statistika mathematical

25
Statistika Matematika I Semester Ganjil 2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Upload: mutiahwati

Post on 04-Dec-2015

236 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

statistika mathematical

TRANSCRIPT

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Statistika Matematika I

Semester Ganjil 2011

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Covariance dari Dua Peubah

YX YXEYXCov ),(

YEXE YX ,

Definisi:

Di mana:

YEXEXYEYXEYXCov YX ),(

Untuk mengukur keeratan hubungan antara peubah X dan Y

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Bukti:

YX YXEYXCov ),(

Jabarkan dua suku perkalian tersebut

YXXY YXXYE

Operasikan nilai harapan pada setiap suku

YXXY EYEXEXYE

Menerapkan sifat nilai harapan konstanta

YXXY YEXEXYE

YEXE YX , YXYXXYXYE

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dengan penyederhanaan

YXXYE

YEXEXYEYXCov ),(Dari definisi μX dan μy

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Covariance Dua Peubah yang sama?),( XXCov

Definisi: XEXXEXEXXCov ),(

XYXCov var,

Definisi dari ragam: Xvar

2XXE

22var XEXEX Rumus kerja:

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1:

selainnya ,0

10 ,3,

xyxyxf

?),( YXCov

YEXEXYE ,,

1

0 0

3x

dydxxxyXYEx = y

1

0 0

23 dxydyxx

1

0

423

1

0

22123 dxxdxxx

10

3

?)var(X

)( 2XE

?)var(Y

)( 2YE

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1 (lanjut):

?XE 1

0

dxxxfXE x

x = y

xy

y

X dyyxfxf0

,

x

xdy0

3 xyx0

3

10,3 2 xuntukxxfX

1

0

31

0

2 33 dxxdxxxXE

4

3XE

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1 (lanjut):

?YE 1

0

dyyyfYE y

x = y

1

,x

yx

Y dxyxfyf

1

3y

xdx12

23

yx

10,1 223 yuntukyyfY

1

0

223

1

0

223 11 dyyydyyyYE

8

3YE

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1 (lanjut):

83

43

103 ,, YEXEXYE

801

83

43

103),( YXCov

YEXEXYEYXCov ),(

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1 (lanjut)

22),(var XEXEXXCovX

1

0

22 dxxfxXE

10,3 2 xuntukxxfXDiperlukan E(X2)

4

3XE

1

0

43 dxx 53

1

0

553 x

8032

43

5322var XEXEX

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1 (lanjut)

22),(var YEYEYYCovY

Diperlukan E(X2)

8

3YE

320192

83

5122var YEYEY

10,1 223 yuntukyyfY

1

0

2223

1

0

22 1 dyyydyyfyYE Y 51

1

0

5513

31

23 yy

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 2

selainnya ,0

10,10 ,4,

yxxyyxf

selainnya

yyyfY ,0

10,2

selainnya

xxxfX ,0

10,2 X dan Y saling bebas?),( YXCov

YEXEXYE ,,

1

0

21

0

22 dxxdxxxXE32

1

0

21

0

22 dyydyyyYE32

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 2 (lanjut):

1

0

1

0

4 dxdyxyxyXYE

1

0

1

0

224 dxdyyx dydxxy

1

0

1

0

224

dyy1

0

234

94

YEXEXYEYXCov ),(

03

2

3

2

9

4

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Covariance 2 PA saling Bebas

Definisi: YEXEXYEYXCov ),(

Hukum kebebasan

YEXEXYE

0),( YEXEYEXEYXCov

Dua Peubah acak yang saling bebas akan memiliki covariance = 0 (tapi tidak sebaliknya)

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Covariance dari fungsi Linier PA

?),( YXaCov

YX YXEYXCov ),(Definisi:

YEYXaEXaEYXaCov ),(

YEXE YX ,

Definisi nilai harapan: XaXaE YX YaXaE

YX YXE

YXCovYXaCov ,, Definisi covariance:

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Covariance dari Fungsi Linier PA?),( YbXaCov

Definisi: YbEYbXaEXaEYbXaCov ),(

Definisi nilai harapan:

XaXaE

YbYbE

YX bYbaXaE

YX YXE

YXCovYbXaCov ,, Definisi covariance:

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Covariance dari Fungsi Linier PA?),( bYaXCov

Definisi: bYEbYaXEaXEbYaXCov ),(

Definisi nilai harapan:

XaaXE

YbbYE

YX bbYaaXE

YX YXabE

YXabCovbYaXCov ,, Definisi covariance:

YX YXabE

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Covariance dari Fungsi Linier PA?),( ZYXCov

Definisi: ZEZYEYXEXEZYXCov ),(

ZXCovYXCov ,, Definisi covariance:

ZEZXEXYEYXEXE

ZEZXEXEYEYXEXE

ZXCovYXCovZYXCov ,,,

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Koefisien Korelasi

• Kovarian tidak dapat digunakan sebagai ukuran absolut untuk mengukur ketergantungan antar peubah

• Kovarian tergantung pada skala pengukuran• Dua nilai kovarian tidak dapat dibandingkan• Kovarian perlu distandarisasi: KOEFISIEN

KORELASI

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Koefisien Korelasi

• Definisi koefisien korelasi untuk peubah X dan Y:

YX

YXCov

varvar

),(

11

• Nilai -1 dan 1: korelasi sempurna• +, perubahan X dan Y searah • -, perubahan X dan Y tidak searah

• Nilai = 0: Saling bebas

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh:

• Pada X dan Y dengan fungsi kepekatan peluang:

selainnya ,0

10 ,3,

xyxyxf

32019var Y 80

3var X801),( YXCov

YX

YXCov

varvar

),( 26.0

32019

803

801

• X dan Y mempunyai hubungan yang tidak terlalu erat.

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Nilai Harapan Bersyarat

Definisi: dxyxfxyYXE

x

yxxpyYXE

PA kontinyu

PA diskrit

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh 1:

selainnya ,0

20 ,2

1, yxyxf

yf

yxfyxf

Y

,

yy

1

21

21

selainnya 0 ,20 yxuntuk

selainnya ,0

20 ,2

1yyyfY

Dari contoh sebelumnya

dxyxfxYXEyx

x

111

0

2

11

1

0

dxx

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema yYXEEXE

Bukti:

Definisi nilai harapan:

dxxxfXE X

Dari definisi fungsi marjinal:

dxdyyxfxXE ,

Dari definisi peluang bersyarat

dxdyyfyxfxXE y yfyxfyxf y,

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

dxdyyfyxfxXE y

Dengan pengelompokan

dyyfdxyxxf y

dxyxfxyYXE

Dari definisi nilai harapan bersyarat:

dyyfyYXE Y

Dari definisi nilai harapan

dyyfygYgE Y

yYXEEXE

yYXEYg