algoritma

PENGENALAN

Algoritma

Algoritma ialah satu set peraturan untuk menyelesaikan pengiraan matematik, yang jika

dilakukan dengan betul, akan sentiasa memberikan jawapan yang betul. Terdapat dua jenis

algoritma iaitu algoritma standard dan algoritma alternatif.

Algoritma standard ialah langkah-langkah pengiraan dalam sesuatu operasi Matematik

yang sering kita gunakan. Algoritma standard/ kemahiran standard yang biasa digunakan di sekolah

rendah ialah penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian. Langkah-langah pengiraan ini kita

kenali juga sebagai pengiraan dalam bentuk lazim untuk mendapatkan jawapan yang tepat.

Algor i tma a l t ernat i f pu l a i a l ah l angkah - l angkah l a i n yang d igunakan

untuk mendapatkan jawapan bagi operasi tambah, Tolak, darab dan bahagi. Algoritma alternatif

juga perlu dibincangkan semasa mengajar Operasi tambah, tolak, darab dan bahagi. Algoritma

yang berkesan adalah algoritma yang melaksanakan pengiraan dengan paling efisyen.

Pemahaman yang mendalam tentang n i la i tempat, pemahaman

tentang konsep dan fakta asas tambah, tolak, darab dan bahagi, identiti bagi

tambah dan darab akan dapat mencipta berbagai algoritma alternatif mengikut

konteks dan nombor yang terlibat.

Walaupun algoritma adalah satu aspek penting dalam ilmu matematik dan kemahiran,

pelajar perlu menyedari bahawa mereka boleh memilih daripada pengiraan mental, algoritma

bertulis atau alat matematik seperti kalkulator atau sempoa dalam menyelesaikan masalah.

Terdapat banyak algoritma untuk setiap satu daripada empat proses. Dan pelajar, melalui

pendedahan kepada model yang berbeza, akhirnya akan menerima pakai model yang paling

sesuai dengan mereka. Walau bagaimanapun, ia adalah sesuai untuk algoritma yang paling

berkesan (iaitu algoritma standard ) bagi setiap 4 proses untuk menjadi elemen penting dalam

mana-mana dasar matematik sekolah rendah.

Pengiraan mental pula ialah terdiri daripada pengiraan aritmetik yang hanya

menggunakan otak manusia, tanpa bantuan daripada kalkulator, komputer, atau pen dan kertas.

Matematik mental sering digunakan sebagai satu cara untuk mengira dan menganggarkan dengan

cepat, menggunakan fakta-fakta matematik yang telah dipelajari dalam ingatan, seperti

penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian atau operasi bergabung. Kebanyakan

orang sedar dan tahu prosedur menggunakan pensil dan kertas untuk mengira tetapi

tidak mengetahui apakah prosedur untuk melakukan pengiraan mental. tidak semua

orang menggunakan teknik yang sama untuk membuat sesuatu pengiraan mental dan

kadangkala jika mereka menggunakan teknik yang sama, caranya akan berbeza.

Manusia tidak dipaksa untuk membuat pengiraan secara mental computation. Tiada

peraturan khusus bila kita perlu gunakan pengiraan mental. Sebaliknya, kita membuat pengiraan

mental bila kita rasa yakin kita boleh melakukannya bergantung kepada kemampuan mental

masing-masing. Pengiraan mental boleh digunakan untuk mendapatkan jawapan yang tepat atau

secara anggaran. Keadaan ini memerlukan kita melihat nombor yang terlibat dan tentukan

samaada pengiraan mental boleh dijalankan.

Secara ringkasnya, kefasihan/ kebolehan seseorang pelajar dalam menggabungkan

pengiraan secara algoritma dan pengiraan mental sebenarnya telah melatih individu itu sendiri

menaakul secara logik dan rasional. Selain daripada itu ia juga meningkatkan kemahiran dalam

kehidupan seharian seperti urusniaga, perjalanan, pembelajaran dan membuat kerja-kerja

seharian.

