10. PENGENALAN

Matematik sememangnya satu ilmu yang hebat dan harus diterokai. Sejak dari zaman dahulu

lagi, matematik telah diguna pakai dalam segala bidang seperti bidang seni, bidang masakan,

sukan, perubatan dan sebagainya. Ilmu matematik sangat penting dalam kehidupan seharian

kita dan tidaklah hanya sekadar diatas kertas peperiksaan sahaja. Telah ramai ilmuan

matematik yang berusaha menerapkan matematik di dalam kehidupan mereka seperti

menggunakan nisbah emas dalam pembinaan bangunan dan menggunakan nombor Fibonacci

dalam seni lukisan. Sumbangan ilmuan-ilmuan terdahulu sangat membantu kita pada masa kini

dengan pelbagai formula yang tercipta. Matematik juga merupakan kegiatan budaya yang

berterusan. Kajian matematik yang digunakan oleh orang-orang yang berbeza telah

berkembang dan kini dikenali sebagai etnomatematik.

Bukan itu, sahaja, tanpa sedar, matematik sebenarnya sangat mempengaruhi teknologi

moden sejak dari dahulu sehingga kini. Menurut Kamus Dewan (2005), teknologi bermaksud

aktiviti atau kajian yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis dalam industri,

pertanian, perubatan, perniagaan dan sebagainya. Justeru itu, elemen matematik telah

digunakan didalam teknologi moden seperti pembinaan pesawat agar dapat terbang diudara,

penciptaan robot dan sebagainya.

1

2.1 PERANAN MATEMATIK DALAM TEKNOLOGI MODEN

Penerbangan pesawat merupakan satu seni dan sains bermula dengan masa berlepas

sehinggalah tiba di destinasi yang diingini dalam masa paling singkat tanpa kehilangan arah.

Seorang juruterbang yang baik hendaklah mengetahui beberapa perkara seperti berikut.

Antaranya ialah titik mula penerbangan, titik akhir penerbangan, arah pengembaraan, jarak

pengembaraan, ciri-ciri pesawat yang diterbangkan, kapasiti bahan bakar pesawat, maklumat

berat dan keseimbangan pesawat. Jika ciri-ciri tersebut dipertimbangkan semasa awal

merekabentuk pesawat, ia dapat membantu jurutera aeronotik untuk membina kapal terbang

yang lebih baik. Matematik telah digunakan dalam mengendalikan pesawat. Antaranya ialah,

Vektor: satu peringatan

Kuantiti vektor mempunyai magnitud dan arah. Ia boleh diwakili dengan geometri

menggunakan segmen sejajar dengan satu anak panah. Panjang vektor mewakili magnitud

dengan skala dan anak panah menunjukkan arah. Halaju merupakan salah satu contoh kuantiti

vektor.

Kelajuan udara, kelajuan tanah, kelajuan angin

Kelajuan pesawat boleh dipertingkatkan atau dikurangkan oleh angin. Ia merupakan

sebab untuk mengambil kira dua lagi kelajuan iaitu kelajuan tanah serta kelajuan udara.

Kelajuan tanah adalah kelajuan dimana pesawat bergerak di atas tanah. Manakala kelajuan

udara pula adalah kelajuan pesawat dalam berhubung dengan udara persekitaran. Kelajuan

angin adalah kelajuan fizikal bagi udara untuk ke tanah. Kelajuan udara, kelajuan angin dan

kelajuan tanah merupakan vektor kuantiti. Hubungan antara ketiga-tiga vector tersebut dapat

ditunjukkan melalui persamaan dibawah;

vg=va+vw

Ilmu pengetahuan tentang penerbangan sesebuah pesawat amat penting untuk

menjamin keselamatan. Salah satu operasi yang penting adalah operasi mencari dan

menyelamat. Sebagai contoh, terdapat mereka yang terperangkap di pergunungan dalam

cuaca yang buruk. Dengan menggunakan telefon bimbit yang dibawa, mereka memanggil

penyelamat untuk mendapatkan bantuan. Jadi, penyelamat akan menghantar helikopter untuk

menyelamatkan mereka. Dengan isyarat panggilan yang diterima daripada mereka yang

2

terperangkap, penyelamat dapat menentukan bearing daripada helikopter ke pergunungan

tersebut adalah 054°(lebih kurang utara-timur) dan anggaran jarak adalah lebih kurang 50km.

Justeru itu, matematik dilihat dapat membantu untuk mengesan kedudukan mangsa dan

memudahkan lagi operasi menyelamat dilakukan. Dengan adanya penggunaan bearing

tersebut, ia memudahkan para penyelamat untuk menyelamatkan mereka yang terperangkap.

Rajah 1

Diandaikan sebuah helikopter penyelamat boleh melakukan perjalanan dengan kelajuan

100 knot dan angin bertiup 20 knot pada bearing 180°. Knot adalah unit standard untuk

mengukur kelajuan pesawat. Knot adalah sama nilai dengan satu batu nautika sejam.

Rajah 2

3

Kelajuan tanah dan perjalanan

Rajah 3

Kita dapat mengenalpasti kelajuan tanah dengan cepat dan tepat menggunakan lakaran untuk

menunjukkan masalah yang dihadapi. Dengan mengambil kira kesan kelajuan angin, helikopter

perlu terbang kearah point B dimana lebih jauh ke arah utara berbanding kedudukan C. Dengan

menggunakan hukum kosine, kelajuan tanah akan diperolehi seperti dibawah;

c2=a2+b2−2abcosC

1002=202+b2−2×20×bcos126

b2−23.5b−9600=0

Dengan menggunakan persamaan kuadratik, penyelesaian dapat diperolehi dengan mengambil

nilai positif:

b=86.7knots ≈ 45m /sec

Setelah mendapat nilai kelajuan tanah, gunakan hukum sin untuk mengira arah untuk helikopter

tersebut lalui.

sin B=b sinCc

=86.7 sin 126100

¿44.7 degre

Dengan keputusan yang diperolehi, dapatlah disimpulkan bahawa sekirannya pesawat

mengambil arah 044.7° dengan kelajuan 100 knots dibawah kesan tiupan angin ke selatan, ia

sebenarnya mengurangkan kelajuan tanah pesawat kepada 86.7 knots dan bergerak pada

bearing 054°.

4

Masa penerbangan

Masa penerbangan adalah masa sebenar pesawat tersebut berada di udara bermula dari

tempat berlepas ke destinasi yang dituju. Masa penerbangan dikira (apabila kelajuan konsisten)

dengan menggunakan formula di bawah.

Masa= JarakKelajuan

Apabila anggaran jarak anatara A dan c ialah 50km dan kelajuan tanah adalah 45m/sec,

anggaran masa penerbangan 18 minit seperti yang telah ditunjukkan dnegan pengiraan di

bawah.

