PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK BAGI NOMBOR NEGATIF DI
SEKOLAH MENENGAH RENDAH
MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH
UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA
PSZ 19:16 (Pind. 1/97)
Universiti Teknologi Malaysia
CATATAN: * Potong yang tidak berkenaan. ** Jika tesis ini SULIT atau TERHAD, sila lampirkan surat daripada pihak
berkuasa/organisasi berkenaan dengan menyatakan sekali sebab dan tempoh tesis ini perlu dikelaskan sebagai SULIT atau TERHAD.
♦ Tesis dimaksudkan sebagai tesis bagi Ijazah Doktor Falsafah dan Sarjana secara penyelidikan, atau disertasi bagi pengajian secara kerja kursus dan penyelidikan, atau Laporan Projek Sarjana Muda (PSM).
BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS♦
JUDUL: PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK BAGI NOMBOR NEGATIF
DI SEKOLAH MENENGAH RENDAH
SESI PENGAJIAN: 2007/2008
Saya MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH
(HURUF BESAR) mengaku membenarkan tesis (PSM/Sarjana/Doktor Falsafah)* ini disimpan di Perpustakaan Universiti Teknologi Malaysia dengan syarat-syarat kegunaan seperti berikut: 1. Tesis adalah hakmilik Universiti Teknologi Malaysia. 2. Perpustakaan Universiti Teknologi Malaysia dibenarkan membuat salinan untuk tujuan
pengajian sahaja. 3. Perpustakaan dibenarkan membuat salinan tesis ini sebagai bahan pertukaran antara
institusi pengajian tinggi. 4. **Sila tandakan ( � )
SULIT (Mengandungi maklumat yang berdarjah keselamatan atau kepentingan Malaysia seperti yang termaktub di dalam
AKTA RAHSIA RASMI 1972)
TERHAD (Mengandungi maklumat TERHAD yang telah ditentukan oleh organisasi/badan di mana penyelidikan dijalankan)
� TIDAK TERHAD
(TANDATANGAN PENULIS)
Disahkan oleh
(TANDATANGAN PENYELIA)
Alamat Tetap:
NO18, JLN HJ YAHYA,DESA PUTRA
43000 KAJANG
SELANGOR DARUL EHSAN
PROF. DR. ISMAIL BIN KAILANI
Nama Penyelia
Tarikh: 30 APRIL 2008 Tarikh: 30 APRIL 2008
“ Saya akui bahawa saya telah membaca karya ini dan pada pandangan saya karya ini
adalah memadai dari segi skop dan kualiti untuk tujuan penganugerahan Ijazah Sarjana
Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik)”
Tandatangan :
Nama Penyelia : PROF. DR. ISMAIL BIN KAILANI
Tarikh : _______30 APRIL 2008__________
“ Saya akui bahawa saya telah membaca karya ini dan pada pandangan saya karya ini
adalah memadai dari segi skop dan kualiti untuk tujuan penganugerahan Ijazah Sarjana
Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik)”
Tandatangan :
Nama Penyelia : PROF. DR. ISMAIL BIN KAILANI
Tarikh : _______30 APRIL 2008__________
PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK BAGI NOMBOR NEGATIF DI
SEKOLAH MENENGAH RENDAH
MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH
Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat
penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik)
Fakulti Pendidikan
Universiti Teknologi Malaysia
APRIL 2008
ii
PERAKUAN
“Saya akui bahawa karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan
ringkasan yang setiap satunya telah saya jelaskan sumbernya”
Tandatangan :
Nama Penulis : MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH
Tarikh : 30 APRIL 2008 .
iii
DEDIKASI
Teristimewa buat mak dan abah tercinta
Che Om Hussain dan Asbullah Hj Mohd Yusof
yang telah memberikan sokongan
dan kasih sayang yang tiada tandingnya
serta berkat doa yang tiada hentinya untuk anakmu ini...
Sekalung terima kasih kepada adik-adik
Nur Atiqah, Nur Atirah dan Nur Adibah
yang senantiasa menceriakan hari-hari yang berlalu...
