INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES

MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT

Oleh :

ADE CANDRA SISKA

NIM: J2E 006 002

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

Sarjana Sains Pada Program Studi Statistika

PROGRAM STUDI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS DIPONEGORO

2011

INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES

MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT

Oleh :

ADE CANDRA SISKA

NIM: J2E 006 002

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

Sarjana Sains Pada Program Studi Statistika

PROGRAM STUDI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS DIPONEGORO

2011

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat, hidayah, kemudahan, dan segala

limpahan nikmat-Nya, penulis bisa menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul “Inferensi

Statistik Distribusi Binomial dengan Metode Bayes Menggunakan Prior Konjugat” dengan

baik. Penulisan Tugas Akhir ini disusun sebagai salah satu syarat bagi penulis untuk meraih gelar

sarjana strata satu pada Program Studi Statistika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam.

Penulis menyadari bahwa penyusunan Tugas Akhir ini tidak akan berjalan baik tanpa

adanya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan kali ini

penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Ibu Dr. Muhammad Nur, DEA selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Diponegoro

2. Ibu Dr. Widowati, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas

Diponegoro.

3. Ibu Dra. Suparti, M.Si selaku Ketua Program Studi Statistika Fakultas MIPA Universitas

Diponegoro.

4. Ibu Yuciana Wilandari, S.Si, M.Si serta Ibu Di Asih I Maruddani, S.Si., M.Si, selaku

dosen pembimbing yang telah memberikan motivasi, arahan dan bimbingan.

5. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah banyak membantu

penulis.

Penulis sadar bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis

mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna perbaikan lebih lanjut.

Akhir kata semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Semarang, 24 Juni 2011

Penulis

ABSTRAK

Salah satu metode yang digunakan untuk inferensi statistik adalah metode Bayes. Metode Bayes

menggabungkan distribusi sampel dan distribusi awal (prior), sehingga didapat distribusi

posterior. Pada skripsi ini, distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi Binomial.

Distribusi prior yang digunakan adalah prior konjugat mengacu pada acuan analisis model

terutama pembentukan fungsi likelihoodnya yaitu distribusi Beta dan Uniform. Setelah didapat

distribusi posteriornya akan didapat estimasi titik, interval dan uji hipotesis untuk proporsi

Binomial.

Kata kunci: Metode Bayes, Prior Konjugat, Beta, Binomial, Uniform.

ABSTRACT

One of the method which can be used in inference statistics is Bayesian method. It is combine

sample distribution and prior distribution, so can result posterior distribution. In this thesis,

sample distribution used is binomial distribution. Prior distribution used is the conjugate prior

analysis refers to the reference model, especially the establishment of the distribution likelihood

function, that is Beta and Uniform. After got the posterior distribution, then by using posterior

distribution that has been formed will get the estimation of point, interval and hypothesis test for

Binomial proportions.

Key Words: Bayesian method, Conjugate Prior, Beta, Binomial, Uniform.

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................. i

HALAMAN PENGESAHAN I .................................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN II ................................................................. iii

KATA PENGANTAR ................................................................................ iv

ABSTRAK ................................................................................................. vi

ABSTRACT .............................................................................................. vii

DAFTAR ISI ............................................................................................. viii

DAFTAR SIMBOL .................................................................................... xi

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ....................................................................... 1

1.2 Perumusan Masalah ............................................................... 3

1.3 Pembatasan Masalah .............................................................. 4

1.4 Tujuan Penulisan ................................................................... 4

1.5 Sistematika Penulisan ............................................................ 4

BAB II TEORI PENUNJANG ................................................................. 6

2.1 Variabel Random ................................................................ 6

2.2 Fungsi Distribusi Peluang .................................................... 6

2.3 Ekspektasi dan Variansi ...................................................... 7

2.4 Fungsi Densitas peluang Bersama ....................................... 10

2.5 Fungsi Densitas peluang Marginal ....................................... 11

2.6 Distribusi Bersyarat ............................................................. 12

2.7 Fungsi Gamma ..................................................................... 13

2.8 Distribusi Beta .................................................................... 18

2.9 Distribusi Uniform ............................................................... 20

2.10 Distribusi Binomial ............................................................. 23

2.11 Keluarga Eksponensial ......................................................... 26

2.12 Teorema Bayes ................................................................... 26

2.13 Distribusi prior ..................................................................... 28

2.14 Fungsi Likelihood ................................................................ 30

2.15 Distribusi posterior ............................................................... 30

2.16 Metode Evaluasi Estimator................................................... 31

2.17 Interval Konfidensi .............................................................. 33

2.18 Uji Hipotesis ........................................................................ 34

2.19 Maximum Likelihood Estimator ........................................... 34

BAB III PERBANDINGAN INFERENSI BAYES DAN INFERENSI KLASIK UNTUK

PROPORSI BINOMIAL ............................................................................ 37

3.1 Likelihood dari distribusi Binomial ...................................... 37

3.2 Distribusi Binomial Sebagai Densitas yang Berasal dari Keluarga eksponensial

............................................................................................ 38

3.3 Distribusi Beta Sebagai Densitas yang Berasal dari Keluarga eksponensial

............................................................................................ 39

3.4 Distribusi Beta sebagai Prior ................................................ 40

3.5 Prosedur Memilih Prior ........................................................ 41

3.6 Distribusi Posterior dari distribusi Binomial ........................ 48

3.7 Estimator Bayes dari distribusi Binomial dengan prior Beta . 52

3.8 Estimator Bayes dari distribusi Binomial dengan prior

Uniform .............................................................................. 60

3.9 Interval konfidensi Bayes .................................................... 67

3.10 Uji Hipotesis Bayes .............................................................. 68

3.11 Inferensi Klasik untuk Proporsi Binomial ............................. 70

3.12 Algoritma penyelesaian ........................................................ 76

3.13 Contoh permasalahan ........................................................... 77

BAB IV KESIMPULAN ............................................................................ 92

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 94

Lampiran 1: Tabel grafik distribusi Beta ..................................................... 96

Lampiran 2: Tabel Normal Standard ........................................................... 98

DAFTAR SIMBOL

: fungsi densitas peluang dari variabel random X

: nilai ekspektasi dari variabel random X

: variansi dari variabel random X

: berdistribusi

: penjumlahan himpunan anggota

: parameter proporsi

: standard deviasi

: parameter distribusi Beta

: parameter distribusi Beta

: fungsi Gamma

: differensial

: jumlah data sampel

: nilai tabel Normal standard

: tingkat signifikansi

: likelihood

: eksponensial

: distribusi prior

: fungsi likelihood

: distribusi posterior

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Metode statistik adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan,

penyajian, analisis, dan penafsiran data. Dalam penggunaan statistika terdapat tiga bagian utama,

yaitu statistika deskriptif, probabilitas (peluang) dan statistika inferensi. Statistika deskriptif

bertujuan untuk menyajikan informasi data sebagai deskripsi fakta dalam bentuk numerik, tabel,

grafik atau kurva distribusi, sehingga suatu fakta atau peristiwa dapat secara mudah untuk

dipahami dan disimpulkan. Sedangkan statistika inferensi menggunakan konsep probabilitas

untuk membuat perkiraan, prediksi, peramalan, ataupun generalisasi dari suatu objek

berdasarkan informasi data yang diambil fakta sebagai populasi atau sampel (Mustafid, 2003).

Inferensi statistik dapat dibedakan menjadi dua yaitu estimasi parameter dan uji hipotesis.

Estimasi parameter dibedakan menjadi dua yaitu estimasi parameter titik dan estimasi parameter

berupa interval. Inferensi statistik dapat dicari dengan metode klasik dan metode Bayes (Walpole

dan Myers, 1995).

Pada suatu penelitian terkadang diamati karakteristik dari sebuah populasi. Beberapa

macam ukuran statistik digunakan untuk mengetahui karakteristik dari populasi, misalnya rataan,

varian, median, atau proporsi. Pada inferensi statistik ingin diperoleh kesimpulan mengenai

populasi, meskipun tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu yang menyusun

populasi atau tidak mungkin jika populasinya tak hingga. Dengan berbagai keterbatasan dan

kendala, tidak dimungkinkan mengamati keseluruhan dari elemen populasi, maka dapat

dilakukan langkah alternatif yaitu pendugaan populasi dengan menggunakan sampel yang

diambil secara acak dari sebuah populasi.

Pada teori estimasi titik dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik dan

metode Bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang

diambil dari populasi, sedangkan metode Bayes disamping memanfaatkan data sampel yang

diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior

(Walpole dan Myers, 1995). Salah satu teknik yang digunakan dalam metode klasik adalah

metode maksimum likelihood. Metode klasik memandang parameter sebagai besaran tetap yang

tidak diketahui harganya, dan inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel. Metode

Bayes memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan pengetahuan awal tentang

parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut

dengan distribusi prior (Bolstad, 2007). Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam

distribusi prior dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui teorema Bayes,

dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior yang

selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi di dalam metode Bayes (Berger, 1990).