Masa=50×100045

=1111.11 sec ≈18min

Keperluan bahan bakar

Juruterbang menggunakan formula dibawah bagi menentukan jumlah bahan bakar yang

diperlukan semasa penerbangan.

Bahan bakar yang diperlukan (liter) = kadar penggunaan bahan bakar x masa penerbangan

(jam)

Berapa banyak dan berapa jauh pesawat menggunakan bahan bakar dikenali sebagai kadar

penggunaan bahan bakar. Dianggarkan kadar penggunaan bahan bakar pesawat adalah 600

liter/ jam dan ia boleh menyimpan 3200 liter bahan bakar. Jika masa penerbangan adalah 2

minit semasa berlepas dan 20 minit operasi menyelamat dan juruterbang tersebut mahu

membuat simpanan bahan bakar untuk 30 minit, jadi berapa lama masa yang boleh diambil

untuk proses mencari?

Masa yang diambil dari lapangan ke titik C

¿2+18+2=22minit

Masa yang diambil untuk pulang

5

¿22×2=44minit

Masa yang diambil untuk menyelamat = 20 minit

Jadi, jumlah masa ialah 64 minit.

Disebabkan juruterbang ingin menyimpan bahan bakar untuk 30 minit, jadi, ia perlu 300 liter

bahan bakar tinggal didalam tangki apabila helikopetr sampai ke lapangan. Jadi, juruterbang

hanya boleh menggunakan 2900 liter bahan bakar untuk melengkapkan misi menyelamat dan

ia akan berakhir pada 290 minit atau dianggarkan selama 4 jam 50 minit. Hal ini dapat dilihat

dimana, rumus matematik tersebut berperanan dalam embantu juruterbang membuat

persediaan yang rapi bagi mengelakkan kejadian yang tidak diingini berlaku seperti kehabisan

bahan bakar dan sebagainya.

masa penerbangan=2900600

=4.83 jam≈290minit

¿4 jam50minit

Kesimpulannya, matematik sangat penting dalam dunia penerbangan. Dengan matematik, ia

dapat membantu juruterbang untuk memandu mengikut arah yang betul. Disamping itu, dengan

matematik juga, ia dapat membantu untuk mengelakkan kejadian yang tidak diingini berlaku.

Sebagai contoh, dengan adanya formula untuk mengira jumlah bahan bakar yang diperlukan

untuk satu penerbangan, ia akan mengelakkan pesawat daripada menghadapi masalah

kekurangan bahan api semasa membuat penerbangan.

6

2.2 MATEMATIK SEBAGAI AKTIVITI BUDAYA BERTERUSAN

Matematik dan seni merupakan dua bidang yang saling berkait. Di dalam bidang seni,

penggunaan matematik sangat membantu bagi memperoleh hasil yang baik dan

mengagumkan. Perkaitan seni dalam matematik dapat dilihat melalui seni bina, seni lukis dan

seni muzik. Korelasi antara matematik dan seni dapat dilihat sejak dari zaman Mesir dan Greek

lagi iaitu penggunaan nisbah emas ataupun golden ratio dalam rekaan monument seperti

Piramid Mesir, Parthenon, dan Colloseum. Disamping itu, pada zaman dahulu, ramai pengiat

seni mengkaji matematik bagi memperhalusi seni rekaan mereka. Antaranya ialah Ploykleitos

yang merupakan pengukir terkenal tamadun Greek.

Matematik merupakan satu kajian tentang kuantiti, corak struktur, perubahan dan ruang.

Matematik juga merupakan penyiasatan aksiomatik yang menerangkan struktur abstrak

menggunakan logik dan simbol matematik. Ketika zaman Renaissance, kesedaran terhadap

hubungan matematik dan seni berada pada tahap yang ketara. Hal ini adalah kerana para

pelukis pada zaman tersebut berusaha mencari ilham bagi menghasilkan lukisan berimej tiga

dimensi diatas kanvas dua dimensi. Disamping itu, ahli falsafah serta para pelukis juga yakin

matematik merupakan intipati asas dan pengajian dunia fizikal dan alam semesta termasuk

seni.

Setiap tamadun zaman dahulu mempunyai budaya dan nilai tersendiri yang diterapkan

didalam seni bina masing-masing. Hal ini terjadi kerana dipengaruhi oleh kepercayaan, minat,

kecenderungan masyarakat serta topografi lokasi tamadun-tamadun tersebut. Namun begitu,

kesemua tamadun tersebut masih lagi mempunyai persamaan dimana tamadun-tamadun

terdahulu mengaplikasikan konsep matematik dalam seni bina. Zaman Renaissance

menunjukkan kesedaran yang padu terhadap hubungan matematik dan seni bina. Banyak

monumen dan bangunan yang menarik telah dibina berasaskan kepada konsep matematik.

Konsep simetri sering menjadi pilihan pereka seni dalam menghasilkan corak yang

cantik dan seragam. Hal ini dapat dilihat pada rekaan seni bina sesebuah bangunan sejak dari

zaman kuno lagi. Objek dikatakan bersimetri apabila ia mematuhi operasi simetri iaitu pantulan,

putaran dan transilasi. Elemen simetri telah lama digunakan di dalam mereka bentuk di serata

dunia dan gaya seni bina dan pengaruhnya sangat nyata pada bangunan-bangunan seperti

menara Pisa, Masjid Alhambra, Monticello, Astrodome, bangunan opera Sydney, tingkap gereja

Gothic dan Pantheon. Andrea Palladino telah menunjukkan hasil kerja yang baik dimana beliau

7

telah menonjolkan konsep simetri dalam seni bina. Baroque pula telah menggunakan

lengkungan dan bentuk yang digubah menggunakan konsep simetri dalam pelbagai binaan

seperti bilik, tiang, anak tangga dan dataran. Reka bentuk elemen asas bangunan juga banyak

banyak menggunakan simetri seperti pintu, tingkap dan perhiasan. Masayarakat cina pula telah

menggunakan simetri pada cetaka perunggu sejak abad ke 17 sebelum masihi lagi. Motif utama

dan corak yang diulang-ulang dapat dilihat pada penjana perunggu. Kaum asli Amerika Najavo

pula gemar menggunakan bentuk serongan tebal dan motif segi empat dalam rekaan mereka.

Pada masa kini, konsep fractal dimana satu konsep pengulangan bentuk menggunakan skala

yang berbeza dan merupakan salah satu pecahan konsep simetri telah digunakan untuk

menganalisis pelbagai bagunan bersejarah. Sehingga kini, konsep simetri dan fractal masih lagi

digunakan dalam seni bina. Kita dapat lihat konsep simetri pada bangunan-bangunan pada

masa kini seperti Menara Berkembar Petronas.

