Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -III”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Sesi 3

Sistem Persamaan Linier

4

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak

diketahui. Bentuk umum:

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.

Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun

bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan

tersebut disebut sistem persamaan homogen

5

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem

persamaan tersebut.

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

6

Operasi Baris

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.

7

Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

atau secara singkat bAx

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

; ; bxA

dengan

8

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

|

|

|

|

~

21

222221

111211

A

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

9

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi

dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris

dengan matriks gandengan asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan

matriks gandengan asalnya.

10

Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Suatu sistem persamaan linier:

Contoh:

0234

8253

024

8

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

0

8

0

8

2341

2531

0241

0011

D

C

B

A

x

x

x

x

11

Matriks gandengnya

adalah:

0|2341

8|2531

0|0241

8|0011

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.

1) baris (

1) baris (

baris1) (

pivot

8|2330

0|2520

8|0230

8|0011

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

12

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

8|2330

0|2520

8|0230

8|0011

2) (-baris

2) baris 2/3(

(pivot)

0|2100

3/16|23/4500

8|0230

8|0011

13

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat

0|2100

3/16|23/4500

8|0230

8|0011

0|2100

16|61100

8|0230

8|0011

14

0|2100

16|61100

8|0230

8|0011

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11

pivot

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

15

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

1616

16611

823

8

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:

12 ; 4 ; 2 ; 1 ABCD xxxx

Hasil terakhir langkah ketiga adalah:

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

16

16

8

8

16000

61100

0230

0011

D

C

B

A

x

x

x

x

16

Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

17

Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

823

024

8

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

Matriks gandeng:

8|230

0|241

8|011

Eliminasi Gauss:

8|230

8|230

8|011

0|000

8|230

8|011

Contoh:

18

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

00

823

8

CB

BA

xx

xx

3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan

3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan

Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu

19

Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi

1023

024

8

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

10|230

0|241

8|011

10|230

8|230

8|011

2|000

8|230

8|011

Contoh:

20

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

20

823

8

CB

BA

xx

xx

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita

lihat pada baris terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

21

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

000

230

011

2|000

8|230

8|011

dan

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

m

r

rrnrr

n

n

b

b

bkk

bcc

baaa

|0

|

|0

|

|

|0

|

1

2222

111211

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

22

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

m

r

rnrnrrr

nn

nn

b

b

bxkxk

bxaxc

bxaxaxa

0

0

1

22222

11212111

dengan 0 , 0 ,0 2211 rrkaa , dan r n

a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

nr mr bb ,,1

nr mr bb ,,1

nr nr mr bb ,,1

Perhatikan bentuk ini:

23

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika

sama dengan nol atau tidak ada.

mr bb ,,1

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika . nr

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks

gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

nr Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.

24

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor

Misalkan maaa , , 21 adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].

Kita tinjau suatu persamaan vektor

02211 mmccc aaa

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris

tersebut adalah bebas linier.

Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya

setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.

25

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat

dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas

semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi.

Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai

01

21

21 m

m

c

c

c

caaa

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol

Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya

sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.

26

Contoh: Dua vektor baris 21321 a 26242 a dan

Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena

026242132 212211 cccc aa

hanya akan terjadi jika 021 cc

Ambil vektor ketiga 42643 a

Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

4264213222 13 aa

Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

42642624 02132 202 213 aaa

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.

27

Rank Matriks Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A.

Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.

Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank matriks

asalnya.

Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui

operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss.

Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas

linier telah tereliminasi.

Bagaimana menentukan rank suatu matriks?

28

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal

dalam contoh, adalah

16000

61100

0230

0011

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks

sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4

Contoh:

29

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi,

adalah

Contoh:

000

230

011

0|000

8|230

8|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank

matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.

30

Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak

memberikan solusi, adalah

000

230

011

2|000

8|230

8|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks

koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari

kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.

31

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.

c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.

a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;

b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

32

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0

. . . . . . . . . . .

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

0|

|

0|

0|

~

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

33

Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

0|000

|

0|0

0|

~ 222

11211

mn

n

n

a

aa

aaa

A

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem

persamaan akhirnya akan berbentuk

0

0

0

2222

1212111

nmn

nn

nn

xa

xaxa

xaxaxa

Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .

0nx

nr

34

Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial

0234

0253

024

0

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

0|2341

0|2531

0|0241

0|0011

0|16000

0|61100

0|0230

0|0011

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi

016

0611

023

0

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xx0 ABCD xxxxyang akhirnya memberikan

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan

nr

Contoh:

35

Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial

06134

0253

024

0

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

Contoh:

0|61341

0|2531

0|0241

0|0011

0|0000

0|61100

0|0230

0|0011

eliminasi Gauss:

Sistem persamaan menjadi

00

0611

023

0

DC

CB

BA

xx

xx

xx

36

1Dx

33

12 ;

33

12 ;

11

6 ABC xxx

Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh

.

Solusi ini membentuk vektor solusi

1

11/6

33/12

3312

1

/

x

yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0

0

0

0

0

1

6/11

12/33

12/33

0000

61100

0230

0011

1Ax

37

Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu

33Dx

12 33

33

18

12

12

xx

Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol

Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1xx cc

dengan c adalah skalar sembarang

38

Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi,

misalnya x1 dan x2.

111213 3433

33

18

12

12

1

11/6

33/12

33/12

xxxxxx

Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi

yang kita nyatakan sebagai

cj xx

39

Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan

rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3

sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang

seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-

vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.

Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali

skalar dengan vektor x1 .

40

Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2

04107

0254

0254

0

DCBA

DCBA

DCBA

BA

xxxx

xxxx

xxxx

xxContoh:

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

0|41071

0|2541

0|2541

0|0011

0|0000

0|0000

0|2530

0|0011

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

00

00

0253

0

DCB

BA

xxx

xx

41

0dan 1 DC xx

5/3 ; 3/5 AB xx

Jika kita memberi nilai

kita akan mendapatkan

.

0

1

3/5

3/5

1x adalah salah satu vektor solusi

Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor

0b

0

0

0

0

0

0

0550

3/53/5

0

1

3/5

3/5

0000

0000

2530

0011

1Ax

42

Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan

0xA 11k 0xA 12k

,

dan 0)( 111211211 xAxAxAxA ckkkk

Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka

)( , , 12111211 xxxx kkkk adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai .

0dan 1 DC xx

43

1dan 0 DC xx 3/2Bx

3/2Ax

Jika akan kita peroleh

dan yang membentuk vektor solusi

1

0

3/2

3/2

2x

Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti

)( , , 22212221 xxxx llll

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

21 xxx lk

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

44

Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank

matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n r).

45

Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk

matriks bujur sangkar n n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A

akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A1 sehingga definisi ini memberikan

relasi11 AAIAA

Jika A berukuran n n maka A1 juga berukuran n n dan demikian pula matriks identitasnya.

46

Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain

kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal.

Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan

hal ini hanya mungkin terjadi jika P = Q.

QQIAPQQAPPAQIPP )()(

Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut

matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.

47

Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A ada, atau jika matriks A tak singular.

Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana

mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.

Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak

homogen, yaitu

bAx

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh

bAxIxbAAxA 111

48

Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A1 sama dengan n. Dengan perkataan

lain matriks A yang berukuran n n tak singular

jika rank A = n

dan akan singular jika rank A < n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan

Ax = b.

IAX

Jika X adalah kebalikan matriks A maka

49

IAA ~

HU

HU

XI

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan

A~

Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada

matriks gandengan ini berubah menjadi

dengan U berbentuk matriks segitiga atas.

yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.

Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

Langkah akhir ini akan menghasilkan

50

Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks

142

223

221

A

Kita bentuk matriks gandengan IA

100|142

010|223

001|221

IA

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2

1 baris3

pivot

102|580

013|480

001|221

51

2 baris

pivot

111|100

013|480

001|221

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

)8/1(

111|100

08/18/3|2/110

001|221

baris35.0

3 baris2

111|100

2/18/58/7|010

223|021

2 baris2

111|100

2/18/58/7|010

18/68/10|001

52

Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu

111

2/18/58/7

18/68/101A

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya

0

0

8

142

223

221

3

2

1

x

x

x

vektor solusinya adalah

8

7

10

0

0

8

111

2/18/58/7

18/68/10

0

0

8

142

223

221

1

3

2

1

x

x

x

53

Kebalikan Matriks Diagonal

Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.

nnnn a

a

a

a

/100

00

00/1

00

00

00 111

11

Kebalikan Dari Kebalikan Matriks

Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

AA 11

54

Kebalikan Dari Perkalian Matriks

Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan

dibalik. 111 ABAB

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

1 ABABI

111111

11

111111

ABABIABBBAB

ABBA

ABIBABBAAABABAIA

55

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika III

Sesi 3

Sudaryatno Sudirham

56