MODUL KEM SMArT

SIRI 1

2013

MATEMATIK TAMBAHAN

1. KOORDINAT GEOMETRI

2. SUKATAN MEMBULAT

3. PENYELESAIAN SEGITIGA

4. VEKTOR

5. HUKUM LINEAR

6. FUNGSI TRIGONOMETRI

DISEDIAKAN OLEH : CIKGU YUSRI BIN YAAHMAT

(GURU CEMERLANG MATEMATIK TAMBAHAN)

yusriyaahmat.blogspot.com

ALGEBRA

1. x = 2 4

2

b b ac

a

− ± −

2. am × a

n = a

m + n ----pan-pen

3. am ÷ a

n = a

m − n ----pan-pen

4. (am)n = a

m n

5. loga mn = loga m + loga n-----pan-pen

6. loga n

m = loga m − loga n -----pan-pen

7. loga mn = n loga m-----kuda pan

8. log

loglog

ca

c

bb

a= ---- kuda

9. ( 1)nT a n d= + − ------- kaki atok gbai

10. [2 ( 1) ]2

n

nS a n d= + −

11. 1n

nT ar

−=

12. nS = 1

)1(

−

−

r

ran

= r

ra n

−

−

1

)1(, 1≠r

13. ∞S = r

a

−1, | r | < 1

KALKULUS

1. y = uv, dx

dy = u

dx

dv + v

dx

du-----sida

2. y = v

u,

dx

dy =

2v

dx

dvu

dx

duv −

3. dx

dy =

du

dy ×

dx

du----3 p/u

4. Area under a curve

=

b

a

y dx∫ or = ∫b

a

dyx

5. Volume generated

= ∫b

a

dxy 2π or = ∫b

a

dyx2π

STATISTIK

1. x = N

x∑----tiada f

2. x = ∑

∑

f

fx

3. σ = N

xx∑ − 2)( =

22)(

xx

N

∑− tiada f

4. σ = ∑

∑ −

f

xxf 2)( =

22)(

fxx

f

∑−

∑

5. m = CLmf

FN

+

−21

6. I = 0

1

Q

Q × 100-2 thn

7. I = ∑∑

i

ii

W

IW----fungsi gubahan

8. rn P =

!)(

!

rn

n

−

9. rnC =

!!)(

!

rrn

n

−

10. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

11. )( rXp = = rnrr

n qpC − , p + q = 1

12. Mean / Min = np

13. σ = npq

14. Z = σ

µ−X

=0

> 0

< 0

Paksi-y

Paksi-x

1

1

4Q N=

3

3

4Q N=

GEOMETRI

1. Distance = 221

221 )()( yyxx −+−

2. Midpoint

(x, y) =

++

2,

2

2121 yyxx

3. A point dividing a segment of a line

(x, y) = 1 2 1 2,nx mx ny my

m n m n

+ +

+ +

4. Area of triangle / Luas segi tiga

)()( 3123121332212

1yxyxyxyxyxyx ++−++

5. r = 22yx +

6. r̂ = 22

yx

yx

+

+ ji

TRIGONOMETRI

1. Arc length, s = rθ

2. Area of sector = 2

1 2r θ

3. AA 22 cossin + = 1

4. A2sec = A2tan1 +

5. A2cosec = A2cot1 +

6. sin 2A = 2 sinA cosA

7. cos 2A = cos2 A − sin

2 A

= 2 cos2 A − 1

= 1 − 2 sin2 A

8. )(sin BA ± = sinA cosB ± cosA sinB

9. )(cos BA ± = cosA cosB m sinA sinB

10. )(tan BA ± = BA

BA

tantan1

tantan

m

±

11. tan 2A = A

A2tan1

tan2

−

12. A

a

sin =

B

b

sin =

C

c

sin

13. a2 = b

2 + c

2 − 2bc cosA

14. Area of triangle = 2

1 ab sin C

FORMULA TAMBAHAN

1. x2 – (SOR)x + POR = 0 2 b c

xa a

− + = 0

2. f (x) = 2 2

2 4

b ba x c

a a

+ + −

3. 100

X YZ

×=

Z

Year C

X

Year A

Y

Year B

Sila t2

Vektor unit

SiLa

Anak

Panah

COORDINATE GEOMETRY

• Jarak / Lokus

AB = 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y− + −

• SiDa Ta

• SiDa To

Area = 1

2

1 2 3 1

1 2 3 1

x x x x

y y y y =

1

21 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3( ) ( )x y x y x y x y x y x y+ + − + +

• kecerunan

Gradient, m = 2 1

2 1

y y

x x

−

−

• membentuk persamaan

y = mx + c (dengan mencari nilai c)

• For parallel straight lines ⇒ m1 = m2 (Selari)

• For perpendicular straight lines ⇒ m1 × m2 = −1 (Serenjang)

1. Suatu garis lurus melalui A(k + 3, 5k) dan B(k – 1, 2k + 1) mempunyai kecerunan 1

2. Cari

(a) nilai k, (b) persamaan AB.