Nisbah emas juga merupakan satu aplikasi matematik yang popular dan sering

digunakan dalam seni bina, seni lukis dan seni ukiran. Nama lain bagi nisbah emas ialah

bahagian emas dan purata emas. Nisbah emas yang dianggarkan nilainya iaitu 1.6180339887

dan diperkenalkan oleh ahli matematik Yunani. Pythagoras dan Euclid. Hampir kesemua pelukis

dan arkitek telah berusaha terutamanya dalam bentuk segi empat emas iaitu nisbah sisi

panjang dan sisi yang pendek adalah nisbah emas. Bentuk-bentuk geometri yang diperoleh

daripada nisbah emas juga seperti segi empat emas, segi tiga emas dan segi tiga Kapler

memiliki keindahan dan keunikan yang menarik dari sudut kesenian. Justeru itu, banyak reka

bentuk hasil seni pada zaman purba mempamerkan kewujudan nisbah emas dan rekaan

mereka seperti pasu Mesir, Sumaria dan Greek, tembikar China, ukiran Olmec dan Greek dan

produk Mycenaean.

Monument keajaiban dunia seperti Piramid di Mesir juga turut menggunakan nisbah

emas. Kewujudan nisbah emas telah disedari dalam seni bina monumen kuno sejak kurun ke-

19 lagi. Nisbah emas paling ketara digunakan pada piramid yang dibina pada zaman firaun

Khufu. Lebar tapak piramid adlah 755-756 kaki dan tinggi strukturnya adalah 481.4 kaki.

Dengan menggunakan kaedah matematik, nisbah kecondongan struktur tersebut adalah

separuh lebarnya iaitu 1,619 iaitu kurang 1 peratus sahaja daripada nisbah emas. Masjid

Kairouan juga turut menggunakan nisbah emas. Penggunaan nisbah emas pada masjid ini

sangat konsisten dan ketara. Bentuk geometri bernisbah emas telah digunakan pada hampir

keseluruhan dimensi dan corak seni bina bangunan yang kebanyakannya dapat dilihat pada

ruangan solat dan mimbar masjid. Phidias pula telah diberi tanggungjawab untuk menghias

8

Parthenin. Beliau juga turut menggunakan nisbah emas dalam rekaannya. Malah simbol Greek

untuk nisbah emas dikenali sebagai Pi juga diambil bersempena dnegan nama beliau. Laman

serta lantai Parhenoan yang berbentuk segi empat emas merupakan antara aplikasi nisbah

emas dalam dalam seni bina bangunan tersebut. Frederik Macody Lund di dalam bukunya Ad

Quadratum turut mendedahkan seni bina berasaskan nisbah emas pada beberapa bangunan

keagamaan Kristian yang dibina pada kurun ke-12. Antaranya ialah Gereja Chartres, Greja

Katolik Loan, dan Gereja Katolik de Paris.

Nisbah emas juga turut digunakan oleh pelukis-pelukis pada zaman dahulu. Antaranya

ialah Salvador Dali yang telah menggunakan nisbah emas dalam lukisan yang dihasilkannya.

Leonardo da Vinci juga turut menghasilkan suatu ilustrasi polyhedron dalam De Divina

Proportione yang telah menunjukkan beberapa bahagian ilustrasi dalam nisbah emas. Para

pelukis terus berusaha mencari idea bagi menghasilkan lukisan perspektif tiga dimensi pada

kanvas dua dimensi. Perkembangan pesat dalam seni lukis berlaku pada zaman Reinaissance

di sebelah barat. Ibn al-Hatyam telah memberi penjelasan awal mengenai teori penglihatan iaitu

cahaya dipantulkan daripada objek ke dalam mata. Justeru itu, pelukis Renaissance telah

menggunakan idea tersebut dalam bidang seni. Pelukis Giotto telah menghasilkan lukisan yang

menunjukkan kesan kedalaman dengan mematuhi hukum perspektif garis lurus . Formula yang

tepat mengenai hukum perspektif garis lurus telah berjaya ditemui oleh Brunelleschi. Perkara

penting yang telah ditemui olehnya ialah pemahaman terhadap pengiraan yang

menghubungkait ukuran sebenar sesuatu objek dan ukurannya dalam gambar untuk

menghasilkan kesan ruang, kedalaman dan jarak tertentu dalam lukisan.

Piero della Francesca merupakan pelukis yang telah memberikan sumbangan kepada

perkembangan lukisan perspektif tiga dimensi. Leornado juga turut menggunakan pelbagai lagi

konsep matematik yang lain dalam hasil kerjanya. Beliau telah menggunakan konsep perspektif

garis lurus dalam lukisannya yang ‘Mona Lisa’ dan ‘The Last Supper’ yang telah mewujudkan

illusi jarak dalam lukisan tersebut. Beliau juga turut menggunakan segi empat emas dalam

lukisan Mona Lisa bagi mewujudkan matematik didalam lukisan beliau. Manakala tokoh

matematik dan seni grafik iaitu Mauritus Cornelis Escher telah menggunakan teori simetri dan

perspektif dalam menghasilkan kerja-kerja kreatifnya. Antara lukisan –lukisan struktur yang

sangat unik dan mustahil untuk wujud dalam dunia realiti ialah ascending and decending,

relativity, waterfall, up and down dan banyak lagi.

9

Matematik juga dapat dilihat pada arca-arca dimana mengaplikasikan bentuk-bentuk

polihedron. Masyarakat Greek merupakan orang pertama yang membuat arca menggunakan

aplikasi bentuk-bentuk polyhedron. Kemudiannya diteruskan masyarakat Islam dan China.

Antara tokoh terkenal yang mengaplikasikan polihedron ialah Abu Wafa, Piero della Francesca,

Pacioli, Leonardo Da Vinci Wenzel Jamnitzer dan Durer. Aplikasi polihedron juga turut

diaplikasikan ke dalam origami. Tomoko Fuse telah membuat perubahan kepada dunia origami

kepada perspektif matematik yang dikenali sebagai origami bermodul. Terdapat beberapa teori

matematik telah diperkenalakn dalam seni origami. Antaranya ialah teori Kawasaki dan Teori

Haga. Ini membolehkan polihedron sehingga 19 permukaan dibentuk dengan hanya

menggunakan kertas.

Seni muzik juga tidak ketinggalan daripada mendapat sentuhan matematik. Menurut

kajian, kanak-kanak yang bermain piano kebiasaanya memiliki aplikasi dalam permainan susun

suai gambar, permainan catur ataupun membuat kesimpulan matematik. Terdapat hubungan

yang penting antara not yang dimainkan dalam muzik dengan frekuensi setiap not. Muzik juga

dianggap sebagai zaman salah satu disiplin matematik yang melibatkan hubungan nombor,

nisbah, dan keseimbangan ketika zaman Greek kuno. Nombor Fibonaci dan nisbah emas

merupakan antara konsep matematik yang menarik yang diperkenalkan dalam muzik. Nisbah

emas dan nombor Fibonacci telah memudahkan mereka untuk mengubah lagu. Perancis Erik

Satie merupakan antara komposer dengan lagunya yang terkenal iaitu Sonneries de la Rose

Croix.

