ruang vektor

66
Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris da Ruang Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 25 Mei 2012 Kusbudiono Ruang Vektor

Upload: jonathan-greer

Post on 25-Oct-2015

139 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Ruang Vektor

Kusbudiono

Jurusan Matematika

25 Mei 2012

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 2: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

1 Sifat-sifat Dasar

2 Ruang Vektor Umum

3 Subruang Vektor

4 Kebebasan Linier

5 Basis dan Dimensi

6 Ruang Baris dan Ruang Kolom

7 Ruang Hasil Kali Dalam

8 Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 3: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Tupel-n-terurut

DefinisiSuatu tupel-n-terurut v = (v1, v2, . . . , vn) adalah suatu urutan nbilangan riil v1, v2, . . . , vn (disebut entri-entri dari n-tupel. Duabuah tupel-n disebut sama jika entri-entri yangberkorespondensi juga sama;

(v1, v2, . . . , vn) = (w1.w2, . . . ,wn) berarti v1 = w1, v2 = w2, . . . , vn = wn

Bila n = 2 atau n = 3 bisanya disebut pasangan terurut atautripel terurut.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 4: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang-n Eulid

Definisi

Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.

Definisi

Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)

3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)

5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 5: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang-n Eulid

Definisi

Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.

Definisi

Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)

3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)

5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 6: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang-n Eulid

Definisi

Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.

Definisi

Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)

3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)

4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)

5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 7: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang-n Eulid

Definisi

Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.

Definisi

Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)

3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)

5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 8: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang-n Eulid

Definisi

Jika diberikan bilangan bulat n ≥ 1, himpunan semua tuple-n dengan entribilangan riil disebut Ruang-n Euclid dan dinotasikan Rn.

Definisi

Misalkan v = (v1, v2, . . . , vn) dan u = (u1, u2, . . . , un adalah tupel-n di Rn.1 Penjumlahan u + v didefinisikan sebagai

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

2 Jika a sembarang bilangan real, perkalian skalar av didefinisikansebagai av = (av1, av2, . . . , avn)

3 tupel-n nol di Rn adalah 0 = (0, 0, . . . , 0)4 negatif −v dari tupel-n v adalah −v = (−v1,−v2, . . . ,−vn)

5 beda u− v didefinisikan menjadi u + (−v), yaituu− v = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 9: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u

2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 10: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w

3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 11: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v

4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 12: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 0

5 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 13: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw

6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 14: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv

7 a(bv) = (ab)v8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 15: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v

8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 16: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Sifat-sifat Rn

TeoremaMisalkan u,v dan w masing-masing adalah tupel-n di Rn, danmisalkan a dan b bilangan riil. Maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 v + 0 = v4 v +−(v) = 05 a(v + w) = av + aw6 (a + b)v = av + bv7 a(bv) = (ab)v8 1v = v

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 17: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 18: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 19: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 20: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 21: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 22: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 23: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V

7. (kl)u = k(lu)

8. k(u + v) = ku + kv

9. (k + l)u = ku + lu

10. 1u = u, ∀u ∈ V

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 24: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)

8. k(u + v) = ku + kv

9. (k + l)u = ku + lu

10. 1u = u, ∀u ∈ V

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 25: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)

8. k(u + v) = ku + kv

9. (k + l)u = ku + lu

10. 1u = u, ∀u ∈ V

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 26: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)

8. k(u + v) = ku + kv

9. (k + l)u = ku + lu

10. 1u = u, ∀u ∈ V

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 27: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Suatu himpunan vektor-vektor V disebut ruang vektor atas fied F jikamemenuhi aksioma: Terhadap penjumlahan:

1. u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V

2. u + v = v + u ∀u, v ∈ V

3. u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v,w ∈ V

4. ada suatu vektor 0 sedemikian hingga ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u

5. ∀u ∈ V , ∃ − a ∈ V ,u + (−u) = −u + u = 0

Relasi antara V dan F:

6. Jika k ∈ F dan u ∈ V, ku ∈ V7. (kl)u = k(lu)

8. k(u + v) = ku + kv

9. (k + l)u = ku + lu

10. 1u = u, ∀u ∈ VKusbudiono Ruang Vektor

Page 28: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Ruang Vektor

1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)

2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)

3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).

