Transformasi Laplace From Wikipedia, the free encyclopedia Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas

Jump to: navigation , search Langsung ke: navigasi, cari

In mathematics , the Laplace transform is a widely used integral transform . Dalam matematika, transformasi Laplace yang banyak digunakan adalah mengubah integral. It has many important applications in mathematics , physics , engineering , and probability theory . Ini memiliki banyak aplikasi penting dalam matematika, fisika, teknik, dan teori probabilitas.

The Laplace transform is related to the Fourier transform , but whereas the Fourier transform resolves a function or signal into its modes of vibration , the Laplace transform resolves a function into its moments . Transformasi Laplace berkaitan dengan Transformasi Fourier, tapi Transformasi Fourier sedangkan fungsi resolve atau sinyal ke dalam mode getaran, transformasi Laplace menyelesaikan fungsi ke dalam beberapa saat. Like the Fourier transform, the Laplace transform is used for solving differential and integral equations. Seperti Transformasi Fourier, transformasi Laplace digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial dan integral. In physics and engineering, it is used for analysis of linear time-invariant systems such as electrical circuits , harmonic oscillators , optical devices , and mechanical systems. Dalam fisika dan teknik, digunakan untuk analisis linier invarian waktu-sistem seperti sirkuit listrik, osilator harmonik, perangkat optik, dan sistem mekanis. In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain , in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain , where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency , in radians per unit time. Dalam analisis ini, Transformasi Laplace sering ditafsirkan sebagai transformasi dari waktu-domain, di mana semua masukan dan output adalah fungsi dari waktu, ke frekuensi-domain, di mana sama input dan output adalah fungsi dari kompleks frekuensi sudut, dalam radian per satuan waktu. Given a simple mathematical or functional description of an input or output to a system, the Laplace transform provides an alternative functional description that often simplifies the process of analyzing the behavior of the system, or in synthesizing a new system based on a set of specifications. Mengingat matematika sederhana atau deskripsi fungsional dari sebuah input atau output ke sistem, Transformasi Laplace menyediakan deskripsi alternatif fungsional yang sering menyederhanakan proses menganalisis perilaku sistem, atau dalam mensintesis sebuah sistem baru yang didasarkan pada seperangkat spesifikasi.

Denoted Dilambangkan , it is a linear operator on a function f ( t ) ( original ) with a real argument t ( t ≥ 0) that transforms it to a function F ( s ) ( image ) with a complex argument s . , Ini merupakan operator linier pada fungsi f (t) (asli) dengan argumen yang nyata t (t ≥ 0) yang berubah ke fungsi F (s) (image) dengan argumen yang kompleks s. This transformation is essentially bijective for the majority of practical uses; the respective pairs of f ( t ) and F ( s ) are matched in tables. Transformasi ini pada dasarnya adalah bijective bagi mayoritas praktis menggunakan; pasangan masing-masing dari f (t) dan F (s) dicocokkan dalam tabel. The Laplace transform has the useful property that many relationships and operations over the originals f ( t ) correspond to simpler relationships and operations over the images F ( s ). [ 1 ] Transformasi

Laplace memiliki properti yang bermanfaat banyak hubungan dan operasi di atas aslinya f (t) sesuai dengan hubungan sederhana dan operasi melalui gambar F (s). [1]

Contents Isi

[hide] 1 History 1 Sejarah 2 Formal definition 2 Definisi formal

o 2.1 Probability theory Probabilitas 2,1

o 2.2 Bilateral Laplace transform 2,2 bilateral Transformasi Laplace

o 2.3 Inverse Laplace transform 2,3 Inverse Transformasi Laplace

3 Region of convergence 3 Daerah konvergensi

4 Properties and theorems 4 Properties dan teorema

o 4.1 Proof of the Laplace transform of a function's derivative Bukti 4,1 Transformasi Laplace fungsi's derivatif

o 4.2 Relationship to other transforms Hubungan 4,2 transformasi lain

4.2.1 Laplace–Stieltjes transform 4.2.1 Transformasi Laplace-Stieltjes

4.2.2 Fourier transform 4.2.2 Transformasi Fourier

4.2.3 Mellin transform 4.2.3 Mellin mengubah

4.2.4 Z-transform 4.2.4 Z-transform

4.2.5 Borel transform 4.2.5 Borel mengubah

4.2.6 Fundamental relationships 4.2.6 hubungan Fundamental

5 Table of selected Laplace transforms 5 Tabel yang dipilih transformasi Laplace

6 s-Domain equivalent circuits and impedances 6 detik-Domain setara rangkaian dan impedansi

7 Examples: How to apply the properties and theorems 7 Contoh: Bagaimana menerapkan sifat dan teorema

o 7.1 Example #1: Solving a differential equation 7,1 Contoh # 1: Penyelesaian persamaan diferensial

o 7.2 Example #2: Deriving the complex impedance for a capacitor 7,2 Contoh # 2: Menderivasi impedansi kompleks untuk sebuah kapasitor

o 7.3 Example #3: Method of partial fraction expansion 7,3 Contoh # 3: Metode

ekspansi pecahan parsial

o 7.4 Example #4: Mixing sines, cosines, and exponentials 7,4 Contoh # 4: Mencampur sinus, cosinus, dan eksponensial

o 7.5 Example #5: Phase delay 7,5 Contoh # 5: Fase penundaan

8 See also 8 Lihat pula

9 Notes 9 Catatan

10 References 10 Referensi

o 10.1 Modern 10,1 Modern

o 10.2 Historical 10,2 Bersejarah

11 External links 11 Pranala luar

[ edit ] History [Sunting] Sejarah

The Laplace transform is named in honor of mathematician and astronomer Pierre-Simon Laplace , who used the transform in his work on probability theory . Transformasi Laplace ini dinamai untuk menghormati matematikawan dan astronom Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan transformasi dalam karyanya pada teori probabilitas. From 1744, Leonhard Euler investigated integrals of the form Dari 1744, Leonhard Euler menyelidiki integral dari bentuk

— as solutions of differential equations but did not pursue the matter very far. [ 2 ] Joseph Louis Lagrange was an admirer of Euler and, in his work on integrating probability density functions , investigated expressions of the form - Sebagai solusi dari persamaan diferensial, tapi tidak mengejar hal yang sangat jauh. [2] Joseph Louis Lagrange adalah seorang pengagum Euler dan, dalam karyanya pada integrasi fungsi-fungsi kerapatan probabilitas, diselidiki dalam bentuk ekspresi