Sesungguhnya hubungkait seni dan juga matematik tidak dapat disangkal. Sejak dahulu

lagi, konsep matematik telah banyak digunapakai samada dalam seni bina, seni lukisan

ataupun seni muzik. Bagi menghayati keindahan matematik sebagai suatu seni, matematik

seharusnya dilihat dengan meneroka keajaiban dunia. Dan tidak sekadar hanya lulus dengan

cemerlang.

10

3.1 PENGHAMPIRAN ARCHIMEDES BAGI PI

Pi atau pai adalah pemalar matematik iaitu π ≈3.14159 ialah nisbah ukur lilit sebuah bulatan

kepada diameternya dalam ruanagan Euclid dan sering dignakan dalam matematik, fizik dan

kejuruteraan. Ia juga dikenali sebagai pemalar Archimedes(bukan nombor Archimedes) dan

nombor Ludolph. Pi juga merupakan nombor nyata dengan nilai (8 tempat perpuluhan)

3.14159265. Kadang-kadang nilai pecahan 227

digunakan sebagai penghampiran untuknya.

Kedua-dua kaedah yang diperkenalkan oleh Archimedes dan Liu Hui menggunakan poligon

sama sisi yang dilukis di dalam bulatan. Archimedes kemudiannya memperkenalkan kaedah

poligon di luar lilitan bulatan sebagai pengayaan kepada kaedahnya. Kedua-dua mereka

memperkenalkan Prinsip kepenatan iaitu mengatakan sisi polygon akan mencapai satu tahap di

mana sisi-sisinya akan menjadi sangat pendek dan akan sama dengan lilitan bulatan. Beliau

telah menghitung nilai pi berdasarkan kepada prinsip matematik selain menggunakan pengiraan

lilitan, luas dan diameter bulatan secara terus.

Kaedah 1:

Beliau telah mengabungkan bulatan dan polygon sehingga berjaya mengitung julat nilai pi iaitu;

3+ 1071

<π<3+ 17

Π didefinasikan sebagai nisbah yang mengelilingi C dengan diamaternya d. nisbah Cd

bernilai

konsisten dan tidak bergantung kepada ukuran lingkaran sesuatu bulatan.

11

Rajah 4

Rajah 5

Merujuk kepada rajah diatas, terdapat segi empat sama, ABCD didalam bulatan. Oleh

kerana nisbah lilitan kepada diameter adalah sama bagi semua bulatan, jejari bulatan dipilih

sebagai r=1. Oleh yang demikian, pepenjuru segi empat sama itu , iaitu garis bintik pada rajah

12

ialah diameter bulatan, 2r=2. S ditandakan sebagai panjang setiap sisi supaya segi tiga tepat

ABD mempunyai dua sisi yang panajngnya s dan hipotenus yang panjangnya 2. Justeru itu

dnegan menggunakan teorum petagoras, s=√2. Akhirnya perimeter segi empat sama itu ialah

P=4s= 4√2. Perimeter segi empat sama memberikan anggaran pertama lilitan bulatan secara

kasar. Dengan menggantikan lilitan dengan perimeter, rumus yang akan diperolehi ialah

π= lilitandiameter

=4√22

=2√2=2.828427125

Penghampiran π sebagai 2.8284 sangat tidak tepat. Justeru itu, bilangan sisi poligon

akan digandakan. Dalam setiap langkah gandaan tersebut akan menjadikan jawapan yang

diperolehi menjadi lebih tepat. Rintangan utama cara ini ialah menentukan bagaimana

perimeter salah satu daripada polygon berkait dengan perimeter poligon yang berikutnya.

Ringan tersebut boleh diatasi dengan menggunakan teorem pethagoras yang lain.

Rajah 6

Rajah diatas menunjukkan sebahagian bulatan dengan pusat O dengan jejari r=1. Garis

AB dengan panjang a ialah sisi n-gon terterap dengan sekata. Dengan membahagi AB di D dan

melukis jejari melalui D. Segitiga ADO ialah segitiga tepat dengan hipotenes r=1 dan kaki AD

dengan panajng (12

)a. jika panjang kaki OD diwakili oleh x,maka teorem Pythagoras menjamin

bahawa:

13

12=(12 a)2

+x2=a2

4+x2→x2=1−a

2

4→x=√1−a24

Disebabkan panjang CD menunjukkan perbezaan antara panjang OC(satu jejari) dengan OD,

dapatlah disimpulkan bahawa panjang CD ialah

1−x=1−√1−a24Pada bahagian berlorek ADC akan menghasilkan,

b2=( 12 a)2

+(1−x )2=a2

4+1−2x+x2

¿ a2

4+1−2√1−a24 +1−a

2

4=2−2√1−a24

Oleh kerana sebutan a2

4batal, ungkapan tersebut dimudahkan dengan menggerakkan 2 dari

luar ke dalam radikal dengan menggandadua semasa proses tersebut untuk mendapatkan

b2=2−2√1−a24 =2−√4(1−a24 )=2−√4−a2

Dan akhirnya rumus yang diperoleh ialah

b=√2−√4−a2

Berdasarkan kepada rajah 2, sisi segi empat sama ditulis sebagai s=√2. Ia akan memainkan

peranan a apabila rumus diatas digunakan untuk mengitung sisi oktagon terterap sekata.

b=√2−√4−a2=√2−√4−¿¿¿¿

Jadi, perimeter oktagon ialah 8 xb=8√2−√2 dan π dianggar sebagai.

π= lilitandiameter

= perimeterdiameter

=8√2−√22

=4 √2−√2=3.061467459…

14

Seterusnya pergi kepada 16-gon. Kini a=√2−√2, iaitu sisi octagon yang telah ditentukan akan

digunakan untuk mendapatkan b, iaitu sisi 16-gon

b=√2−√4−a2 ¿√2−√4−¿¿¿¿

¿√2−√4−¿¿¿ ¿√2−√2+√2

Jadi, perimeter 16-gon ialah,

16 xb=16√2−√2+√2

Dengan anggaran π yang lebih baik iaitu

π= CD

= perimeterdiameter

=16√2−√2+√22

=8√2−√2+√2=3.121445153…

Dengan menggunakan pengandaan dan rumus, maka terhasilalah 32-gon terterap dalam

sekata sebagai

32√2−√2+√2+√2

Agar

π= CD

= perimeterdiameter

=16√2−√2+√2+√2=3.136548491…

Gandaan boleh terus dibuat untuk mencari nilai π yang lebih hampir. Terbuktilah 4096-gon

adalah sekata walaupun tidak sekena dengan bulatan yang ia terterap dalam tetapi ia agak

hampir. Anggaran π adalah terhasil seperti berikut;

π= CD

= perimeterdiameter

=2048√2−√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2

=3.141594618…

Penggunaan PI

15

Nisbah ukur lilit kepada diameter sesuatu bulatan diwakili sebagai simbol π. Contoh formula

Matematik yang menggunakan Pi ialah bagi mencari isipadu silinder, luas bulatan. PI turut

digunakan dalam kehidupan manusia dimana antaranya ialah pembinaan piramid Besar Giza

atau turut dikenali sebagai piramid khufu. Pyramid ini dibina pada dimensi yang sangat

istimewa. Penglibatan nilai pi dalam dimensi utama menunjukkan ketepatan yang hampir

kepada nilai pi. Disamping itu, pi juga digunakan semasa pembinaan terowong. Keluasan dan

kestabilan lengkung perlu dikira dengan teliti. Contohnya, ketinggian terowong di Genting

Sempah adalah dengan jejari sepanjang 26 kaki . Jadi, jurutera perlu membina lakaran dimana

mengaplikasikan penggunaan pi dalam menentukan keluasan terowong. Nilai pi tersebut perlu

digunakan bagi mendapatkan ukuran yang tepat.

