sistem persamaan linier
TRANSCRIPT
Sistem Persamaan LinierPenulisan Dalam Bentuk Matriks
Eliminasi Gauss
Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang
tak diketahui.
Bentuk umum:
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
Sistem Persamaan Linier
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
Penulisan Dalam Bentuk Matriks
Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
atau secara singkat bAx
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
; ; bxA
dengan
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
|
|
|
|
~
21
222221
111211
A
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
Sistem Persamaan Linier
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
Eliminasi Gauss
Sistem Persamaan Linier
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier:Contoh:
0234
8253
024
8
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
0
8
0
8
2341
2531
0241
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengnya adalah:
0|2341
8|2531
0|0241
8|0011
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.
1) baris (
1) baris (
baris1) (
pivot
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
0
8
0
8
2341
2531
0241
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
Sistem Persamaan Linier
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
2) (-baris
2) baris 2/3(
(pivot)
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
1) baris (
1) baris (
baris1) (
pivot
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
Sistem Persamaan Linier
2) (-baris
2) baris 2/3(
(pivot)
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
Sistem Persamaan Linier
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
3 baris 11
pivot
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
1616
16611
823
8
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:
12 ; 4 ; 2 ; 1 ABCD xxxx
Hasil terakhir langkah ketiga adalah:
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
16
16
8
8
16000
61100
0230
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
Sistem Tertentu dan Tidak Tertentu
Sistem Persamaan Linier
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
Sistem Persamaan Linier
Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
823
024
8
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng:
8|230
0|241
8|011
Eliminasi Gauss:
8|230
8|230
8|011
0|000
8|230
8|011
Contoh:
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
00
823
8
CB
BA
xx
xx
3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan
3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan
Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak
solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita
menentukan nilai xC lebih dulu
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi
Sistem Persamaan Linier
1023
024
8
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
10|230
0|241
8|011
10|230
8|230
8|011
2|000
8|230
8|011
Contoh:
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
Sistem Persamaan Linier
20
823
8
CB
BA
xx
xx
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
Bentuk Eselon
Sistem Persamaan Linier
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.
000
230
011
2|000
8|230
8|011
dan
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah
m
r
rrnrr
n
n
b
b
bkk
bcc
baaa
|0
|
|0
|
|
|0
|
1
2222
111211
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk
m
r
rnrnrrr
nn
nn
b
b
bxkxk
bxaxc
bxaxaxa
0
0
1
22222
11212111
dengan 0 , 0 ,0 2211 rrkaa , dan r n
Sistem Persamaan Linier
a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.
nr mr bb ,,1
nr mr bb ,,1
nr nr mr bb ,,1
Perhatikan bentuk ini:
Sistem Persamaan Linier
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.
mr bb ,,1
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika . nr
Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian
tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
nr Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-Vektor
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Sistem Persamaan Linier
Misalkan maaa , , 21
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
02211 mmccc aaa
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas
linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu
tidak bebas linier.
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk
dapat dipenuhi.
Sistem Persamaan Linier
Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai
01
21
21 m
m
c
c
c
caaa
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak
bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.
Sistem Persamaan Linier
Contoh: Dua vektor baris 21321 a 26242 a dan
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
026242132 212211 cccc aa
hanya akan terjadi jika 021 cc
Ambil vektor ketiga 42643 a
Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
4264213222 13 aa
Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
42642624 02132 202 213 aaa
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
Rank Matriks
Sistem Persamaan Linier
Rank Matriks Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A.
Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
Sistem Persamaan Linier
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
16000
61100
0230
0011
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
Sistem Persamaan Linier
Contoh:
000
230
011
0|000
8|230
8|011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
000
230
011
2|000
8|230
8|011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak
samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.
Sistem Persamaan Linier
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
Course Ware
Sistem Persamaan Linier
Sudaryatno Sudirham