untuk setiap π₯ dalam
[π, π].
Fungsi π¦ π₯ = 0 adalah elemen 0 dalam πΆ[π, π].
6. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu anggota πΆ[π, π].
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π], π(π) terdefinisi (dari
definisi 2.3.1)
π π + βπ π = 0, untuk setiap π dalam [π, π]. (invers dalam
penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis π π₯ + βπ π₯ = 0, untuk setiap π₯
dalam [π, π].
7. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu anggota πΆ[π, π].
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π], π(π) terdefinisi (dari
definisi 2.3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Terdapat fungsi π π₯ = 1, untuk setiap π₯ dalam [π, π]. (diketahui
bahwa fungsi π π₯ = 1 adalah fungsi yang kontinu pada π = (ββ,β)
sehingga π π₯ = 1 ada dalam πΆ[π, π]).
Oleh karena itu, didapat :
π π = 1 ,untuk setiap π dalam [π, π].
π π .π π = 1 β π π = π(π), untuk setiap π dalam [π, π]. (elemen
identitas dalam perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 1 β π π₯ = π(π₯), untuk setiap π₯ dalam
[π, π].
Fungsi π π₯ = 1 adalah elemen satuan dalam πΆ[π, π].
8. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu anggota πΆ[π, π].
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π], π(π) terdefinisi. (dari
definisi 2.3.1)
πΌ,π½ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
πΌ π½π(π) = πΌπ½ π(π), untuk setiap π dalam [π, π]. (menurut sifat
asosiatif perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis πΌ π½π(π₯) = πΌπ½ π(π₯), untuk setiap π₯
dalam [π, π].
9. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu anggota πΆ[π, π].
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π], π(π) terdefinisi. (dari
definisi 2.3.1)
πΌ,π½ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
πΌ + π½ π π = πΌπ π + π½π(π), untuk setiap π dalam [π, π]. (menurut
sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis πΌ + π½ π π₯ = πΌπ π₯ + π½π(π₯), untuk
setiap π₯ dalam [π, π].
10. π(π₯), dan π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu anggota πΆ[π, π].
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π], π π ,π(π) terdefinisi
(dari definisi 2.3.1)
πΌ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
πΌ π π + π(π) = πΌπ π + πΌπ(π), untuk setiap π dalam [π, π].
(menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis πΌ π π₯ + π(π₯) = πΌπ π₯ + πΌπ(π₯),
untuk setiap π₯ dalam [π, π].
Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka πΆ π, π adalah ruang
linear atas lapangan real π .
Definisi 3.1.9
Suatu metrik dalam himpunan S adalah suatu fungsi π: π Γ π β π yang
memenuhi sifat-sifat berikut :
a) π(π₯,π¦) β₯ 0, untuk setiap π₯, π¦ β π
b) π π₯,π¦ = 0, jika dan hanya jika π₯ = π¦
c) π π₯,π¦ = π(π¦, π₯), untuk setiap π₯,π¦ β π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
d) π π₯,π¦ β€ π π₯, π§ + π(π§,π¦), untuk setiap π₯,π¦ β π
Definisi 3.1.10
Suatu ruang metrik (π,π) adalah suatu himpunan tak kosong S yang
dilengkapi dengan suatu metrik π pada himpunan π.
Contoh 3.1.9
1. (π ,π) dengan π adalah himpunan semua bilangan real dan π adalah
jarak antara dua elemen pada π yaitu π π₯, π¦ : π₯ β π¦ , untuk setiap
π₯,π¦ β π adalah ruang metrik.
Buktinya adalah sebagai berikut :
a) π₯ β π¦ β₯ 0, untuk setiap π₯, π¦ β π . (menurut definisi nilai mutlak
bilangan real)
b) Jika diketahui π₯ β π¦ = 0, maka jika kita memisalkan π₯ β π¦ β 0 akan
didapat β (π₯ β π¦) β 0.
Oleh karena itu, π₯ β π¦ β 0. Ini bertentangan dengan yang diketahui
yaitu π₯ β π¦ = 0. Karena itu pemisalan π₯ β π¦ β 0 adalah salah.
Oleh karena itu,
π₯ β π¦ = 0
π₯ = π¦
Jadi, jika π₯ β π¦ = 0 maka π₯ = π¦.
Kemudian, jika π₯ = π¦ maka didapat π₯ β π¦ = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Oleh karena itu, didapat π₯ β π¦ = 0. (dari definisi nilai mutlak
bilangan real)
Jadi, jika π₯ = π¦ maka π₯ β π¦ = 0.
c) π₯ β π¦ = π¦ β π₯ , untuk setiap π₯,π¦ β π .
d) π₯ β π¦ = π₯ β π§ + (π§ β π¦) , untuk setiap π₯,π¦, π§ β π .
β€ π₯ β π§ + π§ β π¦ , untuk setiap π₯,π¦, π§ β π . (dari ketaksamaan
segitiga)
Karena memenuhi keempat aksioma maka (π , π) dengan π adalah
himpunan semua bilangan real dan π adalah jarak antara dua elemen pada
π yaitu π π₯, π¦ : π₯ β π¦ , untuk setiap π₯,π¦ β π adalah ruang metrik.
2. (πΆ π, π ,π) dengan πΆ[π, π] adalah himpunan semua fungsi yang
kontinu pada interval π, π dan π adalah jarak antara dua fungsi pada
πΆ[π, π] yaitu π π,π : π β π = maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) , untuk
setiap π,π β πΆ[π, π] adalah ruang metrik.
Misal π(π₯) dan π(π₯) adalah sembarang anggota πΆ π, π .
π(π₯) dan π(π₯) adalah fungsi yang kontinu pada [π, π], sehingga
π π₯ β π π₯ = π β π (π₯) juga merupakan fungsi yang kontinu pada
[π, π]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, π β π (π₯) akan
mencapai nilai maksimum mutlak π β π π = π π β π(π) pada
suatu bilangan π dalam π, π .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Karena itu , untuk setiap π(π₯),π(π₯) β πΆ[π, π], π β π π₯ = π π₯ β
π(π₯) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan π₯
dalam π, π .
a) maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) β₯ 0 , untuk setiap π,π β πΆ[π, π]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = 0.
Jika dimisalkan π π₯ β π(π₯) β 0, untuk setiap π₯ dalam π, π , maka
akan didapat β (π(π₯) β π(π₯)) β 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π].
Oleh karena itu, didapat π(π₯) β π(π₯) β 0, untuk setiap π₯ dalam
[π, π], sehingga maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) β 0.
Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu maxπβ€π₯β€π π π₯ β
π(π₯) = 0 . Karena itu pemisalan π π₯ β π(π₯) β 0 adalah salah.
Oleh karena itu,
π π₯ β π π₯ = 0
π π₯ = π(π₯)
Jadi, jika maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = 0 maka π(π₯) = π(π₯).
Kemudian, jika π π₯ = π(π₯), untuk setiap π₯ dalam [π, π] maka
π π₯ β π π₯ = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π].
Oleh karena itu, didapat π(π₯) β π(π₯) = 0, untuk setiap π₯ dalam
[π, π]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = 0.
Jadi, jika π(π₯) = π(π₯) maka maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
c) maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) , untuk setiap
π,π β πΆ[π, π]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
d) maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = maxπβ€π₯β€π π π₯ β π π₯ + (π π₯ β
π(π₯) , untuk setiap π,π,π β πΆ[π, π].
maxπβ€π₯β€π π π₯ β π π₯ + (π π₯ β π(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π π π₯ β
π(π₯) + maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) ,untuk setiap π,π,π β πΆ[π, π]. (dari
ketaksamaan segitiga)
Oleh karena itu, maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π π π₯ β
π(π₯) + maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) .
Karena memenuhi keempat aksioma, maka (πΆ π, π ,π) dengan
πΆ[π, π] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval π, π
dan π adalah jarak antara dua fungsi pada πΆ[π, π] yaitu π π,π : π β
π = maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) , untuk setiap π,π β πΆ[π, π] adalah ruang
metrik.
Definisi 3.1.11
Andaikan (π,π) adalah suatu ruang metrik. Maka untuk ν > 0, persekitaran-ν
dari suatu titik π₯0 pada π adalah himpunan πν π₯0 = {π₯ β π:π(π₯0,π₯) < ν}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Definisi 3.1.12
Andaikan β adalah ruang linear. Suatu pemetaan π₯ β π₯ dari β ke π
disebut norma pada β, jika untuk setiap elemen π’ β β memenuhi sifat-sifat
berikut :
a) π’ β₯ 0
b) π’ = 0 β π’ = 0
c) πΌπ’ = πΌ π’
d) π’ + π£ β€ π’ + π£
Definisi 3.1.13
Andaikan β adalah suatu ruang linear. Jika pada β dapat didefinisikan suatu
norma, maka β disebut ruang linear bernorma.
Contoh 3.1.10
Misal πΆ[π, π] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval
[π, π].
Didefinisikan suatu norma π’ = maxπβ€π₯β€b π’(π₯) , untuk setiap π’ β πΆ[π, π].
Maka πΆ[π, π] adalah suatu ruang linear bernorma.
Misal π’ π₯ adalah sembarang anggota πΆ[π, π].
π’(π₯) adalah fungsi yang kontinu pada [π, π]. Oleh karena itu, menurut
teorema 2.5.1, π’(π₯) akan mencapai nilai maksimum mutlak π’(π) pada suatu
bilangan π dalam π, π .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Karena itu, untuk setiap π’(π₯) β πΆ[π, π], π’(π₯) akan mencapai nilai maksimum
mutlak pada suatu bilangan π₯ dalam π, π .
a) u = maxπβ€π₯β€π π’(π₯) β₯ 0 , untuk setiap π,π β πΆ[π, π]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui u = maxπβ€π₯β€π π’(π₯) = 0.
Jika dimisalkan π’(π₯) β 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π], maka akan
didapat β (π’(π₯)) β 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π].
Oleh karena itu, akan didapat π’(π₯) β 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π],
sehingga maxπβ€π₯β€π π’(π₯) β 0.
Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu
u = maxπβ€π₯β€π π’(π₯) = 0. Karena itu pemisalan π’(π₯) β 0 adalah
salah.
Oleh karena itu, π’(π₯) = 0
Jadi, jika u = maxπβ€π₯β€π π’(π₯) = 0 maka π’ π₯ = 0.
Kemudian, jika π’ π₯ = 0 untuk setiap π₯ dalam [π, π] maka didapat
π’(π₯) = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π]. (dari definisi nilai mutlak
bilangan real)
Oleh karena itu, maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = 0.
Jadi, jika π(π₯) = π(π₯) maka u = maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = 0.
c) Misalkan πΌ adalah sembarang bilangan real.
πΌπ’ = maxπβ€π₯β€b β π’(π₯) , untuk setiap π’(π₯) β πΆ[π, π].
= πΌ maxπβ€π₯β€b
π’(π₯) , untuk setiap π’(π₯) β πΆ[π, π]. (dari sifat-sifat
nilai mutlak bilangan real)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
= πΌ π’ , untuk setiap π’(π₯) β πΆ[π, π].
d) u + v = maxπβ€π₯β€π π’ π₯ + π£(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π( π’ π₯ + π£(π₯) ),
untuk setiap π’ π₯ ,π£(π₯) β πΆ[π, π]. (dari ketaksamaan segitiga)
maxπβ€π₯β€π( π’ π₯ + π£(π₯) )= maxπβ€π₯β€π π’(π₯) + maxπβ€π₯β€π π£(π₯) ,
untuk setiap π’ π₯ ,π£(π₯) β πΆ[π, π].
Oleh karena itu,
u + v = maxπβ€π₯β€π π’ π₯ + π£(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π
π’(π₯) +
maxπβ€π₯β€π π£(π₯) , untuk setiap π’ π₯ ,π£(π₯) β πΆ[π, π].
Oleh karena itu,
u + v β€ u + v , untuk setiap π’ π₯ , π£(π₯) β πΆ[π, π].
