ruang vektor
TRANSCRIPT
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Ruang Vektor
Kusbudiono
Jurusan Matematika
25 Mei 2012
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
1 Sifat-sifat Dasar
2 Ruang Vektor Umum
3 Subruang Vektor
4 Kebebasan Linier
5 Basis dan Dimensi
6 Ruang Baris dan Ruang Kolom
7 Ruang Hasil Kali Dalam
8 Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Tupel-n-terurut
DefinisiSuatu tupel-n-terurut v = (v1, v2, . . . , vn) adalah suatu urutan nbilangan riil v1, v2, . . . , vn (disebut entri-entri dari n-tupel. Duabuah tupel-n disebut sama jika entri-entri yangberkorespondensi juga sama;
(v1, v2, . . . , vn) = (w1.w2, . . . ,wn) berarti v1 = w1, v2 = w2, . . . , vn = wn
Bila n = 2 atau n = 3 bisanya disebut pasangan terurut atautripel terurut.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang-n Eulid
Definisi
Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.
Definisi
Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)
2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)
3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)
5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang-n Eulid
Definisi
Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.
Definisi
Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)
2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)
3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)
5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang-n Eulid
Definisi
Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.
Definisi
Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)
2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)
3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)
4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)
5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang-n Eulid
Definisi
Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.
Definisi
Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)
2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)
3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)
5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang-n Eulid
Definisi
Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.
Definisi
Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)
2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)
3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)
5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u
2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w
3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v
4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 0
5 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw
6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv
7 a(bv) = (ab)v8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v
8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Sifat-sifat Rn
TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka
1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V
7. (kl)u = k(lu)
8. k(u + v) = ku + kv
9. (k + l)u = ku + lu
10. 1u = u, ∀u ∈ V
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)
8. k(u + v) = ku + kv
9. (k + l)u = ku + lu
10. 1u = u, ∀u ∈ V
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)
8. k(u + v) = ku + kv
9. (k + l)u = ku + lu
10. 1u = u, ∀u ∈ V
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)
8. k(u + v) = ku + kv
9. (k + l)u = ku + lu
10. 1u = u, ∀u ∈ V
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang Vektor
Definisi
Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:
1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V
2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V
3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V
4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u
5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0
Relasi antara V dan F:
6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)
8. k(u + v) = ku + kv
9. (k + l)u = ku + lu
10. 1u = u, ∀u ∈ VKusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Ruang Vektor
1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)
2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)
3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).
4 V =
{(a 11 b
)|a, b ∈ R
}dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan
(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu
vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Ruang Vektor
1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)
2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)
3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).
4 V =
{(a 11 b
)|a, b ∈ R
}dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan
(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu
vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Ruang Vektor
1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)
2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)
3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).
4 V =
{(a 11 b
)|a, b ∈ R
}dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan
(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu
vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Ruang Vektor
1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)
2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)
3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).
4 V =
{(a 11 b
)|a, b ∈ R
}dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian matriks dengan skalar.
5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan(kf )(x) = kf (x).
6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satuvektor nol.
7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Ruang Vektor
1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)
2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)
3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).
4 V =
{(a 11 b
)|a, b ∈ R
}dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan
(kf )(x) = kf (x).
6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satuvektor nol.
7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Ruang Vektor
1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)
2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)
3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).
4 V =
{(a 11 b
)|a, b ∈ R
}dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan
(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu
vektor nol.
7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Ruang Vektor
1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)
2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)
3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).
4 V =
{(a 11 b
)|a, b ∈ R
}dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan
(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu
vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaMisalkan v adalah vektor di ruang vektor V dan a suatubilangan riil.
1 0v = 02 a0 = 03 Jikaav = 0, maka a = 0 atau v = 0 atau keduanya.4 (−1)v = −v5 (−a)v = −(av) = a(−v)
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Subruang Vektor
DefinisiMisalkan V ruang vektor, himpunan bagian U dari V disebutsubruang V jika U adalah juga ruang vektor terhadap operadipenjumlahan dan perkalian dari V .