4 V =

{(a 11 b

)|a, b ∈ R

}dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan

(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu

vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 29: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Ruang Vektor

1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)

2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)

3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).

4 V =

{(a 11 b

)|a, b ∈ R

}dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan

(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu

vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 30: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Ruang Vektor

1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)

2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)

3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).

4 V =

{(a 11 b

)|a, b ∈ R

}dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan

(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu

vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 31: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Ruang Vektor

1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)

2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)

3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).

4 V =

{(a 11 b

)|a, b ∈ R

}dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar.

5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan(kf )(x) = kf (x).

6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satuvektor nol.

7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 32: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Ruang Vektor

1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)

2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)

3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).

4 V =

{(a 11 b

)|a, b ∈ R

}dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan

(kf )(x) = kf (x).

6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satuvektor nol.

7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 33: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Ruang Vektor

1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)

2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)

3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).

4 V =

{(a 11 b

)|a, b ∈ R

}dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan

(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu

vektor nol.

7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 34: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Ruang Vektor

1 Himpunan semua tripel riil (x , y , z) dengan operasi penjumlahan(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) dan perkalian skalark(x , y , z) = (kx , ky , kz)

2 V=himpunan semua pasangan riil (x , y) dengan operasi penjumlahan(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dan operasi perkalian skalark(x , y) = (2kx , 2ky)

3 V = {(x , y)|x , y ∈ R, x ≥ 0} dengan operasi(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dan k(x1, y1) = (kx1, ky1).

4 V =

{(a 11 b

)|a, b ∈ R

}dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar.5 V = {fRiil|f (1) = 0} dengan operasi (f + g)(x) = f (x) + g(x) dan

(kf )(x) = kf (x).6 Buktikan bahwa ruang vektor tidak dapat mempunyai lebih dari satu

vektor nol.7 Buktikan bahwa vektor hanya mempunyai 1 negatif.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 35: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaMisalkan v adalah vektor di ruang vektor V dan a suatubilangan riil.

1 0v = 02 a0 = 03 Jikaav = 0, maka a = 0 atau v = 0 atau keduanya.4 (−1)v = −v5 (−a)v = −(av) = a(−v)

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 36: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Subruang Vektor

DefinisiMisalkan V ruang vektor, himpunan bagian U dari V disebutsubruang V jika U adalah juga ruang vektor terhadap operadipenjumlahan dan perkalian dari V .

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 37: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaMisalkan U subset dari ruang vektor V . Maka U subruang Vjika dan hanya jika memenuhi:

1 Jika u1 dan u2 di U, maka u1 + u2 juga di U.2 Jika u di U, maka au juga di U untuk a di R.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 38: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh Subruang Vektor

1 Misalkan diketahui Sistem persamaan linier homogen:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a + 22x2 + . . .+ a2nxn = b2... =

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

Buktikan bahwa himpunan semua penyelesaian SPLtersebut adalah subruang vektor Rn

2 H ⊆ R3 dengan H = {(a,0,0)|a ∈ R}3 H = {(a,b, c)|b = a + c + 1, a,b, c ∈ R}4 Misalkan P3 adalah suatu polinom berderajat maksimal 3

adalah ruang vektor.H = {a0 + a1x + a2x2 + a3x3|a0 = 0, a1,a2,a3 ∈ R}Buktikan H adalah subruang P3.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 39: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Kombinasi Linier

DefinisiSuatu vektor v disebut kombinasi linier dari ektor-vektorv1 + v2 + . . . ,vn jika dapat dinyatakan sebagai

v = a1v1 + a2v2 + . . . ,anvn

dengan a1,a2, . . . ,an adalah skalar dan disebut koefisien dariv1,v2, . . . ,vn

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 40: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Kombinasi Linier

Contoh-contoh.1 Diketahui w = (3,3,3),u = (1,−1,3) dan v = (2,4,0),

tentukan w sebagai kombinasi linier dari v dan u.2 Diketahui u = (2,1,4),v = (1,−1,3) dan w = (3,2,5),

tentukan c = (0,0,0) sebagai kombinasi linier dari u,v danw.