— which some modern historians have interpreted within modern Laplace transform theory. [ 3 ] [ 4 ] These types of integrals seem first to have attracted Laplace's attention in 1782 where he was following in the spirit of Euler in using the integrals themselves as solutions of equations. [ 5 ] However, in 1785, Laplace took the critical step forward when, rather than just looking for a solution in the form of an integral, he started to apply the transforms in the sense that was later to become popular. - Yang beberapa sejarawan modern telah ditafsirkan dalam teori Transformasi Laplace modern. [3] [4] jenis ini tampaknya integral pertama yang menarik perhatian Laplace pada

tahun 1782 di mana ia mengikuti semangat Euler dalam menggunakan integral diri mereka sebagai solusi dari persamaan . [5] Namun, pada 1785, Laplace mengambil langkah penting ke depan ketika, bukan hanya mencari solusi dalam bentuk integral, ia mulai menerapkan transformasi dalam arti yang kemudian menjadi populer. He used an integral of the form: Dia menggunakan integral dalam bentuk:

— akin to a Mellin transform , to transform the whole of a difference equation , in order to look for solutions of the transformed equation. - Mirip dengan Mellin mengubah, untuk mengubah seluruh dari perbedaan persamaan, dalam rangka mencari solusi dari persamaan berubah. He then went on to apply the Laplace transform in the same way and started to derive some of its properties, beginning to appreciate its potential power. [ 6 ] Dia kemudian melanjutkan untuk menerapkan Transformasi Laplace dengan cara yang sama dan mulai menurunkan beberapa sifat-sifatnya, mulai menghargai potensi kekuatan. [6]

Laplace also recognised that Joseph Fourier 's method of Fourier series for solving the diffusion equation could only apply to a limited region of space as the solutions were periodic. Laplace juga mengakui bahwa Joseph Fourier 's metode deret Fourier untuk memecahkan persamaan difusi hanya bisa berlaku untuk daerah yang terbatas ruang sebagai solusi-solusi periodik. In 1809, Laplace applied his transform to find solutions that diffused indefinitely in space. [ 7 ] Pada tahun 1809, Laplace transform diterapkan nya untuk mencari solusi yang tersebar di ruang angkasa tanpa batas waktu. [7]

[ edit ] Formal definition [Sunting] Definisi formal

The Laplace transform of a function f ( t ), defined for all real numbers t ≥ 0, is the function F ( s ), defined by: Transformasi Laplace dari suatu fungsi f (t), didefinisikan untuk semua bilangan real t ≥ 0, adalah fungsi F (s), ditetapkan oleh:

The parameter s is a complex number : Parameter s adalah bilangan komplek:

with real numbers σ and ω. dengan bilangan real dan ω σ.

The meaning of the integral depends on types of functions of interest. Arti dari integral tergantung pada fungsi jenis bunga. For functions that decay at infinity or are of exponential type , it can be understood as a (proper) Lebesgue integral . Untuk fungsi-fungsi yang membusuk di tak terhingga atau berasal dari tipe eksponensial, dapat dipahami sebagai suatu (benar) Léon Lebesgue integral. However, for many applications it is necessary to regard it as a conditionally convergent improper integral at ∞. Namun, untuk banyak aplikasi itu perlu menganggapnya sebagai konvergen kondisional yang tidak benar integral di ∞. Still more generally, the integral

can be understood in a weak sense , and this is dealt with below. Masih lebih umum, integral dapat dipahami dalam pengertian lemah, dan hal ini ditangani di bawah ini.

One can define the Laplace transform of a finite Borel measure μ by the Lebesgue integral [ 8 ] Satu dapat menentukan Transformasi Laplace terbatas ukuran Borel μ oleh Léon Lebesgue integral [8]

An important special case is where μ is a probability measure or, even more specifically, the Dirac delta function. Kasus khusus yang penting adalah di mana μ adalah ukuran probabilitas atau, bahkan lebih spesifik, fungsi delta Dirac. In operational calculus , the Laplace transform of a measure is often treated as though the measure came from a distribution function ƒ . Dalam kalkulus operasional, Transformasi Laplace ukuran sering diperlakukan seolah-olah ukuran berasal dari fungsi distribusi f. In that case, to avoid potential confusion, one often writes Dalam hal itu, untuk menghindari kemungkinan timbulnya kebingungan, orang sering menulis

where the lower limit of 0 − is short notation to mean dimana batas bawah dari 0 - notasi pendek berarti

This limit emphasizes that any point mass located at 0 is entirely captured by the Laplace transform. Batas ini menekankan bahwa setiap titik yang terletak pada 0 massa sepenuhnya ditangkap oleh Transformasi Laplace. Although with the Lebesgue integral , it is not necessary to take such a limit, it does appear more naturally in connection with the Laplace–Stieltjes transform . Meskipun dengan Léon Lebesgue integral, tidak perlu untuk mengambil seperti batas, hal ini tampak lebih alami sehubungan dengan Transformasi Laplace-Stieltjes.

[ edit ] Probability theory [Sunting] Teori Probabilitas

In pure and applied probability , the Laplace transform is defined by means of an expectation value . Dalam murni dan terapan probabilitas, transformasi Laplace didefinisikan melalui suatu nilai harapan. If X is a random variable with probability density function ƒ , then the Laplace transform of ƒ is given by the expectation Jika X adalah variabel acak dengan fungsi kepadatan probabilitas ƒ, maka Transformasi Laplace dari f diberikan oleh harapan

By abuse of language , one often refers instead to this as the Laplace transform of the random variable X . Oleh penyalahgunaan bahasa, orang sering merujuk bukannya ini sebagai Transformasi Laplace dari variabel acak X. Replacing s by − t gives the moment generating function of X . Mengganti s oleh - t memberikan fungsi pembangkit momen dari X. The Laplace transform has applications throughout probability theory, including first passage times of stochastic processes such as Markov chains , and renewal theory . Transformasi Laplace memiliki seluruh aplikasi teori probabilitas, termasuk bagian pertama kali dari proses stokastik seperti rantai Markov, dan teori pembaruan.