Khas buat teman-teman
Natasha bte Dolzakipi, Habill, Qabill, Adamaina
Jaha, Eddy, Rizal, S.Arip, Keri, Oja, Jamilun, Ceni
Jes, ,Yusma, Fazdli, Kak Lia, Dayah, Poji, Mie, Shidi
Geng Kongsi Gelap ,Kumpulan Statistik, Kelab M.O dan rakan-rakan lain
Sebagai pembakar semangat
Sebagai tempat luahan perasaan dan tekanan
Juga sebagai pengikat silaturrahim yang kukuh
Jasa kalian dikenang selalu...
Terpenting
Terima kasih kepada diri sendiri
Terima kasih diatas kesedaran diantara kau dan aku
Terima kasih diatas pedoman diantara aku dan DIA
Serta terima kasih diatas pengembaraan hidup bersama...
iv
PENGHARGAAN
Segala puji-pujian bagi Allah S.W.T , pemelihara dan pentadbir sekalian alam
diatas kasih sayang, pedoman dan keizinanNya maka penulisan ini dapat
disempurnakan seadanya.
Setinggi-tinggi penghargaan yang tidak terhingga khas ditujukan kepada Prof.
Dr. Ismail Kailani selaku penyelia bagi projek ini di atas segala susah payah menunjuk
ajar, menasihat, menyemak, menyumbang idea serta bimbingan yang diberikan
sepanjang tempoh projek ini dijalankan sehingga berjaya disiapkan.
Dikesempatan ini juga, penulis ingin merakamkan ucapan penghargaan yang
tidak terhingga kepada semua yang terlibat sama ada secara langsung atau tidak dalam
menyiapkan kajian ini termasuk yang telah memberi dorongan dan sokongan kepada
penulis serta memberi kekuatan dan ilham dalam menyiapkan Projek Sarjana Muda ini
dengan jayanya.
Dengan kerjasama semua, maka projek ini dapat berjalan dengan lancar dan
dapat disiapkan dengan sempurna. Semoga Allah S.W.T membalas jasa baik kalian…
v
ABSTRAK
Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM) menyatakan bahawa
penekanan yang sewajarnya perlu diberikan kepada usaha untuk menghargai dan
menghayati keindahan matematik. Unsur-unsur sejarah seperti riwayat hidup ahli-ahli
matematik atau peristiwa tertentu dalam perkembangan matematik itu sendiri, dapat
memberangsangkan lagi minat murid terhadap sesuatu tajuk. Justeru, kajian ini telah
dijalankan dengan menerapkan unsur sejarah dalam pengajaran dan pembelajaran bagi
topik nombor negatif. Tumpuan kajian adalah kepada perkembangan dan penerokaan
konsep nombor negatif melalui rentetan sejarahnya serta kaedah-kaedah yang pernah
wujud bagi menjelaskan konsep sebenar nombor negatif. Selain itu kajian ini juga
tertumpu kepada penggunaan awal nombor negatif dalam kehidupan serta penyelesaian
yang melibatkan nombor negatif. Seterusnya tumpuan kajian adalah kepada beberapa
cadangan aktiviti yang diterapkan unsur-unsur sejarah yang boleh digunakan guru
dalam proses pengajaran bagi topik nombor negatif di bilik darjah. Kaedah-kaedah yang
dicadangkan boleh dijadikan pengukuhan bagi kaedah pembelajaran sedia ada. Di
bahagian akhir kajian, dikemukakan beberapa cadangan kajian lanjutan kepada yang
yang berminat untuk meneruskan kesinambungan kajian ini.