3 Misalkan P1 = 2 + x + 4x2,P2 = 1− x + 3x2 danP3 = 3 + 2x + 5x2, tetukan P = 5 + 9x + 5x2 sebagaikombinasi linier P1,P2 dan P3.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 41: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Merentang

DefinisiJika v1,v2, . . . ,vn adalah vektor-vektor pada ruang vektor Vdan jika masing-masing vektor dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier dari v1,v2, . . . ,vn maka dikatakan vektor-vektortersebut merentang V .

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 42: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Merentang

Contoh-contoh.1 Pada R3, v1 = (1,1,1),v2 = (2,2,0),v3 = (3,0,0) apakah{v1,v2,v3} merentang R3?

2 v1 = (3,1,4),v2 = (2,−3,5),v3 = (5,−2,9) danv4 = (1,4,−1) apakah {v1,v2,v3,v4} merentang R3.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 43: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaJika v1,v2, . . . ,vn adalah vektor-vektor pada ruang vektor V ,maka:

1 Himpunan U dari semua kombinasi linier v1,v2, . . . ,vnadalah subruang V .

2 U adalah subruang terkecil V yang memuat v1,v2 . . . ,vndalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yangmemuat v1,v2, . . . ,vn harus memuat U.

Ruang linier U yang direntang oleh sehimpunan vektor-vektorV = {v1,v2, . . . ,vn} dinotasikan dengan lin(V ) ataulin{v1,v2 . . . ,vn}

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 44: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Bebas Linier

DefinisiSekelompok vektor-vektor v1,v2, . . . ,vn bebas linier jikak1v1 + k2v2 + . . .+ knvn = 0 maka satu-satunya penyelesaianadalah trivial.

Contoh:Tunjukkan apakah v1 = (2,−1,4),v2 = (3,6,2) dan 2,10,−4adalah bebas linier atau tidak!

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 45: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaS = {v1,v2,v3, . . . ,vn} tak bebas linier jika dan hanya jika adadiantara vi yang merupakan kombinasi linier vektor selebihnya.

TeoremaS = {v1,v2, . . . ,vn} bebas linier jika dan hanya jika tidak adadiantara vi yang merupakan kombinasi linier dari vektor-vektorselebihnya.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 46: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaSuatu himpunan S = {0,v1,v2, . . . ,vn} adalah tak bebas linier.

TeoremaS = {v1,v2} bebas linier jika dan hanya jika v1 bukan kelipatanv2.

TeoremaJika banyak vektor > dimensi ruang vektor maka pasti takbebas linier.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 47: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

DefinisiJika V adalah sebarang vektor dan S = v1,v2, . . . ,vnmerupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V ,maka S dinamakan basis untuk V jika:

S bebas linier;S merentang V .

Contoh:Misalkan S = {1 + x + x2, x + x2, x2} dalam P2. Apakah Smerupakan basis dalam P2?

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 48: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

DefinisiMisalkan V adalah ruang vektor, V berdimensi hingga jika Vmemuat {v1,v2, . . . ,vn} yang membentuk basis. Jika tidakmaka V berdimensi tak hingga.

Perkecualian untuk definisi diatas adalah untuk S = {0},berdimensi hingga yaitu 0. Jadi dimensi dapat diartikan denganbanyaknya anggota himpunan vektor basis. Misal pada R2

berdimensi dua dengan basis standar ={(

10

),

(01

)}.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 49: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaV adalah ruang vektor, S = {v1,v2, . . . ,vn} basis pada V ataudimensi (V )=n, maka jikaS′ = {w1,w2, . . . ,wn,wn+1, . . . ,wm} ⊆ V maka S′ tak bebaslinier.

