SISTEM DINAMIK

FASE POTRAIT DI SEKITAR TITIK TETAP

Oleh:

Any Tsalasatul Fitriyah (116090400111003 )

Didik Hariyanto (116090400111005)

Mohamad Syafi’i (116090400111009 )

Chilvita Ayu Lestari (116090400111012)

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MIPA

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2012

FASE POTRAIT DI SEKITAR TITIK TETAP

Sebelum kita membahas bab ini, terlebih dahulu kita memahami dan mempelajari

beberapa definisi

1. Flow : ϕ (t , x0) adalah fungsi terhadap waktu (t) dan kondisi awal (x0) yang mempunyai

solusi. Solusi yang diberikan ada dan tunggal.

4.1 Stabilitas Titik Tetap

Asumsikan bahwa sebuah sistem dari Persamaan Differensial x=F (x)

mempunyai turunan parsial kontinu dari komponen F. Jadi, solusinya ada dan tunggal,

Misal : ϕ (t ; x0) adalah flow.

ddt

ϕ ( t ; x0 )=F (ϕ (t ;x0)) dan ϕ (0 ; x0 )=x0

Definisi 4.1.1

Sebuah titik x¿ dikatakan titik tetap, jika ada F ( x¿ )=0. Solusi-solusi itu dimulai di titik

tetap yang mempunyai kecepatan 0. Jadi x¿ hanya tetap dan ϕ (t ; x¿)=x¿ untuk semua t.

Himpunan-Himpunan Limit

Definisi 4.1.2

Sebuah titik q dikatakan sebuah titik limit ω yang berada disepanjang lintasan dr x0 dengan

syarat ϕ (t ; x0 ) dekat dengan q ketika t menuju tak hingga (terdapat barisan waktu tj dengan tjj

menuju tak hingga ketika j menuju tak hingga sedemikian sehingga ϕ (t j ; x0 ) konvergen ke q).

Pastinya, jika ‖ϕ (t ;x0 )−x¿‖ menuju 0 ketika t menuju tak hingga, maka x* adalah satu-satunya

titik limit ω di x0. Sebenarnya ada lebih dari satu titik limit dari x0. Himpunan semua titik limit

dari x0 dinotasikan dengan ω (x0) dan disebut himpunan limit ω dari x0.

Definisi 4.1.3

q adalah titik limit-α dari x0, jika lintasan ϕ (t ; x0 ) cukup dekat q ketika t menuju negative tak

hingga khususnya jika ‖ϕ (t ;x0 )−x¿‖ menuju ke 0 ketika t menuju negative tak hingga, maka x*

adalah satu-satunya titik limit-α dari x0. Himpunan semua titik limit-α dari x0 dinotasikan dengan

α (x0) dan disebut himpuan titik limit-α dari x0.

Definisi 4.1.4

Untuk sebuah titik tetap x*, stabil manifold Ws(x*) adalah himpunan semua titik yang

cenderung menuju ke titik tetap dengan t menuju tak hingga

W s ( x¿ )={P0 :ϕ (t ; P0)} cenderung menuju x* dengan t → ∞= {P0: ω ( P0 )={ x¿ }}Pada konteks ini,jika orbit konvergen ke suatu titik tunggal x* ketika t menuju tak hingga,

maka himpunan limit-ω sama dengan titik tunggal tersebut., ω ( P0 )={ x¿ }. Jika stabil manifold

adalah himpunan terbuka, maka Ws(x*) dikatakan daerah kestabilan dari x*.

Dengan cara sama, tidak stabil manifold pada titik tetap Wu(x*) adalah himpunan semua titik

yang cenderung menjauhi titik tetap ketika t menuju negative tak hingga.

W u ( x¿)={P0: ϕ (t ; P0)} cenderung menuju x* dengan t → ∞= {P0: α ( P0 )={ x¿}}

Tipe-Tipe Kestabilan

Definisi 4.1.5

Sebuah titik tetap x* dikatakan dengan stabil Lyapunov dengan syarat sembarang solusi

ϕ (t ;P0) mendekati x* untuk semua t ≥ 0, jika kondisi awal x0 mulai cukup dekat x*. lebih

tepatnya, sebuah titik tetap x* dikatakan stabil lyapunov, jika untuk setiap ε>0 ada δ >0

sedemikian sehingga jika ‖x0−x¿‖<δ berlaku ‖ϕ (t ;x0 )−x¿‖<ε untuk smua t ≥ 0.

