bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )

NUMBER THEORY

Oleh : Takwa Tri Subekti

Indikator :Memahami Definisi Bilangan Prima

Memahami beberapa teorema dalam bilangan prima

Memahami teorema fundamental aritmetika

Mengaplikasikan teorema fundamental artimetika

terhadap soal olimpiade

Definisi :

Suatu bilangan bulat p > 1 disebut bilangan primajika p tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan p itu sendiri.

Selanjutnya bilangan bulat q > 1 disebut bilangan komposit (tersusun) jika q bukan bilangan prima.

Bilangan asli dengan elemen yaitu 1 disebut unit

Akibat : “himpunan bilangan asli terbagi menjadi 3 bagian himpunan yang saling lepas”

Himpunan bilangan unit = { 1 }

Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, ... }

Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9,...}

BILANGAN PRIMA

Apakah (-2), (-7), (-13) suatu

bilangan prima ?

bilangan komposit ? atau

bukan keduanya ?

“Melihat pemandangan terkadang memunculkanide untuk menganalisa”

KETUNGGALAN BILANGAN PRIMA

Teorema 1 :

Jika p bilangan prima dan p | ab, maka p | a atau p | b.

Bukti :

Karena p bilangan prima maka p hanya mempunyai faktor 1 dan p, sehingga (a,p) = 1 atau (a,p) = p untuk bilangan bulat a sebarang.

Jika (a,p) = 1 dan p | ab, maka p | b

Jika (a,p) = p, maka p | a

Jadi p | a atau p | b

Akibat (perluasan) teorema 1 :

Jika p bilangan prima dan p | a1a2 .. an, maka p | a1 atau p | a2 atau ..... p | an

PERGANDAAN BILANGAN PRIMA

Teorema 2 :

Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebihbesar dari 1 atas faktor – faktor prima adalahtunggal, kecuali urutan dari faktor – faktornya.

Bukti :

kita sudah punya teorema 1,, selanjutnya ;

Ambil bilangan bulat positif n > 1

*Jika n bilangan prima maka n adalah bilanganprima itu sendiri..

*Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikanbahwa pemfktoran n atas faktor – faktor prima adalah tidak tunggal, misalnya ;

n = p1 p2 p3 … pt dan n = q1 q2 q3 … pr

Lanjutan pembuktian :

dengan pi qj adalah bilangan prima untuk i = 1, 2, 3, 4, … t danj = 1, 2, 3, 4, … r

serta p1 ≥ p2 ≥ p3 ≥ … pt dan q1 ≥ q2 ≥ q3 ≥ … pr dengan t ≥ r

pandang ke n = p1 p2 p3 … pt

dengan sifat sifat yang dipenuhi diatas maka :

p1 | n sehingga p1 | q1 q2 ... qr

Contoh :

900 = 5 . 5 . 3 . 3 . 2 . 2 .

5 | 900 sehingga 5 | 5 . 3 . 2

Pencarian bilangan primaTeorema Euclides :

“Pembentukan bilangan prima N sebagai hasil kali semua bilangan prima ditambah 1.

Aplikasi:

N1 = 2 + 1 = 3 (prima)

N2 = 2 . 3 + 1 = 7 (prima)

N3 = 2 . 3 . 5 + 1 = 31 (prima)

N4 = 2 . 3 . 5 . 7 + 1 = 211 (prima)

N5 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 + 1 = 21311 (prima)

N6 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 + 1 = 30031(bukan prima)

karena merupakan hasil kali 59 dengan 509

Teorema Fermat :

Bilangan prima dapat dihasilkan dari : 122

n

np

Rumus ini efektif ketika n (bilangan bulat tak nol) =

1, 2, 3, tapi tidak efektif pada bilangan n = 5 karena

menghasilkan bilangan komposit.

p0 = 3 p1 = 5 p2 = 17

p3 = 257 p4 = 65537

p5 = 4294967297 (bukan prima)

karena bilangan tersebut merupakan hasil kali

bilangan 641 dengan 6700417

Saringan Eratosthenes :

Pembuatan tabel (daftar) 100 atau berapapunbilangan asli dan mencoret bilangan – bilangankomposit atau mencoret kelipatan bilangan primasehingga membentuk bilangan prima.

merupakan teknik pencacahan pencarian bilanganprima.

Berapa yah jumlah

bilangan prima antara

10 sampai 20 ??

Teorema Fundamental Aritmetika.

"Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau

sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian

lebih atau satu bilangan prima"..

Bentuk ka

k

aaappppn ....321

321

Merupakan representasi n sebagai hasil kali

bilangan-bilangan prima, sering pula bentuk itu

disebut bentuk kanonik nContoh :

90 = 2.3.3.5 = 21.32.51

Akibat :

maka banyaknya pembagi positif dari n adalah

)1(....)1()1()1(321 k

aaaa

Contoh :

Banyaknya faktor pembagi positif pada 13 dan 63 adalah ?

Jawab :

13 = 131

banyaknya faktor pembagi positif ;(1 + 1) = 2 => {1 & 13}

63 = 32 . 71

banyaknya faktor pembagi positif ;

(2 + 1) (1 + 1) = (3)(2) = 6

=> {1, 3, 7, 9, 21, 63}

Soal – soal1. Ubahlah bilangan komposit berikut kedalam bentuk fundamental

aritmetika :

a). 1638 b). 6776

2. Jumlah faktor prima dari bilangan set (a) dapat dinyatakan dalam (x)

dan jumlah faktor prima dari set (b) dapat dinyatakan dalam (y).

Tentukan x2 – y2.

3. Seleksi olimpiade SMA tingkat kabupaten tahun 2008 ;

Tentukan banyaknya faktor (pembagi) positif dari bilangan 2008.

4. Takwa’s challenge ;

137200 = ad . be . cf

maka ;

dimana p dan q saling prima, tentukan nilai dari q – p.

Pembahasan

1). a). 1638 = 21 . 32 . 71 . 131

b). 6776 = 23. 71 . 111

2). x = 2 + 3 + 7 + 13 = 25

y = 2 + 7 + 11 = 20

x2 – y2 = (x + y)(x – y) = (25 + 20)(25 – 20) = (45)(5) = 225

3). bilangan 2008 = 23. 2511

banyaknya faktor pembagi positif dari bilangan 2008 adalah

(3 + 1)(1 + 1) = (4)(2) = 8

jadi banyaknya faktor pebagi positif bilangan 2008 adalah 8.

PENCACAHAN => {1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008}

4). Takwa’s Challenge

DAFTAR PUSTAKA

B.K. Noormanidiri . 2004 . Matematika SMA kelas X .

Erlangga : Jakarta

A Abdul . L , Wiji . 2012 . Olimpiade Matematika SMP

. ANDI : Yogyakarta

Sukarman H. 1994 . Teori Bilangan . Universitas Terbuka :

Jakarta

Nama : Takwa Tri Subekti

E-mail : takwatrisubekti03@yahoo.com

HP : 085327018726

NIM : 40311020

Prodi : Pend. Matematika

Sekolah : STKIP Islam Bumiayu

Fanspage FB : Math Legend

SEMOGA BERMANFAAT