variansi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada dasarnya statistika dapat didefinisikan sebagai pengetahuan yang

berhubungan dengan pengembangan dan penggunaan metoda serta teknik untuk

pengumpulan, penyajian, penganalisisan dan pengambilan kesimpulan mengenai

populasi berdasarkan sekumpulan data. Dalam pengambilan kesimpulan,

umumnya diperlukan metode analisis dengan semua asumsi terpenuhi. Akan

tetapi pada kenyataannya pemenuhan asumsi tersebut kadang sulit untuk

dilakukan, sehingga dalam banyak hal sering bergantung pada ketepatan dalam

pemilihan metode analisis yang tepat. Salah satu metode analisis yang biasa

digunakan adalah Analisis Variansi untuk rancangan percobaan. Sebelum

dilakukan pengujian Analisis Variansi, data hasil pengamatan tersebut terlebih

dahulu harus memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari analisis variansi tersebut.

Hal tersebut perlu diperhatikan karena jika tidak terpenuhinya satu atau lebih

asumsi dapat mempengaruhi baik taraf nyata maupun kepekaan uji F atau t

terhadap penyimpangan sesungguhnya dari hipotesis nol. Misal dalam kasus

ketaknormalan, taraf nyata yang sesungguhnya biasanya lebih besar daripada yang

dinyatakan dapat mengakibatkan peluang ditolaknya hipotesis nol lebih besar,

padahal hipotesis itu benar (Steel & Torrie, 1993:205). Tidak terpenuhinya

asumsi-asumsi ANAVA dapat mengakibatkan kekeliruan dalam pengambilam

keputusan suatu hipotesis.

Adapun asumsi-asumsi ANAVA yang harus dipenuhi salah satunya

adalah memiliki variansi yang homogen. Untuk menghitung variansi homogennya

pada dasarnya kita harus mengetahui cara menghitung variansi secara umumnya.

Dalam teori probabilitas dan statistika varians dari bahasa inggris adalah variance

atau ragam suatu peubah acak adalah ukuran bagi persebaran (disperse) data.

Yang diukur adalah seberapa jauh data tersebar di sekitar rerata.

1 I K I P P G R I B A L I

Istilah varians pertama kali diperkenalkan oleh Fisher dalam makalahnya

pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the

Supposition of Mendelian Inheritance (Korelasi di Antara Kerabat dalam

Kerangka Pewarisan Mendel). Pada makalah ini saya akan membahas secara

merinci cara menghitung variansi dari X jika X diskrit dan variansi dari X jika

X kontinu.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Apa pengertian dari Variansi ?

1.2.2 Apa rumus Variansi dari X jika X diskrit dan Variansi dari X jika X

kontinu ?

1.2.3 Apa saja sifat – sifat dari Varians ?

1.3 Tujuan Penyusunan Makalah

1.3.1 Mengetahui pengertian dari Variansi

1.3.1 Mengetahui rumus Variansi dari X jika X diskrit dan Variansi dari X

jika X kontinu sehingga bisa mengerjakan latihan soal menggunakan

rumus tersebut

1.3.2 Mengetahui apa saja sifat – sifat dari Variansi

1.4 Manfaat Makalah

Dapat memberikan informasi kepada pembaca tentang pengertian

Variansi, rumus Variansi dari X jika X diskrit dan Variansi dari X jika

X kontinu , sifat – sifat dari Variansi dan contoh soal.


BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian dari Variansi

Kuadrat dari simpangan baku adalah varian atau ragam. Varians

digunakan untuk mengetahui seberapa jauh persebaran nilai hasil observasi

terhadap rata – rata. Varians merupakan ukuran penyebaran yang paling sering

dipakai dalam statistik.

Berikut ini akan dijelaskan definisi variansi dari sebuah peubah acak yang

berlaku bagi peubah acak diskrit maupun kontinu.

Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Variansi dari X

didefinisikan sebagai :

atau :

Variansi dari peubah acak X sering dinotasikan dengan σ x2

.

Bukti :

Var ( X )=E ( X−μ )2

=E ( X2−2⋅μ⋅X+μ2)

=E ( X2)−2 μ⋅E( X )+μ2

=E ( X2)−2 μ⋅μ+μ2


Var ( X )=E [ X−E ( X ) ]2

Var ( X )=E ( X−μ )2

Var ( X )=E ( X2)−μ2

atau Var ( X )=E ( X2)−[ E ( X ) ]2

Penghitungan varians dari sebuah peubah acak dapat dilakukan dengan dua

rumus, yaitu :

1. Perumusan varians berdasarkan fungsi peluang atau fungsi densitas

a. Perumusan varians dari peubah acak diskrit

b. varians dari peubah acak kontinu

2. Perumusan varians berdasarkan penguraian lebih lanjut dari rumus varians.

Dalam hal ini, penghitungan variansnya berlaku untuk peubah acak diskrit

dan kontinu.

2.2 Rumus Variansi Diskrit dan Kontinu

a. Variansi Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi

peluang dari X di x, maka variansi dari X didefinisikan sebagai :

Contoh :

1. Misalnya distribusi peluang dari peubah acak X adalah

sebagai berikut:

x 1 2 3

p(x )12

13

16

Hitung Var(X )?