PENERANGAN ALGORITMA STANDARD BAGI SETIAP OPERASI

ri ra pu sa

6 983+

1 1 5 1

ri ra pu sa

2 34

18

53+

2 7 9 8

Algoritma Penambahan

1. Simbol bagi operasi tambah ialah “+”. Hasil tambah ialah jumlah bagi dua nombor atau lebih.

2. Cara untuk menyelesaikan soalan dalam bentuk ayat matematik ialah dengan menukarkan ia dalam bentuk lazim(algoritma standerd) dan susun setiap digit mengikut nilai tempat.

3. Jika hasil tambah adalah 10 atau lebih, kumpulkan semula.

Misalnya: 4 + 3 = 7

Misalnya: 2 315 + 483 =

Misalnya: 458 + 693 =

7 ialah hasil tambah

ri ra pu sa

1 4 87

93-

1 4 1 6

ri ra pu sa

34 8+

3 1 8 7

1. Simbol bagi operasi tambah ialah “+”. Hasil tambah ialah jumlah bagi dua nombor atau lebih.


3. Jika hasil tambah adalah 10 atau lebih, kumpulkan semula.

Misalnya: 4 + 3 = 7

Misalnya: 2 315 + 483 =

Misalnya: 458 + 693 =

Algoritma Penolakan

1. Simbol bagi operasi tolak ialah “-”. Hasil tolak ialah beza atau selisih antara dua nombor.


3. Jika angka yang kena tolak lebih kecil daripada angka yang ditolak, anda perlu mengumpul semula dengan meminjam angka di sebelah kiri yang lebih besar.

Misalnya: 8 - 2 = 6

Misalnya: 1 489 - 73 =

Misalnya: 3 235 - 48 =

6 ialah hasil tolak

ri ra pu sa

8 1 24X

2 3 4 8

ri ra pu sa

46+

8 3 0 4

Tulis tiga 0 di hujung kanan jawapan

Darab 3 dengan 4

Algoritma Pendarapan

1. Simbol bagi operasi darab ialah “x”. Hasil darab ialah hasil tambah bagi suatu nombor secara berulang.


3. Kumpulkan semula jika hasil darab ialah 10 atau lebih.

4. Jika pendarabnya ialah nombor yang hujungnya 0, maka angka-angka perlu didarab dengan angka bukan 0. Kemudian, tulis 0 dihujung kanan jawapan mengikut bilangan 0 yang ada.

5. Sebarang nombor yang didarab dengan 0, hasil darabnya ialah 0.

6. Sebarang nombor yang didarab dengan 1, hasil darabnya ialah nombor itu juga.

Misalnya: 6 X 5 = 30

Misalnya: 812 x 4 =

Misalnya: 1 384 x 6 =

Misalnya: 300 x 40 = 12 000

Misalnya: 259 x 0 = 0

Misalnya: 4 716 x 1 = 4 716

30 ialah hasil darab

pendarabYang didarab

ra pu sa

4 2

11

66

84

88

1. Simbol bagi operasi darab ialah “x”. Hasil darab ialah hasil tambah bagi suatu nombor secara berulang.


3. Kumpulkan semula jika hasil darab ialah 10 atau lebih.

4. Jika pendarabnya ialah nombor yang hujungnya 0, maka angka-angka perlu didarab dengan angka bukan 0. Kemudian, tulis 0 dihujung kanan jawapan mengikut bilangan 0 yang ada.

5. Sebarang nombor yang didarab dengan 0, hasil darabnya ialah 0.

6. Sebarang nombor yang didarab dengan 1, hasil darabnya ialah nombor itu juga.

Misalnya: 6 X 5 = 30

Misalnya: 812 x 4 =

Misalnya: 1 384 x 6 =

Misalnya: 300 x 40 = 12 000

Misalnya: 259 x 0 = 0

Misalnya: 4 716 x 1 = 4 716

Algoritma Pembahagian

1. Simbol bagi operasi bahagi ialah “ ÷ ”. Hasil bahagi diperoleh apabila suatu nombor dibahagikan dengan nombor yang lain.


8. Jika satu angka tidak mencukupi untuk dibahagi, gunakan dua angka, dan seterusnya. Kumpulkan semula, jika perlu. Baki ialah hasil tolak di akhir pembahagian. Pastikan ia tidak boleh dibahagi lagi.