vi
ABSTRACT
One of the mathematics Integrated Curriculum for Secondary Schools objective
is to appreciate the importance and the beauty of mathematics. The historical elements
such as the life of mathematicians or some particular events on mathematics history
itself can be use to stimulate the students interest about the topics. This research was
conducted by instilling the historical elements through the teaching and learning
process, focusing on the topic of negative numbers. The research was focusing about
the developments and explorations of negative numbers through its history, also the
methods that existed and explanations about its real concepts. Besides that, this research
converge to the early applications and the solutions that involved negative numbers in
daily life. Further more, there are several suggestion activities were designed with
historical approach to help teacher during the teaching and learning process in the
classroom and this activities also can be considered as an supplementary methods
besides the modern material’s one nowadays. Some comments and comparison between
the suggestion activities and the standard materials for learning negative numbers were
also discussed. At the end of this research, there are some recommendations, as a guides
for whose that have interest to further this research.
vii
ISI KANDUNGAN
BAB PERKARA MUKASURAT
PENGESAHAN STATUS TESIS -
PENGESAHAN PENYELIA -
HALAMAN TAJUK i
PERAKUAN ii
DEDIKASI iii
PENGHARGAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
ISI KANDUNGAN vii
SENARAI RAJAH xi 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Pengenalan 1
1.2 Latar belakang Masalah 3
1.3 Pernyataan Masalah 4
1.4 Kepentingan Kajian 5
1.5 Objektif Kajian 6
1.6 Persoalan Kajian 6
1.7 Skop Dan Batasan Kajian 7
1.8 Definisi Operasi 7
1.8.1 Penerapan Unsur Sejarah 7
1.8.2 Pengajaran Dan Pembelajaran 8
1.8.3 Matematik 9
viii
1.8.4 Nombor Negatif 9
1.9 Penutup 9
2 SOROTAN KAJIAN 10
2.1 Pengenalan 10
2.2 Sejarah dan Matematik 10
2.3 Nombor Negatif dan Sejarahnya 14
2.4 Kecelaruan dan Kekeliruan Dalam Topik
Nombor Negatif 16
2.4.1 Kecelaruan 17
2.4.2 Kekeliruan 18
2.5 Penutup 21
3 METODOLOGI 22
3.1 Pengenalan 22
3.2 Rekabentuk Kajian 22
3.3 Pengumpulan Data 24
3.4 Penganalisaan Data 25
3.5 Penutup 26
4 DAPATAN KAJIAN 27
4.1 Pengenalan 27
4.2 Sejarah Nombor Negatif 28
4.3 Penggunaan palang dalam menjelaskan
idea awal nombor negatif 28
4.3.1 Peraturan bagi operasi tolak 30
4.3.2 Peraturan bagi operasi tambah 32
4.4 Petua tatatanda bagi operasi nombor negatif;
implikasi dari analogi hutang serta masalah
pengembangan kuadratik 34
ix
4.5 Gambaran dan ilustrasi; analogi konsep
nombor negatif dengan kehidupan sebenar 42
4.5.1 Peningkatan/ pengurangan 43
4.5.2 Analogi duit dan hutang 43
4.5.3 Nombor negatif diatas garis nombor 45
4.5.4 Nombor negatif berhubung dengan
konsep pengukuran 51
4.6 Nombor negatif sebagai nombor berlawanan
dan juga konsep penghapusan 54
4.7 Nombor negatif ; hujah matematik
secara pembuktian 58
4.8 Nombor negatif ; hujah matematik
secara pola nombor 62
4.9 Penutup 65
5 CONTOH-CONTOH AKTIVITI PENGAJARAN
YANG MENERAPKAN UNSUR-UNSUR
SEJARAH MATEMATIK 66
5.1 Pengenalan 66
5.2 Pengenalan Kepada Konsep Nombor Negatif 67
5.2.1 Pernilaian Aktiviti 1 72
5.3 Penyelesaian Operasi Tambah Dan Tolak
Nombor Negatif 73
5.3.1 Pernilaian Aktiviti 2 78