Selain itu, pi juga turut digunakan dalam bidang pemakanan seperti semasa membuat pizza.

Contohnya seorang pembuat pizza perlu membuat pizza dimana keju perlu diletakkan di

sekeliling pizza. Jadi beliau perllu mengetahui ukur lilit satu pizza . sekeping pizza dianggarkan

berdiameter 10cm dan setiap satu memerlukan 2 keping keju. Pembuat pizza tersebut perlu

mengaplikasikan penggunaan pi bagi menentukan jumlah ukur lilit bagi kesemua pizza dan

bilangan keju yang diperlukan.

Pi juga turut digunakan dalam bidang sukan dimana melakar kawasan penjaga gol oleh kedua-

dua pihak kerana kawasan tersebut menggunakan semi bulatan. Penggunaan pi ini turut

diaplikasi pada gelanggang-gelanggang lain seperli gelanggang bola jarring, bola tampar dan

sebagainya. Pi juga turut digunakan ndalam bidang perindustrian. Contohnya pengeluar getah

paip . diameter paip yang biasa digunakan ialah 13mm, 20mm dan 25mm. Jadi pengeluar getah

paip perlu mengambilkira diameter getah paip yang biasa digunakan untuk mengetahui ukur lilit

paip tersebut menggunakan nilai pi.

Kaedah 2:

Antara kerja Arcimedes yang paling popular ialah The Measurement of a Circle yang

menyatakan bahawa lilitan mana-mana bulatan melebihi tiga kali ganda dengan kurang

daripada 17

tetapi lebih daripada 1071

. Lilitan bulatan terletak diantara perimeter poligon sekata

bersisi n terterap dalam. Demonstrasi ini dikenali sebagai method exhaustion. Dalam

menganggar nilai yang sesuai untuk pi, Archimedes terus terterap dalam dan terterap lilit

poligon yang sekata dengan sisi 6,12,24,48 dan 96 dalam dan luar bulatan.

Berikut adalah langkah-langkah pengiraan nilai pi oleh Archimedes

16

A. Pengiraan Perimeter Poligon di Luar Bulatan

Rajah 7

Andaikan:

AB = Diameter sesuatu bulatan

O= Pusat bulatan

AC = Tangent A sudut AOC

= 13

daripada sudut tegak

Seterusnya

OA:AC [=√3 ;1¿>265: 153OA:AC > 265:153… (1)

dan OC:CA [=2:1]= 306:153… (2)

Langkah pertama:

Lukiskan OD yang membahagi sudut AOC kepada separuh dan menemukan AC di D

Sekarang,

CO:OA =CD:DA (Teorem Euclid)

COOA

=CDDA

Supaya

CO+OA : AO=CA :DA

17

CO+OAOA

= CADA

Atau

CO+OA :CA=OA : AD

CO+OACA

=OAAD

Daripada (1) dan (2)

OADA

=CO+OACA

=CODA

+OACA

OADA

> 306153

+ 265153

OADA

> 571153

Maka,

OA :AD>571 :153… (3)

Dengan menggunakan theorem Pythagoras,

OD2: AD2[¿ (OA 2+AD2 ) :AD2]

OD2

AD2=OA

2+AD2

AD2

OD2

AD2=5712+1532

1532

OD2

AD2 >34945023409

Supaya

OD :DA>591 18:153

Langkah kedua

Lukiskan OE supaya membahagi sudut AOD kepada dua dan menemukan AD pada E

18

Kemudian,

DO :OA=DE : AE

DO+OAOA

=DE+EAEA

=DAEA

Maka,

DO+OADA

=OADA

Melalui (3) dan (4)

OAAE

>591

18+571

153

OAAE

>1162 18:153

Oleh itu,

OAAE

>1162 18:153……(5)

Dengan menggunaka theorem Pythogoras,

oe2

ea2>¿¿

oe2

ea2>1350534

3364

+23409

23409

oe2

ea2>1350534

3364

23409

oe2

ea2>1172

18

153

Dengan ini;

OE : EA>1172 18:153… (6)

19

Langkah ketiga

Lukiskan OF untuk membahagi sudut AOE kepada separuh dan emnemukan AE pada F

Daripada (3) dan (5)

OA:AF¿……(7)

Oleh itu,

OF2 :FA2>{¿

¿5472132 116:23409

Maka, OF :FA>2339 14:153… (8)

Langkah keempat

Biar OG membahagi sudut AOF kepada separuh dan menemukan AF pada G daripada (7) dan

(8),

FGAG

=OFOA

AFAG

=OF+OAOA

OAAG

=OFAF

+OAAF

OAAG

>2339

14+2334 1

4153

¿4673

12

153

Maka,

20

Sekarang sudut AOC (1/2 Daripada sudut tegak, telah dibahagikan kepada separuh sebanyak

empat kali dan

sudut AOG= 148daripada satu sudut tegak

Jadikan sudut OAH pada sisi OA yang lain sama dengan sudut AOG dan biarkan GA yang

terhasil menemukan OH pada H. Maka,

sudutGOG= 124daripada satu sudut tegak

Jadi, GH merupakan salah satu sisi daripada poligon sekata yang mempunyai 96 sisi di luar

bulatan.

Sejak

OA :AG>4673 12: 153

dan

AB=20 A ,GH−2 AG

Diikuti oleh,

AB : ( perimeter poligon96 sis ) ¿

AB : ( perimeter poligon96 sis ) ¿

Tetapi , lilitanbulatandiameter

< perimeterdiameter

14688

467312

<3+667

12

467312

21

14688

467312

<3 17

Oleh itu, lilitan bulatan yang kurang daripada perimeter polygon adalah kurang daripada 3 1/7

kali diameter AB, π <3 1/7

Rajah 8

Andaikan,

AB= diameter sesuatu bulatan AC menemukan bulatan

=13

daripada sudut tegak BC disambungkan

Kemudian,

ACCB

=√31

√3< 1351780

Maka,

AC: BC <1351:780

Langkah pertama

22

Biar AD membahagi sudut BAC kepada separuh dan menemukan BC pada d dan menemukan

bulatan pada D. Sambungkan BD

Maka ,

Sudut BAD = sudut dAC = sudut dBD

Sudut pada D dan C adalah sudut tegak. Dengan itu, segi tiga ADB, [ACd] dan BDd adalah

sama.