[ edit ] Bilateral Laplace transform [Sunting] Transformasi Laplace Bilateral

Main article: Two-sided Laplace transform Artikel utama: Dua-sided Transformasi Laplace

When one says "the Laplace transform" without qualification, the unilateral or one-sided transform is normally intended. Ketika seseorang mengatakan "Transformasi Laplace" tanpa kualifikasi, unilateral atau sepihak mengubah biasanya dimaksudkan. The Laplace transform can be alternatively defined as the bilateral Laplace transform or two-sided Laplace transform by extending the limits of integration to be the entire real axis. Transformasi Laplace dapat didefinisikan sebagai alternatif bilateral Transformasi Laplace atau dua sisi Transformasi Laplace dengan memperluas batas-batas integrasi untuk seluruh sumbu nyata. If that is done the common unilateral transform simply becomes a special case of the bilateral transform where the definition of the function being transformed is multiplied by the Heaviside step function . Jika itu dilakukan sepihak umum hanya mengubah menjadi kasus khusus dimana bilateral mengubah definisi dari fungsi yang berubah adalah dikalikan dengan langkah Heaviside fungsi.

The bilateral Laplace transform is defined as follows: Transformasi Laplace bilateral didefinisikan sebagai berikut:

[ edit ] Inverse Laplace transform [Sunting] Inverse Transformasi Laplace

For more details on this topic, see Inverse Laplace transform . Untuk detail lebih lanjut tentang topik ini, lihat Inverse Transformasi Laplace.

The inverse Laplace transform is given by the following complex integral, which is known by various names (the Bromwich integral , the Fourier-Mellin integral , and Mellin's inverse formula ): Para invers transformasi Laplace diberikan oleh berikut kompleks integral, yang dikenal dengan berbagai nama (yang Bromwich integral, Fourier-Mellin integral, dan Mellin's invers rumus):

where γ is a real number so that the contour path of integration is in the region of convergence of F ( s ) normally requiring γ > Re( s p ) for every singularity s p of F ( s ) and i 2 = −1. dimana γ adalah bilangan real sehingga jalan kontur integrasi di wilayah konvergensi dari F (s) biasanya membutuhkan γ> Re (s p) untuk setiap singularitas s p dari F (s) dan i 2 = -1. If all singularities are in the left half-plane, that is Re( s p ) < 0 for every s p , then γ can be set to zero and the above inverse integral formula becomes identical to the inverse Fourier transform . Jika semua singularitas berada di sebelah kiri setengah-bidang, yaitu Re (s p) <0 untuk setiap s p, maka γ dapat diatur ke nol dan integral di atas rumus invers menjadi identik dengan kebalikan Transformasi Fourier.

An alternative formula for the inverse Laplace transform is given by Post's inversion formula . Rumus alternatif untuk invers Transformasi Laplace diberikan oleh rumus inversi Post.

[ edit ] Region of convergence [Sunting] Daerah konvergensi

If ƒ is a locally integrable function (or more generally a Borel measure locally of bounded variation), then the Laplace transform F ( s ) of ƒ converges provided that the limit Jika f adalah integrable lokal fungsi (atau lebih umum sebuah ukuran Borel variasi lokal yang dibatasi), maka Transformasi Laplace F (s) dari f menyatu dengan ketentuan bahwa batas

exists. ada. The Laplace transform converges absolutely if the integral Transformasi Laplace konvergen mutlak jika integral

exists (as proper Lebesgue integral). ada (seperti yang layak Léon Lebesgue integral). The Laplace transform is usually understood as conditionally convergent, meaning that it converges in the former instead of the latter sense. Transformasi Laplace biasanya dipahami sebagai konvergen kondisional, artinya menyatu di bekas bukannya pengertian yang terakhir.

The set of values for which F ( s ) converges absolutely is either of the form Re{ s } > a or else Re{ s } ≥ a , where a is an extended real constant , −∞ ≤ a ≤ ∞. Nilai yang ditetapkan untuk yang F (s) konvergen mutlak adalah salah satu bentuk Re (s)> a atau lain Re (s) ≥ a, di mana merupakan konstanta nyata diperpanjang, - ∞ ≤ a ≤ ∞. (This follows from the dominated convergence theorem .) The constant a is known as the abscissa of absolute convergence, and depends on the growth behavior of ƒ ( t ). [ 9 ] Analogously, the two-sided transform converges absolutely in a strip of the form a < Re{ s } < b , and possibly including the lines Re{ s } = a or Re{ s } = b . [ 10 ] The subset of values of s for which the Laplace transform converges absolutely is called the region of absolute convergence or the domain of absolute convergence. (Ini mengikuti dari teorema konvergensi didominasi.) Konstan yang dikenal sebagai absolut absis konvergensi, dan bergantung pada perilaku pertumbuhan f (t). [9] Demikian juga dua sisi benar-

benar mengubah menyatu dalam satu strip formulir ini <Re (s) <b, dan mungkin termasuk garis Re (s) = a atau Re (s) = b. [10] The bagian dari nilai-nilai s untuk yang benar-benar menyatu Transformasi Laplace disebut wilayah konvergensi mutlak atau absolut domain konvergensi. In the two-sided case, it is sometimes called the strip of absolute convergence. Dalam kasus dua sisi, kadang-kadang disebut strip konvergensi absolut. The Laplace transform is analytic in the region of absolute convergence. Transformasi Laplace adalah analitik di wilayah konvergensi absolut.