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi varians diskrit, maka:

Var( X )=∑

x

( x−μ )2 . p (x )

Dengan: μ=E ( X )=∑

x

x . p ( x )


Var ( X )=∑x

( X−μ )2⋅p( x )

=∑x=1

3

x . p (x )

= (1 ) . p (1 )+(2 ) . p (2 )+(3 ) . p (3 )

= (1 ) .( 12 )+(2 ) .( 1

3 )+(3 ) .( 16 )

μ=E ( X )=106

=53

Jadi: Var ( X )=∑

x=1

3

(x−53 )

2

. p (x )

=(1−53 )

2

. p (1 )+(2−53 )

2

. p (2 )+(3−53 )

2

. p (3 )

=( 49 )( 1

2 )+( 19 )( 1

3 )+(169 )( 1

6 )

=29+ 1

27+ 8

27

Var

( X )=1527

=59

2.Misalkan X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari

suatu mesin bila 4 suku cadang diambil secara cak dari

proses produksi.

Distribusi peluang X:

x 1 2 3

p(x ) 0,3 0,4 0,3

Hitunglah varians dari X!


Penyelesaian:

Berdasarkan definisi varians diskrit, maka:

Var( X )=∑

x

( x−μ )2 . p (x )

Dengan:

μ=E ( X )=∑x

x . p ( x )

=∑x=1

3

x . p (x )

= (1 ) . p (1 )+(2 ) . p (2 )+(3 ) . p (3 )

= (1 ) . (0,3 )+(2 ) . (0,4 )+(3 ) . (0,3 )

= (0,3 )+(0,8 )+(0,9 )

μ=E ( X )=2,0

Jadi:

Var ( X )=∑x=1

3

(x−2,0 )2 . p ( x )

= (1−2 )2 . p (1 )+(2−2 )2 . p (2 )+(3−2 )2 . p (3 )

b. Variansi Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi

densitas dari X di x, maka variansi dari X didefinisikan sebagai :

Contoh :


Var ( X )=∫−∞

∞

( X−μ )2⋅f ( x ) dx

= (1 ) . (0,3 )+(0 ) . (0,4 )+(1 ) (0,3 )

=0,6

1. Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk :

f ( x )=2 x+23

;0<x<1

Hitung Var ( X )!

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi rataan kontinu, maka :

i.μ=E ( X )=∫

0

1

x⋅f ( x ) dx

=∫

0

1

x⋅( 2x+23 )dx

=∫

0

12 x2+2 x

3 dx

=

23

x3+x2

3]01

=

23+1

3


μ=E ( X )=

533

=59

Berdasarkan definisi nilai ekspetasi kontinu, maka :

ii.E ( X 2)=∫

0

1

x2⋅f (x ) dx

=∫

0

1

x2⋅( 2 x+23 )dx

=∫

0

12 x3+2 x2

3 dx

=

12

x4+23

x3

3]01

=

12+ 2

33

=

36+ 4

63

E ( X 2)=

763

=7

18

Jadi : Var ( X )=E ( X2 )−[ E ( X ) ]2

= 7

18−(5

9 )2

= 7

18−25

81=567

1458−450

1458

Var ( X )=117

1458=0 , 080

2. Misalkan X menyatakan permintaan minyak goreng (dalam

liter) menjelang hari raya. Fungsi padat dari X sebagai berikut :


f ( x )=2( x−1 ) ; 1< x<2

=0; x lainnya

Hitung Var ( X )!

Penyelesaian :


i.μ=E ( X )=∫

1

2

x⋅f ( x ) dx

=∫1

2

x⋅2 ( x−1 ) dx

=2∫1

2

x⋅¿ ( x−1 ) dx ¿

=2∫1

2

x2−x dx

=2( 13

x3−12

x2 ]12)

=2(( 13(2)3−

12(2 )2)−( 1

3(1)3−

12(1 )2))

=2((166

−126 )−( 2

6−

36 ))

=2( 46−(−1

6 ))


μ=E ( X )=2⋅56=10

6=5

3


E ( X 2)=∫1

2

x2 . f (x )dx

=∫1

2

x2 . 2 (x−1 )dx

=2∫1

2

x2( x−1 )dx

=2∫

1

2

x3−x2 dx

=2( 14

x4−13

x3 ]12)

=2(( 14

(2)4−13(2)3)−( 1

4(1 )4−

13(1)3))

=2((4812

−3212 )−( 3

12−

412 ))

=2(1612

−(− 112 ))

E ( X 2)=2⋅1712

=3412

=176

Jadi : Var ( X )=E ( X2 )−[ E ( X ) ]2


ii.

=17

6−(5

3 )2

=17

6−25

9=51

18−50

18

Var ( X )= 1

18

2.3 Sifat – sifat Variansi

Berikut ini akan dijelaskan beberapa sifat dari varians.