Dengan ini

AD:DB=BD:Dd=AB:Bd(Theorem Euclid VI,3)

AD:DB= (AB+AC)Bd+Cd)

AD:DB= (AB+AC):BC

Atau (BA+AC):BC=AD:DB

Tetapi

ACBC

=21=1560780

Disebabkan

ADDB

=BA+ACBC

ADDB

= BABC

+ ACBC

ADDB

=21+ 1351780

ADDB

=2911780

Maka, AD:DB <2911:780.. (1)

Seterusnya, AB2=AD2+BD2

23

AD2

BD2=A D 2

BD2 +1

AB2

BD2<29112

7802+1

AB2

BD2<9082321608400

ABBD

<3013

34

780

Maka, AB:BD < 3013 ¾:780….(2)

Langkah 2

Biarkan AE membahagi dua sudut BAD kepada separuh dan emenmukan bulatan pada E.

Sambungkan BE

Daripada

AEEB

= AB+ADBD

AEEB

<3013

34

780+2911780

AEEB

<5924

34

780

AEEB

< 30131823240

Maka,

AE:EB <1823:240… (3)

Daripada (2),

24

AB2=AE2+BE2

AB2

BE2= AE2

BE2+1

AB2

BE2=1823

2

2402+1

AB2

BE2=1838

911

2402

Maka,

AB :BE<1838 911:240… (4)

Langkah 3

Biarkan AF membahagi sudut BAE kepada separuh, menemukan bulatan pada F

Daripada (3) dan (4),

AFFB

=BA+AEBE

AFFB

= ABBE

+ AEBE

AFFB

=3661

911×1140

240 X1140

AFFB

< 100766

Maka, AF:FB <1007:66… (5)

Seterusnya seperti diatas

25

AB2=AF2+BF2

AB2

BF2= AF2

BF2+1

AB2

BF2=1007

2

662+1

AB2

BF2=1009

16

66

Langkah 4

Biarkan AG membahagi sudut BAF kepada separuh, menemukan bulatan G daripada (5) dan

(6),

AGGB

=BA+AFBF

BABF

+AFBF

<2016

16

66

Maka,

AG :GB<2016 16:66

Dan

AB2=AG2+BG2

AB2

BG2=AG2

BG2+1

AB2

BG2<¿¿

26

AB2

BG2<4069284

136

4356

ABBD

<2017

14

66

Maka, BG: AB > 66:2017 ¼…..(7)

Sudut BAG, hasil pembahagian sudut BAC kepada separuh, sebanyak 4 kali atau satu pertiga

daripada sudut tegak adalah persamaan dengan 1/48 daripada sudut tegak. Manakala 1/24

daripada sudut tegak adalah sudut tengah BOG. Jadi, BG adalah salah satu daripada sebuah

sisi poligon sekata bersisi 96 sisi dalam bulatan

Daripada (7)

( perimeter poligon ) : AB>96 X 66 :2017 14

( perimeter poligon ) : AB>6336 :2017 14

Dan

6336

201714

>3 1071

Merujuk

31071

<π<3 17

27

3.2 PENENTUAN LUAS BULATAN ARCHIMEDES

Luas bulatan dapat dikira dengan emnggunakan rumus πr2. Keseluruhan proses yang

dilakukan oleh Archimedes dipanggil exhaustion. Luas bulatan adalah had kepada luas poligon

didalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidakterhinggaan. Luas polygon dengan sisi

n(n-gon) yang dilukis didalam bulatan menghampiri suatu nilai iaitu π apabila n meningkat.

Perimeter poligon juga semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi polygon

meningkat. Archimedes cuba menentukan luas bulatan menggunakan poligon dengan bilangan

sisi polygon ditingkatkan sehingga menjadi sisi n.

Berikut adalah contoh pengiraan luas heksagon didalam bulatan

28

Katakan AB =r dan tinggi segitiga sebagai h. pengiraan bagi menentukan tinggi segi tiga ialah

h2+( r2)2

=r2

h2+ r2

2

=r2

h2=3 r4

2

h=√3 r2

maka luas hexagon ialah = 6x luas segi tiga dimana pengiraannya ialah :

¿6× 12×tapak×tinggi

¿6× 12×r×h

Masukkan h=√3 r2

kedalam persamaan diatas,

¿6× 12×r× √3 r

2

29

¿6( √3 r2

4)

¿ 3√3 r2

2¿

¿2.5981 r2

Bagi mengira luas bagi octagon didalam bulatan pula,

Rajah 9

Katakana AB=r. Berikut adalah pengiraan bagi menentukan tinggi satu segi tiga. Jadikan tinggi

sebagai h.

30

sin 22.5 °=ar

a=0.3826 r

kos 22.5°=hr

h=0.9239 r

luas segi tiga ABC=a×h

luas segi tiga ABC=0.3826 r ×0.9239 r

luas segi tiga ABC=0.35 r2

luas segi tiga ABC=2.8 r2

Cara yang sama boleh digunakan dalam mencari luas polygon lain didalam bulatan. Justeru itu,

luas bagi poligon sisi n adalah n kali luas satu segitiga seperti yang ditunjukkan dibawah;

A=n 12(hb)

31

Seterusnya bagi luas bagi icosikaitetragon yang mempunyai 24 isi dikira.

Dikatakan bahawa AB=r. seterusnya pengiraan menentukan tinggi satu segi tiga dikira dan

jadikan tinggi yang diperoleh sebagai h.

sin 7.5 °= cr

c=0.1305 r

kos 7.5°=hr

h=0.9914 r

luas segi tiga ABC=c ×h

luas segi tiga ABC=0.1305 r ×0.9014 r

luas segi tiga ABC=0.13 r2

Jadi, luas icosikaitetragon

32

A=24×0.13 r 2

A=3.12r 2

Apabila bilangan n-sisi bertambah,

A=n 12

(hb )=12h (nb)

Nb adalah perimeter sesuatu polygon. Semakin meningkat bilangan n, maka ia menghampiri

lilitan bulatan iaitu 2πr. Menurut Archimedes, sekirannya poligon tersebut mempunyai sisi n,

maka setiap segitiga dikira sebagai 1n

daripada lilitan bulatan disamping tinggi segitiga , h , juga

akan turut menghampiri jejari bulatan, r. Dapatlah disimpulkan disini bahawa, semakin

bertambah bilangan poligon, maka luas poligon tersebut akan menghampiri dan memenuhi luas

bulatan. Justeru itu, Archimedes telah menentukan luas bagi bulatan ialah;

A=12h (nb )≈ 1

2r (2 πr )=πr2

Nilai π digunakan dalam menentukan luas bulatan dimana wujud sebagai nisbah lilitan bulatan

kepada diameter bulatan.