2. PQR ialah garis lurus dengan koordinat P dan Q masing-masing ialah (−2, −1) dan (1, 2). Jika Q

membahagi garis lurus PR dengan nisbah 3 : 2, cari koordinat R.

3. Persamaan garis lurus AB ialah 2y = x + k. Diberi AB berserenjang dengan AC pada titik A(0, 4).

Cari (a) nilai k, (b) persamaan AC.

4. PQ dan QR adalah dua garis lurus yang berserenjang antara satu sama lain pada titik Q. Titik P

dan titik Q terletak pada paksi-x dan paksi-y masing-masing.

Cari (a) Koordinat P dan Q, (b) persamaan QR.

5. Titik A dan titik B mempunyai koordinat (6, −3) dan (−4, k) masing-masing. Garis lurus 3x + 5y − 15 = 0

adalah selari dengan garis lurus yang menyambungkan titik A dan titik B.

Cari (a) nilai k, (b) jarak AB .

•

•

• P

Q

R

x

y

O

x – 2y + 6 = 0

A (0, 4)

0

y

x

2y = x + k

•

•

• C

B

6. Garis lurus PQ memintas paksi-x dan paksi-y pada titik P dan titik Q masing-masing.

(a) Tulis persamaan PQ dalam bentuk pintasan.

(b) Cari persamaan garis lurus yang selari dengan garis lurus PQ dan melalui titik S(8, 3).

7. Diberi koordinat A dan B masing-masing ialah (4, −1) dan (1, 2). Cari persamaan garis lurus yang

melalui titik T(−1, −3) dan selari dengan garis lurus AB.

8. Titik-titik R, S dan T masing-masing mempunyai koordinat (−5, −2), (1, 4) dan (3, 6). Jika titik S

membahagi garis lurus RST dengan nisbah m : 1, cari nilai m.

9. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus 6x + 3y − 2 = 0 dan

melalui titik (6, −1).

O

P(0, 3)

Q(4, 0) x

y

10. Diberi garis lurus 4x + 3y − 6 = 0 adalah selari dengan garis lurus y = ax + b yang melalui titik

(−12, 5), cari nilai a dan nilai b.

11. Luas segitiga ABC dengan bucu-bucu A(−3, 0), B(k, 4) dan C(4, −2) ialah 20 unit2. Cari nilai-nilai yang

mungkin bagi k.

12. Titik A ialah (−2, 0) dan titik B ialah (2, 3). Titik P bergerak dengan keadaan PA : PB = 2 : 1. Cari

persamaan lokus bagi P.

13. Rajah 13 menunjukkan graf bagi 2y = 3x – 12. Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik V

dan titik W adalah sama.

Cari persamaan lokus bagi titik P.

x

V

2y = 3x – 12

y

0

W

14. Maklumat dalam Rajah 14 adalah berkaitan dengan persamaan dua garis lurus JK dan

RT yang berserenjang antara satu sama lain.

Tentukan nilai k.

15. Bucu-bucu sebuah segitiga ialah A(6, 3), B(4, 5) dan C(k, −1). Diberi luas segitiga ialah 36 unit2, cari

nilai-nilai k.

16. Rajah 16 menunjukkan garis lurus RS yang mempunyai persamaan 2

x +

4

y = 1. Titik R terletak pada

paksi-x dan titik S terletak pada paksi-y.

Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan RS dan melalui titik S.

JK : 14

=+x

k

y

RT : 3y = 8x + 10

x

y

O R

S

•

•

17. Garis lurus 4

x +

y

p = 1 mempunyai 8 sebagai pintasan-y dan adalah selari dengan

garis lurus y = qx +12. Tentukan nilai p dan nilai q.