Definisi 4.1.6

Titik tetap dikatakan tidak stabil, dengan syarat titik tetap tersebut tidak stabil Lyapunov

(tedapat ε>0 sedemikian sehingga untuk setiap δ >0 ada beberapa titik X δ dengan ‖xδ−x¿‖<δ

dan t 1≥ 0 tergantung pada titik X δ dengan ‖ϕ (t 1; xδ )−x¿‖>ε1.

Definisi 4.1.7

Titik tetap dikatakan stabil asimtotik yang lemah, jika ada δ 1>0 sedemikian sehingga

ω ( x0 )={ x¿} untuk semua ‖x0−x¿‖<δ 1 (‖ϕ (t ;x0 ) → x¿‖→ 0ketika t → ∞ untuk semua ‖x0−x¿‖<δ 1

).

Titik tetap x* dikatakan stabil asimtotik, jika memenuhi stabil Lyapunov dan stabil asimtotik

lemah. (Gambar : a sampai c).

Definisi 4.1.8

Sebuah titik tetap dikatakan menjauhi, jika memenuhi stabil asimtotik “backward in time” (i.

untuk sebarang bilangan yang dekat dengan ε>0 ada δ >0 sedemikian sehingga jika ‖x0−x¿‖<δ

berlaku ‖ϕ (t ;x0 )−x¿‖<ε untuk smua ≥ 0 ; ii. Terdapat δ 1>0 sehingga α ( x0 )={ x¿}untuk semua

‖x0−x¿‖<δ 1 )

Definisi 4.1.9

Titik tetap dikatakan hyperbolic, dengan syarat tidak ada nilai eigen dari persamaan yang

dilinearkan pada titik tetap yang mempunyai bagian real nol.

Untuk sistem nonlinear, dua contoh berikut menunjukkan bahwa terdapat beberapa kasus

tentang solusi terdekat yang akhirnya cenderung ke titik tetap, tetapi bukan L-stable, oleh karena

itu hal ini digunakan untuk menambah asumsi bahwa titik tetap adalah L-stable yang setara

dengan stabil asimtot lemah dalam definisi stabilitas asimtotik.

Contoh 4.1.10 Sistem persamaan

x=x− y−x ( x2+ y2 )+ xy

√x2+ y2

y=x+ y− y ( x2+ y2 )+ x2

√x2+ y2

Dalam bentuk koordinat polar, kita mempunyai

x=r cosθ , x2+ y2=r2

y=rsin θ

x=dxdt

=∂ x∂ r

.drdt

+ ∂ x∂θ

.dθdt

¿cosθ r−r sin θ θ

y=dydt

=∂ y∂ r

.drdt

+ ∂ y∂ θ

.dθdt

¿ sin θ r+r cosθ θ

Dengan mensubtitusi x dan y dalam sistem persamaan awal, menjadi

cosθ r−r sin θ θ=(r cosθ )−(r sin θ )−r cosθ r2+( rcos θ )(r sin θ)

√r2

sin θ r+r cosθ θ=(r cosθ )+( rsin θ )−r sin θ r2−(r cosθ )2

√r2

r ¿ .................(1)

r ¿ ..................(2)

Persamaan (1) dikalikan dengan sin θ dan persamaan (2) dikalikan cosθ, kedua persamaan

dikurangi, sehingga didapat

−r2 θ (sin2 θ+cos2θ )=−r2(1−cosθ)

θ=(1−cosθ )=2 sin2( θ2 )

Dilakukan dengan cara yang sama untuk mendapatkan r.

Dengan mensubtitusi x dan y dalam sistem persamaan awal, menjadi

cosθ r−r sin θ θ=(r cosθ )−(r sin θ )−r cosθ r2+( rcos θ )(r sin θ)

√r2

sin θ r+r cosθ θ=(r cosθ )+( rsin θ )−r sin θ r2−(r cosθ )2

√r2

r ¿ .................(1)

r ¿ ..................(2)

Persamaan (1) dikalikan dengancosθ dan persamaan (2) dikalikan sin θ, kedua persamaan

ditambahkan, sehingga didapat

r r (sin2 θ+cos2θ )=r2 (cos2θ+sin2θ )−r4 (cos2θ+sin2θ)

r r=r2−r4

r r=r2 (1−r2 )

r=r (1−r2)