TeoremaSetiap dua basis untuk sebarang ruang vektor berdimensiberhingga mempunyai banyak vektor yang sama.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 50: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaMisalkan V adalah ruang vektor berdimensi n.

a. S = {v1,v2, . . . ,vn} ⊆ V, jika S bebas linier maka Sadalah basis.

b. S = {v1,v2, . . . ,vn} ⊆ V, jika V = lin(S) maka S adalahbasis.

c. S = {w1,w2, . . . ,wr} ⊆ V, jika r ≤ n maka S dapatdiperbesar menjadi basis pada V . Artinya adavr+1,vr+2, . . . ,vn sehingga{w1,w2, . . . ,wr ,vr+1,vr+2, . . . ,vn} adalah basis.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 51: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Basis dan Dimensi

Contoh Soal:1 Tentukan basis untuk subruang pada R3 berikut:

1 Bidang 3x − 2y + 5z = 02 Bidang x − y = 03 Garis x = 2t , y = −t , z = 4t

2 Buktikan bahwa bila V ruang vektor dan W subruang dariV maka dim(W ) ≤ dim(V ).

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 52: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang baris dan ruang kolom

Misalkan diketahui matriks

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

am1 am2 . . . amn

Vektor-vektor baris pada A adalah:

r1 = (a11,a12, . . . ,a1n)

r2 = (a21,a22, . . . ,a2n)

... =

rm = (am1,am2, . . . ,amn)

Vektor-vektor diatas merupakan elemen dari Rn.Kusbudiono Ruang Vektor

Page 53: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Ruang baris dan ruang kolom

Sedangkan Vektor-vektor kolom pada A adalah:

c1 =

a11a21

...am1

, c2 =

a12a22

...am2

, . . . , cn =

a1na2n

...amn

Dan vektor-vektor diatas merupakan elemen dari Rm.Jika m > n maka vektor-vektor baris tidak bebas linier dan jikan > m maka vektor-vektor kolom tidak bebas linier.Ruang baris untuk matriks A = lin (r1, r2, . . . , rm)Ruang kolom untuk matriks A = lin (c1, c2, . . . , cn)

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 54: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaOperasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuahmatriks.

TeoremaVektor-vektor baris tak nol berbentuk eselon baris dari matriksA membentuk basis untuk ruang baris A.

TeoremaJika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruangkolom A mempunya dimensi yang sama.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 55: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi Rank Matriks

Definisi

Rank matriks A adalah dim(ruang baris A)=dim(ruang kolom A).

Teorema

Misalkan A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

.

.

....

an1 an2 . . . an

maka pernyataan-pernyataan berikut saling eqivalen:

a. A dapat dibalik,

b. A.x = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial,

c. A ekivalen baris dengan Ind. A.x = b selalu konsisten,

e. det(A) 6= 0,

f. Rank(A)=n,

g. Vektor-vektor baris A bebas linier,

h. Vektor-vektor kolom A bebas linier.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 56: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

TeoremaA.x = b konsisten jika dan hanya jika b berada di ruang kolomA.

TeoremaA.x = b konsisten jika dan hanya jika rank(A)=rank(A|B).

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 57: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Definisi ruang hasil kali dalam

Ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor yang didalamnyaterdefinisi operasi hasil kali dalam. Hasil kali dalam (HKD)merupakan suatu fungsi yang memasangkan setiap pasang(u,v) vektor dalam ruang vektor V dengan sebuah bilangan Riilberbentuk < u,v > yang memenuhi aksioma-aksioma:

i. < u,v >=< v,u >,ii. < u + v,w >=< u,w > + < v,w >,iii. < ku,v >= k < u,v >,iv. < v,v >≥ 0,v. < v,v >= 0 jika dan hanya jika v = 0.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 58: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Contoh-contoh ruang hasil kali dalam/bukan

1 Hasil kali dalam Euclid (RN ).2 R3 dengan < u,v >= u2

1v21 + u2

2v22 + u2

3v23

3 Pada R3 dengan < u,v >= 2u1v1 + u2v2 + 4u3v3

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 59: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

TeoremaJika u dan v adalah vektor-vektor didalam sebuah ruang hasilkali dalam V, maka

< u,v >2≤< u,u >< v,v >

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 60: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Panjang dan sudut dalam RKHD

Secara umum panjang vektor v pada ruang hasil kali dalamadalah

‖v‖ =< v,v >12

sehingga jarak antara dua titik pada suatu RKHD adalah

d(u,v) = ‖u− v‖.