18. Rajah menunjukkan garis lurus PQ yang mempunyai persamaan x + 2y – 6 = 0 dan

menyilang paksi-x dan paksi-y pada titik P dan titik Q masing-masing.

(a) Cari persamaan garis lurus PQ dalam bentuk pintasan.

(b) Cari persamaan garis lurus yang melalui titik Q dan berserenjang dengan garis lurus PQ.

19. Dalam Rajah 19, persamaan garis lurus PQR ialah 2x – y + 4 = 0.

Diberi PQ : QR = 2 : 3, cari

(a) koordinat R,

(b) persamaan garis lurus yang berserenjang dengan PR dan melalui R.

P

Q

R

x

y

•

O

x

y

O

P

Q

•

•

x + 2y – 6 = 0

20. Rajah 20 menunjukkan tiga titik, A, B dan C yang berada pada garis lurus 2y = x + 4 dengan keadaan

AB : BC = 1 : 4.

Cari

(a) koordinat A, (b) koordinat C, (c) luas segitiga COA.

21. Dalam Rajah 21, PQ dan QR ialah dua garis lurus yang berserenjang di titik Q. Titik P dan titik Q

masing-masing terletak di atas paksi-x dan paksi-y. Diberi persamaan garis lurus PQ ialah

3y + 2x – 9 = 0.

(a) Cari persamaan garis lurus QR.

(b) Garis lurus RQ dipanjangkan ke titik S yang terletak di atas paksi-x dan RQ = 2QS. Cari koordinat R.

(c) Hitung luas ∆PQR.

y

x

A

B(2, 3)

C

O

•

•

•

x

y

•

•

• O P

Q

R

3y + 2x – 9 = 0

22. Rajah 22 menunjukkan graf garis lurus ABC dan BDE. Titik A dan titik C masing- masing terletak di atas

paksi-x dan paksi-y dengan keadaan AB = BC.

(a) Cari

(i) koordinat B,

(ii) persamaan garis lurus yang berserenjang dengan AC dan melalui titik A.

(b) Diberi BD : DE = 1 : 4, cari koordinat E.

(c) Satu titik, P, bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik E adalah 1

2 daripada

jaraknya dari titik C. Cari persamaan lokus titik P.

23. Dalam Rajah 23, garis lurus AB mempunyai persamaan y + 2x + 8 = 0. AB menyilang paksi-x di titik A

dan menyilang paksi-y di titik B.

Titik P terletak pada AB dengan keadaan AP : PB = 1 : 3.

Cari

(a) koordinat P,

(b) persamaan garis lurus yang melalui P dan berserenjang dengan AB.

C

E A x

D(0, 3) B

O

y

y – 2x – 8 = 0

•

•

•

•

•

x

y

A

P

B

O •

•

•

24 . Diagram shows the straight line CD which meets the straight line AB at the point D.

Point C lies on the y-axis.

(a) Write the equation of AB. [1 marks]

(b) Given 2AD = DB, find the coordinates of D. [2 marks]

(c) Given CD is perpendicular to AB, find the y- intercept of CD. [3 marks]

(c+) Given CE is parallel to AB, find the equation of CE. [3 marks]

(d) A point P moves such its distance from point D is always 5 units.

Find the equation of the locus of P. [3 marks]

(e) Find the area of BCD [3 marks]

Jawapan

Koordinat Geometri

(a) k = 1

(b) y = 1

2x + 3

(a) k = 8

(b) y = −2x + 4

(a) R(3, 10)

(b) x + 2y = 23

(a) A (0, 2)

(b) C (10, 7)

(c) 10 unit2

(a) y = 3

2x + 3

(b) R(4, 9)

(c) 19⋅5 unit2

(a) P(−6, 0), Q(0, 3)

(b) y = −1

2x + 3

(a) 14 3

x y+ =

(b) y = 3

4− + 9

(a) 6

x +

3

y = 1

(b) y = 1

2x + 3

(a)(i) B(−2, 4)

(ii)y = 1

22

x− −

(b) E(8, −1)

(c)

3x2 + 3y

2 – 64x +

24y + 196 = 0

(a) P(−3, −2)

(b)

y = 1 1

2 2x −

R(3, 4) m = 3 2x + 3y + 5 = 0 3x2 + 3y

2 – 20x –

24y + 48 = 0

46, −26

y = – x – 4 −37, 3 p = 8, q = −2

y = 1

2x – 4 a =

4

3− , b = −11 k =

3

2 y =

1

2x + 4

(a) k = 3

(b) 11⋅66 unit

A

(0, −6)

