soalan 2 (chipertext).doc

ALJABAR LINEAR MTE 3110

KRIPTOGRAFI

Kriptografi adalah satu bidang tentang kajian mengenai proses penyulitan

(encryption) dan penyahsulitan (decryption). Mesej tanpa penyulitan dipanggil

plaintext, manakala mesej yang tersulit dipanggil ciphertext. Algorithm yang

digunakan dalam proses melaksanakan penyulitan dan penyahsulitan ialah cipher.

Hill cipher ialah cipher substitusi polygraphic berdasarkan algebra linear. Cipher ini

telah ditemui oleh Lester S. Hill pada tahun 1929, itu adalah cipher polygraphic

pertama di mana ia praktikal(walaupun hampir) untuk beroperasi pada lebih dari tiga

simbol sekaligus. Pembahasan berikut ini mengandaikan pengetahuan dasar

tentang matriks.

Dalam proses menggunakan kaedah hill cipher ini, satu mesej yang tersulit

akan diberikan dan pengguna perlu memecahkan mesej tersebut. mesej yang diberi

dalam kod rahsia ini adalah menggunakan huruf-huruf dan beberapa simbol. Hill

cipher telah menyediakan satu senarai kod rahsia tersebut dan nilai-nilai yang tetap

untuk diterjemahkan bagi memecahkan kod rahsia tersebut.

Rajah di atas merupakan senarai kod asas yang digunakan dalam proses

untuk menyahsulitkan kod yang ingin dicari. Dalam hill cipher ini abjad-abjad yang

terlibat adalah terdiri daripada 26 jenis iaitu bermula dari huruf A hingga Z. Manakala

terdapat tiga lagi tambahan simbol iaitu noktah (.), koma (,), dan ruang kosong ( ).

Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 30


Dalam proses untuk menterjemahkan mesej rahsia ini, pengguna perlu tahu bahawa

plaintext diperoleh daripada hasil darab ciphertext dan inverse A(key inverse).

Namun senarai kod di atas ini hanya boleh diterjemahkan sekiranya ciphertext

yang diperolah mempunyai nilai di antara 0 hingga 28. Sekiranya nombor yang

diperolah lebih besar atau bernilai negatif, modulo 29 perlu digunakan. Modulo 29

mempunyai nilai-nilai kod yang dapat disetarakan dengan senarai kod asas dalam

rajah di atas.

Rajah ini menunjukkan senarai nilai dalam modulo 29. Seperti yang dapat

dilihat, nombor yang besar akan disetarakan dengan nombor-nombor di antara 0

hingga 28.

Berikut adalah antara nilai-nilai setara yang dipaparkan seperti dalam jadual

kod bagi modulo 29.

Seperti yang dibincangkan di atas, plaintext diperoleh daripada hasil darab

ciphertext dan inverse A (key inverse). Dalam proses memecahkan mesej rahsia ini,


59 29 0 (mod 29) 71 42 13 (mod 29)

84 55 26 (mod 29)

A-1 = CT PT


kebiasaannya yang akan diberikan hanya ciphertext dan klu bagi plaintext. Oleh

yang demikian pengguna perlu mencari nilai inverse A tersebut.

Bagi mencari nilai inverse A, matriks CT tersebut perlu dijadikan identiti dan

matriks PT akan mempunyai nilai. Kaedah yang digunakan bagi menjadikan identiti

ialah menggunakan kaedah penghapusan Gauss Jordan. Nilai dalam matriks PT

tersebutlah yang merupakan inverse bagi A. Apabila nilai diperoleh, inverse A yang

ditranformasikan itu perlu ditransformasikan semula agar menjadi inverse A yang

sebenar.

Setelah inverse A diperolah, barulah inverse A didarabkan dengan ciphertext

yang diberikan untuk menterjemahkan mesej rahsia tersebut. hasil darab dua

matriks tersebut akan mendapat nilai angka yang besar daripada 29. Oleh itu,

pengguna harus menukarkan kepada modulo 29 untuk mendapatkan kod yang

setara itu tadi.

Setelah kod yang setara diperoleh, maka pengguna akan dapat menterjemahkan

mesej rahsia yang dicari.

Berikut adalah contoh bagaimana untuk memecahkan mesej rahsia dengan

menggunakan modulo 29.

Ciphertext yang dibekalkan ialah seperti berikut:

Manakala klu plaintext yang dibekalkan ialah:


LOCZUYNJEHYHRPBMAATJTVWQMLMRVGSNAWOKRTDBH,*SICBYJQTJNP

JNP

THE *MATTE


Setelah mendapat kedua-dua ciphertext dan plaintext ini, susunkan terlebih

dahulu maklumat ini ke dalam bentuk matriks dan tukarkan nilainya kepada nombor

mengikut jadual kod asas yang menggunakan huruf dan simbol tersebut. pengguna

perlu memastikan susunan adalah betul mengikut urutan kerana jika terdapat

kesalahan mesej tidak akan berjaya diterjemahkan.

Rajah di atas menunjukkan ciphertext yang telah disusun dalam bentuk

matriks dan ditukar menjadi angka mengikut kod asas yang ditunjukkan dalam jadual

tadi.

Plaintext juga turut ditukarkan menjadi bentuk angka dan disusun dalam

bentuk matriks.