9. 0 dibahagikan dengan sebarang nombor, hasil bahaginya ialah 0.

10. Sebarang nombor yang dibahagikan dengan 1, hasil bahagi ialah nombor itu juga.

Misalnya: 12 ÷ 3 = 4

Misalnya: 168 ÷ 4 =

Misalnya: 862 x 6 =



4 ialah hasil bahagi

pembahagiYang dibahagi

ra pu sa

1 4 3

86

6 26

22

64

21

28

4

Baki

PENERANGAN ALGORITMA ALTERNATIF BAGI SETIAP OPERASI

Membina Algoritma Alternatif untuk Operasi Penambahan.

atau

Dalam bahagian ini, kita akan lihat algoritma untuk operasi tambah melibatkan nombor

bulat. Tumpuan kita menggunakan model dan logik untuk memahami prosedur pengiraan dalam

mencari hasil tambah. Terdapat lebih daripada satu algoritma untuk menambah bulat.

Kebanyakan algoritma untuk menambah nombor bulat mengambil kira nilai tempat, ciri- ciri

dan mencari persamaan untuk mencerakinkan pengiraan kepada yang lebih mudah serta

menggunakannya untuk mencari jumlah ataupun hasil tambah yang dikehendaki.

Sekarang mari kita lihat cara lain untuk penambahan menggunakan kaedah kertas dan

pensil yang berkait terus dengan penggunaan dalam contoh di bawah. Kita akan menggunakan

soalan 369 + 244 ditambah menggunakan Expanded Algorithm. Di mana semua nombor yang

mempunyai nilai tempat yang sama ditambah dan kemudian dikumpul semula mengikut

mengikut nilai tempat.

PenambahanBerkembang (Expanded Addition)

369 + 244

300 + 60 + 9 3 69200 + 40 + 4 + 244500 + 100 + 13 = 613 5 0 0

1. Simbol bagi operasi bahagi ialah “ ÷ ”. Hasil bahagi diperoleh apabila suatu nombor dibahagikan dengan nombor yang lain.


8. Jika satu angka tidak mencukupi untuk dibahagi, gunakan dua angka, dan seterusnya. Kumpulkan semula, jika perlu. Baki ialah hasil tolak di akhir pembahagian. Pastikan ia tidak boleh dibahagi lagi.

9. 0 dibahagikan dengan sebarang nombor, hasil bahaginya ialah 0.

10. Sebarang nombor yang dibahagikan dengan 1, hasil bahagi ialah nombor itu juga.


Misalnya: 168 ÷ 4 =

Misalnya: 862 x 6 =



Membina Algoritma Alternatif untuk Operasi Penolakan.

seterusnya

1 0 0 1 3 6 1 3

Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi tolak sebagaimana

yang telah digunakan dalam algoritma penambahan. Mula-mula, gunakan model untuk

menggambarkan prosedur untuk operasi tolak. Kemudian, kita aplikasikan prosedur tersebut

untuk mengembangkan algoritma tolak menggunakan pensil dan kertas. Akhirnya, gunakan

penaakulan matematik untuk membuktikan algoritma penolakan.

Sekarang kita lihat expanded subtraction, mulakan penolakkan dengan sa dan

teruskan menolak dengan mengumpul semula, iaitu daripada kanan ke kiri.

PenolakanBerkembang (Expanded Subtraction)

245 – 18 30 10

200 + 40 + 5 200 + 40 + 5 – 10 – 8 – 10 – 8

2 200 + 20 + 7 = 227

Membina Algoritma Alternatif untuk Operasi Pendaraban.

atau

Seperti algoritma penambahan dan penolakan, penggunaan algoritma alternatif akan

memberikan asas fizikal untuk menerangkan algoritma untuk pendaraban.. Menggunakan proses

yang dicadangkan oleh model dibawah, kita akan bina algoritma kertas-dan-pensil untuk

pendaraban. Algoritma pertama berdasarkan model dibawah memerlukan kita mencerakinkan

nombor mengikut nilai tempat dan darabkan setiap digit mengikut nilai tempat untuk

mendapatkan hasil darab separa. Dalam algoritma ini, yang disebut expanded algorithm semua

hasil darab separa ditambah untuk mencari jumlah hasil darab. Manakala algoritma yang kedua,

yang dikenali sebagai standard algorithm, melibatkan hanya dua hasil darab separa. Akhirnya,

kita gunakan penaakulan matematik bersama dengan ciri- ciri untuk membuktikan algoritma

pendaraban.