Karena memenuhi keempat aksioma, maka πΆ[π, π] dengan norma yang
π’ = maxπβ€π₯β€b π’(π₯) , untuk setiap π’ β πΆ[π, π], adalah suatu ruang linear
bernorma.
Andaikan pada suatu ruang linear β bernorma didefinisikan suatu jarak
yaitu π: π’ β π£ , maka dapat dibuktikan bahwa jarak tersebut adalah suatu
metrik.
Buktinya adalah sebagai berikut :
Karena β merupakan ruang linear bernorma, maka β juga ruang linear
sehingga untuk setiap π₯ β β terdapat suatu elemen β π₯ sedemikian sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
π₯ + (βπ₯) = 0. Oleh karena itu, untuk sembarang π’, π£ β β didapat (π’ +
(βπ£)) β β, oleh karena itu didapat (π’ β π£) β β.
Karena β adalah ruang linear bernorma maka didapat :
1. π’ β π£ β₯ 0
2. π’ β π£ = 0 β (π’ β π£) = 0, sehingga dapat ditulis :
π’ β π£ = 0 β π’ = π£
Karena (π’ β π£) β β maka terdapat β π’ β π£ = (π£ β π’) sehingga
π’ β π£ + π£ β π’ = 0.
π£ β π’ = β(π’ β π£) β₯ 0
maka π’ β π£ = π£ β π’
Untuk sembarang π’, π£,π€ β β didapat (π’ β π£) β β, (π’ β π€) β β, (π€ β π£) β
β. Karena β adalah ruang linear bernorma, maka didapat π’ β π£ β₯ 0,
π’ β π€ β₯ 0, π€ β π£ β₯ 0.
Karena itu, akan berlaku kesamaan segitiga.
π’ β π£ = π’ β π€ + (π€ β π£) β€ π’ β π€ + π€ β π£
Oleh karena itu, jika pada suatu ruang linear β bernorma didefinisikan suatu
jarak yaitu π: π’ β π£ , maka jarak tersebut adalah suatu metrik.
Karena itu (β,π) juga meruipakan ruang metrik.
Definisi 3.1.14
Kelas πΆ0 π, π adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi π¦(π₯)
yang terdefinisi dan kontinu di interval tertutup π, π .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Norma dari fungsi dalam kelas πΆ0 π, π didefinisikan sebagai nilai maksimum
dari nilai mutlak π¦(π₯) untuk π β€ π₯ β€ π, yakni
π¦ 0 = maxπβ€π₯β€π
π¦(π₯)
Dalam kelas πΆ0 π, π , jarak antara π¦(π₯) dan π§(π₯) didefinisikan sebagai
berikut : π¦ β π§ 0 = maxπβ€π₯β€π π¦ π₯ β π§(π₯) .
Dalam kelas πΆ0 π, π , jarak antara π¦ π₯ dan π§ π₯ dekat satu sama lain, yakni
π§ π₯ berada di persekitaran-ν dari π¦ π₯ sehingga π¦ β π§ 0 < ν, maka
maxπβ€π₯β€π π¦ π₯ β π§(π₯) < ν.
Jika digambarkan dalam grafik, maka grafik dari π§(π₯) dalam daerah berlebar
2ν (dari arah vertikal) yang membatasi grafik fungsi π¦(π₯), dengan kata lain
π§(π₯) berada dalam daerah yang dibatasi grafik π¦ π₯ + ν dan grafik π¦ π₯ β ν.
Oleh karena itu,
π¦ π₯ β ν < π§ π₯ < π¦ π₯ + ν , untuk semua π β€ π₯ β€ π.
βν < π§ π₯ β π¦ π₯ < ν, untuk semua π β€ π₯ β€ π.
π§ π₯ β π¦(π₯) < ν, untuk semua π β€ π₯ β€ π.
π¦ π₯ β π§(π₯) < ν untuk semua π β€ π₯ β€ π.
Contoh 3.1.11
1. Fungsi polinom dengan daerah asal π = (ββ,β) termasuk dalam
πΆ0[β3,8], karena fungsi polinom kontinu pada daerah asalnya yaitu
π = (ββ,β). Interval [3,8] berada dalam daerah asal π = (ββ,β).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
2. π π₯ = sin π₯ ,dengan daerah asal {π₯|0 β€ π₯ β€ 2π} termasuk dalam
πΆ0[0,2π], karena π π₯ = sin π₯ kontinu pada daerah asalnya yaitu
[0,2π].
3. π π₯ = π₯ ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π } termasuk dalam
πΆ0[0,10], karena π π₯ = π₯ kontinu pada daerah asalnya yaitu
{π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π }. Interval [0,10] termasuk dalam daerah asal {π₯|π₯ β₯
0, π₯ β π }.
Definisi 3.1.15
Kelas πΆ1 π, π adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi yang
terdefinisi di interval tertutup π, π yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu
dan memiliki turunan pertama yang kontinu.
Norma dari fungsi dalam kelas πΆ1 π, π didefinisikan dengan rumus :
π¦ 1 = maxπβ€π₯β€π
π¦(π₯) + maxπβ€π₯β€π
π¦β²(π₯)
Dalam kelas πΆ1 π, π , jarak antara π¦ π₯ dan π§(π₯) didefinisikan sebagai
berikut:
π¦ β π§ 1 = maxπβ€π₯β€π
π¦ π₯ β π§(π₯) + maxπβ€π₯β€π
π¦β²(π₯) β π§β²(π₯)
Dalam kelas πΆ1 π, π , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (π§(π₯) pada
persekitaran-ν dari π¦(π₯)) yakni π¦ β π§ 1 < ν, jika kedua fungsi itu sendiri
dan turunan pertama dari kedua fungsi itu dekat satu sama lain. Ini berarti
bahwa π¦ π₯ β π§(π₯) < ν , dan π¦β² π₯ β π§β²(π₯) < ν untuk semua π β€ π₯ β€ π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Contoh 3.1.12
1. Fungsi polinom dengan daerah asal π = (ββ,β) termasuk dalam
πΆ1[β3,8], karena fungsi polinom terdifersialkan pada daerah asalnya
yaitu π = (ββ,β). Fungsi polinom juga memiliki turunan pertama
yang kontinu pada daerah asalnya. Interval [3,8] berada dalam daerah
asal π = (ββ,β).
2. π π₯ = sin π₯ ,dengan daerah asal {π₯|0 β€ π₯ β€ 2π} termasuk dalam
πΆ1[0,2π], karena π π₯ = sin π₯ terdifirensialkan pada daerah asalnya
yaitu [0,2π]. π π₯ = sin π₯ juga memiliki turunan pertama yang
kontinu pada [0,2π], yaitu πβ² π₯ = cos π₯.
3. π π₯ = π₯ ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π } termasuk dalam
πΆ1[1,10], karena π π₯ = π₯ terdiferensialkan pada {π₯|π₯ > 0, π₯ β π } .
π π₯ = π₯ juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada
{π₯|π₯ > 0, π₯ β π } yaitu πβ² π₯ =1
2 π₯. Interval [1,10] berada dalam
{π₯|π₯ > 0, π₯ β π }.
4. π π₯ = π₯ ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π } tidak termasuk
dalam πΆ1[0,10], karena πβ² π₯ =1
2 π₯ tidak terdefinisi pada π₯ = 0.
Oleh karena itu, π π₯ = π₯ ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π }
merupakan anggota dari πΆ0[0,10], namun bukan anggota dari
πΆ1[0,10].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
5. π π₯ =2
3 π₯3 ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π } termasuk dalam
πΆ1[0,10], karena π π₯ =2
3 π₯3 terdiferensialakan pada {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β
π }.
π π₯ =2
3 π₯3 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada
{π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π } yaitu πβ² π₯ = π₯. Interval [0,10] berada dalam
{π₯|π₯ > 0, π₯ β π }.
Definisi 3.1.16
Kelas πΆπ π, π adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi π¦(π₯)
yang terdefinisi di interval tertutup π, π yang mana fungsi-fungsi tersebut
kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sampai pada turunan ke-
π, dengan π bilangan bulat tidak negatif.
Norma dari fungsi dalam kelas πΆπ π, π didefinisikan dengan rumus :
π¦ π = maxπβ€π₯β€π π¦ π (π₯) π
π=0 ,
dimana π¦ π π₯ = π
ππ₯ π
π¦(π₯) dan π¦ 0 (π₯) adalah fungsi π¦ π₯ itu sendiri.
Dalam kelas πΆπ π, π , jarak antara π¦(π₯) dan π§(π₯) didefinisikan sebagai
berikut : π¦ β π§ π = maxπβ€π₯β€π π¦ π π₯ β π§ π (π₯) π
π=0 .
Dalam kelas πΆπ π, π , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (π§(π₯) pada
persekitaran-ν dari π¦(π₯)) ( yakni π¦ β π§ π < ν, jika fungsi-fungsi itu sendiri
dan semua turunan-turunannya sampai turunan ke-k dekat satu sama lain. Ini
berarti bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
π¦ π₯ β π§(π₯) < ν , π¦β² π₯ β π§β²(π₯) < ν , π¦" π₯ β π§"(π₯) < ν , β¦, dan
π¦(π) π₯ β π§(π)(π₯) < ν untuk semua π β€ π₯ β€ π.
Contoh 3.1.13
1. Fungsi polinom dengan daerah asal π = (ββ,β) termasuk dalam
πΆπ [β3,8], dengan π bilangan bulat tidak negatif. Karena fungsi
polinom terdifersialkan tak hingga kali pada daerah asalnya yaitu
π = (ββ,β), sehingga turunan-turunan sampai turunan ke π akan
kontinu.
2. π π₯ = π₯ ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π } tidak termasuk
dalam πΆπ [0,10] (untuk π > 0). Ini karena πβ² π₯ =1
2 π₯ tidak
terdefinisi pada π₯ = 0. Oleh karena itu, πβ² π₯ =1
2 π₯ tidak dapat
diturunkan.
3. π π₯ =2
3 π₯3 ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π } tidak termasuk
dalam πΆπ [0,10] (untuk π > 1). Ini karena πβ²β² π₯ =1
2 π₯ tidak
terdefinisi pada π₯ = 0. Sehingga πβ²β² π₯ =1
2 π₯ tidak dapat diturunkan.
Oleh karena itu, π π₯ =2
3 π₯3 ,dengan daerah asal {π₯|π₯ β₯ 0, π₯ β π }
merupakan anggota dari πΆ1[0,10], namun bukan anggota dari
πΆπ [0,10] (untuk π > 1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Contoh 3.1.14
π π₯ = π₯, ππππ π₯ β₯ 00, ππππ π₯ < 0
π(π₯) termasuk dalam kelas πΆ0[β6,6] tapi tidak termasuk dalam πΆ1[β6,6].
Untuk π₯ < 0, π π₯ = 0 adalah fungsi kontinu yang terdifensialkan, dan
turunannya yaitu π β²(π₯) = 0 juga kontinu untuk π₯ < 0.
Untuk π₯ > 0, π π₯ = π₯ adalah fungsi kontinu yang terdiferensialkan, dan
turunannya yaitu π β²(π₯) = 1 juga kontinu untuk π₯ > 0.
Untuk π₯ = 0
h
fhff
h
)0()0(lim)0('
0
, asalkan limit ini ada. (menurut definisi 2.4.1)
Hitung limit kanan terlebih dahulu.
11limlim0)0(
lim)0()0(
lim0000
hhhh h
h
h
h
h
fhf
Sekarang kita hitung limit kiri
00lim0
lim00
lim)0()0(
lim0000
hhhh hhh
fhf
h
fhf
h
)0()0(lim
0 h
fhf
h
)0()0(lim
0
Oleh karena itu, h
fhf
h
)0()0(lim
0
tidak ada. Maka dari itu, π π₯ tidak
terdiferensialkan pada titik π₯ = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Untuk π₯ = 0, maka π 0 = 0, sehingga π 0 terdefinisi. (0 berada pada
daerah asal π(π₯))
0lim)(lim00
xxf
xx
00lim)(lim00
xx
xf
)0(0)(lim)(lim00
fxfxfxx
Oleh karena itu,
)0()(lim0
fxfx
Maka dari itu , π π₯ kontinu pada π₯ = 0.
