Download - 2. Akar - Akar Persamaan
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
1/27
AKAR AKARAKAR AKAR
PERSAMAANPERSAMAAN
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
2/27
AKAR AKAR PERSAMAAN
1. Persamaan Polinomial derajad duadapat diselesaikan dengan persamaan
kuadrat sederhana.
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
3/27
Contoh :Contoh :
AA!!" # " $ % &" # " $ % &
'iselesaikan akar akarn(a'iselesaikan akar akarn(a
se$ara analitis denganse$ara analitis denganrumus :rumus : )# * + #! , a$1! % ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
!a
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
4/27
!. Persamaan polinomial derajad tiga-empat rumus rumus (ang
diperlukan sangat komplek- #egitupula untuk persamaan polinomial
derajat tinggi tidak ada rumus (angdapat digunakan untuk
men(elesaikann(a
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
5/27
Contoh :Contoh :
/0 % /0 % " " !! % & % &/0 % /0 % 22" !" !,," " " ," ,!! 1 1 % &% &
/0 % e/0 % e % & % &
/0 % " sin e/0 % " sin e% &% &
'an se#again(a'an se#again(a
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
6/27
Persamaan tidak dapatdiselesaikan se$ara eksplisit makaperlu pen(elesaian se$ara numerik
dengan melakukan perkiraanse$ara #erurutan /iterasi0.
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
7/27
Pen(elesaian (ang paling sederhana 3apikurang dan e4sien serta kurangsistematis :
'engan menggam#arkan ungsin(a dankemudian di$ari titik potongn(a dengansum#u (ang menunjukkan akar
persamaan terse#ut 5asiln(a kasardan sulit untuk menetapkan nilai sampai#e#erapa digit di#elakang koma.
'engan $ara men$o#a nilai sem#arang kemudian die6aluasi terhadap nilai /0 %&- apa#ila nilai tidak sama dengan nolmaka harus di$o#a kem#ali dengan nilai
lain sampai /0 % & /Regula 7alsi0
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
8/27
( /0
Akar persamaan
MENEN38KAN AKAR PERSAMAAN SECARA 9RA7S
'PER;8KAN ME3
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
9/27
ME3
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
10/27
. uat e6aluasi untuk menentukan su# inter6al. uat e6aluasi untuk menentukan su# inter6almana akar persamaan #erada:mana akar persamaan #erada:
a.a.ila /i0 /t0 ?&-ila /i0 /t0 ?&-
maka akar persamaan #erada pada su# inter6almaka akar persamaan #erada pada su# inter6alpertama- kemudian tetapkan i " 1 % i dan kemudianpertama- kemudian tetapkan i " 1 % i dan kemudiandilanjutkan ke langkah #erikutdilanjutkan ke langkah #erikut#.#. ila /i0 /t0 B&-ila /i0 /t0 B&-
maka akar persamaan #erada pada su# inter6almaka akar persamaan #erada pada su# inter6alpertama- kemudian tetapkan i " 1 % i dan kemudianpertama- kemudian tetapkan i " 1 % i dan kemudiandilanjutkan ke langkah #erikutdilanjutkan ke langkah #erikutCC. ila /i0 /t0 % &-. ila /i0 /t0 % &-
maka akar persamaan adalah t danhitungan selesaimaka akar persamaan adalah t danhitungan selesai
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
11/27
R8M8S 538N9AN PERKRAAN : i " /i"10
t % )))))))))))))))))))
!(
/0
2,
!1
!
,!
!
1
,
2
5itungan setengah
inter6al
Akar persamaan
Apa#ila
perkiraansesuaidengan#atasanmakahitungan
selesaiapa#ila tidakmakahitungankem#ali keno.