C

y

x

D

B

(9, 0)

.CIRCULAR MEASURE

• π rad = 180°

• Tukar radians kepada darjah atau sebaliknya

(a) θ rad = θ × 180

π

o

(b) θ° = θ × 180

πo

• s = rθ, ATAU 2360

rθ

π×o

• A = 21

2r θ , ATAU 2

360r

θπ×

o

• Luas Segitiga, A = ab sin C

SOALAN

1. Tukar (a) 39⋅25° ke radian, (b) 0⋅428 radian kepada darjah dan minit.

2. Rajah menunjukkan sektor OAB.

(a) Tukar ∠ BOA ke radian. (b) Cari panjang lengkok AB.

3. Rajah menunjukkan sektor POQ berpusat O.

Diberi panjang lengkok PQ ialah 12⋅5 cm dan perimeter sektor POQ ialah 42⋅5 cm. Cari nilai θ dalam

radian.

θ

P

Q O

12⋅5 cm

82° O

A

B

O

P Q

6 cm

O

A

B

20°

4. Rajah menunjukkan bulatan berpusat O.

Diberi bahawa panjang lengkok major EF ialah 41⋅87 cm, cari panjang, dalam cm, bagi jejari.

5. Dalam Rajah 5, ∠AOB = 20° dan panjang lengkok AB ialah 8 cm.

Cari (a) panjang OB, (b) luas sektor OAB.

6. OPR ialah sukuan bulatan berpusat O. OQR ialah segitiga dengan keadaan OQ = 5 cm dan QR = 13 cm.

Cari perimeter kawasan berlorek.

7. Rajah menunjukkan sektor OPQ, berpusat O.

Diberi bahawa perimeter sektor itu ialah 20 cm, hitung sudut POQ dalam radian.

O

E F

1⋅05 rad.

O

P

Q

R

O

B

A

0·63 rad.

O

A

B

C

D

0·6 rad.

4 cm

0·8 rad

P O R

Q

8. Rajah 8 menunjukkan sektor OAB, berpusat O. Diberi bahawa panjang lengkok AB ialah 9 cm, hitung luas

sektor OAB.

9. Rajah 9 menunjukkan dua sektor, OAB dan OCD, berpusat O.

Diberi bahawa OC = 16 cm, cari luas kawasan berlorek.

10. Rajahmenunjukkan sebuah bulatan berpusat O.

Diberi luas sektor minor OPQ ialah 32⋅6 cm2, cari panjang, dalam cm, bagi jejari.

11. Rajah 11 menunjukkan sebuah semibulatan OPQR berpusat O.

Diberi panjang lengkok PQ ialah 6·4 cm. Hitung luas sektor OQR.

O

P Q

5 rad.

O R Q

P

2 cm

10 cm

12. Rajah 12 menunjukkan sektor OPQ berpusat O.

Diberi panjang lengkok PQ ialah 8⋅76 cm dan θ = 0⋅4 rad., cari

(a) OP, dalam cm, (b) luas sektor OPQ, dalam cm2.

13. Rajah 13 menunjukkan sektor OAB berpusat O. Diberi perimeter dan luas sektor masing-masing ialah

14 cm dan 10 cm2. Jika panjang lengkok AB ialah 5 cm, cari

Cari (a) nilai θ dalam radian. (b) luas sektor OAB.

14. Rajah 14 menunjukkan kedudukan bandul mudah yang berayun dari Q kepada P.

Diberi bahawa ∠POQ = 25° dan panjang lengkok PQ ialah 12⋅5 cm, hitung

(a) panjang OQ, (b) luas yang dilalui bandul.

15. Rajah menunjukkan sektor bulatan OPQ berpusat O dan OPR ialah segitiga

bersudut tegak.

Cari luas kawasan berlorek.

O

P Q

O

A

B

θ

θ

Q

P O

C D O A

B

16. Dalam Rajah 16, ABCD ialah semibulatan berpusat O dan diameter 10 cm.

Diberi bahawa BD ialah lengkok bulatan berpusat A.

(a) Nyatakan ∠BAD dalam radian.

(b) Cari (i) panjang lengkok BD, (ii) luas kawasan berlorek.

17. Rajah menunjukkan sukuan bulatan OPR berpusat O dan jejari 10 cm. POQ ialah sektor berpusat P.

Hitung

(a) θ dalam radian, (b) luas sektor OPQ, (c) luas kawasan berlorek.