Jadi, dalam bentuk koordinat polar didapatkan r dan θ sebagai berikut,

r=r ( 1−r2 )

θ=2sin2(θ2 )

Lingkaran dengan r = 1 adalah invariant dan menuju ke lintasan terdekat. Pada lingkaran,

θ ≥ 0 dan 0 hanya pada θ=0. Sehingga semua lintasan mulai mendekati lingkaran yang

mempunyai (x,y)=(1,0) sebagai limit; bagaimanapun titik dengan r=1 dan θ>0 terkecil

yang ada di sekeliling lingkaran dan cenderung pada titik tetap. Sehingga (1,0) adalah

stabil asimtot lemah, tetapi bukan stabil asimtot. Lihat gambar 4.1.1

Dengan menggunakan program MAPLE diperoleh

> restart;> with(DETools):with(plots):> phaseportrait([D(x)(t)=x(t)-y(t)-

x(t)*(x(t)^2+y(t)^2)+x(t)*y(t)/sqrt(x(t)^2+y(t)^2),D(y)(t)=x(t)+y(t)-y(t)*(x(t)^2+y(t)^2)-x(t)^2/sqrt(x(t)^2+y(t)^2)],[x(t),y(t)],t=0..50,[[x(0)=1.2,y(0)=0.2],[x(0)=0.1,y(0)=0.1],[x(0)=1.2,y(0)=-0.2],[x(0)=0.1,y(0)=-0.1]],stepsize=0.005,linecolor=[blue,green,red,yellow]);

Teorema 4.1.12

Diberikan persamaan diferensial linear x=Ax.

(a) Jika semua nilai eigen λ dari A mempunyai bagian real negatif, maka titik asal

merupakan stabil asimtot. Khususnya, stable nodes, degenerated stable nodes, dan stable

foci yang semuanya merupakan stabil asimtotik.

(b) Jika salah satu nilai eigen λ❑1mempunyai bagian real positif, maka titik asalnya tidak

stabil. Khususnya, saddle, unstable nodes, unstable degenerated nodes, dan stable foci

yang semuanya tidak stabil. Sebuah pelana mempunyai arah yang menarik dan yang lain

meluas, tetapi masih memenuhi kondisi yang tidak stabil.

(c) Dalam dua dimensi, jika nilai eigennya imajiner asli, ± i β , maka titik asalnya merupakan

L-stable tetapi bukan stabil asimtotik.

(d) Dalam dua dimensi, jika salah satu nilai eigen adalah 0 dan yang lain negatif, maka titik

asalnya merupakan L-stable tetapi bukan stabil asimtot.

Teorema 4.1.13

Misal A matriks 2x2 dengan determinan ∆ dan trace τ .

(a) Jika ∆<0, maka sistem linearnya adalah sebuah pelana, dan sehingga tidak stabil.

(b) Jika ∆>0 dan τ>0, maka sistem linear tidak stabil. (i) jika τ 2−4 ∆>0, maka ini

merupakan unstable node. (ii) jika τ 2−4 ∆=0, maka ini merupakan degenerated unstable

node. (iii) jika τ 2−4 ∆<0, maka ini merupakan sebuah unstable focus.

(c) Jika ∆>0 dan τ<0, maka sistem linear disebut stabil asimtotik. (i) jika τ 2−4 ∆>0, maka

ini merupakan stable node. (ii) jika τ 2−4 ∆=0, maka ini merupakan degenerated stable

node. (iii) jika τ 2−4 ∆<0, maka ini merupakan sebuah stable focus.

(d) Jika ∆=0, maka salah satu dari semua nilai eigen adalah 0. (i) jika τ>0, maka nilai eigen

kedua adalah positif. (ii) jika τ=0, maka kedua nilai eigen adalah 0. (iii) jika τ<0, maka

nilai eigen kedua adalah negatif.

Bukti :

Persamaan karakteristik, λ2−τλ+ Δ=0, dengan akar-akar

λ±=τ ±√τ2−4 ∆

2

Maka, ¿

¿ λ2−τλ+ Δ

Dengan menyamakan koefisien dari λ dan konstanta, kita dapat

τ=λ+¿+ λ−¿dan Δ=λ+¿ λ−¿¿¿¿¿

(a) Jika ∆<0, maka

τ 2−4 ∆>τ2

√τ2−4 Δ>|τ|λ

+¿=τ +√τ2−4 ∆

2>0¿

λ−¿=

τ −√τ2−4 ∆2

<0¿

Jadi, sistem ini disebut titik pelana. Catatan, karena tanda akar kuadratnya positif, nilai

eigennya real.

