volume benda-putar

Penggunaan Integral

Volume Benda Putar

Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Bola lampu di samping

dapat dipandang

sebagai benda putar

jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan

dipelajari juga

penggunaan integral

untuk menghitung

volume benda putar.

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Gb. 4

Home NextBack

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika

diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode

yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabungy

0 x

y

x

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

NextBack Home

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

NextBack Home


Perhatikan daerah di samping

diputar terhadap sumbu-x akan

menjadi gambar yang di

bawahnya. Untuk menghitung

volume benda putar yang

terbentuk diambil sebuah partisi

yang tegak lurus terhadap sumbu

putar. Partisi yang diambil

berbentuk cakram.

Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan

jari-jari R = f(x), tinggi h = x.

Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V R2h

atau V f(x)2x.

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfR

NextBack Home


Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 x

dxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfR

NextBack Home

dxRb

a 2v


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh Contoh

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah

daerahnya.

2. Tentukan bentuk

irisannya.

3. Masukkan dalam

rumusnya

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xR

x

JawabJawab

NextBack Home


y

h=x

x

x

12 xR

dxxV 2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBack Home

dxxfV 2

0

2))((

dxRV 2

0

2


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh

360º.

Contoh Contoh


1. Gambarlah daerahnya

2. Tentukan bentuk irisannya.

3. Masukkan dalam rumusnya

2

yy

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yR

JawabJawab

NextBack Home


dyyV 2

0

2

02

21yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yR 2

dyyV 2

0

2V

NextBack Home

dyyfV 2

0

2))((

Karena diputar terhadap sumbu-y maka integralnya dalam fungsi x=f(y)

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan memotong-

motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

NextBack Home


Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh Contoh



2. Tentukan bentuk

irisannya.

3. Masukkan dalam

rumusnya

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

JawabJawab

NextBack Home


y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

NextBack Home

dxrRVb

a )( 22

dxxxV 2

0

422 ))()2((

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar

disamping.

NextBack Home


rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh Contoh



2. Tentukan bentuk irisannya.

3. Masukkan dalam rumusnya

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

JawabJawab

NextBack Home


0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

NextBack Home

dxhrVb

a .2

dxxxV 2

0

2.2


Jika daerah pada contoh sebelumnya dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,

maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai

berikut.

0

x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

dxyV 4

04

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next

dxrRVb

a )( 22

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....


sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral


sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….


sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next

volume benda-putar

Education