Sedangkan sudut vektor u dan v dalam RKHD adalah

cos θ =< u,v >‖u‖‖v‖

u dan v bukan vektor nol

Dua vektor u dan v ortogonal jika u ⊥ v, sehingga < u,v >= 0.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 61: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Himpunan Ortogonal

Himpunan V = {v1,v2, . . . ,vn} adalah himpunan ortogonal jika< vi ,vj >= 0, i 6= j .Contoh:Pada ruang Euclid R3, {i, j,k} merupakan himpunan ortogonal.Selain itu, masing-masing vektornya mempunyai panjang satu.Karena himpunan tersebut juga basis maka disebut basisortonormal.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 62: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Basis Ortonormal

Basis ortonormal adalah basis yang setiap vektornya bernormasatu (Panjang satu) dan saling ortogonal.

TeoremaJika V ruang vektor, S = {v1,v2, . . . ,vn} basis ortonormalmaka∀u ∈ V ,u =< u,v1 > v1+ < u,v2 > v2 + . . .+ < u,vn > vn

TeoremaJika S = {v1,v2, . . . ,vn} adalah himpunan ortogonal vektor taknol dalam ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier.

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 63: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Basis Ortonormal

TeoremaV adalah ruang vektor, S = {v1,v2, . . . ,vn}. Jika W ⊆ V danW = lin[S] maka ∀u ∈ V, u = w1 + w2 dengan w1 ∈W dan w2ortogonal terhadap W dengan memisalkan

w1 =< u,v1 > v1+ < u,v2 > v2 + . . .+ < u,vn > vn

dan

w2 = u− < u,v1 > v1− < u,v2 > v2 − . . .− < u,vn > vn

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 64: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Proses Gram-Scmidt

TeoremaSetiap ruang vektor taknol berdimensi n pasti mempunyai basisortonormal.

Bukti:Misalkan V adalah ruang vektor dan S = {u1,u2, . . . ,un} basispada V . Akan diturunkan suatu basis ortonormalS′ = {v1,v2, . . . ,vn}.Langkah 1.Mendapatkan v1 dengan menormalisasi u1, yaitu

v1 =1‖u1‖

u1

sehingga ‖v1‖ = 1.Kusbudiono Ruang Vektor

Page 65: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Proses Gram-Scmidt

Langkah 2.Mendapatkan v2 yang ortogonal terhadap v1 dan bernorma 1,yaitu

v2 =u2− < u2,v1 > v1

‖u2− < u2,v1 > v1‖sehingga v2 ortogonal terhadap v1 dan ‖v2‖ = 1.Langkah 3.Mendapatkan v3 yang ortogonal terhadap v1 maupun v2 danbernorma 1, yaitu

v3 =u3− < u3,v1 > v1− < u3,v2 > v2

‖u3− < u3,v1 > v1− < u3,v2 > v2‖

sehingga v3 ortogonal terhadap v1 maupun v2 dan ‖v3‖ = 1.dan seterusnya sampai...

Kusbudiono Ruang Vektor

Page 66: Ruang Vektor

Outline Sifat-sifat Dasar Ruang Vektor Umum Subruang Vektor Kebebasan Linier Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal/Proses Gram-Scimidt

Proses Gram-Scmidt

Langkah n.Mendapatkan vn yang ortogonal terhadap v1,v2, . . . ,vn−1 danbernorma 1, yaitu

vn =un− < un,v1 > v1− < un,v2 > v2 − . . .− < un,vn−1 >

‖un− < un,v1 > v1− < un,v2 > v2 − . . .− < un,vn−1 > ‖

sehingga vn ortogonal terhadap v1,v2, . . . ,vn dan ‖vn‖ = 1.Jadi S′ merupakan himpunan ortonormal. Karena S′ himpunanortogonal maka S′ bebas linier dan karena diturunkan daribasis S maka juga merentang. Sehingga S′ merupakan basisyang ortonormal.Proses diatas disebut proses Gram-Scmidt yang dapatdigunakan untuk mendapatkan suatu basis ortonormal daribasis sembarang dalam suatu ruang vektor.

Kusbudiono Ruang Vektor