Karena itu, π(π₯) termasuk dalam kelas πΆ0[β6,6] tapi tidak termasuk dalam
πΆ1[β6,6].
Setiap anggota πΆ1[π, π] merupakan anggota dari πΆ0[π, π], karena setiap
anggota dari πΆ1[π, π] juga merupakan fungsi kontinu (dari teorema 2.4.1).
Oleh karena itu, πΆ1[π, π] β πΆ0[π, π].
Ada anggota πΆ1[π, π] yang bukan merupakan πΆ0[π, π] ( dari contoh
3.1.12, dan 3.1.14). Oleh karena itu, πΆ1[π, π] β πΆ0[π, π].
Setiap anggota πΆπ[π, π] (dengan π > 1) merupakan anggota dari
πΆ1[π, π], karena setiap anggota dari πΆπ[π, π] (dengan π > 1) juga merupakan
fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu (dari
teorema 2.4.1). Oleh karena itu, πΆπ[π, π] β πΆ1[π, π] (untuk π > 1).
Ada anggota πΆπ [π, π] (dengan π > 1) yang bukan merupakan πΆ1[π, π] (
dari contoh 3.1.13). Oleh karena itu, πΆπ [π, π] β πΆ1[π, π] (untuk π > 1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Maka dari itu, didapat : πΆπ[π, π] β πΆ1[π, π] β πΆ0[π, π] (untuk π > 1).
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa kelas πΆπ π, π (dengan π bilangan
bulat tidak negatif) adalah ruang metrik. Untuk kelas πΆ0[π, π] sudah
dibuktikan pada contoh 3.1.9
Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (πΆπ π, π , π) untuk
π bilangan bulat lebih dari 0, dengan π adalah jarak antara dua fungsi pada
πΆπ [π, π] yaitu π π,π : π β π π = maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 , untuk
setiap π,π β πΆπ [π, π] adalah ruang metrik. (dimana π π π₯ = π
ππ₯ π
π π₯ ,
π π π₯ = π
ππ₯ π
π π₯ , π 0 (π₯) adalah fungsi π π₯ itu sendiri, dan π 0 (π₯)
adalah fungsi π π₯ itu sendiri)
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal π(π₯) dan π(π₯) adalah sembarang fungsi anggota πΆπ π, π (dengan π
bilangan bulat lebih dari 0).
π(π₯) dan π(π₯) adalah fungsi yang kontinu pada [π, π], sehingga π π₯ β
π π₯ = π β π (π₯) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [π, π]. Oleh
karena itu, menurut teorema 2.5.1, π β π π₯ = π π₯ β π(π₯) akan mencapai
nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan π₯ dalam π, π .
Karena itu , untuk setiap π(π₯),π(π₯) β πΆ[π, π], π β π π₯ = π π₯ β π(π₯)
akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan π₯ dalam π, π .
π(π₯) dan π(π₯) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [π, π]
sampai turunan ke-π (dengan π bilangan bulat lebih dari 0). Oleh karena itu,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
πβ²(π₯) dan πβ²(π₯) adalah fungsi yang kontinu pada [π, π], sehingga πβ² π₯ β
πβ² π₯ = π β π β²(π₯) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [π, π]. Oleh
karena itu, menurut teorema 2.5.1, π β π β²(π₯) akan mencapai nilai
maksimum mutlak π β π β² π = πβ² π β πβ²(π) pada suatu bilangan π
dalam π, π .
Karena itu , untuk setiap π(π₯),π(π₯) β πΆ1[π, π], π β π β² π₯ = π β² π₯ β πβ²(π₯)
akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan π₯ dalam π, π .
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) dan π(π₯) sampai turunan
yang ke-π.
a) maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) β₯ 0, untuk setiap π,π β πΆ[π, π]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ²(π₯) β₯ 0, untuk setiap π,π β πΆ[π, π]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) dan π(π₯)
sampai turunan yang ke-π.
Oleh karena itu,
maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 β₯ 0 , untuk setiap π,π β
πΆ[π, π].
b) Jika diketahui maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 = 0.
Karena itu, didapat maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) + maxπβ€π₯β€π πβ²(π₯) β
πβ²(π₯) + β―+maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ β π π (π₯) = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Padahal maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) β₯ 0, maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β
πβ²(π₯) β₯ 0,β¦ maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ β π π (π₯) β₯ 0. (tidak mungkin
negatif)
Karena maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) + maxπβ€π₯β€π πβ²(π₯) β πβ²(π₯) +
β―+maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ β π π (π₯) = 0.
(ruas kanan sama dengan nol)
Maka dari itu, maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β
πβ²(π₯) = β― = maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ β π π (π₯) = 0.
Karena itu, π π₯ β π π₯ = (π β² π₯ β πβ² π₯ = β― = (π π π₯ β
π π (π₯) = 0. (menurut contoh 3.1.10)
Jadi, jika maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 = 0 maka π π₯ β
π(π₯) = 0.
Jika maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 = 0 maka π π₯ = π(π₯).
Kemudian, jika π π₯ = π(π₯), untuk setiap π₯ dalam [π, π] maka
π π₯ β π π₯ = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π].
Karena itu, didapat π(π₯) β π(π₯) = 0, untuk setiap π₯ dalam
[π, π]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, didapat maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = 0.
π π₯ = π(π₯), untuk setiap π₯ dalam [π, π] maka πβ² π₯ = πβ²(π₯).
Oleh karena itu, π β²(π₯) β πβ²(π₯) = π + π β²(π₯) = 0, untuk setiap π₯
dalam [π, π].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Didapat πβ²(π₯) β πβ²(π₯) = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π] (dari
definisi nilai mutlak bilangan real), sehingga maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β
πβ²(π₯) = 0.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) dan π(π₯)
sampai turunan yang ke-π. Oleh karena itu,
maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 = 0.
Jadi, jika π(π₯) = π(π₯) maka akan didapat
maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 = 0.
c) maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) , untuk setiap
π,π β πΆ[π, π]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ²(π₯) = maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ²(π₯) , untuk
setiap π,π β πΆ[π, π]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) dan π(π₯)
sampai turunan yang ke-π.
Oleh karena itu,
maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π π₯ π
π=0 = maxπβ€π₯β€π π π π₯ βπ
π=0
π π π₯ .
d) maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) = maxπβ€π₯β€π π π₯ β π π₯ + (π π₯ β
π(π₯) , untuk setiap π,π,π β πΆ[π, π].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
maxπβ€π₯β€π π π₯ β π π₯ + (π π₯ β π(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π π π₯ β
π(π₯) + maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) ,untuk setiap π,π,π β πΆ[π, π].
(dari ketaksamaan segitiga)
Karena itu, maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) +
maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) .
maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ²(π₯) = maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ² π₯ +
(πβ² π₯ β πβ²(π₯) , untuk setiap π,π,π β πΆ[π, π].
maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ² π₯ + (πβ² π₯ β πβ²(π₯) β€
maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ²(π₯) + maxπβ€π₯β€π π π₯ β π(π₯) ,untuk setiap
π,π,π β πΆ[π, π]. (dari ketaksamaan segitiga)
Karena itu, maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ²(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β
πβ²(π₯) + maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β πβ²(π₯) .
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) dan π(π₯)
sampai turunan yang ke-π.
Oleh karena itu,
maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π π₯ π
π=0 β€ maxπβ€π₯β€π π π π₯ βπ
π=0
π π π₯ + maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π π₯ π
π=0
Karena memenuhi keempat aksioma, maka (πΆπ π, π ,π) untuk π
adalah bilangan bulat lebih dari 0, dengan π adalah jarak antara dua fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
pada πΆ[π, π] yaitu π π,π : π β π π = maxπβ€π₯β€π π π π₯ β π π (π₯) π
π=0 ,
untuk setiap π,π β πΆ[π, π] adalah ruang metrik.
Kali ini akan ditunjukkan bahwa πΆπ π, π (dengan π adalah bilangan
bulat tidak negatif) adalah ruang linear bernorma. Oleh akan ditunjukkan
bahwa πΆπ π, π adalah ruang linear terlebih dahulu. Untuk kelas πΆ0[π, π]
merupakan ruang bernorma sudah dibuktikan pada contoh 3.1.10.
Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (πΆπ π, π , π) untuk
π bilangan bulat lebih dari 0, dan diberikan lapangan real π . Didefinisikan (+)
adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan
π + π π₯ = π π₯ + π(π₯), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real
dengan suatu fungsi, yaitu πΌπ π₯ = πΌπ(π₯). Maka dari itu, πΆπ π, π , untuk
π bilangan bulat lebih dari 0 adalah ruang linear atas lapangan real π .
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal π(π₯) dan π(π₯) adalah sembarang fungsi anggota πΆπ π, π (dengan π
bilangan bulat lebih dari 0).
π(π₯) dan π(π₯) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π (dengan π bilangan
bulat lebih dari 0).
Misal πΌ,π½ adalah sembarang bilangan real dalam π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
1. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π (dengan π
bilangan bulat lebih dari 0), sehingga
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada, untuk setiap π dalam [π, π]
h
cfhcfcf
h
)(')('lim)(''
0
ada, untuk setiap π dalam [π, π].
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) sampai turunan
yang ke-π yaitu h
cfhcfcf
kk
h
k )()(lim)(
)1()1(
0
)(
ada, untuk
setiap π dalam [π, π].
Kekontinuan π β²(π₯),π β²β² (π₯),β¦π πβ1 (π₯) otomatis terjadi. (dari
teorema 2.4.1)
Karena π π (π₯) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cfxf kk
cx
,
untuk setiap π dalam [π, π].
π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π (dengan π
bilangan bulat lebih dari 0), sehingga
h
cghcgcg
h
)()(lim)('
0
ada, untuk setiap π dalam [π, π]
h
cghcgcg
h
)(')('lim)(''
0
ada, untuk setiap π dalam [π, π].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) sampai turunan
yang ke-π yaitu h
cghcgcg
kk
h
k )()(lim)(
)1()1(
0
)(
ada, untuk
setiap π dalam [π, π].
Kekontinuan πβ²(π₯),πβ²β² (π₯),β¦π πβ1 (π₯) otomatis terjadi. (dari
teorema 2.4.1)
Karena π π (π₯) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cgxg kk
cx
,
untuk setiap π dalam [π, π].
)(')(')()'( xgxfxgf (menurut aturan penjumlahan turunan)
h
cghcg
h
cfhcfxgf
hh
)()(lim
)()(lim)()'(
00, untuk
setiap π dalam [π, π].
h
cgcfhcghcfcgf
h
)]()([)]()([lim)()'(
0
, untuk setiap
π dalam [π, π] . (menurut hukum penjumlahan limit)
h
cgfhcgfcgf
h
))(())((lim)()'(
0
, untuk setiap π dalam
[π, π]. (menurut definisi penjumlahan fungsi)
Oleh karena itu, (π + π)(π₯) terdifensialkan.
)('')('')(')'( xgxfxgf (menurut aturan penjumlahan
turunan)
h
cghcg
h
cfhcfxgf
hh
)(')('lim
)(')('lim)(')'(
00,
untuk setiap π dalam [π, π].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
h
cgcfhcghcfcgf
h
)](')('[)](')('[lim)(')'(
0
, untuk
setiap π dalam [π, π]. (menurut hukum penjumlahan limit)
h
cgfhcgfcgf
h
)()'()()'(lim)(')'(
0
, untuk setiap π
dalam [π, π]. (menurut definisi penjumlahan fungsi)
Oleh karena itu, π + π β²(π₯) terdiferensialkan.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π + π (π₯) sampai
turunan yang ke-π .