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaMisalkan U subset dari ruang vektor V . Maka U subruang Vjika dan hanya jika memenuhi:
1 Jika u1 dan u2 di U, maka u1 + u2 juga di U.2 Jika u di U, maka au juga di U untuk a di R.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh Subruang Vektor
1 Misalkan diketahui Sistem persamaan linier homogen:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a + 22x2 + . . .+ a2nxn = b2... =
...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
Buktikan bahwa himpunan semua penyelesaian SPLtersebut adalah subruang vektor Rn
2 H ⊆ R3 dengan H = {(a,0,0)|a ∈ R}3 H = {(a,b, c)|b = a + c + 1, a,b, c ∈ R}4 Misalkan P3 adalah suatu polinom berderajat maksimal 3
adalah ruang vektor.H = {a0 + a1x + a2x2 + a3x3|a0 = 0, a1,a2,a3 ∈ R}Buktikan H adalah subruang P3.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Kombinasi Linier
DefinisiSuatu vektor v disebut kombinasi linier dari ektor-vektorv1 + v2 + . . . ,vn jika dapat dinyatakan sebagai
v = a1v1 + a2v2 + . . . ,anvn
dengan a1,a2, . . . ,an adalah skalar dan disebut koefisien dariv1,v2, . . . ,vn
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Kombinasi Linier
Contoh-contoh.1 Diketahui w = (3,3,3),u = (1,−1,3) dan v = (2,4,0),
tentukan w sebagai kombinasi linier dari v dan u.2 Diketahui u = (2,1,4),v = (1,−1,3) dan w = (3,2,5),
tentukan c = (0,0,0) sebagai kombinasi linier dari u,v danw.
3 Misalkan P1 = 2 + x + 4x2,P2 = 1− x + 3x2 danP3 = 3 + 2x + 5x2, tetukan P = 5 + 9x + 5x2 sebagaikombinasi linier P1,P2 dan P3.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Merentang
DefinisiJika v1,v2, . . . ,vn adalah vektor-vektor pada ruang vektor Vdan jika masing-masing vektor dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier dari v1,v2, . . . ,vn maka dikatakan vektor-vektortersebut merentang V .
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Merentang
Contoh-contoh.1 Pada R3, v1 = (1,1,1),v2 = (2,2,0),v3 = (3,0,0) apakah{v1,v2,v3} merentang R3?
2 v1 = (3,1,4),v2 = (2,−3,5),v3 = (5,−2,9) danv4 = (1,4,−1) apakah {v1,v2,v3,v4} merentang R3.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaJika v1,v2, . . . ,vn adalah vektor-vektor pada ruang vektor V ,maka:
1 Himpunan U dari semua kombinasi linier v1,v2, . . . ,vnadalah subruang V .
2 U adalah subruang terkecil V yang memuat v1,v2 . . . ,vndalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yangmemuat v1,v2, . . . ,vn harus memuat U.
Ruang linier U yang direntang oleh sehimpunan vektor-vektorV = {v1,v2, . . . ,vn} dinotasikan dengan lin(V ) ataulin{v1,v2 . . . ,vn}
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Bebas Linier
DefinisiSekelompok vektor-vektor v1,v2, . . . ,vn bebas linier jikak1v1 + k2v2 + . . .+ knvn = 0 maka satu-satunya penyelesaianadalah trivial.
Contoh:Tunjukkan apakah v1 = (2,−1,4),v2 = (3,6,2) dan 2,10,−4adalah bebas linier atau tidak!
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaS = {v1,v2,v3, . . . ,vn} tak bebas linier jika dan hanya jika adadiantara vi yang merupakan kombinasi linier vektor selebihnya.
TeoremaS = {v1,v2, . . . ,vn} bebas linier jika dan hanya jika tidak adadiantara vi yang merupakan kombinasi linier dari vektor-vektorselebihnya.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaSuatu himpunan S = {0,v1,v2, . . . ,vn} adalah tak bebas linier.
TeoremaS = {v1,v2} bebas linier jika dan hanya jika v1 bukan kelipatanv2.
TeoremaJika banyak vektor > dimensi ruang vektor maka pasti takbebas linier.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
DefinisiJika V adalah sebarang vektor dan S = v1,v2, . . . ,vnmerupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V ,maka S dinamakan basis untuk V jika:
S bebas linier;S merentang V .
Contoh:Misalkan S = {1 + x + x2, x + x2, x2} dalam P2. Apakah Smerupakan basis dalam P2?
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
DefinisiMisalkan V adalah ruang vektor, V berdimensi hingga jika Vmemuat {v1,v2, . . . ,vn} yang membentuk basis. Jika tidakmaka V berdimensi tak hingga.
