Dilla KholilahSuri Kusuma Ratna DewiRatih Kumala SariYunita ChristiantiEvi RahmawatiMargaretta Linanda Dewi

1

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

( COMPLEX VARIABLE ANALYSIS)

2

BAB IIIT U R U N A N

( 3.2 )

3

3.2 Syarat Chaucy-Ricmann

Syarat yang diperlukan agar fungsi f

terdiferensialkan di zo = xo + i yo adalah

syarat Chaucy - Ricmann, yang

menghubungkan derivatif-derivatif parsial

tingkat pertama dari fungsi bagian real

dan fungsi bagian imajiner dari f.

4

Teorema 3.2.1 (Syarat Chaucy-Ricmann)

Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdiferensial di zo=xo + i yo, maka u(x,y) dan

v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo , yo) dan di titik ini

dipenuhi persamaan Cauchy-Ricmann,

dan derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan

f’ (zo) = ux (xo,yo) + i vx (xo,yo)

Jika persamaan C-R tidak terpenuhi di (xo,yo) maka

f(z) = u(x,y) + i v(x,y) pasti tidak terdiferensial di zo= xo + i yo

xv

yudan

yv

xu

5

Contoh 3.2.1

Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z 0

Bukti : f(z) = x2 + y2 sehinggau(x,y) = x2 + y2

v(x,y) = 0

Persamaan Cauchy – Riemann

y2yudanx2

xu

0yvdan0

xv

)1(0x2yv

xu

6

)2(0y2xv

yudan

(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di z 0

Catatan :

Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.

7

Contoh 3.2.2

Buktikan fungsi f(z) = 22

33

yxi)1(yi)1(x

dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R !

Bukti :u = 22

33

yxyx

dengan u(0,0) = 0

v = 22

33

yxyx

dengan v(0,0) = 0

ux(0,0) = ox

lim x

)0,0u()0u(x, = 1

uy(0,0) = y)0,0u(,y)0u(lim

oy

= -1

8

vx(0,0) = x)0,0v()0v(x,lim

ox

= 1

oylim y

)0,0v(,y)0v( vy(0,0) = = 1

Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi

iy))(xy(xi)1(yi)1(xlim

z)0(f)z(flim 22

33

0z0z

Tetapi

Untuk z 0

oxlim 3

3

xi)1(x

Sepanjang garis real y = 0 = 1 + i

9

oxlim 3

3

xi)1(2xi2

i1iSepanjang garis real y = x =

ozlim z

)0f(f(z)Jadi tidak ada

sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun

persamaan C-R dipenuhi di (0,0)

10

xu

yu

xv

yv

xu

yv

yu

xv

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :

i. Syarat perlu

f(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yo

f’(z) ada maka , , ,

berlaku C-R yaitu :

= dan =

dan f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0)

ada di (xo, yo)

11

ii. Syarat cukup

u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y)

kontinu

pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-

R

maka f’(zo) ada

12

Contoh 3.2.3

Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam

ℂ !

Bukti :

u(x,y) = excos y ux(x,y) = excos y

uy(x,y) = -exsin y

v(x,y) = exsin y vx(x,y) = exsin y

vy(x,y) = excos y

ada dan

kontinu di

setiap (x,y) ℂ

13

Berdasarkan persamaan C-R :

ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di (x,y) , dan ada ℂ

kitar

dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di

(x,y).

Jadi f’(z) ada z .ℂ

Dan f’(z) = ux(x,y) + i vx(x,y)

= excos y + i exsin y

14

SEE YOU

………