Dalam statistik klasik parameter proporsi Binomial dianggap sebagai sebuah nilai yang

dianggap konstan, tapi dalam beberapa situasi dan tempat pengamatan yang berbeda akan

diperoleh proporsi yang berubah-ubah, sehingga dalam hal ini prinsip Bayes cukup relevan

digunakan, karena dalam prinsip Bayes parameter proporsi diperlakukan sebagai variabel agar

mempunyai kemampuan yang akomodatif pada keadaan tersebut.

Teorema Bayes memungkinkan seseorang untuk memperbaruhi keyakinannya mengenai

sebuah parameter setelah data diperoleh. Sehingga dalam hal ini mengharuskan adanya

keyakinan awal (prior) sebelum memulai inferensi. Pada dasarnya distribusi prior bisa diperoleh

berdasarkan keyakinan subjektif dari peneliti itu sendiri mengenai nilai yang mungkin untuk

parameter yang diestimasi, sehingga perlu diperhatikan bagaimana cara menentukan prior. Jika

distribusi sampel berasal dari keluarga Eksponensial, maka salah satu caranya adalah dengan

menggunakan prior konjugat (Bolstad, 2007), dimana distribusi prior konjugat (conjugate)

mengacu pada acuan analisis model terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya, sehingga

dalam penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang

mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi densitas peluang pembangun likelihoodnya (Box dan

Tiao, 1973). Kemudian digabungkan dengan informasi sampel melalui teorema Bayes sehingga

dihasilkan distribusi posterior. Setelah distribusi posterior terbentuk, maka dapat diperoleh

estimasi titik, interval dan uji hipotesis Bayes untuk parameter yang diestimasi.

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Dalam penulisan Tugas Akhir ini, permasalahan yang dibahas yaitu bagaimana

menentukan inferensi statistik berupa estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis untuk

proporsi Binomial menggunakan prior konjugat dengan metode Bayes, serta membandingkan

metode Bayes dengan metode maksimum likelihood untuk distribusi Binomial untuk parameter

proporsi yang tidak diketahui.

1.3.1 PEMBATASAN MASALAH

Penulisan Tugas Akhir ini pembahasan masalah akan dibatasi mengenai prior Beta dan

Uniform sebagai prior konjugat dari distribusi Binomial dan Maximum Likelihood Estimator

(MLE) serta Mean Square Error (MSE) dan sifat takbias sebagai kriteria evaluasi estimator.

1.4 TUJUAN PENULISAN

Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah:

1. Menentukan estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis untuk proporsi Binomial

dengan metode Bayes menggunakan prior Beta dan Uniform sebagai prior

konjugatnya.

2. Membandingkan inferensi Bayes dengan metode maksimum likelihood untuk

distribusi Binomial untuk parameter proporsi Binomial ( ) yang tidak diketahui.

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN

Adapun sistematika penulisan Tugas Akhir ini terdiri atas empat bab, yaitu pendahuluan,

tinjauan pustaka, pembahasan, dan penutup. Bab I Pendahuluan, berisi latar belakang masalah,

permasalahan, pembatasan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Bab II Teori

Penunjang, berisi konsep dasar distribusi Binomial, distribusi Gamma, distribusi Beta, distribusi

Uniform, teorema Bayes, distribusi prior dan posterior, estimasi interval serta uji hipotesis dan

metode maksimum likelihood. Bab III Inferensi Statistik dari Distribusi Binomial dengan

Metode Bayes untuk prior konjugatanya berisi distribusi Binomial sebagai distribusi sampel,

likelihood dari distribusi Binomial, prior konjugat dari distribusi Binomial, prosedur memilih

prior, estimator Bayes dari distribusi Binomial dengan prior Beta, estimator Bayes dari distribusi

Binomial dengan prior Uniform, distribusi posterior, Interval kepercayaan Bayes serta uji

hipotesis Bayes. Membandingkan inferensi estimator Bayes dengan MLE (Maximum Likelihood

Estimator). Bab IV Kesimpulan, berisi kesimpulan-kesimpulan yang diperoleh berdasarkan

pembahasan pada bab-bab sebelumnya.

BAB II

TEORI PENUNJANG

2.1 Variabel Random

Definisi 2.1 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Suatu variabel random (peubah acak) dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang

memetakan unsur-unsur dalam ruang sampel suatu percobaan terhadap suatu gugus bilangan riil

sebagai suatu wilayah fungsi. Variabel random dapat dilambangkan dengan huruf besar,

misalnya X, Y, Z,... sedangkan huruf kecil x, y, z, ... dinotasikan sebagai nilai padanannya.

2.2 Fungsi Distribusi Peluang

Definisi 2.2 (Walpole dan Myers, 1995)

Jika X adalah suatu variabel random diskrit dengan hasil yang mungkin ,

maka fungsi peluangnya adalah suatu fungsi yang memenuhi kondisi:

1.

2.

3. =

Definisi 2.3 (Walpole dan Myers, 1995)

Jika X adalah suatu variabel random kontinu, maka fungsi densitas peluangnya adalah

suatu fungsi yang memenuhi kondisi:

1.

2.

3.

2.3 Ekspektasi dan Variansi

Definisi 2.4 (Walpole dan Myers, 1995)

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka Nilai ekspektasi X

ialah

Teorema 2.1 (Walpole dan Myers, 1995)

Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan a dan b merupakan suatu tetapan, maka

BUKTI

Menurut definisi nilai ekspektasi

Karena

dan

, maka diperoleh

*

Definisi 2.5 (Montgomery dan Runger, 2003)

Jika X adalah suatu variabel random diskrit dengan distribusi peluang f(x) maka variansi

dari X yang dinotasikan dengan atau var(X), adalah

Standar deviasi X adalah σ =

Definisi 2.6 (Montgomery dan Runger, 2003)

Jika X adalah suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x), maka

variansi dari X yang dinotasikan dengan adalah

Standar deviasi X adalah σ =

Teorema 2.2 (Spiegel, Schiller dan Srinivasan, 2004)

Jika X adalah suatu variabel random dengan fungsi densitas peluang f(x), maka variansi

dari X yang dinotasikan dengan adalah

Dimana

BUKTI

Teorema 2.3 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Misalkan X adalah variabel random dan a dan b adalah konstanta, maka

BUKTI

2.4 Fungsi Densitas Peluang Bersama

Definisi 2.7 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Fungsi densitas peluang bersama dari k-dimensi variabel random diskrit

didefinisikan

untuk semua nilai dari X.

Definisi 2.8 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Sebuah k-dimensi nilai vektor variabel random

kontinu dengan

fungsi densitas bersama , maka fungsi densitas komulatifnya dapat ditulis

untuk semua

2.5 Fungsi Densitas Peluang Marginal

Definisi 2.9 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Jika pasangan adalah variabel random diskrit yang mempunyai fungsi densitas

peluang bersama , maka fungsi densitas peluang marginal untuk dan adalah

Jika pasangan adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi densitas peluang

bersama , maka fungsi densitas peluang marginal untuk dan adalah

2.6 Distribusi Bersyarat

Definisi 2.10 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Jika dan merupakan variabel random diskrit atau kontinu dengan fungsi densitas

peluang bersama , maka fungsi densitas peluang bersyarat dari jika diketahui

didefinisikan dengan:

untuk nilai sedemikian hingga , dan nol untuk lainnya. Sedangkan fungsi densitas

peluang bersyarat dari , jika diketahui didefinisikan dengan :

untuk nilai sedemikian hingga , dan nol untuk lainnya.

2.7 Fungsi Gamma

Definisi 2.11 (Soehardjo 1985 dalam Pharamita, 2009)

Fungsi Gamma didefinisikan oleh

untuk n > 0 , n pecahan negatif n bukan bilangan bulat negatif

Teorema 2.4 (Soehardjo 1985 dalam Pharamita, 2009)

Sifat – sifat dari fungsi Gamma antara lain:

a)

, n pecahan negatif dan n bukan bilangan bulat negatif

b)

c)

BUKTI PERSAMAAN (2.14)

Berdasarkan persamaan (2.13) jika dilakukan integral parsial dari fungsi Gamma dengan

dan , maka diperoleh

sehingga

, n pecahan negatif dan n bukan bilangan bulat negatif

BUKTI PERSAMAAN (2.15)

Berdasarkan persamaan (2.14), dengan menggunakan rumus berulang berkali-kali diperoleh

Dengan menggunakan cara yang sama akan dihasilkan

)

Bila adalah bilangan bulat positif, maka,

dimana

Sehingga diperoleh

untuk n = 1,2,…

BUKTI PERSAMAAN 2.16

Bentuk lain dari adalah:

Bukti persamaan (2.17)

Subsitusi:

Batas integralnya:

Terbukti bahwa

, sehingga persamaan 2.16 dapat

dibuktikan sebagai berikut;

Subsitusi:

Batas integralnya: 0y 0

0z 2

0r

*

2.8 Distribusi Beta

Definisi 2.12 (Spiegel, Schiller dan Srinivasan, 2004)

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi Beta dengan parameter dan , jika

fungsi kepadatanya adalah

di mana merupakan fungsi Beta yang didefinisikan sebagai

Fungsi Beta dihubungkan dengan fungsi Gamma oleh

Sehingga distribusi Beta juga dapat didefinisikan oleh fungsi kepadatan

Teorema 2.5 (Berger, 1990)

Mean dan variansi dari distribusi Beta dengan parameter dan masing-masing adalah

μ =

dan

,

BUKTI

Menghitung momen dari distribusi Beta bisa dilakukan dengan metode sebagai berikut

maka juga dapat diperoleh persamaan

Berdasarkan persamaan (2.22) dan persamaan (2.23), maka untuk memperoleh mean ) dan

var(X) = adalah dengan mensubsitusikan n= 1 dan n= 2 ke persamaan (2.23),

maka

dan

Karena

maka

2. 9 Distribusi Uniform

Definisi 2.13 (Berger, 1990)

Distribusi Uniform kontinu memiliki sebaran probabilitas yang sama pada seluruh

interval , dengan densitas

Sehingga

.