Perkecualian untuk definisi diatas adalah untuk S = {0},berdimensi hingga yaitu 0. Jadi dimensi dapat diartikan denganbanyaknya anggota himpunan vektor basis. Misal pada R2
berdimensi dua dengan basis standar ={(
10
),
(01
)}.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaV adalah ruang vektor, S = {v1,v2, . . . ,vn} basis pada V ataudimensi (V )=n, maka jikaS′ = {w1,w2, . . . ,wn,wn+1, . . . ,wm} ⊆ V maka S′ tak bebaslinier.
TeoremaSetiap dua basis untuk sebarang ruang vektor berdimensiberhingga mempunyai banyak vektor yang sama.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaMisalkan V adalah ruang vektor berdimensi n.
a. S = {v1,v2, . . . ,vn} ⊆ V, jika S bebas linier maka Sadalah basis.
b. S = {v1,v2, . . . ,vn} ⊆ V, jika V = lin(S) maka S adalahbasis.
c. S = {w1,w2, . . . ,wr} ⊆ V, jika r ≤ n maka S dapatdiperbesar menjadi basis pada V . Artinya adavr+1,vr+2, . . . ,vn sehingga{w1,w2, . . . ,wr ,vr+1,vr+2, . . . ,vn} adalah basis.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Basis dan Dimensi
Contoh Soal:1 Tentukan basis untuk subruang pada R3 berikut:
1 Bidang 3x − 2y + 5z = 02 Bidang x − y = 03 Garis x = 2t , y = −t , z = 4t
2 Buktikan bahwa bila V ruang vektor dan W subruang dariV maka dim(W ) ≤ dim(V ).
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang baris dan ruang kolom
Misalkan diketahui matriks
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
am1 am2 . . . amn
Vektor-vektor baris pada A adalah:
r1 = (a11,a12, . . . ,a1n)
r2 = (a21,a22, . . . ,a2n)
... =
rm = (am1,am2, . . . ,amn)
Vektor-vektor diatas merupakan elemen dari Rn.Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Ruang baris dan ruang kolom
Sedangkan Vektor-vektor kolom pada A adalah:
c1 =
a11a21
...am1
, c2 =
a12a22
...am2
, . . . , cn =
a1na2n
...amn
Dan vektor-vektor diatas merupakan elemen dari Rm.Jika m > n maka vektor-vektor baris tidak bebas linier dan jikan > m maka vektor-vektor kolom tidak bebas linier.Ruang baris untuk matriks A = lin (r1, r2, . . . , rm)Ruang kolom untuk matriks A = lin (c1, c2, . . . , cn)
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaOperasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuahmatriks.
TeoremaVektor-vektor baris tak nol berbentuk eselon baris dari matriksA membentuk basis untuk ruang baris A.
TeoremaJika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruangkolom A mempunya dimensi yang sama.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi Rank Matriks
Definisi
Rank matriks A adalah dim(ruang baris A)=dim(ruang kolom A).
Teorema
Misalkan A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
.
.
....
an1 an2 . . . an
maka pernyataan-pernyataan berikut saling eqivalen:
a. A dapat dibalik,
b. A.x = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial,
c. A ekivalen baris dengan Ind. A.x = b selalu konsisten,
e. det(A) 6= 0,
f. Rank(A)=n,
g. Vektor-vektor baris A bebas linier,
h. Vektor-vektor kolom A bebas linier.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
TeoremaA.x = b konsisten jika dan hanya jika b berada di ruang kolomA.
TeoremaA.x = b konsisten jika dan hanya jika rank(A)=rank(A|B).
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Definisi ruang hasil kali dalam
Ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor yang didalamnyaterdefinisi operasi hasil kali dalam. Hasil kali dalam (HKD)merupakan suatu fungsi yang memasangkan setiap pasang(u,v) vektor dalam ruang vektor V dengan sebuah bilangan Riilberbentuk < u,v > yang memenuhi aksioma-aksioma:
i. < u,v >=< v,u >,ii. < u + v,w >=< u,w > + < v,w >,iii. < ku,v >= k < u,v >,iv. < v,v >≥ 0,v. < v,v >= 0 jika dan hanya jika v = 0.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Contoh-contoh ruang hasil kali dalam/bukan
1 Hasil kali dalam Euclid (RN ).2 R3 dengan < u,v >= u2
1v21 + u2
2v22 + u2
3v23
3 Pada R3 dengan < u,v >= 2u1v1 + u2v2 + 4u3v3
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
TeoremaJika u dan v adalah vektor-vektor didalam sebuah ruang hasilkali dalam V, maka
< u,v >2≤< u,u >< v,v >
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Panjang dan sudut dalam RKHD
Secara umum panjang vektor v pada ruang hasil kali dalamadalah
‖v‖ =< v,v >12
sehingga jarak antara dua titik pada suatu RKHD adalah
d(u,v) = ‖u− v‖.