P O

R

Q

θ

10 cm

18. Dalam Rajah , AB adalah lengkok suatu bulatan berpusat di O manakala BC adalah lengkok suatu

bulatan berpusat di D. Diberi bahawa D ialah titik tengah OB dengan keadaan OB = 12 cm dan

∠ CDB = 1·8 rad.

Cari

(a) nilai θ, dalam radian,

(b) luas sektor OAB,

(c) perimeter bagi rantau berlorek.

Jawapan

Sukatan Membulat

5

6 rad. or 0⋅8333 rad.

(a) 0⋅7854 rad

(b) (i) 5⋅554 cm

(ii) 12⋅5 cm2

(a) 22⋅92 cm

(b) 91⋅7 cm2

(a) θ = 10

9 rad.

(b) 11⋅25 cm2

(a) 2⋅576 rad

(b) 32⋅2 cm

38⋅85 cm 64⋅32 cm2 33⋅6 cm

2 8 cm 74⋅94 cm2

4

3 rad. or 1⋅333 rad.

8⋅175 cm2 7⋅126 cm (a) 0⋅6851 rad

(b) 24° 31’

(a) 28⋅64 cm

(b) 179 cm2

(a) 0·9 rad.

(b) 64·8 cm2

(c) 26·14

(a) 21⋅9 cm

(b) 95⋅92 cm2

(a) 3

π rad.

(b) 52⋅36

(c) 17⋅14

1·8 rad θ

A

B

C

D O

5 cm 6 cm

x cm

54°

2 cm A

D C

B

65°

3 cm 7 cm

5 cm

R

S U T

SOLUTION OF TRIANGLES

1. Hukum Sinus – SiDa

2. Hukum Kosinus dan Luas – Anak Panah

1. Rajah 1 menunjukkan segi tiga ABC dengan keadaan ADC adalah garis lurus dan ∠ BDC cakah.

Cari (a) ∠BDA, (b) nilai x.

2. Dalam Rajah 2, ADB ialah garis lurus.

Hitung panjang DB.

3. Dalam Rajah 3, SUT ialah garis lurus dengan keadaan RU = 5 cm, SU = 3 cm dan UT = 7 cm.

Diberi bahawa ∠RUS = 65°, hitung

(a) panjang RS, (b) luas segitiga RTU.

44°

3⋅4 cm

6⋅2 cm 3⋅8 cm

A B

C

D

4. Rajah 4 menunjukkan sebuah sisiempat PQRS.

(a) Hitung

(i) panjang, dalam cm, bagi PR,

(ii) ∠ PRQ.

(b) Hitung luas, dalam cm2, bagi ∆PQR.

5. Rajah 5 menunjukkan sisiempat ABCD.

Luas segitiga BCD adalah 15 cm2 dan ∠ BCD adalah tirus.

Hitung

(a) ∠ BCD,

(b) panjang, dalam cm, bagi BD,

(c) ∠ BAD,

(d) luas, dalam cm2, bagi segitiga ABD.

5⋅8 cm

6⋅2 cm

16⋅7 cm 106°

P

Q

R S 48°

40°

6 cm

7 cm

10 cm A

B

C

D

6. Rajah 6 menunjukkan segitiga ABC dan segitiga AED. AEC ialah garis lurus.

Diberi BAC∠ = 60°, AB = 5 cm, BC = 8 cm, AE = 8⋅5 cm dan ED = 15⋅6 cm. Hitung

(a) panjang EC,

(b) ∠ AED, jika luas segitiga AED ialah 50 cm2.

7. Rajah 7 menunjukkan segitiga ABD. Titik C terletak di atas garis lurus BD supaya

BC= 3⋅5 cm dan AC = AD

Diberi AB = 8 cm dan ∠ ABC = 40°. Hitungkan

(a) panjang AD,

(b) ∠ ACB,

c) luas segitiga ABD.