5.4 Petua Tatatanda Operasi Darab Nombor Negatif 79
5.4.1 Pernilaian Aktiviti 3 84
5.5 Petua Tatatanda Operasi Bahagi Nombor Negatif 85
5.5.1 Pernilaian Aktiviti 4 92
5.6 Penutup 93
x
6 KESIMPULAN DAN CADANGAN 94
6.1 Pengenalan 94
6.2 Dapatan dan kesimpulan 95
6.3 Kesimpulan 98
6.4 Cadangan Kajian Lanjutan 98
6.5 Penutup 100
SENARAI RUJUKAN 102
xi
SENARAI RAJAH
RAJAH NAMA RAJAH MUKA SURAT
1 JUBIN ALGEBRA 1 36
2 JUBIN ALGEBRA 2 37
3 PENGUKURAN ALTITUD 52
4 PENGUKURAN TERMOMETER 53
5 JUBIN ALGEBRA 3 81
6 JUBIN ALGEBRA 4 82
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Pengenalan
Matlamat wawasan negara dapat dicapai melalui masyarakat yang berilmu
pengetahuan dan berketerampilan mengaplikasikan pengetahuan matematik. Antara
usaha ke arah mencapai wawasan ini, perlu dipastikan masyarakat membudayakan
matematik dalam kehidupan seharian. Matematik ialah satu bidang ilmu yang melatih
minda supaya berfikir secara logik dan bersistem dalam menyelesaikan masalah dan
membuat keputusan. Sifat matematik secara tabiinya menggalakkan pembelajaran yang
bermakna dan mencabar pemikiran. Kurikulum Matematik umumnya dianggap terdiri
daripada beberapa bidang diskret seperti penghitungan, pengukuran, geometri, algebra
dan penyelesaian masalah. Tanpa membuat perkaitan antara bidang bidang ini, murid
akan mengingati terlalu banyak konsep dan kemahiran secara berasingan. Apabila idea
matematik dikaitkan dengan pengalaman seharian di dalam dan di luar sekolah, murid
lebih menyedari kegunaan dan kepentingan matematik. Selain itu, murid berpeluang
menggunakan secara kontekstual dalam bidang ilmu yang lain dan dalam kehidupan
seharian mereka (Kementerian Pendidikan Malaysia,2000).
2
Penekanan yang sewajarnya perlu diberikan kepada usaha untuk menghargai
dan menghayati keindahan matematik. Unsur-unsur sejarah seperti riwayat hidup ahli-
ahli matematik atau peristiwa tertentu dalam perkembangan matematik itu sendiri, yang
boleh dicapai melalui internet misalnya, dapat memberangsangkan lagi minat murid
terhadap sesuatu tajuk (Kementerian Pendidikan Malaysia,2000). Menurut Noraini Idris
(2001), menerapkan unsur sejarah dalam matematik dapat memotivasikan pelajar,
mengukuhkan konsep kefahaman, mendedahkan pelajar dengan sumbangan ahli-ahli
matematik terdahulu, menarik minat pelajar terhadap matematik dan supaya pelajar
dapat menghayati keindahan dan kepentingan matematik. (Noraini Idris , 2001).
Melalui kurikulum ini, pelajar telah menerima sukatan yang baru dengan kata
lain peralihan dari kurikulum sekolah rendah ke sekolah menengah. Bagi pelajaran
matematik, perubahan yang besar juga akan terjadi dimana kebanyakan topik matematik
beralih kepada yang lebih abstrak,lebih berimiginasi berbanding penyampaian secara
konkrit. Dengan mengambil contoh topik algebra asas, perbandingan dari tajuk Nombor
Bulat (konkrit) kepada tajuk Nombor Negatif (abstrak) dimana peralihan ilmu
matematik itu akan dirasai oleh kebanyakan pelajar lebih-lebih lagi pelajar dengan
tahap kognitif yang sederhana. Sering kali terdengar keluhan pelajar dimana pelajaran
matematik disekolah dianggap hanyalah pelajaran yang bermain dengan imaginasi
nombor, berkhayal bersama rumus-rumus dan pengolahan simbol. Hal sebegini
mengakibatkan pelajar membuat kesimpulan awal bahawa kebanyakan ilmu matematik
yang dipelajari tidak praktikal dalam kehidupan seharian.