Similarly, the set of values for which F ( s ) converges (conditionally or absolutely) is known as the region of conditional convergence, or simply the region of convergence (ROC). Demikian pula, himpunan nilai-nilai yang F (s) menyatu (kondisional atau mutlak) dikenal sebagai daerah konvergensi bersyarat, atau hanya wilayah konvergensi (ROC). If the Laplace transform converges (conditionally) at s = s 0 , then it automatically converges for all s with Re{ s } > Re{ s 0 }. Jika Transformasi Laplace menyatu (kondisional) pada s = s 0, maka secara otomatis konvergen untuk semua s dengan Re (s)> Re (s 0). Therefore the region of convergence is a half-plane of the form Re{ s } > a , possibly including some points of the boundary line Re{ s } = a . Oleh karena itu daerah konvergensi adalah setengah-bidang dari bentuk Re (s)> a, mungkin termasuk beberapa butir dari garis batas Re (s) = a. In the region of convergence Re{ s } > Re{ s 0 }, the Laplace transform of ƒ can be expressed by integrating by parts as the integral Di wilayah konvergensi Re (s)> Re (s 0), Transformasi Laplace f dapat dinyatakan dengan mengintegrasikan oleh bagian-bagian sebagai integral

That is, in the region of convergence F ( s ) can effectively be expressed as the absolutely convergent Laplace transform of some other function. Artinya, di wilayah konvergensi F (s) dapat secara efektif dinyatakan sebagai benar-benar konvergen Transformasi Laplace dari beberapa fungsi lainnya. In particular, it is analytic. Secara khusus, ini adalah analitis.

A variety of theorems, in the form of Paley–Wiener theorems , exist concerning the relationship between the decay properties of ƒ and the properties of the Laplace transform within the region of convergence. Berbagai teorema, dalam bentuk teorema Paley-Wiener, ada tentang hubungan antara sifat-sifat peluruhan ƒ dan sifat Transformasi Laplace dalam wilayah konvergensi.

In engineering applications, a function corresponding to a linear time-invariant (LTI) system is stable if every bounded input produces a bounded output. Dalam aplikasi teknik, fungsi yang sesuai dengan waktu linear invarian (LTI) system stabil jika setiap dibatasi input menghasilkan output dibatasi. This is equivalent to the absolute convergence of the Laplace transform of the impulse response function in the region Re{ s } ≥ 0. Ini setara dengan konvergensi absolut dari Transformasi Laplace dari respons impuls fungsi di kawasan Re (s) ≥ 0. As a result, LTI systems are stable provided the poles of the Laplace transform of the impulse response function have negative real part. Akibatnya, sistem LTI stabil memberikan kutub Transformasi Laplace dari respons impuls fungsi bagian nyata negatif.

[ edit ] Properties and theorems [Sunting] Sifat-sifat dan teorema

The Laplace transform has a number of properties that make it useful for analyzing linear dynamical systems . Transformasi Laplace memiliki sejumlah properti yang membuatnya linier berguna untuk menganalisis sistem dinamik. The most significant advantage is that differentiation and integration become multiplication and division, respectively, by s . Keuntungan yang paling signifikan adalah bahwa diferensiasi dan integrasi menjadi perkalian dan pembagian, masing-masing, oleh s. (This is similar to the way that logarithms change an operation of multiplication of numbers to addition of their logarithms.) This changes integral equations and differential equations to polynomial equations , which are much easier to solve. (Hal ini mirip dengan cara yang logaritma mengubah operasi perkalian angka untuk penambahan logaritma mereka.) Hal ini akan mengubah persamaan integral dan persamaan diferensial untuk polinomial persamaan, yang jauh lebih mudah untuk dipecahkan. Once solved, use of the inverse Laplace transform reverts back to the time domain. Sekali dipecahkan, penggunaan invers Transformasi Laplace beralih kembali ke masa domain.

Given the functions f ( t ) and g ( t ), and their respective Laplace transforms F ( s ) and G ( s ): Mengingat fungsi f (t) dan g (t), dan masing-masing transformasi Laplace F (s) dan G (s):

the following table is a list of properties of unilateral Laplace transform: tabel berikut ini adalah daftar sifat sepihak Transformasi Laplace:

Properties of the unilateral Laplace transform Sifat-sifat Transformasi Laplace sepihak Time domain Sisa

domain 's' domain 's' domain Comment Komentar

Linearity Linearitas

Can be proved using basic rules of integration. Dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan dasar integrasi.

Frequency differentiat

ion Frekuensi

diferensiasi

is the first derivative of pertama turunan dari

. .

Frequency differentiat

ion Frekuensi

More general form, (n)th derivative of F(s). Bentuk yang lebih umum, (n) th turunan

diferensiasi dari F (s).

Differentiation

Diferensiasi

ƒ is assumed to be a differentiable function , and its derivative is assumed to be of exponential type. ƒ diasumsikan menjadi fungsi terdiferensiasi, dan turunannya diasumsikan dari tipe eksponensial. This can then be obtained by integration by parts Ini kemudian dapat diperoleh dengan integrasi dengan bagian-bagian

Second Differentiation Kedua Diferensias

i

ƒ is assumed twice differentiable and the second derivative to be of exponential type. ƒ diasumsikan dua kali terdiferensiasi dan turunan kedua menjadi tipe eksponensial. Follows by applying the Differentiation property to Berikut dengan menerapkan properti

Diferensiasi . .

General Differentiation Umum Diferensias

i

ƒ is assumed to be n -times differentiable, with n th derivative of exponential type. ƒ diasumsikan n-kali terdiferensialkan, dengan n th turunan dari tipe eksponensial. Follow by mathematical induction . Diikuti dengan induksi matematika.

Frequency integration Frekuensi integrasi

Integration Integrasi

u ( t ) is the Heaviside step function . u (t) adalah fungsi langkah Heaviside. Note ( u * f )( t ) is the convolution of u ( t ) and f ( t ) . Catatan (u * f) (t) adalah konvolusi dari u (t) dan f (t).

Scaling Scaling

Frequency shifting

Pergeseran frekuensi

Time shifting Waktu

pergeseran

u ( t ) is the Heaviside step function u (t) adalah fungsi tangga Heaviside

Convolution

Kekusutan

ƒ ( t ) and g ( t ) are extended by zero for t < 0 in the definition of the convolution. f (t) dan g (t) adalah diperpanjang dengan nol untuk t <0 dalam definisi konvolusi.

Periodic Function Fungsi

Periodik

f ( t ) is a periodic function of period T so that f (t) adalah fungsi periodik periode T sehingga

. . This is the result of the time shifting property and the geometric series . Ini adalah hasil dari pergeseran waktu properti dan seri geometris.