Setelah semua ditukar dan disusun, cari nilai inverse bagi A dengan

menggunakan rumus berikut:

Untuk mencari nilai inverse A ini, kaedah penghapusan menggunakan Gauss

Jordan digunakan iaitu dengan menjadikan matriks CT (sebelah kiri) sebagai matriks

identiti dan matriks PT (sebelah kanan) mempunyai nilai. Pengiraan perlu dibuat satu

demi satu kerana dalam proses ini penukaran yang melibatkan modulo 29

digunakan.


A-1 = CT PT



Matriks di sebelah kiri

menjadi matriks identiti

Baris 1 ditukar kepada mod

29 untuk mendapatkan

nilai yang setara


Rajah di atas menunjukkan pengiraan yang menggunakan kaedah

penghapusan Gauss Jordan bagi mendapatkan nilai inverse A. Nilai inverse A ini

ialah key inverse bagi meneruskan langkah seterusnya bagi mendapatkan mesej

rahsia. Nilai inverse A transformasi akan ditransformasikan semula bagi

mendapatkan nilai inverse sebenar.

Setelah mendapat inverse A, maka nilai inverse A didarabkan dengan

kesemua ciphertext yang dibekalkan. Disebabkan ciphertext yang dibekalkan

banyak, pengiraan boleh dijalankan dengan mengira sebahagian dahulu. setelah

mendapat jawapan, maka teruskan dengan pengiraan sebahagian yang lain

sehingga semua ciphertext didarabkan dengan inverse A tadi.



Berikut ialah contoh pengiraan menggunakan alat pengiraan ‘matrix algebra

tool’. Pengiraan matrix yang banyak boleh dipermudahkan dengan menggunakan

alat pengiraan ini kerana ia dapat mengira dengan bilangan baris dan lajur yang lebih

banyak berbanding biasa. Setelah semua nilai ciphertext diperoleh, maka tukarkan

semua ke dalam bentuk modulo 29 agar dapat ditafsirkan mesej tersebut.



Kemudian, tafsirkan kesemua nilai tadi ke dalam abjad-abjad dan simbol yang

setara menggunakan jadual kod asas yang ditunjukkan.

REFLEKSI

Berdasarkan tugasan yang dilaksanakan, dapat dilihat bahawa alat pengiraan

dalam matematik amat penting bagi membantu dalam menyelesaikan pelbagai

masalah yang berkaitan dengan operasi matriks dan vektor secara khususnya dan

juga alat-alat pengiraan lain secara amnya. Alat-alat pengiraan seperti yang

ditunjukkan adalah berupaya membantu pelajar menumpukan perhatian kepada

pemahaman konsep atau penyelesaian masalah. Dalam masa yang sama, adlah

penting bagi guru pelatih menguasai kemahiran penggunaan alat-alat pengiraan ini

untuk mempertingkatkan pembelajaran matematik agar dapat mempermudahkan

pengajaran matematik di sekolah nanti.

Alat-alat pengiraan ini juga sebenarnya mempunyai pelbagai jenis dan

kemudahan yang tersendiri yang disediakan kepada kita sebagai pengguna. Oleh

yang demikian, kita tidak perlu bimbang kerana cara penggunaannya boleh dipelajari

serta merta dan latihan dan penggunaan yang kerap dapat membantu kita

meningkatkan kemahiran dalam menggunakan alat tersebut. walaupun alat


THE MATTER THEY TOUCH. VOLCANOES BEGIN TO ERUPT ALL


pengiraan tersebut dilihat seperti terlalu mencabar dan kompleks, namun tidak

semua daripada alat-alat tersebut menimbulkan kesukaran. Jika konsep dan

kefahaman tentang tajuk pembelajaran dapat difahami dengan baik, maka alat

pengiraan tersebut akan membantu kita dalam mempercepatkan kerja-kerja

pengiraan.

Dalam pada itu, kajian kriptografi juga merupakan satu kajian tentang

pnyulitan dan penyahsulitan yang sangat menarik dalam bidang matematik. Dalam

proses yang melibatkan pentafsiran mesej rahsia, ia telah menggunakan kaedah

matriks untuk mencari jawapan. Di samping itu, pertukaran modulo 29 itu juga

menjadikan kajian kriptografi ini mencabar minda para pengguna atau pelajar yang

mempelajarinya. Idea yang kreatif seperti ini dapat membantu dalam menjadikan

pemikiran pelajar menjadi lebih meluas dan sentiasa berada dalam keadaan yang

tidak berputus asa untuk mentafsirkan mesej rahsia tersebut. pembelajaran bagi

topik ini amat memberi satu cabaran yang membina kepada para pelajar. Dalam

usaha untuk melahirkan bakal guru yang berkualiti dan berkredibiliti, adalah penting

bagi kita sebagai pelajar dan bakal guru untuk mempelajarinya. Dalam masa yang

sama, ia dapat mambantu dalam meningkatkan lagi kemahiran dan kefahaman

tentang pengetahuan matriks yang dipelajari.

Oleh itu, sebagai seorang pelajar dan bakal guru, kita perlu berusaha dalam

memahami ilmu dan pengetahuan ini supaya kita berupaya untuk menghadapi

rencah-rencah kehidupan dalam dunia pendidikan pada masa akan datang yang

semakin mencabar.


soalan 2 (chipertext).doc

Documents