1.2 Latar belakang masalah
Pengajaran dan pembelajaran matematik telah mengalami perubahan ketara
bukan sahaja melibatkan perubahan sukatan pelajaran bahkan dari segi pendekatannya.
Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah yang disemak semula oleh Kementerian
Pendidikan Malaysia pada tahun 2000 telah memberi penekanan terhadap aspek
3
pendekatan pengajaran dan pembelajaran. Ini adalah sebagai usaha untuk mewujudkan
pembelajaran berkesan dan penguasaan konsep matematik di kalangan pelajar. Mungkin
sebagai guru matematik, konsep nombor negatif adalah pengetahuan asas matematik
dan mudah memahaminya, namun secara sedar atau tidak pemahaman konsep nombor
negatif inilah merupakan salah satu kesukaran yang amat sangat kepada kebanyakan
pelajar untuk dikuasai. Secara khususnya, antara kesukaran yang wujud disebabkan
penggunaan tandaan ‘ – ’ iaitu merupakan tatatanda yang sama untuk menyatakan
berlawanan dan juga operasi penolakan. Selain itu kekeliruan timbul berkenaan
peraturan penukaran tatatanda ketika melakukan operasi matematik melibatkan nombor
negatif . Begitu juga kenyataan bahawa jika huruf a dianggap sebagai suatu anu maka
huruf a boleh mewakilkan nombor negatif walaupun tiada simbol ‘–’ pada anu
tersebut.
Kelaziman menggunakan buku teks, papan tulis dan kertas kerja semata-mata
akan menyebabkan para pelajar menjadi hilang minat terhadap subjek matematik
terutamanya bagi para pelajar yang sememangnya lemah dalam subjek ini. Mereka tidak
akan memberikan fokus yang sewajarnya dalam proses pengajaran dan pembelajaran di
dalam kelas. Keadaan ini akan menyukarkan tugas para guru bagi membantu pelajar
dalam membina konsep dan menguasai kemahiran secara menyeluruh terutamanya dari
aspek penyelesaian masalah, penaakulan, komunikasi dalam matematik dan membuat
perkaitan (Sharifah Maimunah Syed Zin, 2001).
Selain itu, fokus guru mengajar untuk menghabiskan sukatan pelajaran sebelum
waktu peperiksaan dan proses pengajaran dan pembelajaran yang dilaksanakan lebih
berpusatkan guru. Akibatnya, pelajar tidak diberi peluang membina pengetahuan
mereka tetapi diterapkan dengan rumus-rumus dan simbol-simbol matematik supaya
pelajar dapat menjawab soalan peperiksaan dengan jayanya. Penyertaan pelajar dalam
proses pengajaran dan pembelajaran biasanya terhad kepada memberikan respon kepada
arahan atau soalan guru sahaja.
Antara usaha yang dapat dilaksanakan adalah dengan menerapkan unsur-unsur
sejarah matematik dalam pengajaran matematik. Penerapan unsur-unsur sejarah
4
matematik bukan sahaja sebagai usaha untuk mewujudkan pelajar lebih menghargai dan
menghayati keindahan matematik malah unsur sejarah seperti riwayat hidup dan
peristiwa tertentu ahli matematik atau sejarah ringkas tentang sesuatu konsep matematik
boleh diterapkan bersama-sama aktiviti dalam proses pengajaran dan pembelajaran. Hal
ini akan merangsang lagi minat pelajar terhadap sesuatu topik matematik sekaligus
dapat meningkatkan naluri ingin tahu mereka terhadap sejarah matematik.
1.3 Pernyataan Masalah
Menurut Yannis Thomaidis (1993), pada waktu dan ketika ini, banyak kajian-
kajian empirikal yang dijalankan telah menunjukkan peratusan yang tinggi kepada
kegagalan pelajar memahami nombor negatif dan operasi-operasi matematik yang
melibatkan nombor tersebut. Dapatan ini menunjukkan hubungan dengan sifat-sifat
nombor negatif semasa diperkenalkan disekolah. Natijahnya aktiviti pembelajaran
berkenaan nombor negatif bukanlah berorientasikan kefahaman, namun mungkin
sepenuhnya hafalan semata.