Teorema 2.6

Distribusi Uniform mempunyai mean dan variansi

BUKTI

sehingga

akibatnya

Teorema 2.7 (Bolstad, 2007)

Variabel random Uniform (0,1) dapat dinyatakan sebagai Beta (1,1), dimana distribusi

Uniform (0,1) merupakan fungsi densitas probabilitas yang konstan pada interval dapat

didefinisikan sebagai

BUKTI

Perhatikan

maka densitas Beta (1,1) adalah

2.10 Distribusi Binomial

Definisi 2.14 (Walpole dan Myers,1995)

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha dan tiap usaha dengan dua

kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal, percobaan tersebut dinamakan

percobaan Binomial jika:

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal

3. Peluang sukses dinyatakan dengan θ, tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha yang

berikutnya

4. Tiap usaha bebas dari usaha lainya.

Distribusi peluang peubah Binomial X disebut distribusi Binomial dan dinyatakan dengan

Binomial ) karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses

dalam usaha (θ). Bila suatu usaha Binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang θ dan

gagal dengan peluang . maka distribusi peluang variabel random Binomial X yaitu

banyaknya sukses dalam n usaha bebas ialah

Teorema 2.8

Distribusi Binomial mempunyai mean dan variansi

dan .

BUKTI

Misalkan hasil usaha ke j dinyatakan dengan variabel random ; dimisalkan mendapat nilai

0 dan 1, masing-masing dengan peluang 1 - θ dan θ. Ini disebut peubah Bernoulli dengan

menunjukan suatu kegagalan sedangkan menunjukan suatu sukses.

Jadi banyaknya sukses dalam suatu percobaan Binomial dapat ditulis sebagai n peubah

penunjuk bebas, sehingga

Setiap mempunyai mean = 0.( 1 – θ) + 1.θ = θ

= *

Variansi setiap diberikan oleh

maka

*

2.11 Keluarga Eksponensial

Definisi 2.15 (Berger, 1990)

Keluarga densitas disebut keluarga eksponensial k parameter bila densitas tersebut dapat

dinyatakan dalam bentuk:

Keterangan;

h(x) ≥ 0 dan , …, adalah nilai real fungsi dari observasi x(nilai yang tidak tergantung

terhadap θ) dan … adalah nilai real fungsi dari nilai vector yang mungkin dari

parameter θ(tidak tergantung tehadap x / independen terhadap θ).

h(x) = fungsi non negatif dari x

= fungsi berharga nyata dari x

fungsi non negatif dari θ

= fungsi berharga nyata dari θ

2.12 Teorema Bayes

Definisi 2.16 (Soejoeti dan Soebanar, 1988)

Misal S adalah ruang sampel dari suatu eksperimen dan adalah peristiwa-

peristiwa didalam S sedemikian sehingga saling asing dan

dikatakan bahwa membentuk partisi di dalam S

A1

A3 A4

..A

k

A2

B

S

Gambar 2.1. Teorema Bayes

Jika k peristiwa membentuk partisi di dalam S, maka terlihat pada gambar 2.1

bahwa peristiwa-peristiwa membentuk partisi dalam B sehingga

dapat ditulis . Karena peristiwa-peristiwa di ruas kanan

saling asing maka

Jika untuk maka sehingga didapat

. Misal peristiwa-peristiwa membentuk partisi di

dalam ruang sampel S sedemikan sehingga ; dan misalkan B sembarang

peristiwa sedemikian hingga maka untuk

Teorema Bayes memberikan aturan sederhana untuk menghitung probabilitas bersyarat

peristiwa jika B terjadi, jika masing-masing probabilitas tak bersyarat dan probabilitas

bersyarat B jika diberikan .

2.13 Distribusi Prior

Dalam inferensi Bayes untuk kasus Binomial, parameter diperlakukakn sebagai

variabel, maka akan memepunyai nilai dalam sebuah domain dengan densitas , dan densitas

inilah yang akan dinamakan sebagai distribusi prior dari , dengan adanya informasi prior ini

maka akan kombinasikan dengan data sampel yang digunakan dalam membentuk posterior.

Prior merupakan bentuk distribusi frequency yang merupakan representasi objektif pada

suatu parameter yang lebih rasional untuk dipercayai, atau prior merupakan suatu representasi

subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah sebuah parameter menurut penilaiannya

sendiri. Sehinggga permasalahan pokok agar prior dapat interpretatif adalah bagaimana memilih

distribusi prior untuk suatu parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan

yang ada.

Permasalahan utama dalam metode Bayes adalah bagaimana memilih distribusi prior

, dimana prior menunjukan ketidakpastian tentang parameter θ yang tidak diketahui.

Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk fungsi likelihoodnya (

Box dan Tiao, 1973):

1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya

a) Distribusi prior konjugat (conjugate), mengacu pada acuan analisis model terutama

dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam penentuan prior konjugat

selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang mempunyai bentuk

konjugat dengan fungsi densitas peluang pembangun likelihoodnya.

b) Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian prior pada suatu

model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi likelihoodnya.

2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi prior tersebut.

a) Distribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari distribusi prior

yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak, pemberian nilai parameter

pada distribusi prior ini akan sangat mempengaruhi bentuk distribusi posterior yang

akan didapatkan pada informasi data yang diperoleh.

b) Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data yang ada

atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang parameter θ, salah satu

pendekatan dari non-informatif prior adalah metode Jeffrey’s.

2.14 Fungsi Likelihood

Definisi 2.17 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Fungsi likelihood adalah fungsi densitas bersama dari n variabel random

dan dinyatakan dalam bentuk . Jika ditetapkan, maka fungsi

likelihood adalah fungsi dari parameter dan dinotasikan dengan . Jika

menyatakan suatu sampel random dari , maka

2.15 Distribusi Posterior

Definisi 2.18 (Soejoeti dan Soebanar, 1988)

Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersyarat θ jika diketahui nilai observas .

Ini dapat dituliskan sebagai:

apabila θ kontinu, distribusi prior dan posterior θ dapat disajikan dengan fungsi densitas. Fungsi

densitas bersyarat satu variabel random jika diketahui nilai variabel random kedua hanyalah

fungsi kepadatan bersama dua variabel random itu dibagi dengan fungsi densitas marginal

variabel random kedua. Tetapi fungsi densitas bersama dan fungsi densitas marginal

pada umumya tidak diketahui, hanya distribusi prior dan fungsi likelihood yang biasanya

dinyatakan.

Fungsi densitas bersama yang diperlukan dapat ditulis dalam bentuk distribusi prior dan

fungsi likelihood sebagai berikut,

dimana merupakan fungsi likelihood dan merupakan fungsi densitas distribusi

prior. Selanjutnya fungsi densitas marginal dapat dinyatakan sebagai

Sehingga dari persamaan (2.31), (2.32) dan (2.33), fungsi densitas posterior untuk variabel

random kontinu dapat ditulis sebagai

Distribusi posterior dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi interval dari

parameter yang tidak diketahui.

2.16 Metode Evaluasi Estimator

Estimator yang telah diperoleh dengan metode pendekatan Bayes dan pendekatan klasik

akan menghasilkan estimator yang berbeda. Estimator terbaik yang memenuhi sifat tertentu,

diantaranya sifat tak bias dan Mean Square Error (MSE).

Sifat Tak Bias (Unbiased)

Definisi 2.19

Sifat tak bias ini merupakan sifat baik dari estimator yang diperoleh melalui pendekatan

klasik, dalam pembahasan pemilihan estimator terbaik salah satunya harus memenuhi sifat tak

bias ini. Jika W merupakan estimator titik untuk parameter θ, maka W disebut estimator tak bias

untuk parameter θ jika (Widiharih dan Suparti, 2003). Sifat bias dari estimator titik

W dari θ adalah perbedaan (selisih) antara nilai ekspektasi W dan θ (Berger, 1990), sehingga

dapat ditulis sebagai

Bias

Mean Square Eror (MSE)

Teorema 2.9 (Berger, 1990)

Jika W merupakan sebuah estimator untuk θ, maka Mean Square Eror (MSE) dari

estimator W merupakan fungsi , MSE mengukur rataan kuadrat dari selisih estimator

W dengan parameter yang didefinisikan sebagai.