Initial value theorem : Teorema nilai awal:

Final value theorem : Teorema nilai akhir:

, if all poles of s F ( s ) are in the left-hand plane. , Jika semua kutub s F (s) berada di tangan kiri pesawat. The final value theorem is useful because it gives the long-term behaviour without having to perform partial fraction decompositions or other difficult algebra. Teorema nilai akhir sangat berguna karena memberikan perilaku jangka panjang tanpa harus melakukan pecahan parsial dekomposisi atau aljabar sulit. If a function's poles are in the right-hand plane (eg e t or sin( t ) ) the behaviour of this formula is undefined. Jika fungsi kutub berada di sebelah kanan pesawat (misalnya e t atau dosa (t)) perilaku formula ini is undefined.

[ edit ] Proof of the Laplace transform of a function's derivative [Sunting] Bukti dari Transformasi Laplace dari suatu fungsi's derivatif

It is often convenient to use the differentiation property of the Laplace transform to find the transform of a function's derivative. Sering mudah untuk menggunakan milik diferensiasi Transformasi Laplace untuk menemukan Transformasi fungsi's turunan. This can be derived from the basic expression for a Laplace transform as follows: Ini dapat diturunkan dari ekspresi dasar untuk Transformasi Laplace sebagai berikut:

(by parts) (oleh bagian)

yielding peluluhan

and in the bilateral case, we have dan dalam kasus bilateral, kita

[ edit ] Relationship to other transforms [Sunting] Hubungan dengan transformasi lain

[ edit ] Laplace–Stieltjes transform [Sunting] Transformasi Laplace-Stieltjes

The (unilateral) Laplace–Stieltjes transform of a function g : R → R is defined by the Lebesgue–Stieltjes integral The (sepihak)-Stieltjes Transformasi Laplace dari suatu fungsi g: R → R didefinisikan oleh Léon Lebesgue-Stieltjes integral

The function g is assumed to be of bounded variation . Fungsi g diasumsikan dari variasi dibatasi. If g is the antiderivative of ƒ : Jika g adalah antiturunan dari f:

then the Laplace–Stieltjes transform of g and the Laplace transform of ƒ coincide. maka transformasi Laplace-Stieltjes g dan Transformasi Laplace f bersamaan. In general, the Laplace–Stieltjes transform is the Laplace transform of the Stieltjes measure associated to g . Secara umum, Laplace-Stieltjes mengubah adalah Transformasi Laplace dari ukuran Stieltjes terkait dengan g. So in practice, the only distinction between the two transforms is that the Laplace transform is thought of as operating on the density function of the measure, whereas the Laplace–Stieltjes transform is thought of as operating on its cumulative distribution function . [ 11 ] Jadi dalam prakteknya, satu-satunya perbedaan antara kedua transformasi adalah bahwa Transformasi Laplace dianggap sebagai operasi pada fungsi kepadatan dari ukuran, sedangkan Transformasi Laplace-Stieltjes dianggap sebagai operasi pada fungsi distribusi kumulatif. [11]

[ edit ] Fourier transform [Sunting] Transformasi Fourier

The continuous Fourier transform is equivalent to evaluating the bilateral Laplace transform with complex argument s = i ω or s = 2πfi : Yang berkelanjutan Transformasi Fourier setara dengan mengevaluasi Transformasi Laplace bilateral dengan argumen kompleks s = i ω atau s = 2πfi:

This expression excludes the scaling factor Ungkapan ini tidak termasuk faktor penskalaan

, which is often included in definitions of the Fourier transform. , Yang sering termasuk dalam definisi dari transformasi Fourier. This relationship between the Laplace and Fourier transforms is often used to determine the frequency spectrum of a signal or dynamical system . Hubungan antara transformasi Laplace dan Fourier sering digunakan untuk menentukan spektrum frekuensi dari suatu sinyal atau sistem dinamik.

The above relation is valid as stated if and only if the region of convergence (ROC) of F ( s ) contains the imaginary axis, σ = 0. Hubungan di atas berlaku seperti yang tercantum jika dan hanya jika daerah konvergensi (ROC) dari F (s) berisi sumbu imajiner, σ = 0. For example, the function f ( t ) = cos(ω 0 t ) u ( t ) has a Laplace transform F ( s ) = s /( s 2 + ω 0 2 ) whose ROC is Re( s ) > 0. Sebagai contoh, fungsi f (t) = cos (ω 0 t) u (t) mempunyai transformasi Laplace F (s) = s / (s 2 + ω 0 2) yang ROC adalah Re (s)> 0. Therefore, substituting s = i ω in F ( s ) does not yield the Fourier transform of f ( t ) = cos(ω 0 t ). Oleh karena itu, mengganti s = i ω dalam F (s) tidak menghasilkan Transformasi Fourier dari f (t) = cos (ω 0 t).

However, a relation of the form Namun, hubungan bentuk

holds under much weaker conditions. berlaku di bawah kondisi yang jauh lebih lemah. For instance, this holds for the above example provided that the limit is understood as a weak limit of measures (see vague topology ). Sebagai contoh, ini berlaku untuk contoh di atas dengan ketentuan bahwa batas tersebut dipahami sebagai lemah batas ukuran (lihat samar-samar topologi). General conditions relating the limit of the Laplace transform of a function on the boundary to the Fourier transform take the form of Paley-Wiener theorems . Umum kondisi yang berhubungan dengan batas Transformasi Laplace dari suatu fungsi di perbatasan ke Transformasi Fourier mengambil bentuk Wiener Paley-teorema.

[ edit ] Mellin transform [Sunting] Mellin mengubah

The Mellin transform and its inverse are related to the two-sided Laplace transform by a simple change of variables. The Mellin mengubah dan inversnya terkait dengan dua sisi Transformasi Laplace oleh perubahan sederhana variabel. If in the Mellin transform Jika dalam mengubah Mellin

we set θ = e -t we get a two-sided Laplace transform. kita menetapkan θ = e-t kita mendapatkan dua sisi Transformasi Laplace.

[ edit ] Z-transform [Sunting] Z-transform

The unilateral or one-sided Z-transform is simply the Laplace transform of an ideally sampled signal with the substitution of Unilateral atau satu sisi Z-transform hanyalah Transformasi Laplace dari sinyal sampel idealnya dengan substitusi

where di mana is the sampling period (in units of time eg, seconds) and adalah sampling periode (dalam satuan waktu misalnya, detik) dan is the sampling rate (in samples per second or hertz ) adalah sampling rate (dalam sampel per detik atau hertz)

Let Membiarkan

be a sampling impulse train (also called a Dirac comb ) and menjadi dorongan sampling kereta api (juga disebut sisir Dirac) dan

be the continuous-time representation of the sampled menjadi kontinu-waktu representasi dari

sampel

are the discrete samples of adalah contoh diskrit . .