(b) Asumsikan bahwa ∆>0 dan τ>0. (i) jika τ 2−4 ∆>0, maka nilai eigennya real.

τ 2−4 ∆<τ2

√τ2−4 Δ<τ

λ±=τ ±√τ2−4 ∆

2>0

Jadi, sistem ini merupakan unstable node. (ii) jika τ 2−4 ∆=0, maka kedua nilai eigen sama

dengan nilai dari τ2

, dan sistem tersebut merupakan unstable node. (iii) jika τ 2−4 ∆<0, maka

nilai eigennya kompleks dengan bagian real τ2

. Sehingga sistem ini disebut unstable focus.

(c) Pembuktian sama dengan kasus (b) dan dilewati.

(d) Karena produk dari nilai eigen adalah ∆, paling sedikit terdapat satu dari nilai eigen yang

harus 0. Karena penjumlahan dari nilai eigen disebut trace, nilai eigen yang lain harus

sama dengan trace.

4.2 Persamaan Diferensial Satu Dimensi

Disebagian besar buku, kita dapat mengetahui persamaan diferensial dengan dua atau

lebih variabel. (dua atau lebih variabel yang diturunkan lebih spesifik). Untuk

memperkenalkan pendekatan persamaan nonlinier dalam sebuah konteks yang familier,

pertama mempertimbangkan persamaan diferensial dimensi satu bentuk x=f (x), dimana

x titik∈R.

Dalam bab terakhir kita tahu bahwa solusi dari persamaan linier dimensi satu, x=ax adalah

ϕ (t ; x0 )=x0 eat. Jika a < 0 maka untuk kondisi awal x0, x0 eat menuju 0 ketika t menuju tak

hingga. Di sisi lain, jika a > 0 dan x0 ≠ 0, maka |x0 eat| menuju tak hingga ketika t menuju

tak hingga. Bagaimanapun jika x0 = 0 maka ϕ (t ; x0 )=0 eat≡ 0 untuk semua t. Jadi x0 = 0

adalah sebuah titik tetap untuk persamaan diferensial x=ax. Titik tetap ini didekati jika a < 0

dan dijauhi jika a > 0.

Contoh berikut diberikan persamaan diferensial nonlinier dengan lebih dari satu titik tetap;

satu titik tetap didekati dan yang lain dijauhi.

Contoh 4.2.1 (Persamaan Logistik)

Sebuah populasi tunggal diukur dengan variabel x. Turunan pertama x diukur dari rata-

rata pertumbuhan populasi dan rasio x/x mengukur rata-rata pertumbuhan populasi per unit.

Dalam model logistik, rasio adalah himpunan positif untuk populasi yang kecil dan

perubahan linier, dengan populasi yang dijadikan negatif dilevel K. Jadi

xx=r (1− x

K ),Dimana r > 0 dan K > 0 adalah parameter. Dengan mengalikan silang x maka diperoleh

persamaan diferensial untuk x, yaitu

xx=rx (1− x

K )≡ f (x)

yang disebut persamaan diferensial logistik. Misalkan x(t) = ϕ (t ; x0 ) adalah sebuah solusi

dengan kondisi awal ϕ (0 ; x0 )≡ x0.

Titik tetap (equilibria) untuk persamaan tersebut diperoleh solusi rx(1-x/K) = 0, maka x = 0

atau K. Jadi ϕ ( t ; K ) ≡ K dan ϕ ( t ;0 )≡ 0 untuk semua t.

Untuk sembarang 0 < x < K, f(x) > 0, x > 0 dan solusi dari fungsi naik.Jadi jika 0 < x0 < K,

maka ϕ (t ; x0 ) adalah fungsi naik. Solusi yang diperoleh tidak memotong solusi konstan di

titik tetap K, maka ϕ (t ; x0 )<K untuk semua t. Kita diberi sebuah teorema umum lalu pada

bagian ini menyiratkan bahwa ϕ (t ; x0 ) harus konvergen pada titik tetap di K. Jadi untuk 0 <

x0 < K limit ω dari solusi pada titik tetap K (yaitu ω(x0) = {K}). Dengan cara sama, untuk

kondisi awal ϕ (t ; x0 )>0, fungsi turun ketika t turun, dan harus memusat ke 0 ketika t menuju

negatif tak hingga (yaitu α(x0) = {0}).