BUKTI PERSAMAAN (2.35)

Sehingga berdasarkan persamaan (2.33), MSE (W) untuk estimator tak bias akan sama dengan

nilai variansinya dari estimator W, karena nilai (bias pada estimator takbias akan sama

dengan nilai nol. Secara umum MSE mempunyai dua komponen, yaitu variansi yang mengukur

variabilitas estimator (precision) dan bias yang mengukur keakuratan (accuracy) dari estimator.

2.17 Interval Konfidensi

Definisi 2.20 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Misalkan X1, …, Xn mempunyai fungsi densitas f(x1,…,xn;), dimana merupakan

interval. Anggap L=L(X1, …, Xn) dan U=U(X1, …, Xn) merupakan statistik-statistik. Jika

sebuah eksperimen menghasilkan data x1, x2, …, xn, maka nilai-nilai l(x1, …, xn) dan u(x1, …, xn)

dapat dihitung.

Definisi 2.21 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Interval (l(x1, …, xn),u(x1, …, xn)) dinamakan interval konfidensi 100% untuk jika

P[L(X1, …, Xn) < < U(X1, …, Xn)] = dengan dimana 0 < < 1. Nilai-nilai l(x1,

…, xn) dan u(x1, …, xn) masing-masing dinamakan limit konfidensi bawah dan atas.

Definisi 2.22 (Bain dan Engelhardt, 1992)

1. Jika

maka l(x1, …, xn) dinamakan limit konfidensi 100% bawah satu sisi untuk

2. Jika

maka u(x1, …, xn) dinamakan limit konfidensi 100% atas satu sisi untuk .

2.18 Uji Hipotesis

Definisi 2.23 (Walpole dan Myers, 1995)

Hipotesis statistik adalah suatu anggapan atau pernyataan yang mungkin benar atau

tidak, mengenai satu populasi atau lebih. Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam

kesalahan yang terjadi yaitu:

1. Kesalahan Tipe I yaitu karena menolak 0H padahal seharusnya diterima.

2. Kesalahan Tipe II yaitu karena menerima 0H padahal seharusnya ditolak.

2.19 Maksimum Likelihood Estimator (MLE)

Definisi 2.24 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Misalkan adalah sampel random dari populasi dengan densitas ,

fungsi likelihood didefinisikan dengan:

Bila fungsi likelihood ini terdiferensikan dalam maka calon estimator likelihood yang mungkin

adalah sedemikian sehingga:

Untuk membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood harus

ditunjukan bahwa:

Dalam banyak kasus dimana diferensi digunakan, akan lebih mudah bekerja pada logaritma dari

yaitu . Hal ini dimungkinkan karena fungsi logaritma naik tegas pada

yang berarti bahwa mempunyai ekstrem yang sama.

Sehingga untuk menentukan estimator maksimum likelihood dari sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi likelihood

2. Bentuk log likelihood

3. Tentukan turunan dari terhadap

Penyelesaian dari persamaan poin 3 merupakan estimator maksimum likelihood untuk .

4. Tentukan turunan kedua dari dari terhadap Jika

, maka akan

membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood .

BAB III

PERBANDINGAN INFERENSI BAYES DAN INFERENSI KLASIK

UNTUK PROPORSI BINOMIAL

Dalam bab ini dibahas bagaimana menentukan inferensi statistik berupa estimasi titik,

estimasi interval dan uji hipotesis dari distribusi Binomial dengan metode Bayes menggunakan

prior konjugat serta membandingkan inferensi dengan metode maksimum likelihood untuk

distribusi Binomial untuk parameter proporsi yang tidak diketahui.

3.1 Likelihood dari Distribusi Binomial

Jika diketahui sampel random dari distribusi Binomial, dengan

Binomial (1,θ) dimana , maka fungsi probabilitasnya adalah

dengan sehingga fungsi likelihoodnya adalah

Dimana Binomial (n,θ) (Freund, 1992).

Dalam kasus Binomial terlihat hubungan antara parameter dengan parameter x, tapi

harus diperhatikan bahwa x merupakan jumlah dari kejadian sukses yang dihasilkan dari

observasi dan θ merupakan sebuah nilai kemungkinan (probabilitas) yang akan diberikan oleh

observasi. Jika sampel random berdistribusi Binomial(1,θ) dengan

Binomial (n,θ), maka dengan persamaan (3.1), fungsi likelihood dari distribusi Binomial dapat

dinyatakan sebagai

Terlihat bahwa ada kesamaan hubungan distribusi sampel (observasi) x yang diberikan oleh

parameter θ, tetapi subjek fungsi yang berubah menjadi parameter (Bolstad,2007)

3.2 Distribusi Binomial sebagai Densitas yang Berasal dari Keluarga Eksponensial

Jika adalah sampel random Binomial (1,θ), maka

Binomial . Berdasarkan definisi 2.15 bahwa keluarga densitas disebut keluarga

eksponensial k parameter bila densitas tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

Jika Binomial(n,θ), maka densitas adalah:

dengan mengambil:

maka berdasarkan definisi 2.15 terbukti bahwa distribusi Binomial merupakan keluarga dari

eksponensial.

3.3 Distribusi Beta sebagai Densitas yang Berasal dari Keluarga Eksponensial

Jika Beta(a,b), maka disebut keluarga eksponensial k parameter bila densitas

tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (2.25), sehingga

dengan mengambil;

dapat membuktikan bahwa distribusi Beta juga barasal dari keluarga eksponensial, oleh karena

itu dapat dikatakan bahwa densitas Beta memiliki kesamaan bentuk fungsional dengan likelihood

dari distribusi Binomial, sehingga densitas Beta dapat digunakan sebagai prior konjugat untuk

Binomial.

3.4 Distribusi Beta Sebagai Prior

Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi Beta adalah distribusi probabilitas

kontinu dalam interval (0,1) dengan dua parameter yang positif dan biasanya dinotasikan dan

. Dalam hal ini distribusi Beta digunakan untuk menjelaskan distribusi dari sebuah nilai

probabilitas yang tidak diketahui sebagai distribusi prior pada sebuah parameter probabilitas

sukses dalam distribusi Binomial (Bolstad,2007). Dalam hal ini dianggap bahwa probabilitas

sukses dapat menjalani setiap nilai real antara 0 dan 1, sehingga distribusi prior tidak diskrit

melainkan kontinu. Karena dalam banyak hal distribusi prior untuk Binomial anggapan diskrit

tidak realistis (Soejoeti dan Soebanar,1988).

Dalam statistik Bayes distribusi Beta dapat dilihat sebagai probabilitas parameter

proporsi θ pada distribusi Binomial setelah observasi sukses (dengan probabilitas θ

sebagai probabilitas sukses) dan – gagal (dengan probabilitas 1 – θ gagal) (Bolstad, 2007).

Beta( ) sebagai prior memiliki densitas:

Dalam distribusi Beta, kuantitas yang tidak diketahui adalah dimana merupakan

probabilitas sukses dalam distribusi Binomial, sehingga yang membatasi nilai probabilitas ini

haruslah dari 0 sampai dengan 1. Maka cukup beralasan untuk menganggap bahwa dapat

menjalani banyak tak berhingga nilai-nilai real dari 0 sampai dengan 1 dan menggunakan

distribusi kontinu (seperti distribusi Beta) sebagai distribusi prior (Soejoeti dan Soebanar,1988).

3.5 Prosedur Memilih Prior

Teorema Bayes memberikan metode untuk memilih keyakinan terhadap suatu parameter

dari sebuah distribusi jika data diperoleh. Karena dalam kasus ini ditetapkan bahwa Beta (a,b)

sebagai prior, maka untuk menggunakan teorema ini, harus dipunyai Beta (a,b) yang

merepresentasikan keyakinan terhadap parameter tersebut, sehingga ada beberapa pertimbangan

dalam menentukan parameter a dan b pada Beta (Bolstad, 2007).

Pada lampiran 1, terlihat beberapa bentuk grafik densitas Beta ( ) dengan parameter

= 0.5,1,2,3 dan = 0.5,1,2,3 yang menggambarkan variasi bentuk dari distribusi Beta ( ).

Beta akan digunakan sebagai prior dalam membuat inferensi Bayes terhadap parameter

Binomial. Sehingga permasalahan disini adalah bagaimana menentukan parameter a dan b untuk

Beta yang tepat untuk digunakan sebagai prior dari beberapa parameter Beta yang mungkin

(Bolstad, 2007).

Ada beberapa Hal Yang Diperhatikan dalam menentukan parameter Beta (a,b), yaitu;

1. Gambarkan prior Beta( ) yang dipilih. Jika grafik cukup beralasan terhadap keyakinan

prior yang dipilih maka gunakan Beta tersebut sebagai prior. Oleh karena itu dapat

dilakukan dengan mengatur dan merubah mean prior dan standard deviasi prior sehingga

ditemukan grafik prior yang berkorespondensi terhadap keyakinan secara aproksimasi.