Kekontinuan π + π β² π₯ , π + π β²β² π₯ ,β¦ (π + π) πβ1 (π₯)
otomatis terjadi. (dari teorema 2.4.1)
Karena π π (π₯), dan π π (π₯) kontinu, maka (π + π) π (π₯) kontinu
untuk setiap π dalam [π, π]. (dari aturan penjumlahan turunan dan
contoh 3.1.8)
Oleh karena itu, fungsi π + π π (π₯), (dengan π bilangan bulat
lebih dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan
yang kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π (dengan π bilangan
bulat lebih dari 0).
Jadi, πΆπ [π, π], dengan π bilangan bulat lebih dari 0 tertutup
terhadap operasi penjumlahan.
2. π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π (dengan π
bilangan bulat lebih dari 0), sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada, untuk setiap π dalam [π, π]
h
cfhcfcf
h
)(')('lim)(''
0
ada, untuk setiap π dalam [π, π].
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) sampai turunan
yang ke-π, yaitu h
cfhcfcf
kk
h
k )()(lim)(
)1()1(
0
)(
ada, untuk
setiap π dalam [π, π].
Kekontinuan π β²(π₯),π β²β² (π₯),β¦π πβ1 (π₯) otomatis terjadi. (dari
teorema 2.4.1)
Karena π π (π₯) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cfxf kk
cx
,
untuk setiap π dalam [π, π].
πΌ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
πΌπ β² π₯ = πΌπβ²(π₯) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)
h
cfhcfxf
h
)()(lim)()'(
0
, untuk setiap π dalam [π, π].
h
cfhcfxf
h
)()(lim)()'(
0 , untuk setiap π dalam [π, π].
(menurut hukum perkalian konstanta pada limit)
h
cfhcfxf
h
))(())((lim)()'(
0
, untuk setiap π dalam [π, π].
(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)
Oleh karena itu, ))(( xf terdiferensialkan.
πΌπ β²β² π₯ = πΌπβ²β²(π₯) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
h
cfhcfxf
h
)(')('lim)(')'(
0
, untuk setiap π dalam [π, π].
h
cfhcfxf
h
)(')('lim)(')'(
0 , untuk setiap π dalam [π, π].
(menurut hukum perkalian konstanta pada limit)
h
cfhcfxf
h
))('())('(lim)(')'(
0
, untuk setiap π dalam [π, π].
(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)
Oleh karena itu, )()'( xf terdiferensialkan.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari β π (π₯) sampai
turunan yang ke-π .
Kekontinuan πΌπ β² π₯ , πΌπ β²β² π₯ ,β¦ (πΌπ) πβ1 (π₯) otomatis terjadi.
(dari teorema 2.4.1)
Karena π π (π₯), dan π π (π₯) kontinu, maka (πΌπ) π (π₯) kontinu
untuk setiap π dalam [π, π]. (dari aturan penjumlahan turunan dan
contoh 3.1.8)
Oleh karena itu, fungsi πΌπ π (π₯), (dengan π bilangan bulat lebih
dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang
kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π (dengan π bilangan bulat
lebih dari 0).
Jadi,(πΌπ)(π) π₯ = πΌπ(π)(π₯) β πΆ[π, π] .
3. π π₯ ,π π₯ ,π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki
turunan-turunan yang kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π.
(dengan π bilangan bulat lebih dari 0).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π] , π π ,π π ,π(π)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
π π + π π = π π + π(π), untuk setiap π dalam [π, π]. (menurut
sifat komutatif bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis π π₯ + π π₯ = π π₯ + π(π₯), untuk
setiap π₯ dalam [π, π]
4. π π + π π + π π = π π + (π π + π π ), untuk setiap π
dalam [π, π]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis π π₯ + π π₯ + π π₯ = π π₯ +
(π π₯ + π π₯ ), untuk setiap π₯ dalam [π, π].
5. π(π₯) adalah sembarang fungsi anggota πΆπ[π, π].
Karena π(π₯) pasti kontinu, maka untuk setiap π dalam [π, π], π(π)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi 0, yaitu π¦ π₯ = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π].
(diketahui bahwa fungsi π¦ π₯ = 0 adalah fungsi yang kontinu pada
π = (ββ,β) dan π¦ π₯ = 0 juga terdiferensialkan pada tingkat
berapapun, dan turunan-turunannya yaitu π¦β² π₯ = π¦β²β² π₯ = β― =
π¦ π (π₯) = 0 kontinu pada π = (ββ,β) sehingga π¦ π₯ = 0 ada
dalam seluruh kelas πΆπ [π, π], untuk π bilangan bulat tak negatif)
Oleh karena itu, didapat :
π¦ π = 0 ,untuk setiap π dalam [π, π],
π π + π¦ π = π π + 0 = π π , untuk setiap π dalam [π, π].
(elemen identitas dalam penjumlahan bilangan real)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Karena itu, dapat ditulis π π₯ + 0 = π π₯ , untuk setiap π₯ dalam
[π, π].
Fungsi π¦ π₯ = 0 adalah elemen 0 dalam πΆπ[π, π].
6. π(π₯) adalah sembarang fungsi anggota πΆπ[π, π].
Karena π(π₯) pasti kontinu, maka untuk setiap π dalam [π, π], π(π)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
π π + βπ π = 0, untuk setiap π dalam [π, π]. (invers dalam
penjumlahan bilangan real)
Karena itu, dapat ditulis π π₯ + βπ π₯ = 0, untuk setiap π₯
dalam [π, π].
7. π(π₯) adalah sembarang fungsi anggota πΆπ[π, π].
Karena π(π₯) pasti kontinu, maka untuk setiap π dalam [π, π], π(π)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi π π₯ = 1, untuk setiap π₯ dalam [π, π]. (diketahui
bahwa fungsi π π₯ = 1 adalah fungsi yang kontinu pada π =
(ββ,β) dan π π₯ = 1 juga terdiferensialkan pada tingkat
berapapun, dan turunan-turunannya yaitu πβ² π₯ = πβ²β² π₯ = β― =
π π (π₯) = 0 kontinu pada π = (ββ,β) sehingga π π₯ = 1 ada
dalam seluruh kelas πΆπ [π, π], untuk π bilangan bulat tak negatif)
Oleh karena itu, didapat :
π π = 1 ,untuk setiap π dalam [π, π].
π π β π π = 1 β π π = π(π), untuk setiap π dalam [π, π]. (elemen
identitas dalam perkalian bilangan real)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Oleh karena itu, dapat ditulis 1 β π π₯ = π(π₯), untuk setiap π₯
dalam [π, π]
Fungsi π π₯ = 1 adalah elemen satuan dalam πΆπ [π, π]
8. π(π₯) adalah sembarang fungsi anggota πΆπ[π, π].
Karena π(π₯) pasti kontinu, maka untuk setiap π dalam [π, π], π(π)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
πΌ,π½ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
πΌ π½π(π) = πΌπ½ π(π), untuk setiap π dalam [π, π]. (menurut sifat
asosiatif perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis πΌ π½π(π₯) = πΌπ½ π(π₯), untuk setiap
π₯ dalam [π, π].
9. π(π₯) adalah sembarang fungsi anggota πΆπ[π, π].
Karena π(π₯) pasti kontinu, maka untuk setiap π dalam [π, π], π(π)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
πΌ,π½ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
πΌ + π½ π π = πΌπ π + π½π(π), untuk setiap π dalam [π, π].
(menurut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis πΌ + π½ π π₯ = πΌπ π₯ + π½π(π₯),
untuk setiap π₯ dalam [π, π].
10. π(π₯), dan π(π₯) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki
turunan-turunan yang kontinu pada [π, π] sampai turunan ke-π.
(dengan π bilangan bulat lebih dari 0).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Oleh karena itu, untuk setiap π dalam [π, π] , π π ,π π terdefinisi.
(dari definisi 2.3.1)
πΌ adalah sembarang bilangan real dalam lapangan π .
πΌ π π + π(π) = πΌπ π + πΌπ(π), untuk setiap π dalam [π, π].
(menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis πΌ π π₯ + π(π₯) = πΌπ π₯ + πΌπ(π₯),
untuk setiap π₯ dalam [π, π].
Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka πΆπ π, π , dengan π adalah
bilangan bulat lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real π .
Setelah ditunjukkan bahwa πΆπ π, π , dengan π adalah bilangan bulat
lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real π , kali ini akan dibuktikan
bahwa (πΆπ π, π , π) untuk π bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada
πΆπ [π, π] yaitu π π = maxπβ€π₯β€π π π (π₯) π
π=0 , untuk setiap π β πΆπ [π, π]
adalah ruang linear bernorma. (dimana π π π₯ = π
ππ₯ π
π(π₯) dan π 0 (π₯)
adalah fungsi π π₯ itu sendiri)
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal π π₯ adalah sembarang anggota πΆπ[π, π].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
ππ₯) adalah fungsi yang kontinu pada [π, π], sehingga menurut teorema 2.5.1,
π(π₯) akan mencapai nilai maksimum mutlak π(π) pada suatu bilangan π
dalam π, π .
Karena itu, untuk setiap π(π₯) β πΆπ [π, π], π(π₯) akan mencapai nilai
maksimum mutlak pada suatu bilangan π₯ dalam π, π .
π(π₯) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [π, π] sampai turunan
ke-π (dengan π bilangan bulat lebih dari 0)
Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, πβ²(π₯) akan mencapai nilai maksimum
mutlak πβ²(π) pada suatu bilangan π dalam π, π .
Karena itu, untuk setiap π(π₯) β πΆπ [π, π], πβ²(π₯) akan mencapai nilai
maksimum mutlak pada suatu bilangan π₯ dalam π, π .
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) sampai turunan yang ke-π
a) maxπβ€π₯β€π π π₯ β₯ 0, untuk setiap π,π β πΆ[π, π]. (dari definisi nilai
mutlak bilangan real)
maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β₯ 0, untuk setiap π,π β πΆ[π, π]. (dari definisi nilai
mutlak bilangan real)
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) dan π(π₯) sampai
turunan yang ke-π.
Oleh karena itu,
π π = maxπβ€π₯β€π π π (π₯) π
π=0 β₯ 0, untuk setiap π,π β πΆ[π, π] (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui π π = maxπβ€π₯β€π π π (π₯) π
π=0 = 0, maka
maxπβ€π₯β€π π π₯ + maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ + β―+maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Padahal maxπβ€π₯β€π π π₯ β₯ 0, maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ β₯ 0,β¦
maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ β₯ 0 . (tidak mungkin negatif)
Karena maxπβ€π₯β€π π π₯ + maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ + β―+maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ =
0 (ruas kanan sama dengan nol),
maka maxπβ€π₯β€π π π₯ = maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ = β― = maxπβ€π₯β€π π(π) π₯ =
0.
Karena itu π π₯ = π β² π₯ = β― = π(π) π₯ = 0.
Jadi, jika maxπβ€π₯β€π π π π₯ π
π=0 = 0 maka π π₯ = 0
Kemudian, jika π π₯ = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π] maka π(π₯) = 0,
untuk setiap π₯ dalam [π, π]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, maxπβ€π₯β€π π π₯ = 0.
π π₯ = 0, maka πβ² π₯ = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π]. Karena itu,
didapat πβ²(π₯) = 0, untuk setiap π₯ dalam [π, π]. (dari definisi nilai
mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ = 0.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) sampai turunan yang
ke-π.
Didapat π π = maxπβ€π₯β€π π π π₯ π
π=0 = 0.
Jadi, jika π(π₯) = 0 maka π π = maxπβ€π₯β€π π π π₯ π
π=0 = 0.
c) Misalkan πΌ adalah sembarang bilangan real.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
πΌπ(π₯) = maxπβ€π₯β€π πΌπ π π₯ = maxπβ€π₯β€π πΌπ π₯ +π
π=0
maxπβ€π₯β€π πΌπβ² π₯ + β―+ maxπβ€π₯β€π πΌπ π π₯ , untuk setiap π(π₯) β
πΆπ [π, π].