Untuk sembarang x > K, f(x) < 0, x < 0 dan solusi dari fungsi turun. Jika x0 > K, maka

ϕ (t ; x0 ) turun ketika t naik, tetapi harus tetap diatas K (yaitu ϕ (t ; x0 )>K ). Jadi ϕ (t ; x0 ) harus

konvergen turun menuju titik tetap di K, dan limit ω solusinya adalah titik tetap K (yaitu ω(x0

) = {K}). Ketika t turun, ϕ (t ; x0 ) naik. Jika tetap terbatas, maka akan konvergen ke titik tetap

lain. Karena tidak ada titik tetap lebih besar dari K, ϕ (t ; x0 ) akan menuju tak hingga dan α(x0)

= .

Untuk x < 0, f(x) < 0, x < 0 dan solusi dari fungsi turun. Jadi, jika x0 < 0, ϕ (t ; x0 ) turun.

Sekali lagi, karena tidak ada titik tetap kurang dari 0, solusi dari ϕ (t ; x0 ) harus menuju negatif

tak hingga, maka limit ω adalah kosong (yaitu ω(x0) = ). Untuk titik-titik ini, α(x0) = {0}

dengan argumen yang sama yang telah digunakan sebelumnya.

Jadi, kita harus menentukan α dan limit ω dari sembarang kondisi awal dengan hanya

menggunakan tanda f(x) dalam interval yang berbeda sepanjang garis.

Kita kembali membahas solusi yang dekat dengan titik tetap. Solusi dimulai dengan x = K

konvergen ke K ketika t menuju tak hingga, maka solusinya didekati. Perlu diperhatikan

bahwa kenyataan f’(K) = r – 2r = -r < 0 menjamin bahwa x > 0 untuk x < K dan x dekat

dengan K dan bahwa x < 0 untuk x > K dan x dekat dengan K; oleh karena itu, kenyataannya

bahwa f’(K) < 0 adalah cukup untuk menjamin bahwa titik tetap x = K adalah menarik.

Dalam section ini untuk keberadaan dan ketunggalan, kita beri solusi eksplisit dari

persamaan logistik,

ϕ (t ; x0 )=x0 K

x0+( K−x0 ) e−rt

Dengan menggunakan program MAPLE, diperoleh

>phaseportrait(D(x)(t)=x(t)*(1-x(t)),x(t),t=0..5,[[x(0)=-0.0025],[x(0)=0.1],[x(0)=0.6],[x(0)=1.6]],linecolor=[red,blue,green,yellow]);

Solusinya akan terdefinisi dengan baik sepanjang penyebutnya tidak nol. Penyebutnya nol

ketika

ert=x0−K

x0

Oleh karena itu, untuk solusi yang tidak terdefinisi, sisi kanan dari persamaan terakhir harus

menjadi positif, dimana terjadi untuk x0 > K dan x0 < 0. untuk x0 > K, solusi menjadi tidak

terdefinisi untuk waktu negatif,

t x0

−¿=1r

ln( x0−Kx0 )<0 ,¿

Tetapi terdefinisi untuk semua waktu positif, maka t x0

+¿=∞¿. Untuk x0 < 0, solusi menjadi tak

terdefinisi untuk sebuah waktu positif,

t x0

+¿=1r

ln( x0−Kx0

)=1r

ln(|x0|+K

|x0| )>0 , ¿

tetapi t x0

−¿=−∞¿. Akhirnya, untuk 0 ≤ x0≤ K ,t x0

−¿=−∞¿ dan t x0

+¿=∞¿.

Dalam hal khusus, untuk sembarang x0 > 0, solusinya akan terdefinisi untuk semua t ≥ 0, dan

ketika t menuju takhingga, solusinya konvergen ke

x∞=x0 K

x0+0=K

Untuk 0 ≤ x0<K , solusinya juga terdefinisi untuk semua t ≤ 0, penyebut menjadi besar, dan

solusinya konvergen ke 0 ketika t menuju negatif takhingga. Untuk x0 > K, penyebut menuju

0 ketika t konvergen turun ke t x0

−¿¿, sehingga solusinya menuju takhingga.