The Laplace transform of the sampled signal Transformasi Laplace sinyal sampel is adalah

This is precisely the definition of the unilateral Z-transform of the discrete function Hal ini jelas

merupakan definisi sepihak Z-transform dari fungsi diskrit

with the substitution of dengan substitusi . .

Comparing the last two equations, we find the relationship between the unilateral Z-transform and the Laplace transform of the sampled signal: Membandingkan kedua persamaan terakhir, kita menemukan hubungan antara sepihak Z-transform dan Transformasi Laplace dari sinyal sampel:

The similarity between the Z and Laplace transforms is expanded upon in the theory of time scale calculus . Kesamaan antara Z dan Laplace mengubah diperluas pada teori dalam skala waktu kalkulus.

[ edit ] Borel transform [Sunting] Borel mengubah

The integral form of the Borel transform Bentuk integral dari mengubah Borel

is a special case of the Laplace transform for ƒ an entire function of exponential type , meaning that adalah kasus khusus dari Transformasi Laplace untuk ƒ sebuah fungsi keseluruhan dari tipe eksponensial, yang berarti bahwa

for some constants A and B . untuk beberapa konstanta A dan B. The generalized Borel transform allows a different weighting function to be used, rather than the exponential function, to transform functions not of exponential type. Nachbin's theorem gives necessary and sufficient conditions for the Borel transform to be well defined. Borel yang umum memungkinkan mengubah fungsi pembobotan yang berbeda untuk digunakan, bukan fungsi eksponensial, fungsi mentransformasikan bukan tipe eksponensial. Nachbin Teorema perlu dan cukup memberikan kondisi untuk mentransformasikan Borel harus didefinisikan dengan baik.

[ edit ] Fundamental relationships [Sunting] Fundamental hubungan

Since an ordinary Laplace transform can be written as a special case of a two-sided transform, and since the two-sided transform can be written as the sum of two one-sided transforms, the theory of the Laplace-, Fourier-, Mellin-, and Z-transforms are at bottom the same subject. Karena biasa Transformasi Laplace dapat ditulis sebagai suatu kasus khusus dari dua sisi mengubah, dan sejak dua sisi mengubah dapat ditulis sebagai jumlah dari dua satu sisi mengubah, teori-Laplace, Fourier, Mellin -, dan Z-mengubah pada dasarnya adalah subjek yang sama. However, a different point of view and different characteristic problems are associated with each of these four major integral transforms. Namun, sudut pandang yang berbeda dan

karakteristik yang berbeda masalah yang terkait dengan masing-masing keempat besar transformasi integral.

[ edit ] Table of selected Laplace transforms [Sunting] Tabel yang dipilih transformasi Laplace

The following table provides Laplace transforms for many common functions of a single variable. Tabel berikut memberikan transformasi Laplace untuk banyak fungsi umum variabel tunggal. For definitions and explanations, see the Explanatory Notes at the end of the table. Untuk definisi dan penjelasan, lihat Catatan penjelasan di ujung meja.

Because the Laplace transform is a linear operator: Karena Transformasi Laplace adalah operator linear:

The Laplace transform of a sum is the sum of Laplace transforms of each term. Transformasi Laplace penjumlahan adalah jumlah dari transformasi Laplace dari setiap istilah.

The Laplace transform of a multiple of a function, is that multiple times the Laplace transformation of that function. Transformasi Laplace kelipatan dari suatu fungsi, adalah bahwa beberapa kali transformasi Laplace yang berfungsi.

The unilateral Laplace transform takes as input a function whose time domain is the non-negative reals, which is why all of the time domain functions in the table below are multiples of the Heaviside step function , u( t ). Transformasi Laplace sepihak dibutuhkan sebagai masukan suatu fungsi yang waktu domain adalah real non-negatif, itulah sebabnya mengapa semua fungsi domain waktu dalam tabel di bawah ini adalah kelipatan dari fungsi tangga Heaviside, u (t). The entries of the table that involve a time delay τ are required to be causal (meaning that τ > 0). Entri tabel yang melibatkan penundaan waktu τ dituntut untuk kausal (berarti bahwa τ> 0). A causal system is a system where the impulse response h ( t ) is zero for all time t prior to t = 0. Sebuah sistem kausal adalah sistem dimana respon impulse h (t) adalah nol untuk semua waktu t sebelum t = 0. In general, the region of convergence for causal systems is not the same as that of anticausal systems . Secara umum, daerah konvergensi untuk sistem kausal tidak sama dengan sistem anticausal.

ID ID

Function Fungsi

Time domain Sisa domain Laplace s-domain Laplace s-domain

Region of convergence

Daerah konvergensi

1 1 ideal delay

ideal penundaan

1a 1a

unit impulse satuan impuls

1 1

2 2

delayed n th power

tertunda n daya th

with frequency

shift dengan frekuensi

pergeseran

2a 2a

n th power th n kekuasaan ( for integer n

) (Untuk integer n)

2a.1 2a.1

q th power q daya th

( for complex q ) (Untuk

kompleks q)

2a.2 2a.2

unit step satuan

2b 2b

delayed unit step satuan

tertunda

2c 2c

ramp jalan

2d 2d

n th power with

frequency shift n th

pergeseran kekuasaan

dengan frekuensi

2d.1 2d.1

exponential decay

peluruhan eksponensial

3 3

exponential approach

pendekatan eksponensial

4 4 sine sinus

5 5 cosine kosinus

6 6 hyperbolic sine sinus hiperbolik

7 7

hyperbolic cosine kosinus

hiperbolik

8 8

Exponentially-decaying

Eksponensial-busuk

sine wave gelombang

sinus

9 9

Exponentially-decaying

Eksponensial-busuk

cosine wave gelombang

kosinus

10 10

n th root n th root

11 11

natural logarithm logaritma

natural

12 12

Bessel function

Fungsi Bessel

of the first kind, jenis pertama, of order n

order n 13 13

Modified Bessel

function Diubah fungsi

Bessel

of the first kind, jenis pertama, of order n

order n

14 14

Bessel function

Fungsi Bessel

of the second kind, jenis

kedua, of order 0

ketertiban 0

15 15

Modified Bessel

function Diubah fungsi

Bessel of the second

kind, jenis kedua,

of order 0 ketertiban 0

16 16

Error function Kesalahan

fungsi Explanatory notes: Catatan penjelasan:

represents the Heaviside step function . mewakili langkah Heaviside fungsi.

represents the Dirac delta function . mewakili fungsi delta Dirac.

represents the Gamma function . mewakili fungsi Gamma.

is the Euler-Mascheroni constant . adalah Euler-Mascheroni konstan.