(a) 34⋅99°

(b) 38⋅26°

(c) 46⋅13 cm2

(a) 42⋅39°

(b) 7⋅598 cm

(a) 4⋅617 or 4⋅618

(b) 15⋅86 cm2

5⋅278 cm

(a) 5⋅775 cm

(b) 117⋅07°

(c) 22⋅51 cm2

(a) (i) 13⋅37 cm

(ii) 24⋅65°

(b) 29⋅42 cm2

(a) 45⋅58°

(b) 5⋅119 cm

(c) 19⋅21°

(d) 21⋅99 cm2

(a) 0⋅7268 cm

(b) 131⋅05°

A

B

C

D E

15⋅6 cm

5 cm

8⋅5 cm

8 cm

40°

8 cm

3⋅5 cm

A

B C

D

VECTORS

• AB→

= BA→

−

• Magnitud | AB→

| or | a |-----PALANG

• P R P Q Q R→ → →

= + ------------MuAk

o xi yj+% %

= x

y

o contoh : PQ→

= 3 4i j+% %

or PQ→

= 4

3

.

| PQ→

| = 2 2x y+ ∴ | PQ

→| = 2 23 4+ = 5 unit

o vector unit

r̂%

= 5

3 4i j+% %

• Membuktikan Selari dan Segaris

(a) Buktikan A, P dan B segaris,

AB→

= λ AP→

atau AB→

= λ PB→

(cari nilai λ).

(b) AB selari QR,

AB→

= λQR→

(cari nilai λ).

1. Diberi O(0, 0), P(−3, 3) dan Q(2, 12), cari dalam sebutan vektor unit, i dan j,

(a) PQ→

,

(b) vektor unit dalam arah PQ→

.

•

•

•

•

•

•

•

A

B

P

A

B

Q

R

2. Rajah 5 menunjukkan sebuah segiempat tepat OPQR dan titik T terletak pada garis lurus OQ.

Diberi bahawa OT = 2TQ. Ungkapkan OT→

dalam sebutan x%

dan y%

.

3. Dalam Rajah 6, PQRS adalah sebuah segiempat selari.

Diberi bahawa PQ→

= 6 x%

, PS→

= 14 y%

dan QR = 2QT. Ungkapkan dalam sebutan x%

dan y%

,

(a) PR→

, (b) ST→

.

4. Rajah 7 menunjukkan sebuah segiempat selari OABC yang dilukis pada satah Cartesan.

Diberi bahawa AO→

= −6i – 4j dan OC→

= −3i + 2j, cari OB→

.

x

y

O

A

B

C

P

Q R

S

T

•

P O

Q R

T

12x%

9y%

5. Rajah 8 menunjukkan segiempat selari PQRS dengan keadaan QTS ialah garis lurus.

Diberi bahawa PQ→

= 6a, PS→

= 3b dan ST = 2TQ, ungkapkan dalam sebutan a dan b,

(a) QS→

, (b) TR→

.

6. Rajah menunjukkan trapezium PQRS dengan keadaan ST : TQ = 1 : 3, PQ = 4

3SR, PQ

→ = 12x dan PS

→= 4y.

(a) Ungkapkan dalam sebutan x dan y :

(i) SQ→

, (ii) PT→

.

*(b) Seterusnya, buktikan bahawa PT adalah selari dengan QR.

7. Rajah 10 menunjukkan sebuah trapezium ABCD.

Diberi bahawa DA→

= 4x%

, DC→

= 12y%

, DT→

= 3

4DC→

, DC→

= 2

3AB→

dan TS→

= 1

2DA→

.

(a) Ungkapkan dalam sebutan x%

dan y%

(i) DB→

, (ii) DS→

.

*(b) Seterusnya, buktikan bahawa D, S dan B adalah segaris.

P Q

R S

T •

P Q

R S

T

•

A B

C D T

S

LINEAR LAW

m = 2 1

2 1

y y

x x

−

−

1. Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan x

ky

5= , dengan keadaan k adalah pemalar. Rajah 3

menunjukkan graf yang diperoleh dengan memplot log10 y melawan x.

(a) Ungkapkan persamaan x

ky

5= dalam bentuk linear yang digunakan untuk

memperoleh graf garis lurus seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 5.

(b) Cari nilai k.

2. Rajah 4 menunjukkan garis lurus yang diperoleh daripada graf xy melawan x

1.

Jika persamaan tak linear yang mewakili graf itu ialah x

k

x

hy +=

2, cari nilai h dan

nilai k.

Y = mX + c

y sahaja atau x dan y

tiada pemalar x dan pemalar tiada y

Hanya pemalar

xy

x

1

(4 ,2)

(0, 6)

0

x

log10 y

• (0, −2)

O

3. x dan y dihubungkan oleh persamaan y = mx2 + nx, dengan keadaan m dan n adalah

pemalar.