Untuk x0 < 0, solusinya terdefinisi untuk −∞<t <t x0

+¿ .¿ Penyebut adalah positif dan pembilang

adalah negatif, maka solusinya menuju negatif takhingga ketika t konvergen keatas ke t x0

+¿¿.

Teorema 4.2.2

Diberikan persamaan diferensial x=f (x ) di , yang mana f ( x ) mempunyai turunan yang

kontinu. Diasumsikan bahwa x (t )=ϕ (t ; x0 ) adalah solusi, dengan kondisi awal x0 .

Diasumsikan juga bahwa maksimum interval memuat 0 yang mana maksimum interval

tersebut dapat didefinisikan ¿

a. Diasumsikan bahwa solusi ϕ (t ; x0 ) terbatas untuk 0 ≤ t<t+¿¿(terdapat konstanta C>0

sedemikian sehingga |ϕ (t ; x0 )|≤ C untuk 0 ≤ t<t+¿¿. Maka ϕ (t ; x0 ) harus konvergen

baik di titik tetap atau ke suatu titik dimana f (x) tidak terdefinisi ketika t

konvergen ke t+¿¿.

b. Dengan cara yang sama, jika solusi ϕ (t ; x0 ) terbatas untuk t−¿<t ≤ 0¿. Maka ϕ (t ; x0)

harus konvergan baik di titik tetap atau ke suatu titik dimana f (x) tidak terdefinisi

ketika t konvergen ke t−¿¿.

c. Diasumsikan bahwa f (x) didefinisikan untuk semua x di .

i. Jika f ( x0 )>0, dengan mengasumsikan terdapat titik tetap x¿>x0 dan kenyataannya

x¿adalah titik tetap terkecil yang lebih besar dari x0.

ii. Jika f ( x0 )<0, dengan mengasumsikan terdapat titik tetap x¿<x0 dan kenyataannya

x¿adalah titik tetap terbesar yang lebih kecil dari x0.

Maka t+¿=∞¿ dan ϕ ¿) konvergen ke x¿ ketika t menuju tidak hingga.

Bukti:

Teorema di atas menunjukkan bahwa solusi persamaan diferensial yang terbatas di sepanjang

garis bilangan real harus konvergen baik di titik tetap atau ke suatu titik dimana f (x)

tidak terdefinisi ketika t konvergen baik di t+¿¿ atau t−¿¿.

Pembuktian disini hanya untuk bagian (a) dan (c)

Dengan menggunakan teorema ketunggalan, bahwa solusi tidak bisa memotong dimana

f ( x )=0. Jadi solusi ϕ (t ; x0 ) harus tetap di daerahnya dimana f ( x ) mempunyai satu tanda.

Diasumsikan bahwa f (ϕ ( t ; x0 ))>0. Jadi ϕ (t ; x0 ) naik dan terbatas ke atas. Sesuai dengan

sifat dalam bilangan real, keadaan tersebut harus konvergen mendekati suatu nilai limit

ketika t konvergen ke t+¿¿. Supremum t yang merupakan flow terdefinisi ( nilai t+¿=∞¿ jika

f ( x ) terdefinisi di sepanjang garis), sebut saja nilai limit x∞. Karena ϕ (t ; x0 )konvergen ke

x∞ dan f (ϕ ( t ; x0 ))>0, f ( x∞ )≥ 0 atau tidak terdefinisi. Jika baik f ( x∞ )=0 atau tidak

terdefinisi, maka pembuktian selesai. Sebaliknya, jika f ( x∞ )>0, maka ϕ (t ; x0 ) bergerak

dari x−¿=ϕ (δ ;x∞ )< x∞¿ sampai x+¿=ϕ (δ ; x∞ )> x∞ ¿ ketika t bergerak dari – δ sampai δ . Tetapi terdapat

beberapa waktu t 1 sedemikian sehingga x−¿<ϕ ( t1 ; x0 )< x∞¿ maka x∞<x+¿=ϕ¿¿, jadi solusi

diperoleh ketika di x0 sampai x∞. Hal ini kontradiksi dengan faktanya bahwa f ( x∞ )>0.

