Tabel Kebenaran & Hukum-Hukum Logika

Tabel Kebenaran

• Setiap kalimat pada logika proposisi memiliki salah satu nilai {true,false}

• Arti kalimat (nilai kebenaran) kompleks yang terdiri atas n variabel merupakan fungsi dari nilai kebenaan n variabel tersebut

• Sehingga perlu tahu nilai kebenaran dari masing-masing variabel, biasanya ditabelkan dan disebut tabel kebenaran

Tabel Kebenaran(lanjutan)

• Jika terdapat n variabel, maka terdapat 2n baris tabel kebenaran

• Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana

Perangkai (Operator)

Perangkai sering juga disebut dengan operasi. Dari satu atau dua pernyataan tunggal dapat diberikan perangkai “tidak”, “dan”, “atau”, “jika...maka...”, serta “... Jika dan hanya jika ...”

Perangkai logika atau operator dalam bentuk simbol dipergunakan untuk membuat bentuk-bentuk logika atau ekspresi logika

Perangkai Logika

Perangkai Simbol

Nama Istilah

Negasi Tidak/Bukan (NOT) ¬

Konjungsi Dan (AND) ∧

Disjungsi Atau (OR) ∨

Implikasi Jika...maka... →

Biimplikasi Jika dan hanya jika ↔

Negasi

• Simbolnya : “¬”

• Negasi (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang nilai kebenarannya

• Contoh :

jika p = Surabaya ibukota Jawa Timur

maka ¬p = Surabaya bukan ibukota Jawa Timur

atau

Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Jawa Timur

Tabel Kebenaran Negasi

P ¬P

F T

T F

• T = True

• F = False

Konjungsi

• Konjungsi adalah suatu pernyatan majemuk yang menggunakan perakit “dan”

• Menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungsinya

• Simbolnya : “∧”

Contoh Konjungsi

p = Galih naik sepeda

q = Ratna naik sepeda

p ∧ q = Galih dan Ratna naik sepeda

Tabel Kebenaran Konjungsi

p q p ∧ qF F FF T FT F FT T T

Disjungsi

• Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “atau”

• Menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika disjungsinya

• Simbolnya : “∨”

Contoh Disjungsi

p = Fahmi makan nasi

q = Fahmi minum kopi

p ∨ q = Fahmi makan nasi atau minum kopi

Tabel Kebenaran Disjungsi

p q p ∨ qF F FF T TT F TT T T

Implikasi

• Implikasi mengantikan perangkai “jika....maka....”(if...then...)

• Implikasi p q menyatakan bahwa p mengimplikasikan q

• p disebut antecedent (hipotesis/premis) dan q disebut consequent (kesimpulan)

Implikasi (lanjutan)

• Implikasi juga disebut conditional atau mengkondisikan satu kemungkinan saja dari sebab dan akibat

• Jika p benar, maka q benar; tetapi jika p tidak benar, maka q bisa benar – bisa tidak benar

Contoh Implikasi

p = Nilai ujian akhir anda 80 atau lebih

q = Anda mendapat nilai A

p q = “jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda mendapat nilai A”

Tabel Kebenaran Implikasi

p q p qF F TF T TT F FT T T

Kasus

Implikasi dapat menimbulkan salah pengertian jika dipahami dengan bahasa sehari-hari

Contoh:

“jika hari hujan, maka saya akan membawa payung”

- Jika hari tenyata benar-benar hujan, dan saya tidak membawa payung; maka saya sebenarnya mengingkari pernyataan yang saja buat

- Jika saya membawa payung dan hari tenyata tidak hujan; maka sama saja saya berbohong

Biimplikasi

• Biimplikasi biasa juga disebut sebagai ekuivalensi/biconditional karena ia mengkondisikan atau merangkaikan dua ekspresi logika

• Biimplikasi disimbolkan dengan “↔” mengantikan perangkai “....jika dan hanya jika.... (....if and only if....)” biasa disingkat dengan IFF

Contoh Biimplikasi

p = SBY menang pada pemilu 2004

q = SBY akan menjadi presiden mulai tahun 2004

p ↔ q = “jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka dia akan menjadi

presiden mulai tahun 2004”

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q p ↔ qF F TF T FT F FT T T

XOR

XOR disimbolkan dengan “ ” menggabungkan dua ⊕proposisi untuk membentuk logika “exclusive or”-nya

Contoh:

p = saya akan mendapat nilai A di kuliah ini

q = saya akan drop kuliah ini

p q = “saya akan mendapat nilai A atau saya akan ⊕drop kuliah ini (tapi tidak dua-duanya!)”