Graf garis lurus lurus diperoleh dengan memplot y

x melawan x, seperti ditunjukkan

dalam Rajah 5.

Hitung nilai m dan nilai n.

4. Rajah 7 menunjukkan graf garis lurus x

y melawan x.

Diberi y = 5x – 2x2, hitung nilai p dan nilai q.

5. Rajah 9 menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh apabila diplot y

x melawan x.

(a) Ungkapkan y dalam sebutan x.

(b) Hitung nilai m.

•

•

y

x

x O

(2, 13)

(5, 4)

x

y

x

(q , 3)

(4, p)

0

x

y

x

4

(3, 10) •

•

O

• (1, m)

6. Jadual 10 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu

eksperimen. Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = hx + k

hx, dengan keadaan h dan k

adalah pemalar.

x 1⋅0 2⋅0 3⋅0 4⋅0 5⋅0 5⋅5

y 5⋅5 4⋅7 5⋅0 6⋅5 7⋅7 8⋅4

(a) Plotkan x y melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi.

Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

(b) Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai

(i) h, (ii) k.

7. Jadual 15 menunjukkan nilai-nilai x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Diketahui

bahawa x dan y dihubungi oleh persamaan y = ax +x

b, dengan keadaan a dan b adalah pemalar.

x 0⋅5 1⋅0 1⋅5 2⋅0 2⋅5 3⋅0

y 14⋅6 6⋅8 4⋅0 2⋅4 1⋅2 0⋅4

(a) Plotkan xy melawan x2, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit untuk kedua-dua

paksi. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

(b) Gunakan graf dalam (a) untuk mencari nilai

(i) a, (ii) b. (iii) y apabila x = 1⋅2.

8. Jadual 17 menunjukkan nilai-nilai x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Diketahui bahawa x

dan y dihubungkan oleh persamaan y = mnx, dengan keadaan m dan n adalah pemalar.

x 0⋅2 0⋅4 0⋅6 0⋅8 1⋅0 1⋅2

y 8⋅4 10⋅3 12⋅6 15⋅5 19⋅0 23⋅4

(a) Plotkan log10 y melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 0⋅2 unit untuk paksi-x

dan 2 cm kepada 0⋅1 unit untuk paksi-y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

(b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai

(i) m,

(ii) n.

FUNGSI TRIGONOMETRY

Sine graph

Cosine graph

Tangent graph

GRAF

Using : y = a sin px or y = a cos px or y = a tan px

1. MODULUS

2. ─VE

3. ANJAKAN POSITIF

4. ANJAKAN NEGATIF

x O

1

-1

y

y = sin x

360° 270° 180° 90°

x O

1

-1

y

y = cos x

360° 270° 180° 90°

x

y y = tan x

O 360° 270° 180° 90° • •

Period/cycle

Shape Amplitude

1. Lakar graf bagi 4sin 2y x= untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Cari persamaan garis lurus yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan 4 sin 2 4 .x xπ π+ =

Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan garis lurus itu dan nyatakan bilangan penyelesaian

bagi persamaan 4 sin 2 4x xπ π+ = untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

2. Lakar graf bagi 3

2 kos2

y x= untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Cari persamaan garis lurus yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan

3 3

kos 12 4

x xπ

= − .

Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan garis lurus itu dan nyatakan bilangan penyelesaian

bagi persamaan 3 3

kos 12 4

x xπ

= − untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

3. Lakar graf bagi |sin |y x= untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Cari persamaan garis lurus yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan

2 |sin | 0x xπ − =

Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan garis lurus itu dan nyatakan bilangan

penyelesaian bagi persamaan 2 |sin | 0x xπ − = untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

4. Lakar graf bagi y = 1 + kos 2x untuk 0 ≤ x ≤ π. Seterusnya, pada paksi-paksi yang sama, lakar satu

garis lurus yang sesuai untuk mencari penyelesaian bagi persamaan kos 2x = 1x

π− .

5. Lakar graf bagi y = | tan x | untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Seterusnya, pada paksi-paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari penyelesaian

bagi persamaan | tan x | − 2

x

π = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian.

6 (a) Lakar graf bagi 3

3sin2

y x= − untuk 0 ≤ x ≤ 2π. [4 markah]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari

bilangan penyelesaian bagi persamaan 3

+ 3sin 0x 2

xπ

=

untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [3 markah]