BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Dasar Teori
2.1.1 Integral
Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri
dari dua macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu
merupakan suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering
disebut batas atas dan batas bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk
mencari fungsi asal dari turunan suatu fungsi (Purcell & Verberg, 2010).
Integral tentu dinyatakan seperti pada Persamaan (1).
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎. (1)
Integrasi tentu sama dengan menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y
=f(x), dengan batas x=a dan x=b (Munir, 2015).
Integral ganda merupakan perhitungan volume ruang di bawah permukaan kurva
f(x,y) yang alasnya berupa bidang yang dibatasi oleh garis x=a, x=b, y=c, y=d.
Volume benda berdimensi tiga dihitung seperti pada Persamaan (2).
𝐼 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥]𝑑𝑦𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎 (2)
Volume = Luas Alas x tinggi
Solusi integral ganda adalah dengan melakukan integrasi dua kali dalam
arah x menghitung luas alas, dan arah y menghitung tinggi (Munir R, 2015)
2.1.2 Integrasi Numerik
Integrasi Numerik merupakan cara perhitungan yang digunakan apabila
kondisi dalam perhitungan analitik dirasa sulit atau bahkan tidak mungkin untuk
memperoleh hasil integral. Dengan kata lain, integrasi numerik dilakukan ketika
perhitungan integral secara eksak sulit dilakukan (Munir, 2015). Hasil
penyelesaian metode numerik berupa nilai hampiran (approximation), sehingga
timbul kesalahan (error). Pada penyelesaian secara numerik diusahakan
menghasilkan error sekecil mungkin untuk memperoleh hasil yang lebih baik
5
(Munir, 2015) Ada beberapa metode dalam perhitungan integral secara numerik.
Diantaranya metode Trapesium, Simpson, Romberg, hingga Monte Carlo.
2.1.2.1 Metode Trapesium
Metode Trapesium atau trapezoidal rule merupakan metode integrasi
numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk
Trapesium (Munir, 2015). Sebuah pias berbentuk Trapesium dari x = x0 sampai x
= x1. Perhatikan Gambar 2.1 dibawah ini.
Gambar 2.1 Metode Trapesium (Munir, 2015)
Secara umum aturan Trapesium diperoleh dari Persamaan (3).
𝐼 = ℎ
2 (𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓𝑖
𝑛−1`𝑖=1 + 𝑓(𝑥𝑛)) (3)
dengan :
n = jumlah upselang
h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)
𝑛 )
a,b = batas kurva
f(x) = fungsi
2.1.2.2 Metode 1/3 Simpson
Kaidah Simpson merupakan turunan dari metode Newton-Cotes. Metode
atau kaidah ini dikenalkan oleh seorang ahli matematika bernama Thomas
Simpson (1710-1761) dari Leicestershire, England.
Metode 1/3 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi
oleh hampiran fungsi parabola. Gambar 2.2 menunjukkan metode 1/3 Simpson.
Gambar 2.2 Metode 1/3 Simpson (Munir, 2015)
Integral 1/3 Simpson secara numerik didefinisikan seperti pada Persamaan
(4) di bawah ini.
: 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏
𝑎≈ 𝐼 =
ℎ
3 (𝑓(𝑥0) + 4 ∑ 𝑓
𝑖𝑛−1𝑖=1,3,5 + 2 ∑ 𝑓
𝑖𝑛−2𝑖=2,4,6 + 𝑓(𝑥𝑛)) (4)
Dengan
n = jumlah upselang
h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)
𝑛 )
a,b = batas kurva
f(x)` = fungsi integral
Penggunaan metode 1/3 Simpson ini mensyaratkan bahwa jumlah upselang (n)
harus genap (Munir, 2015).
2.1.2.3 Metode 3/8 Simpson
Metode 3/8 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi
oleh fungsi kubik. Dimana metode 3/8 Simpson ini mensyaratkan jumlah
upselang (n) harus kelipatan 3 (Munir, 2015). Gambar 2.3 menunjukkan metode
3/8 Simpson.
Gambar 2.3 Metode 3/8 Simpson (Munir, 2015)
Secara umum aturan 3/8 Simpson dapat dilihat pada Persamaan (5).
