STATISTIKUKURAN SIMPANGAN, DISPERSE DAN VARIASI

Muhamad Fadillan Amir, S.Pi., M.Si

PENGUKURAN DISPERSI, KEMIRINGAN, DAN KERUNCINGAN DATA

• DISPERSI DATADispersi/ variasi/ keragaman data: ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.

• Ukuran Dispersi yang akan dipelajari:Jangkauan (Range)Simpangan rata – rata (mean deviation)Variansi (variance)Standar Deviasi (Standard Deviation)Simpangan Kuartil (quartile deviation)Koefisien variasi (coeficient of variation)

Dispersi multak

Dispersi relatif

RANGE/ JANGKAUAN DATA (r)

• Nilai rentang ini menunjukkan selisih antara data yang paling tinggi dengan data yang paling rendah.

• Dengan melihat ukuran ini maka dapat diketahui gambaran secara kasar tentang variasi suatu distribusi data.

• Nilai range (rentang) ini sangat kasar, karena tidak mempertimbangkan nilai-nilai yang lain selain nilai ekstrimnya.

• Range: Selisih nilai maksimum dan nilai minimum

Rumus:• Range untuk kelompok data dalam bentuk

distribusi frekuensi diambil dari selisih antara nilai tengah kelas maksimun – nilai tengah kelas minimum

Range (r) = Nilai max – nilai min

Jangkauan – Data Tunggal

Rumus

ContohDiketahui data 20, 30, 50, 70, 100.Tentukan nilai jangkauan data.r = X5 – X1r = 100 – 20 r = 80

r = Xn – X1r = Nilai Maksimum – Nilai Minimum

Jangkauan – Data Berkelompok

Rumus

r = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertamar = Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama

Simpangan Rata2/ Mean Deviation (SR)

• Simpangan rata – rata: jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata – rata, dibagi banyaknya data.

• Rumus Untuk data tidak berkelompok

X XSR

n

Dimana:X = nilai data = rata – rata hitung n = banyaknya dataX

• Untuk data berkelompok

( )f X XSR

n

Dimana:X = nilai data = rata – rata hitungn = Σf = jumlah frekuensiX

VARIANSI/ VARIANCE 2( )s

• Variansi adalah rata – rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata – rata hitung.

2

2s = simbol untuk sample

= simbol untuk populasi

• Rumus untuk data tidak berkelompok

• Untuk data berkelompok

2

2

1

X XS

n

2

2

1

f X XS

n

STANDAR DEVIASI/ STANDARD DEVIATION (S)

• Standar deviasi: akar pangkat dua dari variansi• Rumus:

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

2

2

1

X XS

n

2

2

1

f X XS

n

Contoh Soal• Data tidak berkelompok

Diketahui sebuah data berikut:

20, 50, 30, 70, 80

Tentukanlah:

a. Range (r)

b. Simpangan Rata – rata (SR)

c. Variansi

d. Standar Deviasai

• Jawab:

a. Range (r) = nilai terbesar – nilai terkecil = 80 – 20 = 60

b. Simpangan Rata – rata (SR):

n = 5

X XSR

n

20 50 30 70 8050

5X

20 50 50 50 30 50 70 50 80 50

5SR

30 0 20 20 30 10020

5 5SR

• Variansi

• Standar Deviasi (S)

2( )s

2

2

1

X XS

n

2 2 2 2 22 (20 50) (50 50) (30 50) (70 50) (80 50)

5 1S

2 900 0 400 400 900 2600650

4 4S

2S S

650 25,495S

Contoh Soal• Data Berkelompok

Diketahui data pada tabel dibawah ini:

Modal Frekuensi

112 - 120 4

121 - 129 5

130 - 138 8

139 - 147 12

148 -156 5

157 -165 4

166 - 174 2

40

Tentukan:a. Range (r)b. Simpangan rata – rata (SR)c. Variansid. Standar Deviasi

JAWAB• Range (r)= (nilai tengah tertinggi – nilai tengah terendah)• Simpangan rata – rata

• Variansi

• Standar Deviasi

( )f X XSR

n

2

2

1

f X XS

n

2

2

1

f X XS

n

n = jml frekuensi

• Untuk memudahkan mencari jawaban, maka dibuat tabel sesuai dengan keperluan jawaban

Modal fNilai

Tengah (X)

112 - 120 4 116 24,525 98,100 601,476 2405,902

121 - 129 5 125 15,525 77,625 241,026 1205,128

130 - 138 8 134 6,525 52,200 42,576 340,605

139 - 147 12 143 2,475 29,700 6,126 73,507

148 -156 5 152 11,475 57,375 131,676 658,378

157 -165 4 161 20,475 81,900 419,226 1676,902

166 - 174 2 170 29,475 58,950 868,776 1737,551

Jumlah 40 455,850 8097,974

X X f X X 2( )X X 2( )f X X

Maka dapat dijawab:• Range (r) = 170 – 116 = 54• Simpangan rata – rata

• Variansi

• Standar Deviasi

455,85011,396

40SR

2 8097,974 8097,974207,64

40 1 39S

207,64 14,41S

Rentang Antar Kuartil

Apabila kita berhadapan dengan variabel yang mempunyai tingkat pengukuran orinal, maka ukuran variansi yang baik adalah Rentang Antar Kuartil yaitu :

RAK=K3-K1

Ket:

RAK = Rentang Antar Kuartil

K3 = Kuartil Ketiga

K1 = Kuartil Pertama

JANGKAUAN QUARTIL DAN JANGKAUAN PERSENTIL 10-90

• Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil, rentang semi antar kuartil, deviasi kuartil. Jangkauan persentil 10-90 disebut juga rentang persentil 10-90

• Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil lebih baik daripada jangkauan (range) yang memakai selisih antara nilai maksimum dan nilai minimun suatu kelompok data

• Rumus:

Jangkauan Kuartil:

3 1

1( )

2JK Q Q

Ket:JK: jangkauan kuartilQ1: kuartil bawah/ pertamaQ3: kuartil atas/ ketiga

Contoh :NILAI TIAP JAM UNTUK 65 PABRIK DI PABRIK A

Nilai Ujian frekuensi

50,00-59,99 8

60,00-69,99 10

70,00-79,99 16

80,00-89,99 14

90,00-99,99 10

100,00-109,99 5

110,00-119,99 2

Jumlah 65

Data dari tabel diatas diperoleh

K1=Rp.68,25

K3=Rp90,75

Maka RAK =Rp.22,50

Ditafsirkan bahwa 50% dari data,

Nilainya paling rendah 68,25 dan palingtinggi90,75dengan perbedaan

Paling tinggi 22,50.

Frekuensi relatif untuk kelas pertama diperoleh dari : 2/80x100%=2,50%

• Rumus Jangkauan Persentil

• KOEFISIEN VARIASI/ DISPERSI RELATIF Untuk mengatasi dispersi data yang sifatnya mutlak, seperti simpangan

baku, variansi, standar deviasi, jangkauan kuartil,dll Untuk membandingkan variasi antara nilai – nilai bersar dengan nilai –

nilai kecil. Untuk mengatasi jangkauan data yang lebih dari 2 kelompok data.

10 90 90 10JP P P

Rumus:

*100%S

KVX

Ket:

KV: Koefisien variasiS : Standar deviasiX : Rata – rata hitung

KOEFISIEN VARIASI KUARTIL• Alternatif lain untuk dispersi relatif yang bisa digunakan jika

suatu kelompok data tidak diketahui nilai rata – rata hitungnya dan nilai standar deviasinya.

• Rumus:

3 1

3 1Q

Q QKV

Q Q

atau 3 1( ) / 2

Q

Q QKV

Med

NILAI BAKU• Nilai baku atau skor baku adalah hasil transformasi antara nilai

rata – rata hitung dengan standar deviasi• Rumus:

1i

X XZ

S

Nilai i = 1, 2, 3, …, n

Contoh Soal untuk Koefisien Variasi dan Simpangan Baku• Koefisien Variasi

Ada dua jenis bola lampu. Lampu jenis A secara rata – rata mampu menyala selama 1500 jam dengan simpangan baku (standar deviasi) S1 = 275 jam, sedangkan lampu jenis B secara rata – rata dapat menyala selama 1.750 jam dengan simpangan baku S2 = 300 jam. Lampu mana yang kualitasnya paling baik?

Jawab:

Lampu jenis A:

Lampu jenis B:

11

1

275*100% *100% 18,3%

1500

SKV

X

22

2

300*100% *100% 17,1%

1750

SKV

X

• Nilai rata – rata ujian akhir semester mata kuliah Statistika dengan 45 mahasiswa adalah 78 dan simpangan baku/standar deviasi (S) = 10. Sedangkan untuk mata kuliah Bahasa Inggris di Kelas itu mempunyai nilai rata – rata 84 dan simpangan bakunya (S) = 18. Bila dikelas itu, Desi mendapat nilai UAS untuk kalkulus adalah 86 dan untuk bahasa Inggris adalah 92, bagaimana posisi/ prestasi Desi di kelas itu?

• Jawab• Untuk mengetahui posisi/ prestasi Desi, maka harus dicari nilai

baku (Z) dari kedua mata kuliah tersebut.

dengan nilai X adalah nilai UAS yang diperoleh Desi

X XZ

S

• Untuk Mata Kuliah StatistikaX = 86 S = 10

Maka:

Untuk Mata Kuliah Bahasa Inggris

X = 92 S = 18

Maka:

Karena nilai baku (Z) untuk mata kuliah Statistika lebih besar dari B. Inggris, maka posisi Desi lebih baik pada mata kuliah Statistika dari pada B. Inggris

78X

86 780,8

10Z

84X 92 84

0,418

Z

Soal-soal

Sepuluh orang juri memberikan penilaian terhadap jenis makanan yang baru dikembangkan sebagai berikut.

22 30 17 10 15 28 32 25 24 16

Hitunglah nilai jangkauan, simpangan rata-rata, dan simpangan baku.

28

Soal-soal

Hasil penelitian terhadap hasil produksi padi kering per hektar dalam kuintal di 100 desa tahun 2010 sebagai berikut

Buatlah Tabel distribusi frekuensi berdasarkan petunjuk Sturges. Hitunglah nilai jangkauan, simpangan rata-rata, dan standard deviasi.

29

71 29 64 118 74 86 53 38 70 64

72 39 78 72 33 64 41 36 78 58

60 42 96 48 43 39 63 71 43 69

39 72 120 102 26 86 39 28 64 61

78 82 78 96 38 63 71 43 53 86

79 83 103 64 64 78 96 54 48 50

112 136 48 73 63 63 123 62 36 58

113 27 73 42 71 54 28 96 81 63

114 48 100 62 48 62 71 72 63 71

83 28 28 43 39 38 36 83 62 60

TERIMA KASIH