= Ξ± maxπβ€π₯β€π π π₯ + πΌ maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ + β―+
πΌ maxπβ€π₯β€π π π π₯ , untuk setiap π(π₯) β πΆπ [π, π].
(dari sifat-sifat nilai mutlak bilangan real)
= πΌ ( maxπβ€π₯β€π
π(π₯) + maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ + β―+
maxπβ€π₯β€π π π π₯ ), untuk setiap π(π₯) β πΆπ [π, π].
= πΌ ( maxπβ€π₯β€π π π π₯ π
π=0 ), untuk setiap π’(π₯) β πΆπ [π, π].
= πΌ π π , untuk setiap π’(π₯) β πΆπ[π, π].
d) maxπβ€π₯β€π π + π π (π₯) = maxπβ€π₯β€π π π π₯ + π π (π₯) π
π=0ππ=0
(menurut aturan penjumlahan turunan)
maxπβ€π₯β€π π π₯ + π(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π( π π₯ + π(π₯) ), untuk setiap
π π₯ ,π(π₯) β πΆ[π, π]. (dari ketaksamaan segitiga)
maxπβ€π₯β€π( π π₯ + π(π₯) )= maxπβ€π₯β€π π(π₯) + maxπβ€π₯β€π π(π₯) , untuk
setiap π π₯ ,π(π₯) β πΆπ[π, π].
Karena itu,
maxπβ€π₯β€π π π₯ + π(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π
π(π₯) + maxπβ€π₯β€π π(π₯) , untuk setiap
π π₯ ,π(π₯) β πΆπ [π, π].
maxπβ€π₯β€π πβ² π₯ + πβ²(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π( πβ² π₯ + πβ²(π₯) ), untuk setiap
π π₯ ,π(π₯) β πΆ[π, π]. (dari ketaksamaan segitiga)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
maxπβ€π₯β€π( πβ² π₯ + πβ²(π₯) )= maxπβ€π₯β€π πβ²(π₯) + maxπβ€π₯β€π πβ²(π₯) ,
untuk setiap π π₯ ,π(π₯) β πΆπ [π, π].
Karena itu,
maxπβ€π₯β€π π π₯ + π(π₯) β€ maxπβ€π₯β€π
πβ²(π₯) + maxπβ€π₯β€π πβ²(π₯) , untuk setiap
π π₯ ,π(π₯) β πΆπ [π, π].
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari π(π₯) sampai turunan yang
ke-π.
Oleh karena itu,
maxπβ€π₯β€π π +ππ=0
π π (π₯) β€ maxπβ€π₯β€π π π (π₯) +π
π=0 maxπβ€π₯β€π π π (π₯) π
π=0 ,untuk
setiap π π₯ ,π(π₯) β πΆπ[π, π].
Didapat :
f + g k β€ f k + g k , untuk setiap π π₯ ,π(π₯) β πΆπ [π, π].
Karena memenuhi keempat aksioma, maka (πΆπ π, π ,π) untuk
π bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada πΆπ[π, π] yaitu π π =
maxπβ€π₯β€π π π (π₯) π
π=0 , untuk setiap π β πΆπ[π, π] adalah ruang linear
bernorma.
B. Fungsional
Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya
merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional merupakan fungsi
dari fungsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Pada fungsi dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut
adalah himpunan titik-titik (π₯,π¦, π§) dalam π 3. Begitu juga untuk fungsional
dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut adalah
himpunan titik-titik (π₯,π¦, π§) di π 3 di mana π₯,π¦, dan π§ adalah fungsi-fungsi
dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap sebagai titik. π₯,π¦,
dan π§ masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear β.
Pada fungsi dengan π variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut
adalah himpunan titik-titik (π₯1, π₯2 ,β¦π₯π) dalam π π . Begitu juga untuk
fungsional dengan π variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut
adalah himpunan titik-titik (π₯1, π₯2 ,β¦π₯π) di π π di mana π₯1, π₯2 ,β¦ dan π₯π
adalah fungsi-fungsi dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap
sebagai titik. π₯1, π₯2 ,β¦ dan π₯3 masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear
β.
Dalam fungsional domain adalah himpunan fungsi sedangkan kodomain
adalah himpunan bilangan Real.
Berikut ini adalah beberapa contoh fungsional.
Contoh 3.2.1
b
a
dxxyyJ )( , untuk π¦(π₯) dalam πΆ0 π, π didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
π½ π¦ :πΆ0 β π , π· = π¦ π₯ |π¦(π₯) β πΆ0 π, π . π¦(π₯) kontinu di π, π , karena itu
menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
setiap π¦(π₯) dalam π·. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa π½ π¦
adalah suatu fungsi, dan karena π¦(π₯) juga merupakan fungsi maka π½ π¦ adalah
fungsional.
Contoh 3.2.2
b
a
dxxyyJ )(2, untuk π¦(π₯) dalam πΆ0[π, π] didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
π½ π¦ :πΆ1 β π , π· = π¦ π₯ |π¦(π₯) β πΆ0 π, π . Fungsi kuadrat merupakan fungsi
polinom sehingga fungsi itu kontinu di mana saja (di R), karena itu menurut
Teorema 2.3.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan
real untuk setiap π¦(π₯) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat
bahwa π½ π¦ adalah suatu fungsi, dan karena π¦(π₯) juga merupakan fungsi maka
π½ π¦ adalah fungsi dari fungsi.
Contoh 3.2.3
Jika F adalah fungsi yang kontinu di R, maka
b
a
dxxyFyJ ))(( , untuk π¦(π₯) dalam πΆ0 π, π didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
π½ π¦ :πΆ0 β π , π· = π¦ π₯ |π¦(π₯) β πΆ0 π, π . Fungsi πΉ kontinu di π , karena itu
menurut Teorema 2.3.2, ))(( xyF adalah fungsi kontinu di π, π sehingga
menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
setiap π¦(π₯) dalam π·. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa π½ π¦
adalah suatu fungsi, dan karena π¦(π₯) juga merupakan fungsi maka π½ π¦ adalah
fungsional.
Contoh 3.2.4
b
a
dxxyyJ 2)]('[ , untuk π¦(π₯) dalam πΆ1 π, π didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
π½ π¦ :πΆ1 β π , π· = π¦ π₯ |π¦(π₯) β πΆ1 π, π .
π¦(π₯) dalam πΆ1 π, π sehingga π¦β² π₯ ada dan kontinu di [π, π]. Fungsi kuadrat
merupakan fungsi polinom sehingga fungsi itu kontinu di π , karena itu
menurut Teorema 2.3.2, dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat
bilangan real untuk setiap π¦(π₯) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut
didapat bahwa π½ π¦ adalah suatu fungsi, dan karena π¦(π₯) juga merupakan
fungsi maka π½ π¦ adalah fungsional.
Contoh 3.2.5
b
a
dxxyyJ 2)]('[1 , untuk π¦(π₯) dalam πΆ1 π, π didefinisikan sebagai
suatu fungsional.
π½ π¦ :πΆ1 β π , π· = π¦ π₯ |π¦(π₯) β πΆ1 π, π .
π¦(π₯) dalam πΆ1 π, π sehingga π¦ β² π₯ ada dan kontinu di [π, π]. Daerah asal
fungsi rasional dalam bentuk di atas adalah himpunan bilangan real; π . Oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
karena itu, fungsi tersebut kontinu di π (karena sembarang fungsi rasional
kontinu pada daerah asalnya). Karena itu, menurut teorema 2.3.2, dan
Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk setiap
π¦(π₯) dalam D. Oleh karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa π½ π¦
adalah suatu fungsi, dan karena π¦(π₯) juga merupakan fungsi maka π½ π¦ adalah
fungsional.
Fungsional di atas merupakan rumus panjang kurva π¦ = π¦(π₯) untuk π β€ π₯ β€
π.
Contoh 3.2.6
Jika fungsi F adalah suatu fungsi 3 variabel yang kontinu, maka
b
a
dxxyxyxFyJ )('),(,
untuk π¦(π₯) dalam πΆ1 π, π didefinisikan sebagai
suatu fungsional.
Pada contoh di atas π₯ adalah suatu variabel bebas, yβ(x) tergantung pada y(x)
(keduannya memiliki variabel bebas yang sama yaitu x).
π½ π¦ :πΆ1 β π , daerah asal π½ π¦ adalah πΆ1[π, π] ( yβ ada dan kontinu
pada[π, π]). Menurut teorema 2.7.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2
akan didapat bilangan real untuk setiap π¦(π₯). Oleh karena itu, dari penjelasan
tersebut didapat bahwa π½ π¦ adalah suatu fungsi, dan karena π¦(π₯) juga
merupakan fungsi maka π½ π¦ adalah fungsi dari fungsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
Definisi 3.2.1
Fungsional π½ π¦ dikatakan kontinu pada titik π¦ β β jika untuk setiap ν > 0,
terdapat πΏ > 0 sedemikian sehingga π½ π¦ β π½[π¦ ] < ν bilamana π¦ β π¦ < πΏ.
Definisi 3.2.2
Andaikan π,π adalah ruang-ruang linear atas lapangan yang sama πΉ. Suatu
fungsi π:π β π disebut suatu transformasi linear dari π ke π jika untuk
setiap π₯,π¦ β π, dan setiap πΌ β π , berlaku :
a) π π₯ + π¦ = π π₯ + π(π¦)
b) π πΌπ₯ = πΌπ(π₯)
Untuk π = π, transformasi linear π:π β π disebut suatu operator linear pada
π.
Definisi 3.2.3
Andaikan β adalah suatu ruang linear. Fungsional linear adalah fungsi
π:β β π sedemikian sehingga untuk setiap π₯,π¦ β β, dan setiap πΌ β π ,
berlaku :
a) π π₯ + π¦ = π π₯ + π(π¦)
b) π πΌπ₯ = πΌπ(π₯)
Jika tidak memenuhi salah satu dari sifat-sifat di atas ataupun tidak memenuhi
kedua sifat tersebut, maka fungsional dikatakan fungsional tidak linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Contoh 3.2.6
Akan ditunjukkan bahwa fungsional 1
0
)(3 dxxyyJ , untuk π¦(π₯) dalam
ruang linear β, adalah suatu fungsional linear.
Ambil sembarang π π₯ ,π(π₯) β β.
1
0
)]()([3 dxxgxfgfJ
1
0
)(3)(3 dxxgxfgfJ
1
0
1
0
)(3)(3 dxxgdxxfgfJ (menurut sifat penjumlahan integral tentu)
1
0
1
0
)(3)(3 dxxgdxxfgfJ
][][ gJfJgfJ
Ambil sembarang π π₯ β β dan sembarang bilanagan πΌ β π .
1
0
)]([3 dxxffJ
1
0
)](3[ dxxffJ
1
0
)(3 dxxffJ (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)
][ fJfJ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka fungsional
1
0
)(3 dxxyyJ , untuk π¦(π₯) dalam ruang linear β, adalah suatu fungsional
linear.
Contoh 3.2.7
Akan ditunjukkan bahwa fungsional 1
0
2))((3 dxxyyJ , untuk π¦(π₯) dalam
ruang linear β, adalah fungsional tidak linear.
Ambil sembarang π π₯ ,π(π₯) β β.
1
0
2 ]))()([(3 dxxgxfgfJ
1
0
22 )]()()(2)([3 dxxgxgxfxfgfJ
1
0
22 )(3)()(6)(3 dxxgxgxfxfgfJ
1
0
1
0
1
0
)(3)()(6)(3 dxxgdxxgxfdxxfgfJ (menurut sifat penjumlahan
integral tentu)
1
0
1
0
1
0
)(3)()(6)(3 dxxgdxxgxfdxxfgfJ
][][ gJfJgfJ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Ambil sembarang π π₯ β β dan sembarang bilangan πΌ β π .