Aplikasi luas bulatan dalam konteks sebenar

Bagi kolam renang yang tidak berbentuk petak, formula luas digunakan bagi mendapat luas

bagi kolam renang tersebut. Justeru itu, rumus bulatan arcemedes akan digunakan.

Seterusnya, penggunaan rumus tersebut dapat dilihat pada penghasilan botol minuman. Bagi

menentukan saiz yang sesuai dengan muncung botol minuman, penggunaan luas bulat

digunakan bagi menentukan saiz tersebut.

Penggunaan luas bulatan turut terdapat pada bidang sukan iaitu semasa membina gelanggang

bola keranjang. Hal ini adalah kerana untuk mendapatkan ukuran yang tepat terutamanya

ukuran pada bulatan tengah. Dalam pembuatan glob, luas bulatan turut digunakan. Para saintis

33

telah mengaplikasikan penggunaan formula bagi luas permukaan sfera bagi menghasilkan glob

agar replika tersebut menyerupai ukuran yang sebenar. Jadi, semua glob yang dihasilkan

mempunyai skala yang sama.

3.3 PARADOK ZENO

Paradoks zeno ini terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematik kerana orang Yunani

gagal menjelaskan paradox ini. Paradox yang dianggap seakan-akan keperluan untuk

percangahan atau kemustahilan. Antinomy merupakan satu paradoks yang timbul secara logik.

Paradox boleh diketegorikan sebagai paradox logic, paradox infiniti, paradox pengetahuan,

paradox bahasa dan paradox diri rujukan. Keempat-empat paradok tersebut merupakan

paradox yang sama tetapi bukan yang sebenar.

Paradoks Achilles dan kura-kura

34

Didalam paradox ini, Archilles dan juga kura-kura akan berlumba. Archilles

membenarkan kura-kura untuk memulakan larian 100 meter lebih kehadapan. Setiap pelari

akan memulakan larian dalam kadar yang konsisten. Kemudian selepas beberapa lama,

Archilles telah berlari sejauh seratus miter dimana tempat kura-kura memulakan larian. Namun

begitu, pada masa tersebut, kura-kura telah berlari sejauh 10 meters, dan ini menyebabkan

Archillers perlu menambahkan masanya untuk berlari pada jarak tersebut. Namun begitu kura-

kura akan tetap lebih jauh. Ini menunjukkan bahawa, walaupun Archilles telah sampai dimana-

mana kura-kura tersebut telah berada, namun dia perlu pergi lebih jauh.

Paradox ini menekankan bahawa walaupun pelari pantas telah berada pada kedudukan pelari

yang lambat, namun begitu plari lambat sudahpun bergerak ke titik yang seterusnya. Zeno

menyatakan bahawa perjalanan Achilles boleh dibahagikan kepada beberapa bahagian yang

tidak terhingga. Menurutnya, garisan masa boleh dibahagikan kepada beberapa bahagian yang

tidak terhingga tetapi tidak bagi selang masa.

Berikut adalah hujah-hukah yang diketengahkan oleh ahli falsafah matematik dalam

menyangkal paradox Archilles dan kura-kura ini.

Hujah 1:

Archilles melalui jarak yang tidak terhad untuk megejar kura-kura

100m+50m +25m+12.5m+6.25m+…

Namun begitu, jumlah jarak tidak terhad adalah satu jumlah jarak yang terhad. Tetapi Zeno

mengatakan bahawa jarak yang dilalui Archilles adalah jarak yang tidak terhad.

Buktinya:

a=100mr=12n=∞

Jadi, janjang geometri akan digunakan untuk mencari jarak yang tidak terhad.

s∞=a1−r

¿ 100

1−12

35

¿200meter

Jadi, jumlah yang tidak terhad sepertimana yang dikatakan oleh zeno merupakan jumlah jarak

yang terhad. Sebelum janjang geometri ditemukan, paradox ini telah dikeluarkan. Jadi, apabila

terdapat janjang, ia telah menyangkal paradox Zeno ini.

Paradoks panah

Merupakan salah satu paradox Zeno dari Elea. Paradox ini membuat pertimbangan

mengenai anak panah dalam penerbangan. Masalah timbul apabila anak panah berada di

angkasa. Antara masalah tersebut ialah jika anak panah berada pada titik tertentu,

bagaimanakah anak panah tersebut bergerak? Masalah yang kedua ialah jika ianya tidak

bergerak, bagaimana ia mendapatkan dari titik ke titik dalam peredaran masa?

Hujah 1:

Jika anak panah berterbangan bergerak pada jarak d=20 meter dalam masa,t=4 saat

Halaju anak panah:

v=dt

¿ 20m4 s

¿5ms−1

Anak panah yang terbang pada ketika 1 saat sebenarnya mempunyai;

Jarak, d=0 meter seperti yang telah dikatakan oleh Zeno sebenarnya mempunyai jarak d yang

boleh dikira..

d=vt

¿ (5ms−1 ) (1 s)

¿5m

36

Ini menunjukkan bahawa terdpaat pergerakan pada sesuatu ketika dimana pada waktu itu, anak

panah sebenarnya sedang bergerak. Realitinya, ruang dan masa adalah berasingan.

Paradox Stadium

Paradox ini adalah berkenaan dengan badan-badan yang bergerak pada arah yang

bertentangan dengan kelajuan yang sama. Zeno berfikir bahawa dua kelajuan yang sama

seperti setengah kelajuan. Jika kita lihat gambar dibawah, terdapat 3 buah barisan benda iaitu

A, B dan C. barisan A diletak di tengah manakala barisan B dan barisan C diletakkan diantara

kiri dan kanan A. Barisan B dan C akan bergerak untuk berada sebaris dengan A dengan

kecepatan yang sama . Namun begitu, titik C paling kiri melalui dua buah B tetapi satu buah A.

ini bererti waktu C untuk melalui B adalah setengah waktu untuk melalui A.

Hujah:

Penyelesaian matematik untuk paradox Stadium adalah:

Halaju B menuju A ¿ sm s−1

Halaju C menuju A ¿ sm s−1

Halaju C menuju B ¿2ms−1

Jarak unutk menghabiskan pergerakan ¿2Dm(2kereta /unit )

Waktu yang diperlukan untuk menghabiskan pergerakan

37

¿ 2Dm2S s−1

¿ DmS s−1

1unit waktu(s)

Realitinya ruang dan masa tidak boleh dibahagikan

Zeno dan gurunya mempunyai pendapat yang sama mengenai pergerakan dan alam semesta.

Paradoks Dikhotomi (pembahagian)

Sebelum objek yang bergerak melakukan perjalanan jarak, tertentu, ia mesti melalui

setengah daripada jarak tersebut. Namun begitu, sebelum bergerak setengah jarak, objek

tersebut mesti berjalan ¼ daripada jarak tersebut. Ia akan berterusan selama-lamanya seperti

objek asal tidak dapat mengembara dan mustahil untuk bergerak.Homer ingin pergi kearah bas

yang tidak bergerak, sebelum dia sampai kesana, dia mesti melalui separuh perjalanan.