, a real number, typically represents time , , Sebuah bilangan real, biasanya menunjukkan waktu, although it can represent any independent dimension. meskipun dapat mewakili apapun dimensi independen.

is the complex angular frequency , and Re{ s } is its real part . adalah kompleks frekuensi sudut, dan Re (s) adalah bagian nyata.

, , , , , and Dan are real numbers . adalah bilangan real.

, is an integer . , Adalah sebuah integer.

[ edit ] s -Domain equivalent circuits and impedances [Sunting] s-Domain setara rangkaian dan impedansi

The Laplace transform is often used in circuit analysis, and simple conversions to the s-Domain of circuit elements can be made. Transformasi Laplace sering digunakan dalam analisis rangkaian, dan sederhana konversi ke Domain s-elemen rangkaian dapat dibuat. Circuit elements can be transformed into impedances , very similar to phasor impedances. Elemen rangkaian dapat diubah menjadi impedansi, sangat mirip dengan fasor impedansi.

Here is a summary of equivalents: Berikut adalah ringkasan setara:

Note that the resistor is exactly the same in the time domain and the s-Domain. Perhatikan bahwa resistor persis sama dalam waktu domain dan yang s-Domain. The sources are put in if there are initial conditions on the circuit elements. Sumber diletakkan dalam jika ada kondisi awal elemen rangkaian. For example, if a capacitor has an initial voltage across it, or if the inductor has an initial current through it, the sources inserted in the s-Domain account for that. Sebagai contoh, jika sebuah kapasitor memiliki tegangan awal itu, atau jika induktor memiliki awal arus yang melalui itu, sumber-sumber dimasukkan ke dalam Domain s-rekening untuk itu.

The equivalents for current and voltage sources are simply derived from the transformations in the table above. Yang setara untuk arus dan tegangan sumber hanya berasal dari transformasi dalam tabel di atas.

[ edit ] Examples: How to apply the properties and theorems [Sunting] Contoh: Bagaimana menerapkan sifat dan teorema

This article contains instructions, advice, or how-to content . Artikel ini berisi petunjuk, nasihat, atau bagaimana-untuk konten. The purpose of Wikipedia is to present facts, not to train. Tujuan dari Wikipedia adalah untuk menyajikan fakta, bukan untuk melatih. Please help improve this article either by rewriting the how-to content or by moving it to Wikiversity or Wikibooks . (November 2009) Silakan bantu memperbaiki artikel ini baik dengan menulis ulang bagaimana-untuk konten atau dengan bergerak ke Wikiversity atau Wikibooks. (November 2009)

The Laplace transform is used frequently in engineering and physics ; the output of a linear time invariant system can be calculated by convolving its unit impulse response with the input signal. Transformasi Laplace sering digunakan dalam teknik dan fisika; output dari invarian waktu linear sistem dapat dihitung dengan satuannya convolving respon impulse dengan sinyal input. Performing this calculation in Laplace space turns the convolution into a multiplication ; the latter being easier to solve because of its algebraic form. Pertunjukan perhitungan ini di ruang Laplace mengubah lilitan menjadi perkalian; yang terakhir ini lebih mudah untuk menyelesaikan karena bentuk aljabar. For more information, see control theory . Untuk informasi lebih lanjut, lihat teori kontrol.

The Laplace transform can also be used to solve differential equations and is used extensively in electrical engineering . Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dan digunakan secara luas dalam teknik listrik. The Laplace transform reduces a linear differential equation to an algebraic equation, which can then be solved by the formal rules of algebra. Transformasi Laplace mengurangi linear persamaan diferensial ke persamaan aljabar, yang kemudian dapat diselesaikan dengan aturan formal aljabar. The original differential equation can then be solved by applying the inverse Laplace transform. Persamaan diferensial yang asli kemudian dapat diselesaikan dengan menerapkan kebalikan Transformasi Laplace. The English electrical engineer Oliver Heaviside first proposed a similar scheme, although without using the Laplace transform; and the resulting operational calculus is credited as the Heaviside calculus. Insinyur listrik di Inggris Oliver Heaviside pertama kali diusulkan skema serupa, meskipun tanpa menggunakan Transformasi Laplace dan yang dihasilkan kalkulus operasional dikreditkan sebagai Heaviside kalkulus.

The following examples, derived from applications in physics and engineering , will use SI units of measure. Contoh-contoh berikut, yang berasal dari aplikasi dalam fisika dan teknik, akan menggunakan SI unit ukuran. SI is based on meters for distance, kilograms for mass, seconds for time, and amperes for electric current. SI didasarkan pada jarak meter, kilogram untuk massa, detik untuk waktu, dan ampere untuk arus listrik.

[ edit ] Example #1: Solving a differential equation [Sunting] Contoh # 1: Penyelesaian persamaan diferensial

The following example is based on concepts from nuclear physics . Contoh berikut ini didasarkan pada konsep-konsep dari fisika nuklir.

Consider the following first-order, linear differential equation: Pertimbangkan yang berikut orde pertama, persamaan diferensial linear:

This equation is the fundamental relationship describing radioactive decay , where Persamaan ini menggambarkan hubungan yang fundamental peluruhan radioaktif, dimana

represents the number of undecayed atoms remaining in a sample of a radioactive isotope at time t (in seconds), and mewakili jumlah atom undecayed tersisa dalam sampel radioaktif isotop pada waktu t (dalam detik), dan is the decay constant . adalah konstanta peluruhan.

We can use the Laplace transform to solve this equation. Kita dapat menggunakan Transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan ini.