Namun selama prior memiliki probabilitas yang cukup beralasan terhadap keyakinan

maka prior tersebut dapat digunakan.

2. Menghitung persamaan ukuran sampel dari prior( . Diketahui bahwa proporsi

Binomial

, maka diperoleh mean proporsi Binomial adalah

dan variansi proporsi Binomial adalah

Karena Beta(a,b) merupakan prior dengan mean prior adalah

dan variansi prior

adalah

, maka dengan menyamakan variansi proporsi Binomial dengan

variansi prior diperoleh

Dengan menyamakan mean prior dan mean proporsi maka diperoleh

dan

, sehingga persamaaan ukuran sampel diperoleh

Ini berarti bahwa banyaknya informasi terhadap parameter θ dari prior yang dipilih

mendekati banyaknya sampel random. Sehingga harus diketahui apakah informasi prior

terhadap θ benar-benar sama terhadap informasi θ, salah satu caranya dengan memeriksa

ukuran sampel random .

Jika data yang dimilki cukup, maka efek terhadap prior yang terpilih akan lebih kecil

dibandingkan dengan data. Dengan kata lain bahwa distribusi posterior yang diperoleh akan

memperoleh hasil yang mirip walaupun dengan menggunakan prior yang berbeda

(Bolstad,2007).

Ada 2 metode dalam memilih parameter prior Beta (a,b) adalah

1. Memilih Prior Konjugat ketika Informasi Prior Samar-Samar

Salah satu cara untuk memilih parameter prior Beta ( ) yang digunakan adalah

berdasarkan gambar grafik densitas prior Beta yang cocok seperti pada lampiran 1. Contohnya,

jika diketahui bahwa anggapan awal(prior) dari peneliti bahwa parameter proporsi adalah θ ≤

50%, maka Beta (0.5,1), Beta(0.5,2), Beta(0.5,3), Beta(1,2), atau Beta(1,3) dimana

akan menjadi prior yang bagus untuk mengestimasi parameter θ atau sebaliknya

jika peneliti percaya bahwa parameter proporsi adalah θ >50%, maka Beta (1,0.5), Beta(2,0.5),

Beta(3, 0.5), Beta(2,1), atau Beta(3,1) dimana

akan menjadi prior yang

bagus untuk mengestimasi parameter θ, Namun pada dasarnya semua prior konjugat tersebut

tidak akan menjadi sebuah masalah yang berarti terhadap prior mana yang akan dipilih, karena

biasanya hasil posterior akan memberikan hasil yang mirip atau mendekati (Bolstad, 2007).

2. Memilih Prior Konjugat dengan Mencocokan Mean Dan Variansi

Distribusi Beta( ) adalah prior konjugat untuk distribusi Binomial (n,θ), dimana

distribusi Beta ( ) memiliki beberapa bentuk berdasarkan parameter dan yang dipilih,

sehingga parameter prior yang dipilih seharusnya mereprensentasikan dengan penilaian subjektif

peneliti itu sendiri. Salah satu metodenya adalah dengan memilih Beta (a,b) yang cocok dengan

keyakinan prior berdasarkan mean dan standard deviasi.

Jika

merupakan proporsi Binomial, maka mean dari proporsi Binomial

adalah

, dan mean Beta(a,b) adalah

. Dengan menyamakan persamaan

mean Beta(a,b) sebagai mean proporsi Binomial diperoleh

sehingga

Diketahui standard deviasi distribusi Beta(a,b) adalah

, dimana dengan

persamaan (3.4) dapat diperoleh persamaan dan Jika

merupakan standar deviasi dari proporsi Binomial, dengan menyamakan standar

deviasi Beta( a,b) sebagai standar deviasi dari proporsi Binomial. maka σ juga dapat dinyatakan

sebagai

Sehingga variansi dari proporsi Binomial juga bisa dinyakan sebagai

Dengan persamaan diperoleh

Karena diketahui bahwa merupakan proporsi Binomial dimana

, maka persamaan

menjadi

dan dengan persamaan (3.5) diperoleh

Karena variansi proporsi Binomial adalah

, maka persamaan (3.8) adalah

Jika ruas kanan dan ruas kiri pada persamaan (3.9) dikalikan dengan

, maka

sehingga jika diketahui dan maka dengan metode eliminasi persamaan (3.7) dan persamaan

(3.10) dapat diselesaikan berdasarkan dan , maka

Persamaan (3.11.b) dikalikan dengan maka

Persamaan (3.11c) dikurangi dengan (3.11.d), maka diperoleh

–

Dengan mensubsitusikan persamaan (3.12) ke persamaan (3.11.b), maka dapat diperoleh

persamaan sebagai berikut

sehingga dengan persamaan (3.12) dan persamaan (3.13) diperoleh parameter Beta( ) yang

akan digunakan sebagai prior (Bolstad, 2007).

3.6 Distribusi Posterior dari Distribusi Binomial

Dalam teorema Bayes setelah data diambil dan prior telah ditentukan maka distribusi

posteriornya dicari dengan mengalikan priornya dengan likelihoodnya dalam hal ini prior

independent terhadap likelihoodnya, sehingga data yang diobservasi harus independen terhadap

prior yang telah ditetapkan (Bolstad, 2007).

Jika merupakan distribusi posterior dari distribusi Binomial dengan prior

konjugat (Beta dan Uniform), maka distribusi posterior marginal untuk Proporsi Binomial θ

adalah (Bolstad, 2007)

Untuk mendapatkan distribusi posterior, maka persamaan (3.14) dibagi dengan beberapa

k (konstanta) untuk membuat posterior menjadi distribusi probabilitas, artinya persamaan (3.14)

harus dibagi dengan persamaan (3.15) , sehingga distribusi posterior dapat dirumuskan sebagai

berikut

sehingga fungsi integrasi menjadi dependen terhadap prior yang dipilih. Ini adalah teorema

Bayes untuk variabel random kontinu (Bolstad, 2007).

Fungsi kepadatan dan masing-masing menunjukkan distribusi posterior dan

distribusi prior , sedangkan menunjukkan fungsi likelihood. Istilah-istilah ini mempunyai

intrepetasi yang sama untuk variabel random kontinu seperti halnya variabel random diskrit.

Distribusi prior dan posterior harus benar-benar merupakan fungsi densitas, yakni posterior harus

bernilai tidak negatif dan jumlah luasan dibawah kurva yang ditentukan dengan pengintegralan

fungsi kepadatan itu meliputi seluruh domainya serta harus sama dengan satu. Sehingga

persamaan (3.15) membuat distribusi posterior benar-benar merupakan distribusi probabilitas,

dengan fungsi likelihood adalah fungsi dengan diketahui (sama dengan nilai observasi )

(Soejoeti dan Soebanar,1988).

Harus diperhatikan bahwa pada persamaan (3.15) dianggap bahwa adalah variael

random kontinu. Jika variabel random yang menjadi perhatian adalah distribusi Binomial dan

informasi sampel terdiri dari banyaknya “ sukses” dalam n percobaan tertentu maka model

probabilitas tersebut adalah diskrit, sedangkan distribusi prior dapat berupa diskrit atau

kontinu. Istilah “teorema Bayes untuk model probabilitas diskrit” dan “teorema Bayes untuk

model probabilitas kontinu” menunjukan kepada bentuk distribusi prior dan posterior (yakni

menunjukan apakah variabel random θ dianggap diskrit atau kontinu) (Soejoeti dan Soebanar,

1988).

Posterior Mean Square (PMS)

Rataan kuadrat posterior dari estimator untuk proporsi θ adalah

Persamaan (3.17) menyatakan rataan kuadrat jarak estimasi dari nilai sebenarnya, Dengan

menambahkan dan mensubsitusikan mean posterior , maka diperoleh

Sehingga ada 3 buah integral yaitu

,

dθ dan

. Berikut adalah penyelesaian ketiga integral tersebut

Integrasi pertama

Integrasi kedua

Karena

dan

maka

Integrasi ketiga

Karena

maka

Sehingga

Dimana pada persamaan (3.18) merupakan sebuah kuadrat yang selalu mendekati 0.

Terlihat bahwa pada kuadrat jarak nilai sebenarnya dengan mean posterior adalah lebih kecil

daripada untuk setiap nilai estimasi untuk yang mungkin jika diketahui prior dan data

observasi, sehingga mean posterior adalah estimator optimum. Ini adalah alasan yang baik untuk

menggunakan mean posterior sebagai estimator Bayes untuk mengestimasi proporsi Binomial

(Bolstad, 2007).