Sebelum dia dapat sampai ke separuh perjalanan, dia perlu melalui sepertiga perjalanan.

Sebelum dia sampai ke sepertiga perjalanan, dia mesti melalui seperlapan dan seterusnya.

Keputusan sekuen ditunjukkan seperti berikut,

38

Sekuen ini juga menunjukkan maslaah kedua dimana tiada jarak pertama untuk berlari.

Kesimpulan bagi paradoks ialah, perjalanan untuk mencapai mana-mana jarak terhad boleh

tidak selesai ataupun bermula.

Ahli matematik dan falsafah moden telah mengemukakan hujah yang dapat menyangkal

paradox zeni ini:

Urutan 1 ,12,14,19

dan lain-lain mempunyai had kepada 0

Urutan 0.9, 0.99, 0.999 dan seterusnya mempunyai had kepada 1

Apabila kita menulis 0.99999…., ianya bermaksud had nombor 9 adalah sehingga

infiniti, maka 0.9999...≈1

Ini menunjukkan urutan yang sebenarnya akan menghampiri had yang kita kehendaki.

Rajah 10

39

3.4 PENYIASATAN LENGKUNG KUBIK NEWTON

Pada 4 Januari 1643, Sir Isaac Newton telah dilahirkan di Woolsthorpe-by-Colsterworth. Beliau

telah mempelajari falsafah Decartes, Gassendi, Hoobles dan Boyle. Penemuan pertama

Newton adalah tentang cahaya putih yang sebenarnya wujud berdasarkan pembiasan tujuh

jenis warna yang terdapatpada pelangi. Pencapaian terbesar beliau adalah mengenai

pengkelasan lengkung kubik pada akhir abad ke tujuh belas. Beliau telah menemui 72 lengkung

yang berbeza. Beliau menyatakan bahawa semua kubik boleh dihasilkan melalui lima unjuran

parabola kubik yang berbeza.

Newton menunjukkan bahawa mana-mana kubik boleh didapati dengan unjuran yang sesuai

bagi lengkung eliptik dengan persamaan dibawah;

y2=ax3+bx2+cx+d

40

Unjurannya adalah transformasi birational dan kubik umum boleh ditulis sebagai;

y2=x3+ax2+b

Persamaan newton bagi kelas pertama adalah;

xy2+ey=ax3+bx2+cx+d

Trident of Newton merupakan lengkungan Newton yang ke 66. Newton telah mengenalpasti

beberapa tingkahlaku kualitatif yang mungkin wujud melalui lengkungan yang ada persamaan

seperti dibawah. Persamaan umum lengkung kubik ialah,

ax3+bx2 y+cxy2+dy3+cx2+ fxy+gx2+hx+iy+ j=0

Dimana a,b,c…j merupakan perimeter tetap manakala x dan y adalah pembolehubah.

Sekurang-kurangnya satu pekali a hingga d adalah bukan sifar agar ia dapat membentuk

lengkungan kubih yang sah. Kajian boleh dibuat dengan mengaplikasikan pengetahuan

mengenai kalkulus dan aljabar seperti berikut. Berdasarkan daripada pesamaan diatas, 72 jenis

lengkung kubik telah dicipta.

Berdasarkan daripada persamaan umum tersebut, Newton telah memecahkan kepada 4 jenis

persamaan iaitu:

Jenis 1: Witch og Agnesi

Jenis 2: Newton’s Trident

41

Jenis 3: Newton Diverging Parabolas

Jenis 4: Cubic Parabolas

42

43

Permukaan dalam ruang tiga dimensi telah diperkenalkan oleh Alexis Claude Clairaut setelah

beliau menjalankan penyiasatan terhadap jenis III isitu Newton Diverging Parabolas.

44

Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid. (d) Deltoid. (e) Devil on two sticks. (f) Lemniscate of Bernoulli. (g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i) Bowditch curve. (j) Fermat's spiral. (k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid."> Plane curves. (a) Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid. (d) Deltoid. (e) Devil on two sticks. (f) Lemniscate of Bernoulli. (g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i) Bowditch curve. (j) Fermat's spiral. (k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid.

Aplikasi lengkung kubik

Lengkung kubik telah digunakan didalam lukisan yang dihasilkan oleh St. James sehingga

lukisan tersebut kelihatan seolah-olah 3 dimensi.

4.0 PENUTUP

Matematik sememangnya sangat penting dalam kehidupan kita. Dengan adanya matematik,

kehidupan manusia menjadi lebih berstruktur dan sistemnatik. Disamping itu, matematik juga

banyak digunakan dalam kehidupan seharian tidak kiralah dalam apa jua bidang termasuklah

dalam bidang seni bina, lukisan, masakan, perniagaan dan sebagainya. Melalui rumus-rumus

matematik yang telah dicita, kehidupan manusia pada masa kini menjadi lebih mudah.

Contohnya, bagi memudahkan seorang tukang masak menyediakan barangan untuk membuat

kek, matematik dapat membantu beliau untuk menganggar.

Secara keseluruhannya, matematik sangat penting dalam kehidupan seharian kita. Kita

seharusnya berterima kasih dengan ahli matematik yang telah berjaya menemukan rumus-

rumus dimana ia sangat membantu kita dalam menyelesaikan sesuatu masalah. Kita

seharusnya mengetahui dnegan lebih mendalam mengenai kepentingan matematik dan tidak

hanya mempelajarinya diatas kertas semata-mata.

45

5.0 RUJUKAN

Bruce L.B & Richard T.O. (2007). Business Statistic in Practice Fourth Edition.New York. Mc

Grow Hill.

Giancoli . (1998). Physics Fifth Edition.United States of America.Prentice Hall.

James S. (1999). Calculus Forth Edition. United States of America. Brooks/Cole Publishing

Company.

Kenneth H.R. (2007). Discrete Mathematics And Its Applications Sixth Edition. New York. Mc

Grow Hill.

Mat Rofa bin Ismail.(1995). Sejarah Arithmetic Dan Aljabar Islam. Selangor. Penerbit Universiti

Pertanian Malaysia.

46

Thales.The Mathematics Of Aircraft Navigation. Diakses pada September 10,2014 daripada

www.raeng.org.uk/publications/other/1-aircraft-navigation

Ahmad Asyraf Bin Ahmad Shaharudin. (2011). Matematik dan Seni. Diakses pada September 10, 2014

daripada www.raeng.org.uk/publications/other/1-aircraft-navigation

(2013).Memecahkan Paradox Zeno. Diakses pada 15 September 2014 daripada file:///D:/pismp%20sem

%208/math/Memecahkan%20Paradoks%20Zeno%20_%20Sainstory.htm

47