1
0
2 ]))([(3 dxxffJ
1
0
22 )](3[ dxxffJ
1
0
22 )(3 dxxffJ (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)
][ fJfJ
Karena tidak memenuhi sifat-sifat fungsional linear, maka fungsional
1
0
2))((3 dxxyyJ , untuk π¦(π₯) dalam ruang linear β, merupakan fungsional
tidak linear.
Contoh 3.2.8
Akan ditunjukkan bahwa fungsional b
a
dxxhxhJ )(')( , untuk π(π₯)
dalamπΆ1[π, π], dimana πΌ(π₯) adalah suatu fungsi tertentu pada πΆ[π, π] , adalah
suatu fungsional linear.
Ambil sembarang π π₯ ,π(π₯) β πΆ1[π, π].
b
a
dxxgxfxgfJ ))'()(()(
b
a
dxxgxfxgfJ )(')(')(
(menurut aturan jumlah pada turunan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
b
a
dxxgxxfxgfJ )(')()(')(
b
a
b
a
dxxgxdxxfxgfJ )(')()(')( (menurut sifat penjumlahan integral
tentu)
][][ gJfJgfJ
Ambil sembarang π π₯ β β dan sembarang bilangan π β π .
b
a
dxxrfxrfJ ]))'()[((
b
a
dxxrfxrfJ )](')[(
(menurut aturan perkalian konstanta pada turunan)
b
a
dxxfxrrfJ )](')([
b
a
dxxfxrrfJ )](')([
(menurut sifat perkalian konstanta pada integral
tentu)
][ frJrfJ
Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka Fungsional
b
a
dxxhxhJ )(')( , untuk π(π₯) dalamπΆ1[π, π], dimana πΌ(π₯) adalah suatu
fungsi tertentu pada πΆ[π, π] , adalah suatu fungsional linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Contoh 3.2.9
Akan ditunjukkan bahwa fungsional
b
a
n
n dxxhxxhxxhxhJ )()(...)(')()()( )(
10 , untuk π(π₯)
dalamπΆπ [π, π], dimana πΌ(π₯) adalah suatu fungsi tertentu pada πΆ[π, π] , adalah
suatu fungsional linear.
Ambil sembarang π π₯ ,π(π₯) β πΆπ[π, π].
b
a
n
n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ ]))()()[((...]))'()()[(()]()()[( )(
10
b
a
nn
n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ )]()()[((...)](')(')[(()]()()[( )()(
10
(menurut aturan jumlah pada turunan)
b
a
n
n
n
n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ )]()()([...)](')(')([)]()()([ )()(
1100
dxxgxgxgxxfxfxfxgfJ n
n
b
a
n
n )](...)()()([)](...)()()([ )(
10
)(
10
b
a
n
n
b
a
n
n dxxgxgxgxdxxfxfxfxgfJ )(...)()()()(...)()()( )(
10
)(
10
(menurut sifat penjumlahan integral tentu)
][][ gJfJgfJ
Ambil sembarang π π₯ β β dan sembarang bilangan π β π .
b
a
n
n dxxrfxxrfxxrfxrfJ )(
10 )]()[(...)]'()[()]()[(
b
a
n
n dxxrfxxrfxxrfxrfJ )]()[(...)](')[()]()[( )(
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
(menurut aturan perkalian konstanta pada turunan)
b
a
n
n dxxfxrxfxrxfxrrfJ )]()([...)](')([)]()([ )(
10
b
a
n
n dxxfxxfxxfxrrfJ )]()([...)](')([)]()([ )(
10
b
a
n
n dxxfxxfxxfxrrfJ )()(...)(')()()( )(
10
(menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)
][ frJrfJ
Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka fungsional
b
a
n
n dxxhxxhxxhxhJ )()(...)(')()()( )(
10 , untuk π(π₯)
dalamπΆπ [π, π], dimana πΌ(π₯) adalah suatu fungsi tertentu pada πΆ[π, π] , adalah
suatu fungsional linear.
Definisi 3.2.3
Diberikan suatu ruang linear bernorma β, misalkan π[π] adalah suatu
fungsional yang terdefinisi pada β. Maka π[π] disebut suatu fungsional linear
kontinu jika :
1. π π1 + π2 = π π1 + π(π2), untuk setiap π1 ,π2 β β
2. π πΌπ = πΌπ(π), untuk setiap π β β, dan setiap πΌ β π
3. π(π) kontinu, untuk setiap π β β.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Kedua lema di bawah ini akan membahas tentang fungsional linear contoh
3.2.8, dan contoh 3.2.9 jika π½ π lenyap (π½ π = 0) untuk setiap π(π₯) anggota
suatu kelas fungsi.
Lema 3.2.1
Jika πΌ(π₯) adalah suatu fungsi kontinu pada [π, π], dan jika
πΌ π₯ πβ² π₯ ππ₯ = 0
π
π
untuk setiap fungsi π(π₯) β πΆ1[π, π] sedemikian sehingga π π = π π = 0,
maka πΌ π₯ = π untuk setiap π₯ dalam [π, π], di mana π adalah suatu konstanta.
Bukti :
πΌ π₯ πβ² π₯ ππ₯ = 0π
π, untuk πΌ(π₯) suatu fungsi tertentu yang kontinu pada
[π, π].
Andaikan π adalah suatu konstanta yang didefinisikan sebagai berikut :
b
a
dxcx 0)( , dan andaikan juga bahwa
x
a
dcxh )()( , sehingga
benar bahwa π(π₯) berada pada πΆ1[π, π] (menurut Teorema Dasar kalkulus
bagian 1) dan memenuhi syarat yaitu π π = π π = 0. Ini karena π π =
0)( a
a
dc , dan π π = 0)( b
a
dc . (dari syarat sebelumnya yaitu
b
a
dxcx 0)( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
πΌ π₯ β π πβ² π₯ ππ₯ =
π
π
πΌ π₯ πβ² π₯ β ππβ² π₯ ππ₯
π
π
= πΌ π₯ πβ² π₯ ππ₯ β ππβ² π₯ ππ₯
π
π
π
π
= πΌ π₯ πβ² π₯ ππ₯ β π πβ² π₯ ππ₯
π
π
π
π
= πΌ π₯ πβ² π₯ ππ₯ β π π π β π π
π
π
= 0 β π. 0 = 0
Oleh karena itu, πΌ π₯ β π πβ² π₯ ππ₯ =π
π0.
0])([)('])([ 2 b
a
b
a
dxcxdxxhcx
Oleh karena itu 0])([ 2 cx , sehingga cx )(
Lema 3.2.2
Jika πΌ(π₯) dan π½(π₯) adalah fungsi-fungsi kontinu pada [π, π], dan jika
πΌ π₯ π π₯ + π½ π₯ πβ²(π₯) ππ₯ = 0
π
π
untuk setiap fungsi π(π₯) β πΆ1[π, π] sedemikian sehingga π π = π π = 0,
maka π½(π₯) terdiferensialkan , dan π½β² π₯ = πΌ(π₯) untuk setiap π₯ dalam [π, π].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Bukti :
Tetapkan x
dxA0
)()( , untuk setiap π₯ dalam [π, π].
b
a
b
a
dxxxhdxxhx )()()()(
b
a
b
axdxhxAxAxh )()(')()()( (menurut rumus integral parsial)
b
a
b
axdxhxAxA )()(')()(0
b
a
xdxhxA )()(')(
Oleh karena itu,
πΌ π₯ π π₯ + π½ π₯ πβ²(π₯) ππ₯ = βπ΄ π₯ + π½ π₯ πβ² π₯ ππ₯ = 0
π
π
π
π
Menurut lema 3.2.1, akan didapat :
π½ π₯ β π΄ π₯ = π, dimana π adalah konstan.
Karena itu, π½ π₯ + (βπ) = π΄ π₯ .
Oleh karena itu, menurut definisi π΄(π₯) akan didapat :
π½ π₯ + (βπ) = x
d0
)(
π½β² π₯ = πΌβ² π₯ , untuk setiap π₯ dalam [π, π]. (menurut teorema dasar kalkulus
bagian 1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas
Kali ini, akan dibahas mengenai deferensial dan nilai ekstrim suatu
fungsional
Sebelum memulai pembahasan mengenai nilai ekstrim suatu fungsional,
akan dibahas tentang diferensial suatu fungsional terlebih dahulu. Andaikan
π½[π¦] adalah suatu fungsional yang terdefinisi pada ruang linear bernorma, dan
andaikan βπ½ π = π½ π¦ + π β π½[π¦] adalah inkremen-nya. Jika π¦ tertentu, βπ½[π]
adalah suatu fungsional dari π. Misalkan βπ½ π = π π + ν π , di mana π[π]
adalah suatu fungsional linear, dan ν β 0 dan π β 0, maka fungsional π½[π¦]
dikatakan dapat terdiferensialkan. Fungsional linear π[π] tersebut mempunyai
selisih dari βπ½[π], yaitu suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1
(fungsional yang tidak linear), yang nilainya sangat kecil relatif terhadap π .
Fungsional linear π[π] tadi disebut sebagai diferensial dari π½[π] (karena π¦
sudah dianggap tertentu) dan dinotasikan dengan πΏπ½[π]. Kemudian, untuk
diferensial dari π½[π¦] (π¦ tidak dibuat tertentu) adalah fungsional linear dengan
dua argumen π¦ dan π yaitu πΏπ½[π¦;π].
Kali ini, akan dimulai pembahasan tentang nilai ekstrim dari suatu
fungsional. Untuk fungsi dengan π-variabel, misalnya saja πΉ(π₯1,β¦ , π₯π). Maka
πΉ(π₯1,β¦ , π₯π) dikatakan memiliki ekstrimum relatif pada titik (π₯ 1,β¦ , π₯ π)
apabila βπΉ = πΉ π₯1,β¦ , π₯π β πΉ(π₯ 1,β¦ , π₯ π) memiliki tanda (positif atau
negatif) yang sama untuk setiap titik (π₯1,β¦ , π₯π) yang termasuk dalam suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
persekitaran dari (π₯ 1,β¦ , π₯ π). Nilai ekstrim, yakni πΉ(π₯ 1,β¦ , π₯ π) adalah suatu
nilai minimum apabila βπΉ β₯ 0 dan suatu maksimum apabila βπΉ β€ 0.
Untuk fungsional, dikatakan bahwa suatu fungsional π½[π¦] memiliki
ekstrimum relatif untuk π¦ = π¦ jika π½ π¦ β π½[π¦ ] memiliki tanda yang sama
(positif atau negatif) untuk setiap π¦ dalam persekitaran-ν dari π¦ (π₯); yakni
π¦ β π¦ < ν.
Karena suatu fungsi bisa berada pada πΆ0[π, π] atau di πΆ1[π, π] (ini karena
πΆ1[π, π] β πΆ0[π, π]), maka kali ini akan dibahas tentang bagaimana norma
untuk fungsi tersebut.
Diketahui dari penjelasan di depan tentang kelas-kelas fungsi bahwa
pada kelas πΆ0[π, π] suatu norma didefinisikan sebagai berikut :
π¦ 0 = maxπβ€π₯β€π π¦(π₯) . Sedangkan untuk kelas πΆ1[π, π] suatu norma
didefinisikan sebagai berikut : π¦ 1 = maxπβ€π₯β€π π¦(π₯) + maxπβ€π₯β€π π¦β²(π₯) .
Oleh karena itu, akan didapat bahwa π¦ β π¦ 1 < ν β π¦ β π¦ 0 < ν
Dikatakan bahwa 1 adalah suatu norma lemah dan 0 adalah norma
kuat.