Dalil 1

Bukti :

Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka :

Var (c )=E[ c−E( c ) ]2

=E (c−c )2

=E (0)

Var (c )=0 (terbukti)

Dalil 2

Bukti :


Var ( X+c )=E [ ( X+c )−E ( X+c ) ]2


a. Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var (c) = 0

b. Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka :

Var ( X+c )=Var ( X )

=E [ X+c−E ( X )−E(c )]2

=E [ X+c−E ( X )−c ]2

=E [ X−E( X )]2

Var ( X+c )=Var ( X ) (terbukti)

Dalil 3

Bukti :


Var (aX+b)=E [ (aX+b )−E (aX+b ) ]2

=E [ aX+b−E (aX )−E (b ) ]2

=E [ aX+b−a⋅E ( X )−b ]2

=E [ aX−a⋅E ( X ) ]2

=a2⋅E [ X−E ( X ) ]2

Var (aX+b)=a2⋅Var ( X ) (terbukti)

Berikut ini akan diberikan contoh penggunaan sifat-sifat varians diatas.

Contoh :

1. Misalkan Farah mengundi sebuah dadu yang seimbang. Jika peubah acak X

menyatakan kuadrat dari munculnya angka pada mata dadu, maka hitunglah


c. Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka :

Var (aX+b)=a2⋅Var ( X )

a. Var(2 X )

b. Var ( 12

X−1)Penyelesaian :

Distribusi peluang dari X berbentuk:

x 1 4 9 16 25 36

p(x )16

16

16

16

16

16

Berdasarkan definisi rataan diskrit, maka:

i.E ( X )=∑

x

x . p (x )

= (1 )( 16 )+(4 )( 1

6 )+ (9 )( 16 )+(16 )( 1

6 )+(25 )( 16 )+(36 )( 1

6 )=1

6+ 4

6+ 9

6+16

6+25

6+36

6

E ( X )=916

ii.E ( X 2)=∑

x

x2. p ( x )

= (1 )( 16 )+(16 )( 1

6 )+(81 )( 16 )+(196 )( 1

6 )+(625 )( 16 )+(1296 )( 1

6 )=1

6+ 4

6+ 9

6+16

6+25

6+36

6

E ( X 2)=22156

Maka : Var( X )=E ( X2 )−[ E ( X ) ]2

=(22156 )−(91

6 )2

=(22156 )−(8281

36 )


=(13 .29036 )−(8281

36 )=5009

36

a. Var(2 X )=a2 . Var ( X )

= (2 )2.(500936 )

=4 .(500936 )

Var(2 X )=5009

9

b. Var ( 12

X−1)=a2 .Var ( X )

=( 12 )

2

. (−1 )2 .(500936 )

=( 14 ). (1 ) .(5009

36 )

Var ( 12

X−1)=5009144

2. Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk :

g ( x )=1 ;0<x<1

=0; x lainnya .

Hitung Var (3 X ) dan Var (2 X+10 ) .

Penyelesaian :



i.μ=E ( X )=∫

0

1

x⋅1 dx

=∫

0

1

x dx

=1

2x2 ]0

1

μ=E ( X )=1

2


ii.E ( X 2)=∫

0

1

x2⋅1 dx

=∫0

1

x2 dx

=13

x3 ]01

E( X2 )=1

3

Jadi : Var ( X )=E ( X2 )−[ E ( X ) ]2

=1

3−(1

2 )2

=13−1

4

Var ( X )= 1

12

Sehingga :


a. Var (3 X )=32⋅Var ( X )

= (9 )⋅( 1

12 )Var (3 X )= 9

12=3

4

b. Var (2 X+10 )=a2⋅Var ( X )

=22⋅Var ( X )

=4⋅( 1

12 )

Var (2 X+10 )= 412

=13

BAB III


PENUTUP

3.1 Simpulan

o Variansi adalah kuadrat dari simpangan baku. Varians digunakan untuk

mengetahui seberapa jauh persebaran nilai hasil observasi terhadap rata –

rata. Varians merupakan ukuran penyebaran yang paling sering dipakai

dalam statistik. Variansi dari X didefinisikan sebagai :

Variansi dari X didefinisikan sebagai :

atau:

o Variansi Diskrit

o Variansi Kontinu

o Sifat – sifat Variansi


Var ( X )=E [ X−E ( X ) ]2

Var ( X )=E ( X−μ )2

Var ( X )=∑x

( x−μ )2⋅p (x )

Var ( X )=∫−∞

∞

( x−μ )2⋅f ( x ) dx

Dalil 1

Dalil 2

Dalil 3

3.2 Saran

Lebih banyak membaca buku dan latihan soal maupun yang lainnya untuk

memahami tentang Variansi.


Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var (c) = 0

Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka :

Var ( X+c )=Var ( X )

Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka :

Var (aX+b)=a2⋅Var ( X )

DAFTAR PUSTAKA

J. Purcell, Edwin. 2004. Kalkulus. Jakarta: Erlangga.

Mahendra, Eka.2015.Statistik Dasar Dalam Penelitian

Pendidikan.Surabaya.Paramita.

Herrhyanto, Nar.2009.Pengantar Statistika Matematis.Bandung.Yrama Widya.


variansi

Documents