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
12/27
C
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
13/27
PEN=E;ESAAN :PEN=E;ESAAN :
'ih'ihiitung nilai /0 pada inter6al antara ! titik- misaln(atung nilai /0 pada inter6al antara ! titik- misaln(a
% 1 dan % ! % 1 dan % !untuk % 1- /%10 % /10untuk % 1- /%10 % /10" /10" /10!!)/10)% ) ,)/10)% ) ,untuk % !- / %!0 % /!0untuk % !- / %!0 % /!0"/!0"/!0!!/!0 % /!0 %
7ungsi terse#ut merupakan ungsi (ang kontin(u- maka7ungsi terse#ut merupakan ungsi (ang kontin(u- makaperu#ahan tanda dari ungsi antara % 1 dan % !peru#ahan tanda dari ungsi antara % 1 dan % !akan memotong sum#u paling tidak satu kaliakan memotong sum#u paling tidak satu kali
3itik perpotongan antara sum#u dengan ungsi3itik perpotongan antara sum#u dengan ungsimerupakan akar akar persamaan.merupakan akar akar persamaan.
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
14/27
1" ! 1 " !
t% ))))))))))))) % )))))))))))) % 1-2
! !/t% 1-20 % /1-20
" /1-20! /1-20 % ) 1-D2
Karena nilai ungsi #eru#ah tanda- maka#erarti akar persamaan terletak diantara %1-2 dan %!
Selanjutn(a dilakukan iterasi dan hasiln(a
didapatkan #aha nilai t% 1-D!&F.
5itung nilai tdan kemudian ungsi
/t0 #erikut :
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
15/27
ME3
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
16/27
'ari kedua nilai ungsi terse#ut'ari kedua nilai ungsi terse#utselanjutn(a ditarik garis lurusselanjutn(a ditarik garis lurussehingga mem#entuk segitigasehingga mem#entuk segitiga
'an dengan menggunakan siat'an dengan menggunakan siatsegitiga se#angun maka didapatkansegitiga se#angun maka didapatkanpersamaan s## :persamaan s## : i"1i"1 HH / /i "1i "100)))))))))))) %)))))))))))) %)))))))))))))))))))))))))))))))))))))) i"1i"1))ii / /i "1i "10 /0 /ii00
Atau/i "10
H % i"1)))))))))))))))))))) /i"1 i0
/i "10 /i0
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
17/27
nH
/0
n"1
./
n"1
0
./
n"1
0
./
n0
n"1)n
n"1H
(
ME3
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
18/27
C
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
19/27
ME3
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
20/27
/0
/i0
i + 1
i
i
-
i + 1
A
&
/0
/i0 )&
Neton RaphsonNeton Raphson
Se$ara 9ra4sSe$ara 9ra4s
3urunan
pertamapadaiadalah
eki6alendengan
kemiringan
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
21/27
C
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
22/27
'itentukan 'itentukan iisem#arang- misaln(a sem#arang- misaln(a ii%1%1//11% 10 % /10% 10 % /10" /10" /10!! /10 % ), /10 % ),//11%10 % /10%10 % /10!!" !/10 ) % !" !/10 ) % !!! % 1 ) ),! % % 1 ) ),! %
;angkah #erikutn(a nilai ! % akan digunakan untuk;angkah #erikutn(a nilai ! % akan digunakan untukiterasi #erikut :iterasi #erikut :
//!! % 0 % /0% 0 % /0" /0" /0!! /0 % !, /0 % !,//!!%0 % /0%0 % /0!!" !/0 ) % &" !/0 ) % &% ) !,& % !-!% ) !,& % !-!
'ilakukan iterasi seterusn(a sampai didapatkan hasil akhir'ilakukan iterasi seterusn(a sampai didapatkan hasil akhiri % 1-D!&Di % 1-D!&D
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
23/27
ME3
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
24/27
C
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
25/27
esar kesalahan dihitung denganrumus :
i "1 i
Ea% )))))))))))) 1&& O
i "1
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
26/27
C
-
7/21/2019 2. Akar - Akar Persamaan
27/27