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏
𝑎
≈ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 𝐼 = ∫ 𝑝3(𝑥) 𝑑𝑥 3ℎ
0
3ℎ
0
𝐼 = 3ℎ
8 (𝑓(𝑥0) + 3 ∑ 𝑓𝑖
𝑛−1𝑖≠3,6,9 + 2 ∑ 𝑓𝑖
𝑛−3𝑖=3,6,9 + 𝑓(𝑥𝑛)) .....................(5)
n = jumlah upselang
h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)
𝑛 )
a,b = batas kurva
f(x) = fungsi integral
2.1.2.4 Metode Romberg
Metode Romberg didasarkan pada ekstrapolasi Richardson. Setiap
penerapan ekstrapolasi Richarson akan menaikkan orde galat pada hasil solusinya
sebesar dua. Hal ini akan mengakibatkan nilai galat semakin kecil dan solusi
numeriknya mendekati nilai sejati (nilai eksak). Pada integrasi Romberg, mula-
mula menghitung kuadratur dengan lebar interval h dan 2h untuk menurunkan
galat hampiran integral dari O(h2n
) menjadi O(h2n+2
) dengan menggunakan
ekstrapolasi Richardson. Dimana untuk n=1 berhubungan dengan nilai dasar dari
hasil perhitungan rumus metode Trapesium, n=2 berhubungan dengan nilai dasar
dari hasil perhitungan rumus Simpson atau O(h4 ) , n=3 berhubungan dengan nilai
dasar dari perhitungan rumus Boole atau O(h6 ) , jadi untuk n berhubungan
dengan O(h2n
) (Munif & Hidayatullah, 2003).
Persamaan (6) berikut ini merupakan ekstrapolasi Richardson:
𝐽 = 𝐼(ℎ) + 𝐼(ℎ)−𝐼(2ℎ)
2𝑞−1 (6)
Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai
I = Ak + Ch2 + Dh
4 +Eh
6 +...
Dimana h = (b-a)/n dan Ak = perkiraan nilai integrasi dengan kaidah
Trapesium dan jumlah pias n = 2k. Orde Galat Ak adalah O(h
2). A0 adalah
taksiran integrasi I = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎 dengan kaidah Trapesium dengan pembagian
daerah integrasi n= 20 = 1 pias. A1 adalah taksiran integrasi I = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 dengan
kaidah Trapesium dengan pembagian daerah integrasi n= 21 = 2 pias.
Gunakan runtutan A0, A1, A2,.. untuk mendapatkan B1, B2, B3 . Nilai B1,
B2, B3 dapat dilihat pada Persamaan (7).
𝐵𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐴𝑘− 𝐴𝑘−1
22−1 (7)
Jadi, nilai I sekarang adalah I = Bk + D’h4 + E’h
6+.... dengan orde galat Bk
adalah O(h4) (Munir, 2015). Begitu seterusnya hingga didapatkan seperti Tabel
2.1 di bawah ini.
Tabel 2.1 Tabel Romberg
O(h2 ) O(h
4 ) O(h
6) O(h
8) O(h
10) O(h
12)
A0
A1 B1
A2 B2 C2
A3 B3 C3 D3
A4 B4 C4 D4 E4
2.1.2.5 Metode Monte Carlo
Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang
digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak
variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode
numerik lainnya. Salah satu penggunaan penting metode Monte Carlo adalah
untuk menghitung integral suatu fungsi. Ide dasarnya adalah dengan mengambil
sejumlah titik acak pada sumbu absis yang berada pada batas integrasi, kemudian
dihitung nilai fungsinya dan dijumlahkan. Pengambilan jumlah titik sampel dapat
dipilih sembarang sesuai dengan kebutuhan. Formulasi integrasi Monte Carlo
untuk satu dimensi dinyatakan seperti pada Persamaan (8) (Gunarto, 1992).
𝐼 = (𝑏−𝑎)
𝑛 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑖=𝑛𝑖=1 (8)
2.1.3 Kesalahan (Error)
Error atau yang sering disebut galat merupakan salah satu bentuk
kesalahan yang terjadi karena adanya ketidaksamaan anatara solusi analitik dan
solusi numerik. Pada perhitungan integral, error merupakan standar mutlak antara
selisih nilai analitik (nilai eksak) dan nilai hampiran (Munir, 2015).