3.7 Estimator Bayes dari Distribusi Binomial dengan Prior Beta

Jika Binomial dan densitas prior Beta(a,b), maka fungsi densitas posterior

dapat dinyatakan sebagai fungsi bersyarat dari dengan diketahui, sehingga berdasarkan

definisi 2.10 dapat ditulis dengan

karena dapat dinyatakan sebagai atau , maka

dimana

Berdasarkan persamaan (2.15) bahwa , maka persamaan (3.21) dapat ditulis

sebagai

Sehingga dengan mensubsitusikan persamaan (3.22) ke persamaan (3.20) maka diperoleh

Selanjutnya perhatikan , dimana merupakan fungsi densitas peluang marginal dari x,

sehingga berdasarkan persamaan (2.10) dapat ditulis sebagai

Perhatikan

merupakan integrasi dari fungsi densitas Beta . Karena x variabel random

kontinu, maka berdasarkan definisi 2.3, fungsi densitas peluangnya akan memenuhi kondisi

bahwa

sehingga

Oleh karena itu persamaan (3.23) dapat ditulis menjadi

maka dengan persamaan (3.19), (3.20) dan (3.24) fungsi densitas posterior dapat ditulis sebagai

Berdasarkan persamaan (3.25), dapat diketahui bahwa posterior berdistribusi Beta (x + a ,n – x +

b) dengan θ merupakan variabel dan x adalah nilai observasi atau sampel.

Dalam perspektif Bayes, estimasi titik mempunyai pengertian bahwa distribusi posterior

akan digambarkan oleh nilai dari sebuah statistik tunggal. Nilai yang paling penting untuk

menggambarkan distribusi posterior adalah ukuran lokasi. Oleh karena itu, mean posterior dan

median posterior disini akan menjadi kandidat terbaik untuk dijadikan sebagai sebuah estimator.

Mengacu pada persamaan (3.17) yang membuktikan bahwa mean posterior merupakan estimator

yang optimum untuk θ, maka dalam hal ini mean posterior digunakan sebagai estimator Bayes

(Bolstad, 2007), sehingga estimator Bayes untuk parameter θ jika dinyatakan sebagai adalah

Perhatikan estimator Bayes yang diperoleh, diketahui bahwa distribusi Beta( )

yang digunakan sebagai prior yang mempunyai mean dan

yang merupakan

proporsi distribusi Binomial, maka estimator Bayes akan mengkombinasikan estimator

dengan informasi prior, hal ini terlihat jika ditulis sebagai

Sehingga pada persamaan (3.27) terlihat bahwa adalah kombinasi linear dari mean prior dan

mean sampel (Berger, 1990).

Nilai Ekspektasi dan Variansi Posterior

Berdasarkan teorema 2.5 nilai ekspektasi dan variansi ( dari distribusi Beta( )

adalah

μ =

dan

.

Diketahui distribusi posterior yang diperoleh berdistribusi Beta (x + a ,n – x + b ), misalkan =

x + a dan = n – x + b, maka diperoleh nilai ekspektasi dari distribusi posteriornya adalah.

dan variansi dari distribusi posterior adalah

BUKTI PERSAMAAN 3.28

(Bolstad, 2007)

Nilai ekspektasi posterior dapat diperoleh dengan

BUKTI PERSAMAAN 3.29

jika

Maka dengan teorema 2.2 diperoleh variansi posterior sebagai berikut

Sifat Tak Bias (Unbiased) Estimator Bayes

Jika adalah sampel random Binomial (1,θ), maka

Binomial . Diketahui

merupakan estimator Bayes untuk parameter

θ, maka nilai ekspektasi dari estimator Bayes adalah

Karena

, maka berdasarkan definisi 2.16.1 dapat disimpulkan bahwa

merupakan estimator yang bias untuk θ. Bertolak belakang dengan statistik klasik, estimator

Bayes tidak menekankan kepada sifat tak bias dari sebuah estimator, karena estimator Bayes

biasanya merupakan estimator yang bias (Bolstad, 2007).

Mean Square Error (MSE) Estimator Bayes

Jika adalah sampel random Binomial (1,θ), maka

Binomial . Diketahui

merupakan estimator Bayes untuk

parameter θ, maka MSE dari estimator Bayes adalah

Karena diketahui bahwa, dan maka

Estimator Bayes biasanya mempunyai Mean Square Error (MSE) yang lebih kecil daripada

estimator klasik, sehingga estimator Bayes dapat dikatakan lebih baik daripada estimator klasik

ketika dinilai dengan kriteria klasik yaitu Mean Square Error (MSE) (Bolstad, 2007).

3.8 Estimator Bayes Distribusi Binomial dengan Prior Uniform

Jika adalah percobaan random independen dari distribusi Bernoulli dengan

parameter θ, maka ekuivalen dengan

Mengacu fungsi kepadatan posterior dinyatakan sebagai fungsi bersyarat θ jika x

diketahui dan ditulis

dimana merupakan fungsi distribusi bersama dari x dan θ. Selain itu juga dapat

dinyatakan sebagai perkalian distribusi bersyarat dengan distribusi prior Sedangkan

merupakan fungsi densitas posterior maginal x, sehingga persamaan juga dapat

ditulis

Jika diketahui distribusi Binomial sebagai distribusi sampel, maka distribusi

Uniform yang digunakan sebagai prior konjugat untuk mengestimasi proporsi (θ) harus terbatasi

pada nilai 0 dan 1. Sehingga salah satu pilihan distribusi priornya adalah distribusi Uniform

Uniform(0,1), dimana θ akan bernilai konstan sebesar 1 pada semua interval, maka diperoleh

fungsi densitas marginal x yaitu

oleh karena itu distribusi posterior dapat ditulis sebagai

Persamaan (3.33) tidak hanya sebagai sebuah distribusi posterior namun juga sebagai distribusi

Binomial sebagai distribusi sampel.

Berdasarkan teorema 2.7, distribusi Uniform (0,1) juga dapat dinyatakan sebagai

distribusi Beta (1,1) (Bolstad, 2007). Oleh karena itu, maka inferensi Bayes untuk proporsi

Binomial (θ) dengan prior Uniform (0,1) juga dapat diperoleh dengan menggunakan prior Beta

(1,1). Karena distribusi posterior Beta (x + a ,n – x + b) dengan a = 1 dan b=1, maka

distribusi posterior dapat dinyatakan sebagai

Dimana

merupakan konstanta untuk mentransformasi ke

distribusi Beta dan distribusi posterior bisa dinyatakan dalam distribusi Beta (x + 1,n – x +1),

sehingga estimator Bayes dari distribusi Binomial dengan prior Uniform[0,1] bisa dinyatakan

sebagai

Nilai Ekspektasi dan Variansi Posterior

Jika = x + 1, = n – x + 1 dan estimator Bayes , maka dengan menggunakan

teorema 2.5 nilai ekspektasi dan variansi dari distribusi posterior adalah.

dan

BUKTI PERSAMAAN (3.35)

Nilai ekspektasi posterior dapat diperoleh dengan

BUKTI PERSAMAAN (3.36)

Karena

Maka dengan teorema 2.2 diperoleh variansi posterior sebagai berikut

Sifat Tak Bias (Unbiased) Estimator Bayes

Jika adalah sampel random Binomial (1,θ), maka

Binomial Diketahui estimator Bayes yang telah diperoleh

sehingga

nilai ekspektasi adalah

Karena

maka berdasarkan definisi 2.19 dapat disimpulkan bahwa merupakan

estimator yang bias untuk θ.

Mean Square Error (MSE) Estimator Bayes

Jika adalah sampel random Binomial (1,θ), maka

Binomial dan estimator Bayes adalah

sehingga MSE dari estimator

Bayes untuk θ adalah

Diketahui bahwa dan

maka,

merupakan Mean Square Eror (MSE) dari estimator (Berger, 1990).

3.9 Interval Konfidensi Bayes

Dalam inferensi Bayes, interval konfidensi merupakan interval probabilitas posterior

yang digunakan untuk estimasi interval, sedangkan pada pendekatan klasik interval konfidensi

diperoleh dari data sampel (Bolstad, 2007)

Misalkan variabel random yang diambil dari suatu populasi sembarang yang

mempunyai mean µ dan variansi , distribusi sampling untuk mean dapat dianggap mendekati

normal dengan dan variansi

, maka dengan Teorema limit pusat diperoleh

Untuk n (Bain dan Engelhardt, 1992). Jika dianggap bahwa diketahui maka interval

konfidensi untuk µ dengan koefisien konfidensi mendekati adalah

Diketahui distribusi posterior berdistribusi Beta (x + a ,n – x + b), dengan

dan , maka dengan persamaan (3.39) interval konfidensi untuk mean

dengan kepercayaan mendekati 1 – α dari distribusi posterior Beta (x + α ,n – x + b juga dapat

diperoleh dengan mengaproksimasi ke distribusi Normal sehingga dapat ditulis

sebagai

dimana

adalah nilai tabel Normal standar, mean posterior

dan variansi posterior

(Bolstad, 2007)

3.10 Uji Hipotesis Bayes

Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa model Bayes tidak hanya mengandung

distribusi sampel namun juga distribusi prior , dimana prior merupakan anggapan

awal terhadap parameter θ. Dalam hal ini dijelaskan bahwa informasi sampel dapat

dikombinasikan dengan informasi prior menggunakan teorema Bayes sehingga menghasilkan

distribusi posterior , sehingga semua inferensi terhadap θ berdasarkan distribusi posterior

(Berger, 1990).