KaedahPendaraban Grid (Grid Method of Multiplication)

X 200 10 5

70 14 000 700 350

4 800 40 20

14 800 + 740 + 370 = 15 910

2 1 5

x 7 4

2 0

4 0

8 0 0

3 5 0

7 0 0

1 4 0 0 0

1 5 9 1 0

Membina Algoritma Alternatif untuk Operasi Pembahagian.

atau

Kaedah Penolakan ad hoc untukPembahagian

574 ÷ 7

574 ÷ 7

50 350

224

30 210

14

2 14

82 0

2

30 82

7)574

350

224

210

14

14

0

50

PENERANGAN ALGORITMA ALTERNATIF BAGI DUA OPERASI

PENDARABAN

Dalam mengajar operasi darab terlebih dahulu kita akan melihat algoritma untuk

pendaraban nombor bulat.Kita mula dengan menggunakan model-model untuk membantu

menjelaskan algoritma berkaitan dan kemudian menggunakan ciri- ciri nombor bulat untuk

membuktikan algoritma itu.

Kaedah Pendaraban Grid (Grid Method of Multiplication)

Contoh 1

Cari hasil darab 214 x 7 =

X 200 10 4

7 14 00 70 28

14 00 + 70 + 28 = 1 498

1. Dalam Model penyelesaian ini pelajar perlu menguasai cara-cara mencerakinkan nombor mengikut nilai tempat.

2. Darabkan setiap digit mengikut nilai tempat untuk mendapatkan hasil darab separa.

3. Semua hasil darab separa ditambah untuk mencari jumlah hasil darab.

TIPS

Contoh 2


Contoh 3


4. Dalam Model ini juga pelajar perlu didedahkan dengan cara pendarabap mudah bagi nilai digit puluh dan ratus.

Misalnya: 300 x 5 =

Darabkan 3 dengan 5 kemudian hasilnya nanti letakkan sifar mengikut bilangan sifar yang ada dalam soalan.3 X 5 = 15

1500

5. Penerangan contoh yang lebih jelas kepada pelajar bagaimana melaksanakan operasi menggunakan model ini saya akan terangkan menggunakan perisian ms power point, yang akan dipaparkan pada halaman seterusnya.

TIPS

X 200 10 5

3 6 00 30 15

6 00 + 30 + 15 = 645

X 300 20 4

5 1 500 100 20

1 500 + 100 + 20 = 1 620

PEMBAHAGIAN

Dalam bahagian ini, kita akan melihat algoritma alternatif untuk pembahagian

nombor bulat. Sebelum itu kita mula dengan menggunakan model-model biasa ataupun

algoritma standerd, iaitu pembahagian dalam bentuk lazim untuk membantu

menjelaskan algoritma berkaitan dan kemudian menggunakan ciri- ciri nombor bulat

untuk membuktikan algoritma itu.

Kaedah Penolakan ad hoc untuk Pembahagian

Contoh 1

574 ÷ 7

1. Dalam model ini pelajar perlu

didedahkan dengan kemahiran

mendarab nombor 10,20, 30… hingga

90 dengan sebarang nombor satu digit.

2. Contoh 1 boleh kita lihat pembehagian

menggunakan model ini.

3. Penerangan contoh yang lebih jelas

kepada pelajar bagaimana melaksanakan

operasi menggunakan model ini saya

akan terangkan menggunakan perisian

ms power point, yang akan dipaparkan

pada halaman seterusnya.

TIPS

574 ÷ 7

50 350

224

30 210

14

2 14

82 0

PENJELASAN TERPERINCI MENGENAI ALGORITMA ALTERNETIF YANG DIPILIH

PENDARABAN

Dalam bahagian ini saya menggunakan perisian ms power point untuk membantu

membangunkan kefahaman pelajar mengenai dengan algoritma alternatif bagi dua operasi yang

dipilih iaitu operasi darab dan bahagi.