Error dinyatakan dalam persamaan (9) :
𝐸 = 𝑥 − �̅� (9)
dimana
E = error atau galat
x = nilai analitik (eksak)
�̅� = nilai hampiran
Sebagai contoh, jika �̅� = 8.5 merupakan nilai hampiran x = 8.35, maka
galatnya adalah 𝐸 = -0.15 . Tanda galat (positif atau negatif) tidak
dipertimbangkan, sehingga galat mutlak atau galat absolut dapat didefinisikan
sebagai
|𝐸| = |𝑥 − �̅�|.........................................................................................(10)
Panjang sebuah kayu berdasarkan hasil pengukuran yang dilakukan oleh
orang A adalah 88 cm, padahal panjang kayu sebenarnya adalah 90 cm. Galatnya
90-88 = 1 cm. Sementara hasil pengukuran orang B terhadap panjang buku adalah
9 cm, padahal panjang buku sebenarnya adalah 10 cm. Galatnya adalah 10 – 9 = 1
cm. Galat dari kedua pengukuran tersebut sama sama bernilai 1 cm, namaun galat
1 cm pada pengukuran buku lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran
panjang kayu. Apabila tidak terdapat informasi mengenai panjang sesungguhnya,
mungkin kedua galat tersebut dianggap sama saja. Untuk mengatasi interpretasi
nilai galat tersebut, maka muncul sebuah galat relatif. Galat relatif didefinisikan
seperti pada persamaan (10) :
𝐸𝑅 = 𝐸
𝑥 x 100 %.......................................................................................(11)
dimana
ER = error relatif
E = nilai error
x = nilai eksak
persamaan diatas merupakan persamaan galat yang telah dinormalkan terhadap
nilai eksak yang dinamakan galat relatif (Munir, 2015).
2.1.4 Unified Modelling Language (UML)
Unified Modelling Language (UML) merupakan sebuah bahasa yang telah
menjadi standar untuk visualisasi, perancangan dan pendokumentasian sistem
piranti lunak. UML merupakan sebuah standar dalam perancangan model sebuah
sistem (Dharwiyanti, 2003).
2.1.4.1 Use Case
Use Case merupakan sebuah pemodelan yang menggambarkan perilaku
sistem informasi tersebut. Use Case Diagram merupakan pemodelan perilaku
(behavior) sistem informasi yang akan dibuat (Rosa & Shalahuddin, 2011). Use
Case digunakan untuk mengetahui fungsi apa saja yang ada di dalam sebuah
sistem informasi dan siapa saja yang berhak untuk menggunakan fungsi- fungsi
tersebut. Berikut adalah simbol-simbol yang ada pada use case diagram yang
dapat dilihat pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Simbol Use Case Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)
2.1.4.2 Sequence Diagram
Sequence Diagram menunjukkan interaksi antar objek, diagram ini
merupakan pandangan dinamis terhadap sistem. Diagram ini menekankan
pada basis keberurutan waktu dari pesan-pesan yang terjadi. Sequence
diagram mendeskripsikan bagaimana entitas berinteraksi, termasuk message
yang digunakan ketika berinteraksi. Semua message digambarkan dalam
urutan eksekusi. (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)
Berikut ini adalah simbol-simbol yang ada pada sequence diagram yang dapat
dilihat pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Simbol Sequence Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)
2.2 Penelitian Terkait
Penelitian yang dilakukan Ubay pada tahun 2013 tentang Penyelesaian
Numerik Integral Lipat Tiga dengan Menggunakan Integrasi Romberg
menjelaskan tentang hasil implementasi metode Romberg dalam penyelesaian
kasus integral lipat tiga dapat dilakukan lebih cepat daripada perhitungan secara
analitik. Objek yang digunakan adalah contoh soal integral lipat tiga yang wajar
dan memiliki batas konstan. Penelitian ini dijelaskan dalam Tabel 2.1 pada nomor
1.
Penelitian yang dilakukan Royani pada tahun 2015 yang berjudul
perbandingan metode pecahan dan aturan Simpson dalam menghitung luas daerah
kurva menunjukkan bahwa penerapan aturan Simpson pada perhitungan luas
daerah kurva memberikan hasil yang lebih baik dengan galat lebih kecil daripada
metode pecahan. Penelitian ini ditunjukkan dalam Tabel 2.1 pada nomor 2.
Penelitian Mulia yang berjudul Studi dan implementasi Monte Carlo
menunjukkan bahwa hasil keakuratan implementasi metode Monte Carlo dalam
kasus integral lebih rendah dibandingkan dengan metode lain dikarenakan dimensi
yang digunakan pada percobaan terlalu kecil. Penelitian ini dijelaskan dalam
Tabel 2.1 pada nomor 3.
Penelitian dengan judul Penyelesaian Integral Lipat Menggunakan Metode
Monte Carlo dilakukan oleh Haryono pada tahun 2009 menjelaskan tentang
penerapan metode Monte Carlo untuk penyelesaian kasus integral lipat dengan
pendekatan perhitungan volume prisma dibawah kurva. Contoh yang digunakan
adalah integral lipat dua dengan daerah atas berbentuk persegi. Hasilnya nilai
hampiran mendekati nilai sebenarnya dengan jumlah titik random diatas 1000.
Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 4.
Penelitian yang dilakukan oleh Haryadi pada tahun 2013 yang berjudul
Pengukuran Luas Daun dengan Metode Simpson menjelaskan tentang
implementasi metode Simpson pada pengukuran luas daun mangga, daun sawi,
daun jambu biji dan daun pisang. Hasil penelitian menunjukkan bahwa
perhitungan luas daun dengan metode Simpson memiliki kesalahan baku lebih
kecil dibanding hasil pengukuran dengan metode Gravimetric yang dilakukan
peneliti sebelumnya. Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 5.
No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan
1 Dillah,U
bay.2013
.
“Penyelesaian
Numerik
Integral Lipat
Tiga dengan
Menggunakan
Integrasi
Romberg”
Penyelesaikan
kasus integral
lipat tiga dengan
metode
Romberg
Integrasi
Romberg
Perhitungan
integral lipat tiga
dapat dilakukan
lebih cepat
menggunakan
metode integrasi
Romberg
Perhitungan
integral fungsi
aljabar dan
transenden
dapat
diselesaikan
dengan metode
Romberg.
Batas integralnya
konstan antara 1
sampai 10. Masih
ada selisih antara
perhitungan
numerik secara
manual dengan
hasil simulasi
matlab.
2 Royani,
Evi.
2015
“Perbandingan
metode pecahan
dan aturan
Simpson pada
perhitungan luas
daerah kurva
Menghitung luas
daerah kurva
dengan metode
pecahan dan
aturan Simpson
Metode
pecahan
dan aturan
Simpson
Aturan Simpson
memeiliki galat
yang lebih kecil
daripada metode
pecahan
Perhitungan
luas daerah
kurva dapat
diselesaikan
lebih tepat
dengan aturan
Simpson
Hanya
menggunakan 1
sampel yang
mudah dan
memiliki batas
konstan. Belum
ada perbandingan
dengan metode
yang lainnya.
Tabel 2.1 Penelitian Terkait
No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan
3 Mulia,
Firdi.
2011
“ Studi dan
Implementasi
Monte Carlo “
Implementasi
metode Monte
Carlo pada
kasus integral
Metode
Monte
Carlo
Keakuratannya
lebih rendah
dibanding metode
yang lain karena
dimensi yang
digunakan kecil.
Metode ini
cocok untuk
menangani
kasus dengan
jumlah data
yang cukup
banyak.
Dimensi dan
jumlah data yang
kecil
mengakibatkan
keakuratannya
lebih rendah
dibandingkan
dengan metode
lain.
4 Haryono,
Agus
Nugroho.
2009
“ Perhitungan
Integral Lipat
menggunakan
Metode Monte
Carlo”
Penerapan
metode Monte
Carlo dalam
perhitungan
kasus integral
lipat
Metode
Monte
Carlo
Metode Monte
Carlo
memberikan hasil
yang mendekati
nilai sebenarnya
untuk jumlah titik
random diatas
1000
Hasil yang
didapatkan
mendekati
nilai
sebenarnya
(nilai analitis)
Hanya
menggunakan
contoh integral
lipat dua dengan
daerah atas
berbentuk persegi
serta batas yang
digunakan masih
wajar.
Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan
No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan
5 Haryadi.
2013.
”Pengukuran
Luas Daun
dengan Metode
Simpson”
Mengimplement
asikan metode
Simpson untuk
menghitung luas
daun mangga,
sawi, jambu biji,
dan pisang.
Simpson
(1/3 dan
3/8
Simpson)
Penerapan metode
Simpson
menghasilkan
kesalahan baku
lebih kecil
dibandingkan
hasil pengukuran
dengan metode
Gravimetric
Kesalahan
baku yang
dihasilkan
lebih kecil dari
penelitian yang
telah dilakukan
sebelumnya
(menggunakan
metode
Gravimetric)
Tidak ada
penjelasan
perhitungan dan
tidak adanya
perbandingan
dengan metode
integrasi numerik
lainnya seperti
metode
Trapesium
ataupun
Romberg.
Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan
2.3 Rencana Penelitian
Penelitian ini akan membuat sebuah program kalkulator integrasi numerik
dengan penerapan metode Trapezium, metode 1/3 Simpson, metode 3/8 Simpson,
metode Romberg, dan metode Monte Carlo untuk menyelesaikan kasus integral
tunggal dan integral ganda. Hasil keluaran program kemudian dianalisis sehingga
diketahui metode mana yang paling baik dengan memiliki galat kecil.