Dalam masalah menguji hipotesis, distribusi posterior digunakan untuk menghitung

probabilitas dan adalah benar. Tapi perlu diperhatikan bahwa merupakan sebuah

probabilitas untuk sebuah variabel random. Karenanya, probabilitas posterior

dapat dihitung (Berger, 1990),

Pengujian yang dihadapi merupakan uji dua arah dan satu arah untuk hipotesis dengan

tandingan dengan taraf signifikansi α

A. vs

B. vs

C. vs

Pendekatan yang biasa digunakan pada kasus ini adalah dilakukan dengan mengaproksimasi ke

distribusi Normal. Dengan statistik uji pada taraf α, maka kriteria uji;

atau

Dengan dan

, maka

Sehingga tolak (berdasarkan α dan hipotesis)

A. ditolak apabila Z >

B. ditolak apabila Z < −

C. ditolak apabila Z > atau Z <

3.11 Inferensi Klasik untuk proporsi Binomial

Salah satu metode untuk estimasi titik dalam inferensi klasik adalah metode Maximum

Likelihood Estimator (MLE). Jika diketahui x kejadian sukses pada n percobaan, maka estimasi

maksimum likelihood parameter dari distribusi Binomial adalah menentukan nilai maximum

untuk (Freund,1992).

Jika diketahui sampel random dari distribusi Binomial(1,θ) dengan

, maka fungsi probabilitasnya adalah

dengan sehingga fungsi likelihoodnya adalah

Logaritma dari fungsi likelihoodnya adalah

Dengan mendiferensialkan terhadap θ, maka diperoleh

Akibatnya θ yang memaksimumkan fungsi likelihoodnya akan sama dengan akar dari persamaan

, yaitu

Sehingga MLE untuk θ adalah

Untuk membuktikan bahwa benar-benar

memaksimumkan fungsi likelihood harus ditunjukan bahwa

Karena

jika merupakan jumlah kejadian sukses dari percobaan, dimana , maka

Sifat Tak Bias (unbiased)

Jika adalah sampel random Binomial (1,θ), maka

Binomial diketahui MLE nya adalah

, maka nilai ekspektasi

adalah

Karena sehingga merupakan estimator tak bias untuk θ.

Mean Square Error (MSE)

(Freund, 1992)

Jika adalah sampel random Binomial (1,θ), maka

Binomial dan MLE untuk

. Karena merupakan estimator

yang tak bias untuk Sehingga Mean Square Error (MSE) ialah

Interval Konfidensi Klasik (Confidensi Interval)

Dalam teori estimasi pada statistik klasik, parameter θ dianggap sebagai suatu konstanta

yang akan diestimasi dari sejumlah n sampel pengamatan yang ada. Pendekatan yang paling

biasa digunakan untuk interval konfidensi (confidence interval) adalah dengan pendekatan

normal terhadap Binomial, maka berdasarkan persamaan (3.38) persamaan interval konfidensi

dinyatakan dengan

jika diketahui

maka interval konfidensi untuk mean adalah

Dimana adalah estimator parameter proporsi distribusi Binomial yang diestimasi dari statistik

sampel,

adalah presentil α / 2 dari distribusi normal standard dan adalah ukuran sampel

(Bain dan Engelhardt, 1992).

Uji Hipotesis Klasik

Pendekatan yang biasa digunakan pada kasus ini adalah dilakukan dengan

mengaproksimasi ke distribusi Normal. dengan aproksimasi uji α dengan hipotesis

A. vs

B. vs

C. vs

Pendekatan yang biasa digunakan pada kasus ini adalah dilakukan dengan mengaproksimasi ke

distribusi Normal. Dengan statistik uji pada taraf α dan X = Binomial(n,θ), maka dengan

kriteria uji;

Maka tolak (berdasarkan α dan hipotesis) pada

A. tolak jika

B. tolak jika

C. tolak jika

atau

(Bain dan Engelhardt, 1992)

3.12 Algoritma Penyelesaian

Adapun prosedur penyelesaian membuat inferensi distribusi Binomial dapat di

digambarkan dalam diagram alur berikut

mulai

Input distribusi sampel

Binomial(x,n,θ)

Inferensi metode Bayes Inferensi metode klasik Dengan prior Uniform

Maximum likelihood estimators dengan prior Beta Estimator Bayes U

3.13 Contoh Permasalahan

Seorang peneliti akan menguji diantara penduduk perempuan Guetamala

mengenai proporsi orang terjangkit polio didaerah tersebut., dimana dalam penelitian

tersebut ditemukan 17 perempuan terjangkit polio.

Perhatikan jika responden merupakan terjangkit kasus polio dan jika

responden yang bukan terjangkit kasus polio, maka .

Inferensi Bayes dengan Prior Beta

Pemilihan Parameter Prior Beta

Pada kasus ini diketahui bahwa dari (n = 24) jumlah sampel penduduk Guetemala

teridentifikasi bahwa (x = 17) penderita polio, sehingga dapat dikatakan bahwa proporsi orang

terjangkit polio adalah

atau

MSE

Estimator klasik

Estimator Bayes B

Uji hipotesis Bayes/ Interval

konfidensi Bayes

MSE

MSE

pilih estimator U

Uji hipotesis

klasik/interval

konfidensi Uji hipotesis Bayes/Interval

konfidensi bayes

Interval

konfidensi

bayes

pilih estimator

pilih estimator B

Estimator dengan MSE terkecil

selesai

diterima

ditolak

ditolak

diterima diterima

ditolak

Gambar 3.5 Algoritma Inferensi distribusi Binomial

Prosedur pemilihan

parameter prior Beta

Seorang peneliti percaya bahwa proporsi orang terjangkit polio di Guetemala

berdistribusi Beta(a,b), sehingga Beta(a,b) ditetapkan sebagai prior, maka dengan menggunakan

persamaan (3.12) dan persamaan (3.13) parameter a dan b diperoleh

dan

Sehingga prior yang digunakan adalah . Dengan persamaan

ukuran sampel prior adalah

Dan ini cukup mendekati dengan ukuran sampel n = 24, sehingga layak digunakan sebagai

prior dalam kasus ini.

Nilai Ekspektasi dan Variansi Prior

Diketahui prior . Dengan teorema 2.5 dapat diperoleh

mean prior (μ) dan variansi prior ( ) berturut – turut sebagai berikut

dan

Atau anggapan awal (prior) peneliti disini bahwa rata-rata seseorang terjangkit polio di

guetamala berdistribusi Beta adalah sekitar % dengan variansi , dalam

hal ini terlihat bahwa anggapan awal (prior) cukup mendekati proporsi Binomial.

Distribusi Posterior Dan Estimator Bayes

Dari kasus diatas diketahui bahwa 17 dari 24 perempuan diidentifikasi terjangkit polio (x

= 17 ) dan n = 24, dimana x berdistribusi Binomial, maka distribusi posterior adalah berdistribusi

Beta (x + a, n – x + b) = Beta (17 + , 24 – 17 + ) = Beta (33.29167, 13.708).

Berdasarkan persamaan (3.26), estimator Bayes untuk parameter adalah

Diketahui dan maka

Sehingga bisa dikatakan bahwa proporsi perempuan terjangkit polio didaerah Guetemala adalah

%.

Nilai Ekspektasi dan Variansi Posterior

Jika dan

maka dengan menggunakan persamaan (3.28) dan persamaan (3.29) maka

mean dan variansi dari ditribusi posterior adalah

dan

Mean Square Error (MSE) Estimator Bayes

Berdasarkan persamaan (3.30) Mean Square Eror (MSE) estimator Bayes dapat

diperoleh dengan

Karena θ merupakan proporsi dari distribusi Binomial, maka dari sampel kasus diatas diketahui

bahwa 17 dari 24 perempuan diidentifikasi terjangkit polio (x = 17 ) dan n = 24 dapat diperoleh

bahwa proporsi seseorang terjangkit polio

. Distribusi prior yang

digunakan dengan parameter dan maka

MSE estimator adalah

Interval Konfidensi Estimator Bayes

Telah diketahui mean distribusi posterior dan variansi

posterior Berdasarkan persamaan (3.39) maka interval

konfidensi untuk θ diaproksimasi ke

Misalkan taraf signifikansi dengan dan

maka interval konfidensi untuk adalah

Maka dapat disimpulkan bahwa proporsi orang terjangkit polio di Guetemala adalah antara

% dan %.

Uji Hipotesis Bayes

Misalkan akan diuji hipotesis berikut

Taraf signifikansi

ditolak apabila Z > atau Z <

, dimana, ,

dan , maka

Karena

(Lampiran 2), maka maka terima , sehingga

data mempunyai cukup bukti untuk menyatakan bahwa .