1 2

3 4

5 6

7 8

PEMBAHAGIAN

Guru akan menerangkan secara lisan arahan langkah demi langkah bagaimana

menggunakan model penyelesaian tersebut berpandukan kepada slaid power point, sebagaimana

yang kita lihat di atas.

1 2

3 4

5 6

7 8

KESIMPULAN

Guru akan menerangkan secara lisan arahan langkah demi langkah bagaimana

menggunakan model penyelesaian tersebut berpandukan kepada slaid power point, sebagaimana

yang kita lihat di atas.

Secara kesimpulannya algoritma adalah mana-mana siri langkah-langkah yang, jika

diikuti dengan betul, sentiasa menghasilkan keputusan yang betul. Terdapat banyak cara untuk

menambah, menolak, mendarab dan membahagi. Anak anda akan belajar untuk mengira dengan

tepat dan cepat

Kanak-kanak mendapat keyakinan yang berharga dan berwawasan apabila dibenarkan

untuk meneroka algoritma ciptaan mereka sendiri. Seorang kanak-kanak yang diberikan soalan-

soalan berkaitan dengan mana-mana empat operasi mungkin lebih selesa dengan cara ini atau itu

untuk menyelesaikan soalan tersebut. Pendekatan berbeza yang diberikan mungkin lebih

berguna untuk menyelesaikan mana-mana masalah tersebut.

Walaupun anda mungkin tahu hanya satu atau dua algoritma bagi setiap jenis aritmetik,

namun adalah lebih penting anda menyokong anak-anak ataupun pelajar anda menggunakan

pelbagai kaedah untuk menyelesaikannya. Malah, jika kita melihat rapat pengiraan kita sendiri

dalam kehidupan harian sebenar kita, kita akan dapati bahawa sebenarnya kita menggunakan

algoritma yang berbeza pada masa yang berlainan, dan sesetengah daripada mereka adalah

mungkin ciptaan anda sendiri.

Dalam banyak urusan kehidupan harian, pengiraan tepat menggunakan computer masih

boleh dipertikaikan. Sebagai contoh,dalam urusan jual beli, kita tidak boleh sentiasa menerima

hasil pengiraan kalkulator secara membuta kerana kesilapan menekan kekunci kalkulator adalah

tidak dapat dielakkan. Oleh yang demikian, kebolehan untuk menganggar ‘reasonableness’

RUJUKAN

sesuatu hasil pengiraan adalah sangat berguna untuk membuat keputusan yang bijak dalam

situasi jual beli. Sehubungan itu, kebolehan untuk mengira secara mental adalah sangat berguna

untuk membuat anggaran yang cepat.

Anghileri, J., Beishuizen, M., & Putten, K. (2002). From informal strategies to structured

procedures: Mind the gap! Educational Studies in Mathematics, 49, 149-170.

Davis, S. (2009). A study of primary student teachers’ mental calculation strategies. Proceedings

of the British Society for Research into Learning Mathematics 29(2): 25-28.

Ashcraft, M.H. (1985). Children’s knowledge of simple arithmetic: A developmental model and

simulation. Unpublished manuscript, Cleveland State University.

Hasselbring, T.S., Goin, L., & Bransford, J.D. (1988). Developing math automaticity in learning

handicapped children: The role of computerized drill and practice. Focus on Exceptional

Children 20, 1–7.

Australian Association of Mathematics Teachers. (1996). Statement on the use of calculators

and computers for Mathematics in Australian Schools. Retrieved October 21, 2010,

from www.aamt.edu.au/content/download/725/19521/file/tech_st.pdf

Thompson, I. (1999). Mental Calculation Strategies for Addition and Subtraction. Mathematics

in School 28 (5): 1-4.

Douglas H. Clements & Julie Sarama (2004).Engaging Young Children in Mathematics:

Standards for Early Childhood Mathematics Education. Studies in Mathematical

Thinking and Learning Series. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates.

algoritma

Documents