⊕

Tabel Kebenaran XOR

p q p ⊕ qF F FF T TT F TT T F

Contoh Soal

Gunakan variabel proposional berikut:

A = Bowo kaya raya

B = Bowo hidup bahagia

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini menjadi bentuk logika:

1. Bowo tidak kaya raya

2. Bowo kaya raya dan hidup bahagia

3. Bowo kaya raya atau tidak hidup bahagia

4. Jika Bowo kaya raya, maka ia hidup bahagia

5. Bowo hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya raya

Latihan 1

Berilah variabel proposional terserah anda, dan ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk logika:

1. Jika Bowo berada di Malioboro, maka Dewi juga ada di Malioboro

2. Pintu rumah Dewi berwarna merah atau coklat

3. Berita itu tidak menyenangkan

4. Bowo akan datang jika ia mempunyai kesempatan

5. Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai

Ekivalensi Proposisi

• Dua buah proposisi majemuk yang secara sintaksis (tertulis) berbeda dapat memiliki makna yang sama. Kedua proposisi tersebut dikatakan “ekivalen”.

• Untuk mengetahui bahwa dua proposisi bisa dikatakan ekivalen, yaitu dengan cara tabel kebenaran.

• Ekivalensi bisa disimbolakan dengan “≡” atau “⇔”

Membuktikan Ekivalensi dengan Tabel Kebenaran

• Contoh : buktikan p ∨ q ≡ ¬(¬p ∧ ¬q)

p q p ∨ q ¬p ¬q ¬p ∧ ¬q ¬(¬p ∧ ¬q)

F F F T T T F

F T T T F F T

T F T F T F T

T T T F F F T

Contoh 1

1) Jika anda tidak belajar, maka anda akan gagal

2) Anda harus belajar, atau anda akan gagal

Untuk membuktikan kedua pernyataan tersebut ekivalen atau tidak maka pernyataan tersebut harus diubah dulu dalam bentuk ekspresi logikanya.

Solusi

A = Anda tidak belajar

B = Anda gagal

Maka ekspresi logika akan menjadi:

1) A B

2) ¬A ∨ B

Buktikan: A B ≡ ¬A ∨ B

Pembuktian dengan Tabel Kebenaran

A B A B ¬A ¬A ∨ B

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

Bukti

• Ternyata A B ≡ ¬A ∨ B karena memiliki nilai kebenaran yang sama di tabel kebenaran

• Pada tabel tersebut juga dapat dibuktikan bahwa perangkai (operator) dapat diganti dengan perangkai ¬ dan ∨

Contoh 2

1) Jika bedu tidak sekolah, maka bedu tidak akan pandai

2) Jika bedu pandai, maka bedu pasti sekolah

Untuk membuktikan kedua pernyataan tersebut ekivalen atau tidak maka pernyataan tersebut harus diubah dulu dalam bentuk ekspresi logikanya.

Solusi

A = Bedu sekolah

B = Bedu pandai

Maka ekspresi logika akan menjadi:

1) ¬A ¬B

2) B A

Buktikan: ¬A ¬B ≡ B A

Pembuktian dengan Tabel Kebenaran

A B ¬A ¬B ¬A ¬B B A

F F T T T T

F T T F F F

T F F T T T

T T F F T T

Latihan 2

Buktikan:

1. A↔B ≡ (AB) ∧(BA)

2. A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)

3. ¬A↔B ≡ (¬A ∨ B) ∧(¬B ∨ A)

4. p (q ∨ r) ≡ (p q) ∨ (p r)

5. (A ∧ ¬B) (A C) ⊕ ≡ ¬A ∨ B ∨ ¬C 6. p q ⊕ ≡ ((p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬ p)) ≡ ((p ∨ q) ∧ ¬ (p ∨ q))

Hukum-Hukum Logika

Hukum-Hukum Logika

Hukum-Hukum Logika

Hukum-Hukum Logika