sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
Post on 18-Feb-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 1/18
SUB RUANG
Oleh:
Ivo Oktora (060210101166)
Silvi Triandriamaya (070210191004)
Zainul u!ron (07021019104")
#$ S %u&u! (0702101911'6)ina *i*ah (07021019116+)
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 2/18
Definisi Sub Ruang
Sub himpunan W dari sebuah ruang vektorV dinamakan subruang (subspace) V jika
W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah penambahan dan perkalian skalar yangdidefisikan pada V
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 3/18
) ! " !#) ! ( !w ) " ( ! )!w
$) k( ! ) " k ! k %) (k!l) " k ! l &) kl ( ) " k (l )
') ' "
Aksioma warisan
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 4/18
Aksioma bukan warisan
W vu ∈+
W ∈∃0
W uW u ∈−∈∀ ,
W ku∈
1)4)
5)6)
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 5/18
eorema *
Jika W adalah himpunan dari satuatau lebih vektor dari sebuah ruangvektor V, maka W adalah subruangdari V jika dan hanya jika kondisiberikut berlaku :
a) Jika u dan v adalah vektor vektorpada W, maka u v terletak di W
b) Jika k adalah sebarang skalar dan
u adalah sebarang vektor pada W,maka ku berada di W
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 6/18
+ukti
!embuktian dari aksioma 1) dan 6)
aksioma
1)
6)
W vu ∈+
W ku∈
"ntuk mendapatkan aksioma 5)dapat kita peroleh dari aksioma 6)
Ambil k # $1 W u∈− .1
W u∈− aksioma 5)
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 7/18
aksioma 1)
"ntuk mendapatkan aksioma 4)dapat kita peroleh dari aksioma 1)
atau aksioma 6)W vu ∈+
Ambil v # $u W uu ∈−+ )(
W ∈0 aksioma 4)
aksioma 6) W ku∈
Ambil k # % W u∈.0
W ∈0 aksioma 4)
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 8/18
&ontoh 'oal
Misalkan: u dan v adalah vector-vektor sembarang pada W,dan W
adalah bidang sembarangyang melewati titik asal. Maka u+v
hars terletak pada W karena vector ini merpakan dan paralelogram yang dibentk oleh u dan v , dan vector ku hars
terletak pada W ntk scalar sembarang k karena ku terletak pada
garis yang melewati u. !adi, w terttp terhadap pen!mlahan dan
perkalian skalar, sehingga merpakan sb rang R 3
.
Vector u + v dan ku kedanya terletak pada
sat bidang yang sama dengan u dan v
W
u+vku
v
u
x
z
y
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 9/18
Misalkan W adalah himpnan sema titik (",y) pada # $
sedemikian hingga dan . %itik ini adalah titik-titik
pada kadran pertama. &impnan W bkan merpakan s rangdari # $ karena tidak terttp terhadap perkalian skalar. 'ebagai
contoh, v (1,1) terletak pada W, tetapi bentk negatinya (-1)v =
-v = (-1,-1) tidak terletak pada W.
0≥ x 0≥ y
&ontoh bukan sub ruang
yw
(-1,-1)
x
(1,1)
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 10/18
Soal ''emua vektor yang berbentuk (a,b,), dimanab#a
*unakan teorema 4 untuk menentukan bentukberikut apakah merupakan subruang + -
Jawab :
+ merupakan ruang vektor
Ambil sebarang dua elemen pada .1
*
1 RW ⊂
11111111$1 ),,,(, cabcba xW x x +==⇒∈
$$$$$$$ ),,,( cabcba x +==⇒
1$1
$1$1$1
$1$1$1$1 ),,(
W x x
ccaabb
ccbbaa x x
∈+⇒
+++=++++=+⇒
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 11/18
Ambil sebarang skalar k
dan
1W x∈
1
),,(
),,,(
W kx
kckbkakx
cabcba x
∈⇒
=⇒
+==
kckakb +=
Jadi .1 'ubruang pada
+
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 12/18
Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b"a!c!'-unakan teorema * untuk menentukan bentuk berikutapakah merupakan subruang R# . /awab 0R# merupakan ruang vektor
*
$ RW ⊂
Ambil sebarang dua elemen pada
./ 1),,,(, 1111111$$1 ++==⇒∈ cabcba xw x x
1),,,( $$$$$$$ ++==⇒ cabcba x
$$1
$1$1$1
$1$1$1$1
$
),,(
W x x
ccaabb
ccbbaa x x
∉+⇒
++++=+
+++=+⇒
./ bukan sub ruang +
'oal /
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 13/18
10 isal " merupakan himpunan semuamatrik /2/ yang berbentukdengan syarat a# % dan d# %0
3unjukkan bahwa " subruang dri
ruang vektor matrik /2/ Jawab:
.Ambil a,b ", akan ditunjukkan
bahwaab ",karena a " maka dipenuhi a#
engan syarat a1 # % dan d1 # %, dan
∈
∈ ∈
∈
Soal #
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 14/18
Dengan syarat a " dan d " 1 maka
a! " , karena a' " dan a " ,
2aka a' ! a " ,sert dikarenakan d' " dan
d " , maka d' ! d " 1 jadi a ! 31
4mbila
3, ambilk
R akan ditunjukan bahwa ka 3, karena a 3 maka dipenuhi
a" dengan syarat a' " dan d' " 1
2aka ka" , berarti ka' " dan kd
' "
/adi ka 3
Sehingga 3 subruang dari ruang vektor 51
∈
∈ ∈
∈
∈
∈
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 15/18
'oal 4Misalkan + himpnan sema matrik $"$, berbentk dengan
syarat ad0. pakah + sb rang dari rang vektor matrik $"$
awab:
+ bkan sb rang dari matrik $"$, karena it dibthkan contoh
penyangkal.
d c
ba
U m ∈
−=
0$
*$1
U m ∈
−=
/
0$dan
U mm ∉
−=+
/*
2$$1 adi + bkan sb rang dari
matrik $ " $
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 16/18
Misalkan + himpnan sema solsi sistem persamaan linier
homogen , dengan berordo n"n dan tetap. %n!kkan
bahwa + sb rang #
n
.awab :
1. da vektor nol, 0, sehingga 0 0. adi, +3 .∅
$. mbil , berarti memenhi dan .
kan ditn!kkan bahwa
0= AX
U X X ∈$1, 01 = AX 0$ = AX
U X X ∈+$1 berar
ti
0)($1
=+ X X A
$1$1 )( AX AX X X A +=+ 4 sifat distributif perkalian matrik}
000)( $1 =+=+ X X A 4karena dan }01 = AX 0$ = AX
adi, U X X ∈+ $1
'oal 5
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 17/18
*. mbil, berarti memenhi . kan ditn!kkan
, berarti
.
{sifat asosiatif perkalian matrik}
{karena }
adi,
∴+ sb rang dari rang vektor # n.
U X ∈1 01 = AX
U kX ∈1
0)( 1 =kX A
)()( 11 AX k kX A =
00)( 1 == k kX A 01 = AX
U kX ∈1
7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky
http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 18/18
top related