Definisi 3.2.4
Suatu fungsional π½[π¦], ketika π¦ dianggap sebagai anggota πΆ0[π, π] atau ketika
π¦ dianggap sebagai anggota πΆ1[π, π], mempunyai suatu ekstrimum lemah
pada π¦ jika terdapat ν > 0, sedemikian sehingga π½ π¦ β π½[π¦ ] memiliki tanda
yang sama untuk setiap π¦ dalam persekitaran-ν dari π¦ (π₯); yakni π¦ β π¦ 1 <
ν.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Definisi 3.2.5
Suatu fungsional π½[π¦], ketika π¦ dianggap sebagai anggota πΆ0[π, π] atau ketika
π¦ dianggap sebagai anggota πΆ1[π, π], mempunyai suatu ekstrimum kuat pada
π¦ jika terdapat ν > 0, sedemikian sehingga π½ π¦ β π½[π¦ ] memiliki tanda yang
sama untuk setiap π¦ dalam persekitaran-ν dari π¦ (π₯); yakni π¦ β π¦ 0 < ν.
Dari kedua definisi di atas, maka dapat dilihat bahwa suatu ekstrimum
kuat juga merupakan suatu ekstrimum lemah. Namun, suatu ekstrimum lemah
belum tentu merupakan suatu ekstrimum kuat.
Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang
lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran
dari π¦ pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada fungsional
adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau dengan kata
lain, ketika diambil definisi persekitaran dari π¦ pada ruang yang lebih kecil.
Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang yang
lebih besar. (πΆπ[π, π] β πΆ1[π, π] β πΆ0[π, π]) (untuk π > 1)
Teorema 3.2.1
Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan π½[π¦] agar mencapai
titik ekstrim relatif untuk π¦ = π¦ adalah bahwa diferensial untuk π¦ = π¦ sama
dengan 0; yakni
πΏπ½ π = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
untuk π¦ = π¦ .
Bukti :
Pertama-tama akan dibuktikan untuk nilai maksimum terlebih dahulu.
Andaikan π½[π¦] mempunyai nilai maksimum relatif pada π¦ = π¦ sehingga
βπ½ = π½ π¦ β π½[π¦ ] β€ 0, untuk π¦ pada persekitaran dari π¦ .
Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di π¦ , didapat
βπ½ π = π½ π¦ + π β π½[π¦ ] sebagai suatu inkremen.
βπ½ π = πΏπ½ π + ν π , di mana ν β 0 dan π β 0.
Karena π½[π¦] mempunyai nilai maksimum relatif pada π¦ = π¦ maka
βπ½ π = π½ π¦ + π β π½[π¦ ] β€ 0
Misalkan πΏπ½ π β 0, untuk π¦ = π¦ .
Ambil sembarang π0 β π·, dengan π· daerah asal fungsional π½ sehingga
πΏπ½ π0 β 0.
Oleh karena itu, πΏπ½ π0 < 0 atau πΏπ½ π0 > 0.
Ambil πΏπ½ π0 > 0 sehingga βπ½ π0 = πΏπ½ π0 + ν π0 > 0.
Karena diambil sembarang π0 β π·, dengan π· daerah asal fungsional π½, maka
dapat dituliskan βπ½ π > 0.
Padahal βπ½ π = π½ π¦ + π β π½[π¦ ] β€ 0.
Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan πΏπ½ π β 0 adalah salah.
Oleh karena itu, πΏπ½ π = 0.
Kemudian, akan dibuktikan untuk nilai minimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
Andaikan π½[π¦] mempunyai nilai minimum relatif pada π¦ = π¦ sehingga
βπ½ = π½ π¦ β π½[π¦ ] β₯ 0, untuk π¦ pada persekitaran dari π¦ .
Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di π¦ , didapat
βπ½ π = π½ π¦ + π β π½[π¦ ] sebagai suatu inkremen.
βπ½ π = πΏπ½ π + ν π , di mana ν β 0 dan π β 0.
Karena π½[π¦] mempunyai nilai minimum relatif pada π¦ = π¦ maka
βπ½ π = π½ π¦ + π β π½[π¦ ] β₯ 0
Misalkan πΏπ½ π β 0, untuk π¦ = π¦ .
Ambil sembarang π0 β π·, dengan π· daerah asal fungsional π½ sehingga
πΏπ½ π0 β 0.
OLeh karena itu, πΏπ½ π0 < 0 atau πΏπ½ π0 > 0
Ambil πΏπ½ π0 < 0 sehingga ada kemungkinan bahwa βπ½ π0 = πΏπ½ π0 +
ν π0 < 0. (karena ν π0 sangat kecil mendekati 0 )
Karena diambil sembarang π0 β π·, dengan π· daerah asal fungsional π½, maka
dapat dituliskan βπ½ π < 0.
Padahal βπ½ π = π½ π¦ + π β π½[π¦ ] β₯ 0.
Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan πΏπ½ π β 0 adalah salah.
Oleh karena itu, πΏπ½ π = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
BAB IV
PERSAMAAN EULER
Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu
fungsional tertentu; yakni fungsional yang berberntuk π½ π¦ = πΉ π₯,π¦,π¦β² ππ₯π
π .
Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim pada suatu fungsi maka
fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler.
Andaikan πΉ(π₯,π¦, π§) adalah suatu fungsi dengan derivatif parsial pertama
dan kedua-nya kontinu. Kemudian, di antara semua fungsi π¦(π₯) yang termasuk
dalam πΆ1[π, π] dan memenuhi syarat batas yaitu π¦ π = π΄, π¦ π = π΅ (nilainya
tertentu di titik-titik ujung), akan ditemukan suatu fungsi, apabila fungsional
π½ π¦ = πΉ π₯, π¦,π¦β² ππ₯π
π memiliki suatu ekstrimum lemah.
Berikut ini adalah kurva-kurva yang memungkinkan untuk fungsi π¦(π₯).
Gambar 4.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
Suatu fungsi yang membuat π½[π¦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi suatu
persamaaan diferensial. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.
Teorema 4.1.1
Andaikan π½ π¦ adalah suatu fungsional dalam bentuk πΉ π₯,π¦, π¦β² ππ₯π
π, yang
terdefinisi untuk untuk semua fungsi π¦(π₯) β πΆ1[π, π] dan memenuhi syarat batas
yaitu π¦ π = π΄, π¦ π = π΅. Maka syarat perlu agar π½ π¦ memiliki suatu ekstrimum
pada fungsi π¦ = π¦ (π₯) yaitu bahwa π¦ (π₯) memenuhi persamaan Euler berikut ini
ππΉ
ππ¦ π₯,π¦ ,π¦ β² β
π
ππ₯ ππΉ
ππ¦ β² π₯,π¦ ,π¦ β² = 0.
Bukti :
Fungsional π½[π¦] terdefinisi pada domainnya yaitu π· = { π¦ π₯ β πΆ1 π¦ π =
π΄,π¦ π = π΅}.
Andaikan π¦(π₯) diberikan suatu inkremen β(π₯), sehingga agar fungsi (π¦ π₯ +
β π₯ ) tetap memenuhi syarat batas, maka harus dibuat β π = β π = 0.
π½ π¦ memiliki suatu ekstrimum pada fungsi π¦ = π¦ (π₯).
Pertama-tama cari πΏπ½ untuk π¦ = π¦ (π₯) terlebih dahulu.
βπ½ = π½ π¦ + β β π½ π¦ = πΉ π₯, (π¦ + β), (π¦ β² + ββ²) ππ₯ β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² ππ₯π
π
π
π
= πΉ π₯, (π¦ + β), (π¦ β² + ββ²) β πΉ(π₯,π¦ ,π¦ β²) ππ₯π
π
Deret Taylor dari fungsi πΉ(πΌ,π½, πΎ) di sekitar (πΌ0,π½0, πΎ0), yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
πΉ πΌ,π½, πΎ = πΉ πΌ0 ,π½0 ,πΎ0
+ πΌ β πΌ0 π
ππΌπΉ πΌ0 ,π½0 , πΎ0 + π½ β π½0
π
ππ½πΉ πΌ0 ,π½0 ,πΎ0
+ πΎ β πΎ0 π
ππΎπΉ(πΌ0 ,π½0 ,πΎ0)
+1
2! πΌ β πΌ0
π
ππΌπΉ πΌ0 ,π½0 ,πΎ0 + π½ β π½0
π
ππ½πΉ πΌ0 ,π½0 ,πΎ0
+ πΎ β πΎ0 π
ππΎπΉ(πΌ0 ,π½0 ,πΎ0)
2
+β―
(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)
Deret Taylor dari fungsi πΉ(π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² ) di sekitar (π₯,π¦ ,π¦ β²) adalah
sebagai berikut :
πΉ π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ²
= πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+ π₯ β π₯ π
ππ₯πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + π¦ + β β π¦
π
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+ π¦ β² + ββ² β π¦ β² π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+1
2! π₯ β π₯
π
ππ₯πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + π¦ + β β π¦
π
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+ π¦ β² + ββ² β π¦ β² π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
2
+β―
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
πΉ π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ²
= πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+ βπ
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + ββ²
π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+1
2! β
π
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + ββ²
π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
2
+β―
(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)
πΉ π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ²
= πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+ βπ
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + ββ²
π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+1
2! β
π
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + ββ²
π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
2
+β―
π1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ²
= πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
+ βπ
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + ββ²
π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
(polinom taylor berderajat 1 dari πΉ)
Oleh karena itu,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
πΉ π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² = π1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² + π 1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ²
Dengan π 1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² adalah suku sisa dari deret Taylor; yakni :
π 1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ²
=1
2! β
π
π π¦ + β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² + ββ²
π
π π¦ β² + ββ² πΉ π₯,π¦ ,π¦ β²
2
+β―
Menurut ketaksamaan taylor untuk πΉ fungsi dengan 3 variabel akan didapat :
π 1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² β€π
2!( π¦ + β β π¦ + π¦ β² + ββ² β π¦ β² )2
π 1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² β€π
2!( β + ββ² )2
Sekarang, hitung βπ½ dengan mengaplikasikan deret Taylor dari fungsi
πΉ(π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² ) di sekitar (π₯,π¦ ,π¦ β²)
Oleh karena itu, didapat :
βπ½ = πΉ π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² β πΉ π₯,π¦ ,π¦ β² ππ₯
π
π
βπ½ = βπ
π(π¦ + β)πΉ (π₯,π¦ ,π¦ β²) + ββ²
π
π(π¦ β² + ββ²)πΉ(π₯,π¦ ,π¦ β²)
π
π
+1
2! β
π
π(π¦ + β)πΉ (π₯,π¦ ,π¦ β²) + ββ²
π
π(π¦ β² + ββ²)πΉ(π₯, π¦ ,π¦ β²)
2
+β― ππ₯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
βπ½ = βπ
π(π¦ + β)πΉ (π₯,π¦ ,π¦ β²) + ββ²
π
π(π¦ β² + ββ²)πΉ(π₯,π¦ ,π¦ β²) ππ₯
π
π
+1
2! β
π
π(π¦ + β)πΉ (π₯,π¦ ,π¦ β²)
π
π
+ ββ²π
π(π¦ β² + ββ²)πΉ(π₯, π¦ ,π¦ β²)
2
ππ₯ +β―
Padahal π 1 π₯, π¦ + β , π¦ β² + ββ² β€π
2!( β + ββ² )2.
Oleh karena itu, untuk β β π· sedemikian sehingga β β 0,
suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1 nilainya sangat kecil relatif
terhadap β .
(π¦ + β) dan (π¦ β² + ββ²) adalah variabel bebas - variabel bebas dalam fungsional
βπ
π(π¦ +β)πΉ (π₯,π¦ ,π¦ β²) + ββ²
π
π(π¦ β²+β β² )πΉ(π₯,π¦ ,π¦ β²) ππ₯
π
π, sehingga dapat dituliskan
π¦ + β = π¦ dan (π¦ β²+ ββ²) = π¦β². Oleh karena itu fungsional tersebut menjadi
βπ
ππ¦πΉ (π₯,π¦ ,π¦ β²) + ββ²
π
ππ¦ β²πΉ(π₯,π¦ ,π¦ β²) ππ₯
π
π. Fungsional β
π
ππ¦πΉ (π₯,π¦ ,π¦ β²) +
π
π
ββ²π
ππ¦ β²πΉ(π₯,π¦ ,π¦ β²) ππ₯ adalah fungsional linear.