Lemma 4.2.3

Diasumsikan bahwa untuk semua t ≥ 0, g(t ) terdefinisi, g(t ) terbatas, g' (t )= d

dtg ( t )>0, dan

g' (t) kontinu uniform. Maka g' (t) mendekati 0 dan g ( t ) mendekati suatu nilai limit ketika

t menuju tak hingga

Bukti

g(t ) harus mendekati suatu nilai limit g∞ ketika g menuju tak hingga. Karena g ( t ) naik

g ( t )<g∞ untuk semua t ≥ 0. limt →∞

¿g '( t)≥ 0 karena g' (t )>0 untuk semua t .

limt →∞

inf g' (t)=L>0, maka terdapat barisan t n sedemikian sehingga g' ( tn ) ≥ L

2. Karena g' (t)

kontinu uniform, maka terdapat δ >0 sedemikian sehingga g' (t ) ≥ L

4 untuk t n≤ t ≤ t n+δ,

jadi g (t n+δ ) ≥ g (tn )+δL4

. Untuk n yang cukup besar, g (t n )≥ g∞−δL8

, jadi

g (t n+δ ) ≥ g (tn )+δL4

≥ g∞−δL8

+δL4

¿ g∞+δL8

¿ g∞

Hal ini kontradiksi dengan sebenarnya bahwa g ( t )<g∞untuk semua t ≥ 0.

Teorema 4.2.4

Diberikan sebuah titik tetap x¿ untuk persamaan diferensial x=f (x), dimana f dan f '

kontinu,

a. Jika f ' ( x¿)<0 maka x¿ stabil

b. Jika f ' ( x¿)>0 maka x¿ tidak stabil

c. Jika f ' ( x¿)=0 maka tidak dapat ditentukan tipe kestabilan

Bukti:

Misal x¿ adalah titik tetap sistem x=f (x) berarti f ( x¿ )=0

Uraian Deret Taylor f (x) disekitar x¿

f ( x )=f ( x¿)+ f ' ( x¿) ( x−x¿)+ 12

f ' ' ( x¿) ( x−x¿)2+…

f ( x¿ )=0 → f ( x )=f ' ( x ) ( x−x¿ )+12

f ' ' ( x¿) ( x−x¿ )2+…

Pandang x yang cukup dekat dengan x¿

x−x¿ cukup kecil → ( x−x¿)n makin kecil untuk n>1 sehingga dapat diabaikan.

f ( x ) ≈ f ' ( x¿) ( x−x¿) → x=f ( x ) ≈ f ' ( x¿) ( x−x¿)=a(x−x¿)

Missal u=x−x¿→u= x sehingga u=au →u=c eat

Jika a>0, maka limt →∞

u (t )=∞, sehingga jarak antara x (t ) dan x¿ semakin membesar dan x¿

tidak stabil.

Jika a<0, maka limt →∞

u (t )=0, sehingga jarak antara x (t ) dan x¿ semakin mengecil dan x¿ stabil.

Jika f ' ( x )=0 maka titik tetap dapat didekati, dijauhi, atau ditarik dari satu sisi atau bias terjadi

kemungkinan yang lain. Sehingga turunan tersebut tidak dapat menentukan tipe

kestabilan.

Contoh:

1. x=x3−x=f (x )

Maka titik tetapnya x1¿=0 , x2

¿=1 , x3¿=−1

f ' ( x )=3 x2−1

f ' (0 )=−1

f ' (1 )=2

f ' (−1 )=2

Sehingga ketika f ' (0 )<0 adalah stabil dan f ' (± 1 )>0 tak stabil

2. x=x2=f (x)

Maka titik tetapnya x¿=0

f ' ( x )=2 x

f ' (0 )=0

Karena x=x2 bernilai positif untuk x<0 dan x>0

Sehingga titik tetap tersebut dapat dikatakan semistabil

Atau dapat dikatakan tidak stabil tetapi tidak menolak

3. x=−x3=f ( x )

Maka titik tetapnya x¿=0

f ' ( x )=−3 x2

f ' (0 )=0

Karena x=−x3 bernilai positit untuk x<0 dan positif untuk x>0

Maka titik tetap dapat dikatakan stabil yang lemah

4. x=x2 sin( 1x )=f (x)

Maka titik tetapnya ketika x1¿=0 dan x2

¿= 1nπ

untuk n∈Z

f ' ( x )=2 x sin ( 1x )−cos ( 1

x)

f '( 1nπ )=(−1 )n+1

f ' (0 )=…

f (x) konvergen ke titik tetap 0 sehingga pada kondisi seperti ini dapat dikatakan L-stabil