Sedangkan sudut vektor u dan v dalam RKHD adalah
cos θ =< u,v >‖u‖‖v‖
u dan v bukan vektor nol
Dua vektor u dan v ortogonal jika u ⊥ v, sehingga < u,v >= 0.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Himpunan Ortogonal
Himpunan V = {v1,v2, . . . ,vn} adalah himpunan ortogonal jika< vi ,vj >= 0, i 6= j .Contoh:Pada ruang Euclid R3, {i, j,k} merupakan himpunan ortogonal.Selain itu, masing-masing vektornya mempunyai panjang satu.Karena himpunan tersebut juga basis maka disebut basisortonormal.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Basis Ortonormal
Basis ortonormal adalah basis yang setiap vektornya bernormasatu (Panjang satu) dan saling ortogonal.
TeoremaJika V ruang vektor, S = {v1,v2, . . . ,vn} basis ortonormalmaka∀u ∈ V ,u =< u,v1 > v1+ < u,v2 > v2 + . . .+ < u,vn > vn
TeoremaJika S = {v1,v2, . . . ,vn} adalah himpunan ortogonal vektor taknol dalam ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier.
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Basis Ortonormal
TeoremaV adalah ruang vektor, S = {v1,v2, . . . ,vn}. Jika W ⊆ V danW = lin[S] maka ∀u ∈ V, u = w1 + w2 dengan w1 ∈W dan w2ortogonal terhadap W dengan memisalkan
w1 =< u,v1 > v1+ < u,v2 > v2 + . . .+ < u,vn > vn
dan
w2 = u− < u,v1 > v1− < u,v2 > v2 − . . .− < u,vn > vn
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Proses Gram-Scmidt
TeoremaSetiap ruang vektor taknol berdimensi n pasti mempunyai basisortonormal.
Bukti:Misalkan V adalah ruang vektor dan S = {u1,u2, . . . ,un} basispada V . Akan diturunkan suatu basis ortonormalS′ = {v1,v2, . . . ,vn}.Langkah 1.Mendapatkan v1 dengan menormalisasi u1, yaitu
v1 =1‖u1‖
u1
sehingga ‖v1‖ = 1.Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Proses Gram-Scmidt
Langkah 2.Mendapatkan v2 yang ortogonal terhadap v1 dan bernorma 1,yaitu
v2 =u2− < u2,v1 > v1
‖u2− < u2,v1 > v1‖sehingga v2 ortogonal terhadap v1 dan ‖v2‖ = 1.Langkah 3.Mendapatkan v3 yang ortogonal terhadap v1 maupun v2 danbernorma 1, yaitu
v3 =u3− < u3,v1 > v1− < u3,v2 > v2
‖u3− < u3,v1 > v1− < u3,v2 > v2‖
sehingga v3 ortogonal terhadap v1 maupun v2 dan ‖v3‖ = 1.dan seterusnya sampai...
Kusbudiono Ruang Vektor
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt
Proses Gram-Scmidt
Langkah n.Mendapatkan vn yang ortogonal terhadap v1,v2, . . . ,vn−1 danbernorma 1, yaitu
vn =un− < un,v1 > v1− < un,v2 > v2 − . . .− < un,vn−1 >
‖un− < un,v1 > v1− < un,v2 > v2 − . . .− < un,vn−1 > ‖
sehingga vn ortogonal terhadap v1,v2, . . . ,vn dan ‖vn‖ = 1.Jadi S′ merupakan himpunan ortonormal. Karena S′ himpunanortogonal maka S′ bebas linier dan karena diturunkan daribasis S maka juga merentang. Sehingga S′ merupakan basisyang ortonormal.Proses diatas disebut proses Gram-Scmidt yang dapatdigunakan untuk mendapatkan suatu basis ortonormal daribasis sembarang dalam suatu ruang vektor.
Kusbudiono Ruang Vektor