Inferensi Bayes dengan Prior Uniform(0.1)

Nilai Ekspektasi Dan Variansi Prior

Berdasarkan teorema 2.7 bahwa Uniform (0.1) = Beta (1.1). Jika digunakan prior

Beta(1.1) untuk untuk mengestimasi proporsi Binomial θ, maka dapat diperoleh mean prior (μ)

dan variansi prior ( ) berturut – turut sebagai berikut

dan

Estimator Bayes dan Distribusi Posterior

Diketahui prior = , dan dan , maka distribusi

posterior , sehingga

.

Berdasarkan persamaan (3.26), maka estimator Bayes untuk parameter dengan prior Uniform

(0.1) adalah

Diketahui dan , maka

Sehingga proporsi dapat dikatakan orang terjangkit polio di Guetemala adalah 69.23077%.

Nilai Ekspektasi dan Variansi Posterior

Jika dan , dengan menggunakan persamaan

(3.28) dan (3.29), maka mean dan variansi dari ditribusi posterior ( adalah

Mean Square Eror (MSE)

Berdasarkan persamaan (3.30) Mean Square Error(MSE), estimator dapat diperoleh

dengan

Karena θ merupakan proporsi Binomial, maka

Dan distribusi prior yang digunakan adalah Beta(1,1) dengan , maka

Interval Konfidensi Bayes

Jika = x + 1 = 17 + 1 = 18 dan .

Diketahui mean distribusi posterior

, dan variansi posterior

adalah

Berdasarkan persamaan (3.39), maka interval

konfidensi untuk θ diaproksimasi ke

sehingga

Dengan mengambil taraf signifikansi , dengan dan

maka interval konfidensi untuk adalah

Dapat disimpulkan bahwa proporsi orang terjangkit polio di Guetemala adalah antara

% dan %.

Uji Hipotesis Bayes

Misalkan akan diuji hipotesis

Taraf signifikansi

ditolak apabila Z > atau Z <

, dengan ,

dan , maka

Karena

(Lampiran 2), dan maka tolak , sehingga

data tidak mempunyai cukup bukti untuk menyatakan bahwa

Inferensi dengan Estimator Klasik

Jika digunakan MLE untuk mengestimasi proporsi Binomial θ, maka berdasarkan

persamaan (3.40) diperoleh bahwa

Diketahui bahwa x = 17 dan n = 24, maka Estimator Maximum Likelihoodnya (MLE) adalah

maka dengan MLE disimpulkan bahwa proporsi orang terjangkit polio diguetamala adalah 70%.

Niai Ekspektasi Dan Variansi

Nilai ekspektasi dan variansi adalah

dan

Mean Square Error(MSE)

Berdasarkan persamaan (3.4.1) maka diperoleh Mean Square Error (MSE) dari MLE

adalah

Interval Konfidensi

Interval konfidensi untuk dengan koefisien konfidensi dinyatakan dengan

Maka dapat disimpulkan dengan MLE bahwa proporsi orang terjangkit polio di Guetemala

adalah antara 51% dan 88%.

Uji hipotesis

Misalkan akan diuji hipotesis

Taraf signifikansi

Kriteria uji:

Jika , dan n = 24, maka kriteria ujinya adalah tolak jika

Karena

Dan = = (Lampiran 2) maka

, maka tolak . Sehingga dengan

estimator MLE dikatakan bahwa data tidak mempunyai cukup bukti untuk menyatakan bahwa

Dari Ketiga estimator yang diperoleh dapat dicari estimator yang terbaik berdasarkan

kriteria-kriteria tertentu, maka hasil dari analisis permasalahan contoh diatas dapat dilihat

perbandingan dari ketiga estimator diatas dalam tabel berikut

Tabel 3.2

Tabel Hasil Perbandingan 3 Estimator dari Contoh Permasalahan

kriteria

Estimator Bayes

Dengan Prior Beta

Estimator Bayes

Dengan Prior

Uniform

Estimator Maximum

Likelihood(Estimator

Proporsi)

Estimator 0,7083384 0,6923 0,7

Mean

1. prior 0,7083436 0,5 17

2.posterior 0,0.7083384 0,6923077

Variansi

1.prior 0,008608157 0,083 5,1

2.posterior 0,004304095 0,007889546

Sifat

Ketakbiasan

Biased Biased unbiased

Mean Square

Error 0,006364636

0,00769230 0,857

Interval

Konfidensi

[0,6999024 < <

0,0.7167744

0,67432 < <

0,70568

0,516659 < <

0,883341211

Dari tabel 3.2, terlihat bahwa walaupun estimator Bayes bukan merupakan estimator yang bias

untuk parameter θ dari distribusi Binomial, namun Mean Square Error (MSE) dari estimator

Bayes lebih kecil dari pada estimator maximum likelihood, sehingga dapat dikatakan bahwa

estimator Bayes menghasilkan estimator yang baik untuk parameter θ jika MSE dari estimator

sebagai ukuran kebaikannya.

BAB IV

KESIMPULAN

Dari pembahasan pada bab III maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Distribusi posterior dibentuk dari distribusi sampel dan distribusi awal (prior). Dalam

kasus ini distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi Binomial. Sedangkan

distribusi priornya adalah prior konjugat.

2. Densitas Beta dapat digunakan sebagai prior konjugat untuk Binomial karena distribusi

Beta dan distribusi Binomial memiliki kesamaan bentuk fungsional likelihood.

3. Distribusi posterior yang diperoleh dengan prior Beta bisa dinyatakan dalam distribusi

Beta (x + a ,n – x + b) dengan θ merupakan variabel dan x adalah nilai dari hasil

percobaan atau observasi. Dengan distribusi posterior tersebut dapat diperoleh estimator

Bayes parameter proporsi Binomial θ jika dinyatakan sebagai dapat dirumuskan

sebagai

4. Distribusi posterior yang diperoleh dengan prior Uniform bisa dinyatakan dalam

distribusi Beta (x + 1,n – x +1), dan estimator Bayes untuk parameter proporsi

Binomial dengan prior Uniform[0,1] dinyatakan sebagai

5. Estimator Bayes biasanya merupakan estimator yang bias untuk parameter proporsi

Binomial θ, namun variansi dan Mean Square Error (MSE) dari estimator bayes lebih

kecil dari pada estimator maximum likelihood, ini dapat menyatakan sebagai sebuah

keunggulan tersendiri dari estimator Bayes bahwa estimator Bayes menghasilkan

estimator yang baik untuk parameter θ jika MSE dan Variansi yang menjadi ukuran

kebaikanya.

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L.J and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics.

Second Edition. Duxbury Press; California

Berger,C, 1990. Statistical Inference. Pasific Grove; New York

Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. A John Wiley & Sons.

Inc; America

Box, G.E.P and Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis. Addision-Wesley

Publishing Company, Inc; Philippines

Elfa, P.D.S 2009. Skripsi. Penentuan Estimasi Interval dari Distribusi Normal dengan Metode

Bayes. Program Studi Statistika Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Diponegoro; Semarang

Freund, J.E 1992. Mathematical Statistics. Fifth Edition. A Simon & Schuster Company; New

Jersey.

Montgomery, D.C and Runger, G.C. 2003. Applied Statistics and Probability for Engineers:

Third Edition. John Wiley & Sons, Inc.

Mustafid. 2003. Statistika Elementer. Universitas Diponegoro; Semarang

Soejoeti, Z dan Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Karunika Universitas Terbuka; Jakarta

Spiegel, M.R, Schiller, J.J dan Srinivasan, R.A. 2004. Probabilitas dan Statistik. Alih bahasa

oleh Wiwit, K dan Irzam H. Jakarta; Erlangga.

Walpole, R .E dan Myers, R. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwa

Edisi ke - 4. Alih bahasa oleh Sembiring, R.K. Penerbit ITB; Bandung.

Widiharih T dan Suparti. 2003. Statistika Matematika II. Universitas Diponegoro; Semarang

_______. 2006. Binomial Proportion Confidence Interval. www.wikipedia.org, (Diakses pada

tanggal 10 Maret 2011).

LAMPIRAN 1

Tabel grafik distribusi Beta(a,b)

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1/2

,1/2

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1/2

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01

23

45

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1/2

,2)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

02

46

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1/2

,3)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

02

46

8

Beta(1/2,1/2) Beta(1/2,1)

Beta(1/2,3)

Beta(1/2,2)

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1,1

/2)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01

23

45

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1,1

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1,2

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Quantil Beta

dens

itas

beta

(1,3

)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

Quantil Beta

densitas b

eta

(2,1

/2)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

02

46

Quantil Beta

densitas b

eta

(2,1

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Quantil Beta

densitas b

eta

(2,2

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Quantil Beta

densitas b

eta

(2,3

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Beta(1,2)

Beta(1,1/

2)

Beta(1,1

)

Beta(1,3)

Beta

(2,1/2)

Beta

(2,1)

Beta(2,2

)

Beta(2,3

)

Quantil Beta

densita

s beta

(3,1

/2)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

02

46

8

Quantil Beta

densita

s beta

(3,1

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

Quantil Beta

densita

s beta

(3,2

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Quantil Beta

densita

s beta

(3,3

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

Beta(3,1/2

) Beta(3,1)

Beta(3,2) Beta(3,3)

LAMPIRAN 2