Rearranging the equation to one side, we have Mengatur kembali persamaan untuk satu sisi, kita memiliki

Next, we take the Laplace transform of both sides of the equation: Selanjutnya, kita mengambil Transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan:

where di mana

and dan

Solving, we find Memecahkan, kita menemukan

Finally, we take the inverse Laplace transform to find the general solution Akhirnya, kita mengambil inverse Transformasi Laplace untuk menemukan solusi umum

which is indeed the correct form for radioactive decay. yang memang formulir yang benar untuk peluruhan radioaktif.

[ edit ] Example #2: Deriving the complex impedance for a capacitor [Sunting] Contoh # 2: Menderivasi impedansi kompleks untuk sebuah kapasitor

This example is based on the principles of electrical circuit theory. Contoh ini didasarkan pada prinsip-prinsip rangkaian listrik teori.

The constitutive relation governing the dynamic behavior of a capacitor is the following differential equation: Hubungan konstitutif yang mengatur perilaku dinamis dari suatu kapasitor adalah persamaan diferensial berikut:

where C is the capacitance (in farads ) of the capacitor, i = i ( t ) is the electric current (in amperes ) through the capacitor as a function of time, and v = v ( t ) is the voltage (in volts ) across the terminals of the capacitor, also as a function of time. di mana C adalah kapasitansi (dalam farads) dari kapasitor, i = i (t) adalah arus listrik (dalam ampere) melalui kapasitor sebagai fungsi waktu, dan v = v (t) adalah tegangan (dalam volt) seberang terminal kapasitor, juga sebagai fungsi dari waktu.

Taking the Laplace transform of this equation, we obtain Mengambil Transformasi Laplace dari persamaan ini, kita memperoleh

where di mana

and dan

Solving for V ( s ) we have Solving for V (s) kita

The definition of the complex impedance Z (in ohms ) is the ratio of the complex voltage V divided by the complex current I while holding the initial state V o at zero: Definisi kompleks impedansi Z (dalam ohm) adalah rasio tegangan V kompleks dibagi dengan arus I kompleks sambil keadaan awal nol V o di:

Using this definition and the previous equation, we find: Menggunakan definisi dan persamaan sebelumnya, kita menemukan:

which is the correct expression for the complex impedance of a capacitor. yang merupakan ungkapan yang tepat untuk impedansi kompleks dari sebuah kapasitor.

[ edit ] Example #3: Method of partial fraction expansion [Sunting] Contoh # 3: Metode ekspansi pecahan parsial

Consider a linear time-invariant system with transfer function Pertimbangkan linear invarian waktu-sistem dengan fungsi transfer

The impulse response is simply the inverse Laplace transform of this transfer function: Para respon impulse hanyalah invers Transformasi Laplace dari fungsi transfer ini:

To evaluate this inverse transform, we begin by expanding H ( s ) using the method of partial fraction expansion : Untuk mengevaluasi invers ini mengubah, kita mulai dengan memperluas H (s) dengan menggunakan metode ekspansi pecahan parsial:

The unknown constants P and R are the residues located at the corresponding poles of the transfer function. Konstanta yang tidak diketahui P dan R adalah residu yang sesuai terletak di kutub dari fungsi transfer. Each residue represents the relative contribution of that singularity to

the transfer function's overall shape. Setiap residu menunjukkan kontribusi relatif yang singularitas ke fungsi transfer keseluruhan bentuk. By the residue theorem , the inverse Laplace transform depends only upon the poles and their residues. Oleh teorema residu, invers Transformasi Laplace hanya tergantung pada tiang dan residu. To find the residue P , we multiply both sides of the equation by s + α to get Untuk menemukan residu P, kita mengalikan kedua sisi persamaan dengan s + α untuk mendapatkan

Then by letting s = − α , the contribution from R vanishes and all that is left is Lalu dengan membiarkan s = - α, kontribusi dari R hilang dan semua yang tertinggal hanyalah

Similarly, the residue R is given by Demikian pula, residu R diberikan oleh

Note that Perhatikan bahwa

and so the substitution of R and P into the expanded expression for H ( s ) gives sehingga substitusi R dan P menjadi ekspresi diperluas untuk H (s) memberikan

Finally, using the linearity property and the known transform for exponential decay (see Item # 3 in the Table of Laplace Transforms , above), we can take the inverse Laplace transform of H ( s ) to obtain: Akhirnya, dengan menggunakan properti dan linearitas yang dikenal untuk mengubah peluruhan eksponensial (lihat Item # 3 pada Table of Laplace Transforms, di atas), kita dapat mengambil invers Transformasi Laplace dari H (s) untuk memperoleh:

which is the impulse response of the system. yang merupakan respon impuls dari sistem.

[ edit ] Example #4: Mixing sines, cosines, and exponentials [Sunting] Contoh # 4: Mencampur sinus, cosinus, dan eksponensial

Time function Fungsi waktu Laplace transform Transformasi Laplace

Starting with the Laplace transform Dimulai dengan Transformasi Laplace

we find the inverse transform by first adding and subtracting the same constant α to the numerator: kita menemukan invers transformasi dengan terlebih dahulu menambahkan dan mengurangkan α konstan yang sama untuk pembilang:

By the shift-in-frequency property, we have Dengan pergeseran-in-frekuensi properti, kami telah

Finally, using the Laplace transforms for sine and cosine (see the table, above), we have Akhirnya, dengan menggunakan transformasi Laplace untuk sinus dan kosinus (lihat tabel, di atas), kita

[ edit ] Example #5: Phase delay [Sunting] Contoh # 5: Fase penundaan

Time function Fungsi waktu Laplace transform Transformasi Laplace

Starting with the Laplace transform, Dimulai dengan Transformasi Laplace,

we find the inverse by first rearranging terms in the fraction: kita menemukan terbalik dengan terlebih dahulu menata ulang istilah dalam pecahan:

We are now able to take the inverse Laplace transform of our terms: Kami sekarang mampu mengambil invers Transformasi Laplace istilah kami:

To simplify this answer, we must recall the trigonometric identity that Untuk menyederhanakan jawaban ini, kita harus mengingat identitas trigonometri yang

and apply it to our value for x( t ): dan menerapkannya ke nilai kita untuk x (t):

We can apply similar logic to find that Kita dapat menerapkan logika yang sama untuk menemukan bahwa