Berdasarkan kajian kajian lepas berkaitan dengan hasil pengajaran dan
pembelajaran nombor negatif didapati bahawa pelajar mengalami kesukaran kerana
sedang melalui fasa ‘peralihan’ daripada sesuatu yang konkrit kepada idea abstrak. Oleh
yang demikian, kajian ini cuba mengumpulkan seberapa banyak kaedah dan
penyelesaian yang terlibat bagi membantu merawat kekeliruan dan kecelaruan pelajar
berkenaan dengan nombor negatif.
5
1.4 Kepentingan Kajian
Ilmu matematik berada dalam keadaan yang pelik walaupun banyak kalangan
yang tidak menidakkan kepentingan ilmu ini, tetapi masih banyak lagi yang
menganggap ilmu ini sebagai tidak berpijak di alam nyata (Abdul Latif Samian, 1992).
Berdasarkan pernyataan ini, disinilah terbitnya kepentingan kajian ini dilakukan.
Melalui pendekatan yang digunakan dalam kajian ini iaitu penggunaan bahan sejarah
diharap dapat merubah pandangan negatif pelajar terhadap ilmu matematik serta diharap
dapat menjelaskan peranan sebenar ilmu matematik dalam membina peradaban. Pelajar
juga diharap dapat mengaitkan ilmu matematik yang dipelajari dengan keperluan
kehidupan dan suasana sebenar rumus atau teorem itu didapati berdasarkan rentetan
sejarahnya.
Berdasarkan dari pandangan Abdul Latif Samian bahawa dalam konteks
pengajaran dan pembelajaran, matematik ialah salah satu mata pelajaran yang
membosankan dan kebosanan ini akibat dari pendekatan pendidikan matematik yang
terlalu teknikal. Melalui kajian ini, disarankan supaya para guru dapat menerapkan
unsur sejarah bukan sahaja sebagai set induksi ketika memulakan pengajaran malah
kaedah-kaedah yang diterokai oleh tokoh-tokoh matematik terdahulu dapat diadaptasi
kedalam pembelajaran pelajar.
Kajian yang dilakukan ini mendedahkan pelbagai kaedah atau pendekatan yang
pernah wujud dan digunakan oleh ahli-ahli matematik terdahulu agar boleh
dimanfaatkan dan juga sebagai bahan pengayaan yang berguna dalam kurikulum
matematik. Kaedah-kaedah yang terdapat dalam kajian ini meliputi pelbagai tahap
pencapaian pelajar dalam sesebuah bilik darjah. Oleh itu kajian ini adalah amat berguna
bukan sahaja kepada pelajar malah guru-guru ketika sesi pengajaran dan pembelajaran.
6
1.5 Objektif Kajian
Kajian ini bertujuan untuk :
i. Meninjau bahan-bahan sejarah matematik yang dapat digunakan dalam
pengajaran dan pembelajaran matematik KBSM pada peringkat
menengah rendah bagi topik nombor negatif.
ii. Mengenalpasti bahan-bahan sejarah dan maklumat yang berpotensi yang
boleh digunakan di dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran nombor
negatif .
iii. Menghasilkan contoh bahan pengajaran yang telah diterapkan unsur
sejarah bagi topik nombor negatif.
1.6 Persoalan Kajian
i. Apakah bahan-bahan sejarah matematik yang dapat digunakan dalam
pengajaran dan pembelajaran matematik KBSM pada peringkat
menengah rendah bagi topik nombor negatif?
ii. Apakah bahan-bahan sejarah dan maklumat yang berpotensi yang boleh
digunakan di dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran nombor
negatif?
iii. Bagaimanakah contoh bahan pengajaran yang telah diterapkan unsur
sejarah bagi topik nombor negatif?