Oleh karena itu diferensial dari π½[π¦] untuk π¦ = π¦ (π₯) adalah.
πΏπ½ = ππΉ
ππ¦
π
π
π₯,π¦ ,π¦ β² β +ππΉ
ππ¦β² π₯,π¦ ,π¦ β² ββ² ππ₯
Menurut teorema 3.2.1 bahwa syarat perlu agar π½[π¦] memiliki suatu ekstrimum
pada π¦ = π¦(π₯) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
πΏπ½ = ππΉ
ππ¦
π
π
π₯,π¦ ,π¦ β² β +ππΉ
ππ¦β² π₯,π¦ ,π¦ β² ββ² ππ₯ = 0
Menurut lema 3.2.2, didapat :
ππΉ
ππ¦ π₯,π¦ ,π¦ β² β
π
ππ₯ ππΉ
ππ¦ β² π₯,π¦ ,π¦ β² = 0
Contoh 4.1.1
Andaikan π· = π¦ β πΆ1 0,1 | π¦ 0 = 0,π¦ 1 = 1 . Diberikan suatu fungsi
πΌ:π· β π , dengan bentuk πΌ[π¦] = π¦β² π₯ β 1 21
0ππ₯.
Akan ditunjukkan bahwa π¦ π₯ = π₯, π₯ β [0,1], dengan π¦ β π· akan membuat πΌ[π¦]
mencapai nilai minimum.
Andaikan πΉ π₯,π¦, π¦β² = π¦β² β 1 2, sehingga
ππΉ
ππ¦= 0 dan
ππΉ
ππ¦ β²= 2(π¦β² β 1)
Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi
ππΉ
ππ¦ π₯,π¦ ,π¦ β² β
π
ππ₯ ππΉ
ππ¦ β² π₯,π¦ ,π¦ β² = 0 β
π
ππ₯ 2 π¦ β² β 1 = 0, sehingga
π
ππ₯ 2 π¦ β²(π₯) β 1 = 0, untuk setiap π₯ β [0,1]
Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua
ruas.
π
ππ₯ 2 π¦ β² β 1 = 0, sehingga
π
ππ₯ 2 π¦ β² β 1 ππ₯ = 0ππ₯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
2 π¦ β²(π₯) β 1 = π, dengan π konstan
π¦ β² π₯ β 1 =π
2
π¦ β² π₯ =π
2+ 1
Andaikan π
2+ 1 = π΄ , sehingga
π¦ β² π₯ = π΄
π¦ β² π₯ ππ₯ = π΄ππ₯
π¦ π₯ = π΄π₯ + π΅, di mana π΄ dan π΅ adalah konstan
π¦ β π·, sehingga π¦ memenuhi syarat batas yaitu : π¦ 0 = 0, dan π¦ 1 = 1
Oleh karena itu didapat :
π΄(0) + π΅ = 0, dan
π΄(1) + π΅ = 1
didapat : π΄ = 1 dan π΅ = 0
Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah π¦ π₯ = π₯, π₯ β [0,1]
π¦β² β 1 2 β₯ 0, untuk setiap π₯ β [0,1], sehingga
πΌ π¦ = π¦β² π₯ β 1 21
0ππ₯ β₯ 0, untuk semua π¦ β πΆ1[0,1] (menurut sifat
pembandingan integral tentu).
πΌ[π¦ ] = π¦ β² π₯ β 1 2
1
0
ππ₯
= 1β 1 21
0ππ₯
= 01
0ππ₯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
= π β π = 0
Karena βπΌ[π¦] β₯ 0, untuk setiap π¦ β π·, maka πΌ[π¦] akan mencapai minimum
mutlak (minimum global) di π¦ π₯ = π₯.
Contoh 4.1.2
Andaikan π· = π¦ β πΆ1 0,2 | π¦ 0 = 1,π¦ 2 = 5 . Diberikan suatu fungsi
π½:π· β π , dengan bentuk π½[π¦] = β π¦β² π₯ β 2 22
0ππ₯.
Akan ditunjukkan bahwa π¦ π₯ = 2π₯ + 1, π₯ β [0,2], dengan π¦ β π· akan membuat
π½[π¦] mencapai nilai maksimum.
Andaikan πΉ π₯,π¦, π¦β² = β π¦β² β 2 2, sehingga
ππΉ
ππ¦= 0 dan
ππΉ
ππ¦ β²= β2(π¦β² β 2)
Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi
ππΉ
ππ¦ π₯,π¦ ,π¦ β² β
π
ππ₯ ππΉ
ππ¦ β² π₯,π¦ ,π¦ β² = 0 β
π
ππ₯ β2 π¦ β² β 2 = 0, sehingga
π
ππ₯ β2 π¦ β²(π₯) β 2 = 0, untuk setiap π₯ β [0,2]
Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua
ruas.
π
ππ₯ β2 π¦ β² β 2 = 0, sehingga
π
ππ₯ β2 π¦ β² β 2 ππ₯ = 0ππ₯
β2 π¦ β²(π₯)β 2 = π, dengan π konstan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
π¦ β² π₯ β 2 = βπ
2
π¦ β² π₯ = βπ
2+ 2
Andaikan βπ
2+ 2 = π΄ , sehingga
π¦ β² π₯ = π΄
π¦ β² π₯ ππ₯ = π΄ππ₯
π¦ π₯ = π΄π₯ + π΅, di mana π΄ dan π΅ adalah konstan
π¦ β π·, sehingga π¦ memenuhi syarat batas yaitu : π¦ 0 = 1, dan π¦ 2 = 5
Oleh karena itu didapat :
π΄(0) + π΅ = 1, dan
π΄(2) + π΅ = 5
didapat : π΄ = 2 dan π΅ = 1
Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah π¦ π₯ = 2π₯ + 1,
π₯ β [0,2]
π¦β² β 2 2 β₯ 0, untuk setiap π₯ β [0,2], sehingga
π¦β² π₯ β 2 22
0ππ₯ β₯ 0, untuk semua π¦ β πΆ1[0,2] (menurut sifat pembandingan
integral tentu).
π½ π¦ = β π¦β²(π₯)β 2 22
0ππ₯ = β π¦β² π₯ β 2 22
0ππ₯
Oleh karena itu, π½ π¦ = β π¦β²(π₯) β 2 22
0ππ₯ β€ 0 , untuk semua π¦ β πΆ1[0,2].
π½[π¦ ] = β π¦ β² π₯ β 2 2
1
0
ππ₯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
= 2β 2 21
0ππ₯
= 01
0ππ₯
= π β π = 0
Karena βπ½[π¦] β€ 0, untuk setiap π¦ β π·, maka π½[π¦] akan mencapai maksimum
mutlak di π¦ π₯ = 2π₯ + 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan, didapat kesimpulan sebagai berikut:
1. Suatu fungsional π½[π¦] memiliki ekstremum relatif untuk π¦ = π¦ jika
π½ π¦ β π½[π¦ ] memiliki tanda yang sama (positif atau negatif) untuk setiap π¦
dalam persekitaran-ν dari π¦ (π₯); yakni π¦ β π¦ < ν.
Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang
yang lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi
persekitaran dari π¦ pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada
fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau
dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran dari π¦ pada ruang
yang lebih kecil. Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian
sejati dari ruang yang lebih besar. (πΆπ[π, π] β πΆ1[π, π] β πΆ0[π, π]) (untuk
π > 1)
Misal, suatu fungsional π½[π¦], ketika π¦ dianggap sebagai anggota
πΆ0[π, π] atau ketika π¦ dianggap sebagai anggota πΆ1[π, π].
Suatu fungsional π½[π¦], ketika ketika π¦ dianggap sebagai anggota
πΆ0[π, π] atau ketika π¦ dianggap sebagai anggota πΆ1[π, π], mempunyai
suatu ekstrimum lemah pada π¦ jika terdapat ν > 0, sedemikian sehingga
π½ π¦ β π½[π¦ ] memiliki tanda yang sama untuk setiap π¦ dalam persekitaran-ν
dari π¦ (π₯); yakni π¦ β π¦ 1 < ν.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
Suatu fungsional π½[π¦], ketika π¦ dianggap sebagai anggota πΆ0[π, π]
atau ketika π¦ dianggap sebagai anggota πΆ1[π, π], mempunyai suatu
ekstrimum kuat pada π¦ jika terdapat ν > 0, sedemikian sehingga π½ π¦ β
π½[π¦ ] memiliki tanda yang sama untuk setiap π¦ dalam persekitaran-ν dari
π¦ (π₯); yakni π¦ β π¦ 0 < ν.
Berikut teorema mengenai nilai ekstrim suatu fungsional :
Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan π½[π¦] agar
mencapai titik ekstrim relatif untuk π¦ = π¦ adalah bahwa diferensial untuk
π¦ = π¦ sama dengan 0; yakni
πΏπ½ β = 0
untuk π¦ = π¦ .
Pembuktiannya dibagi dua bagian yang pertama yaitu untuk nilai
maksimum kemudian yang kedua untuk nilai minimum. Keduanya
memakai metode kontradiksi.
2. Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu
fungsional tertentu; yakni fungsional yang berberntuk π½ π¦ =
πΉ π₯, π¦,π¦β² ππ₯π
π . Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim
pada suatu fungsi maka fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
137
3. Berikut bunyi teorema tentang persamaan Euler :
Andaikan π½ π¦ adalah suatu fungsional dalam bentuk
πΉ π₯,π¦,π¦β² ππ₯π
π, yang terdefinisi untuk untuk semua fungsi π¦(π₯) β
πΆ1[π, π] dan memenuhi syarat batas yaitu π¦ π = π΄, π¦ π = π΅. Maka
syarat perlu agar π½ π¦ memiliki suatu ekstrimum pada fungsi π¦ = π¦ (π₯)
yaitu bahwa π¦ (π₯) memenuhi persamaan Euler berikut ini
ππΉ
ππ¦ π₯, π¦ ,π¦ β² β
π
ππ₯ ππΉ
ππ¦ β² π₯,π¦ ,π¦ β² = 0.
Pembuktiannya, pertama dekati fungsi πΉ π₯,π¦,π¦β² dengan deret
Taylor. Kemuadian cari diferensial dari fungsional π½[π¦]. Dengan
ketaksamaan Taylor, akan ditemukan fungsional linear πΏπ½ sebagai
diferensialnya. Dengan menggunakan teorema tentang nilai ekstrim fungsi;
πΏπ½ = 0, akan ditemukan bentuk persamaan diferensial yang disebut
persamaan Euler.
B. Saran
Saran untuk penelitian lebih lanjut yaitu tentang bagaimana persamaan
Euler untuk fungsional dengan variabel bebas yaitu fungsi-fungsi beberapa
variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
138
DAFTAR PUSTAKA
Gelfand, I,M. dan S.V. Fomin. 1963. Calculus of Variations. New Jersey :
Prentice-Hall, Inc.
Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 1. Jakarta : Erlangga.
Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
Razali, Muhammad, Mahmud N. Siregar, dan Faridawaty Marpaung. 2010.
Kalkulus Diferensial. Bogor : Ghalia Indonesia.
Morgan, Frank. 2005. Real Analysis and Applications. USA : American
Mathematical Society.
Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis
Third Edition. New York : John Wiley & Sons, Inc.
Waluya, S.B. 2006. Persamaan Diferensial. Yogyakarta : Graha Ilmu.
Nugroho, Didit Budi.2001. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya.
Yogyakarta : Graha Ilmu.
Khuri, Andre I. Advanced Calculus with Applications in Statistics Second Edition.
USA : Wiley-Interscience.
Gozali, Sumanang Muhtar. 2010. Pengantar Analisis Fungsional. Bandung :
Universitas Pendidikan Indonesia.
Folland, G.B. . Higher-Order Derivatives and Taylor's Formula in
Several Variables. .
http://mathsci.kaist.ac.kr/~nipl/am621/lecturenotes/Euler-Lagrange_equation.pdf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI